第5章 第2节 矩形、菱形、正方形(1课时)-【易中考】2024年中考总复习数学（河南专版）

第二节 矩形、菱形、正方形(1课时) 考点清单★固基础 考点1 矩形的性质与判定 (重点) 考点2)菱形的性质与判定 (重点) 有一个角是直角的平行四 有一组邻边相等的平行四边 概念 概念 边形叫做矩形 形叫做菱形 1,边：对边平行且相等 1.边：对边平行，四边都相篷 2.角：四个角都是直角， 2.角：对角相等， 性质 3.对角线：对角线互相平分且相篷 3.对角线：对角线互相垂直平分，每条对角线平 性质 4.既是轴对称图形，又是中心对称图形，它有2 分一组对角。 条对称轴（不含正方形）》 4.既是轴对称图形，又是中心对称图形，它有2 条对称轴（不含正方形） L.有一个角是直角的平行四边形是矩形（仅人 教、北师有) 1.四条边都相等的四边形是菱形， 2.对角线相等的平行四边形是矩形. 2.对角线互相垂直的平行四边形是菱形. 3.有三个角是直角的四边形是矩形. 3.有一组邻边相等的平行四边形是菱形（仅人 教、北师有》 判定 4.对角线相等且互相平分的四边形是矩形 有一个角是直角 判定 4.对角线互相垂直平分的四边形是菱形 平行四边形 矩形 一组邻边相等 对角线相等 平行四边形 菱形 四边形 有三个角是直角 对角线互相垂直 四边形 四条边棉相等 对角线相等且互相平分 对角线互相垂直平分 面积 S=b(a,b分别表示矩形的长和宽) 面积 公式 S= 公式 ，4(4，山表示两条对角线的长) 2 【提分要点】判定四边形是矩形，可以先判定这 【温馨提示】1.菱形的两条对角线分成的四个直 个四边形是平行四边形，然后找角或者对角线 角三角形全等.2.由于菱形是平行四边形，所以 的关系，若角度容易求，则可找其一角为90°，便 菱形面积也可表示为S=ah(a表示菱形的边 可判定是矩形：若对角线容易求，则证明其对角 长，h表示此边上的高) 线相等即可判定其为矩形. 》基础即时练 》基础即时练 2.(2023·福建)如图，在菱形ABCD中，AB= 1.(2023·上海)在四边形ABCD中，AD∥BC 10,∠B=60°，则AC的长为 AB=CD.下列说法能使四边形ABCD为矩形 的是() A.AB∥CD B.AD=BC C.∠A=∠B D.∠A=∠D 数学)87■ 考点3 》正方形的性质与判定 (重点) 》基础即时练 3.(2023·洛阳三模)如图，已知四边形ABCD 有一组邻边相等，并且有一个角 是平行四边形，给出下列三个结论：①当 概念 是直角的平行四边形叫做正 AB=BC时，它是菱形：②当AC⊥BD时，它 方形 是矩形：③当∠ABC= 1.边：对边平行，四边都相等 2.角：四个角都是直角， 90时，它是正方形 3.对角线：对角线互相垂直平分且相等，每条对 其中结论正确的有 性质 角线平分一组对角。 ( 4.正方形既是轴对称图形，又是中心对称图形， A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 它有4条对称轴 1.有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平 考点4 中点四边形 行四边形是正方形： 概念 顺次连接四边形各边的中点所得的四边形 2.有一组邻边相等的矩形是正方形： 判定依据 三角形的中位线定理 3.对角线互相垂直的矩形是正方形 1,中点四边形的周长为原四边形两条对角 判定 4.有一个角是直角的菱形是正方形： 性质 线的和. (北师 5.对角线相等的菱形是正方形： 2.中点四边形的面积为原四边形面积的一半 版特 6.对角线互相垂直平分且相等的四边形是正 【提分要点】1.特殊四边形的中点四边形： 有) 方形 (1)平行四边形的中点四边形是平行四边形： 一组邻边相等 矩形 支对角线相垂直 (2)矩形的中点四边形是菱形： 平行四边形 组邻边相等且有 一个角是直角90) 正方形 (3)菱形的中点四边形是矩形： 姜园有高” (4)正方形的中点四边形是正方形 四边形 对角线互相垂直平分且相等 2.对角线特殊的四边形的中点四边形： 面积 S=a2(a表示边长)= (1表示对角线的长) (1)对角线相等的四边形的中点四边形是菱形： 公式 2 (2)对角线垂直的四边形的中点四边形是矩形： 【温馨提示】正方形的两条对角线把正方形分成 (3)对角线垂直且相等的四边形的中点四边形是 四个全等的等腰直角三角形. 正方形. 重点精析★提升练 精讲点1矩形的性质与判定 (重难点) 例1☐(2023·河南)矩形ABCD中，M为对角 线BD的中点，点N在边AD上，且AN=AB=I. 当以点D,M,V为顶点的三角形是直角三角形 :四边形ABCD是矩形，∠A=90°， 时，AD的长为 则MN∥AB, 【思路分析】分两种情况，当∠MND=90°时和当 由平行线分线段成比例可得：础 ∠NMD=90°时，分别进行讨论求解即可. 又.M为对角线BD的中点，∴.BM=MD, 解：①当∠MND=90时 。88(河南易中考 删1 ND =AN =1,..AD =AN ND =2. 2当∠NMD=90时： 解：，四边形ABCD是菱形 ∴，AC⊥BD,A0=C0=4,B0=DO. ∴.AE=VA0+E0=5. .BE=AE=5.∴.B0=8. M为对角线BD的中点，∠NMD=90 .BC=√B0+C0=4/5 ∴，MN为BD的垂直平分线，∴.BN=ND, 点F为CD的中点，BO=DO, ,四边形ABCD是矩形.AN=AB=1 .∠A=90°，则BN=√AB+AN=2. 0F=8C=25.故答案为25. .'BN ND =2. 。一题多问 2.如图，在菱形ABCD中，AC=6,对角线AC与 ..AD=AN+ND=2+1. BD交于点O. 综上，AD的长为2或2+1.故答案为2或2+1 。一题多问 L.如图，在矩形ABCD中，AB=6,BC=8,AC与 BD交于点O,点E为BC上一点. (1)若∠BAD=110°，则∠ABD的度数为； (2)若BD=8,点E为BC上一点 ①菱形ABCD的周长为，面积为 ②连接OE,若OE⊥BC,则OE的长为 (1)△BOC与△DOC的周长之差为 ； (2)若E为BC的中点，F为OC的中点，连接 ③若点E为BC的中点，过点E作FE⊥BC交 EF,则EF的长为 BD于点F,则OF的长为 (3)连接AE,若AE平分∠BAD,则△ACE的 精讲点3正方形的性质与判定 (重难点) 面积为 ； 5例3(2023·广西)如图，在边长为2的正方形 (4)连接EO并延长，交AD于点G,若EG⊥ ABCD中，E,F分别是BC,CD上的动点，M,N分别 BD,则AG的长为 是EF,AF的中点，则MN的最大值为 精讲点2)菱形的性质与判定 (重难点) 例2(2022·哈尔滨)如图，菱形ABCD的对 角线AC,BD相交于点O,点E在OB上，连接AE, 点F为CD的中点，连接OF.若AE=BE,OE=3, OA=4,则线段OF的长为 数学)89■ 【思路分析】首先证明出MN是△AEF的中位 当BE最大时，AE最大，此时MN最大， 线，得到MN=B,然后由正方形的性质和勾 点E是BC上的动点， .当点E和点C重合时，BE最大，即BC的长度， 股定理得到AE=√AB+BE=√4+BE,证明 出当BE最大时，AE最大，此时MN最大，进而 此时4E=4+2=22N=24北=2， 得到当点E和点C重合时，BE最大，即BC的长 .MN的最大值为2.故答案为2. 度，最后代入求解即可 。变式训练 解：如图所示，连接AE (2023·重庆A卷)如图，在正方形ABCD中，点E, F分别在BC,CD上，连接AE,AF,EF,∠EAF=45° 若∠BAE=a,则∠FEC一定等于() :M,N分别是EF,AF的中点， MN是△AEF的中位线， MNE A.2a B.90°-2 C.45°-a D.90°-x ,四边形ABCD是正方形， .∠B=90°，∴.AE=AB+BE=4+BE 聚焦河南★瞄靶向 河南真题 命题点2)菱形的性质与判定(7年2考) 2.(2022·河南)如图，在菱形ABCD中，对角线 命题点1)矩形的性质与判定(7年2考) AC,BD相交于点O,点E为CD的中点.若OE 1.(2019·河南)如图，在矩形ABCD中，AB=1, =3,则菱形ABCD的周长为( BC=a,点E在边BC上，且BE=}a连接 AE,将△ABE沿AE折叠，若点B的对应点B 落在矩形ABCD的边上，则a的值为 A.6 B.12 C.24 D.48 3.(2017·河南)如图，在口ABCD中，对角线 AC,BD相交于点O,添加下列条件不能判定 口ABCD是菱形的只有() 。90(河南易中考 其中正确的是( A.① B.①② C.①③ D.①②3 A.AC⊥BD B.AB=BC 2.(2022·周口川汇区一模)如图，正方形ABCD C.AC=BD D.∠1=∠2 的顶点B在原点，点D的坐标为(4,4)，将AB 绕点A逆时针旋转60°，使点B落在点B'处， 命题点3正方形的性质与判定(7年1考) DE⊥BB于点E,则点E的坐标为() 4.(2020·河南)如图，在边长为22的正方形 ABCD中，E,F分别是边AB,BC的中点，连接 EC,FD,G,H分别是EC,FD的中点，连接 GH,则GH的长度为 A.(3-5,5-1)》 B.(3-3,3+1) .(3+3,w3-1) 两年模拟 D.(3+3,5+1)》 3.(2022·郑州一模)如图，菱形ABCD的对角 1.(2023·唐河三模)如图，点E,F,G,H分别为 线AC,BD相交于点O,点P为AB边上一动 四边形ABCD的边AB,BC,CD,DA的中点.有 点（不与点A,B重合），PE⊥OA于点E,PF⊥ 下列三种说法： OB于点F.若AC=20,BD=10,则EF的最小 值为 ①四边形EFGH一定是平行四边形： ②若AC=BD,则四边形EFGH是菱形： ③若AC⊥BD,则四边形EFGH是矩形， 温圈提园精讲精练，惑中考！请完成易练通P40~P42的内容！ 数学)91■即0品1.73 .AC=GI=0G+0F+FH≈25.97+32+16=74(m) 答：楼AB与CD之间的距离AC的长约为74m .CD=61.1×1.73=105.7(m), 2.解：如图，过点A作AD∥ .DE=CD-CE=105.7-55=51(m). B MN,分别过点B,C作 答：炎帝塑像DE的高度约为51m. BE⊥AD于点E,CF⊥ 4.解：如图，过点C作 AD于点F CD⊥AB于点D,设 .....D 45 由题意得∠BAE=53°，M一 G BD=x海里. B ∠CAF=44°，BE=CF,AC=(AB+2)米 在Rt△ACD中， 53 设AB=x米，则AC=(x+2)米， ,∠A=45°， ..AD=DC=(x+5) BE _BE-0.8. 在R△ABE中，sinBAE=B= 海里。 .BE=0.8x米 在R△BDC中，由 在△ACF中.in∠CAF=GF=CF=0.7. AC x+2 m53品得5 3x=15 .CF=0.7(x+2)米，∴0.8x0.7(x+2),解得x=14 .BC=√15+20=25（海里），AC=√20+20= .BE=0.8x=11.2米，11.2+1.6=13米. 202(海里). 答：风筝离地面MW的高度约为13米. 【数学文化】 六A船到C船所用时向为 ≈0.94（时），B船到C 解：(1)∠ADC=84°，∠ABC=37°， 船所用时间为 25 .∠BAD=∠ADC-∠ABC=47 =1(时) 0.94<1,.A船先到达C船处 BC..BC=-AC (2)在△ABC中，tan37°=4C.」 tan 370 答：C船至少要等0.94小时才能得到救援. 同理，在△4DC中，DC=,AC tan 84 【两年模拟】 6030972 AC 1.解：如图，延长AB,GD分 BD=4...BC-DC=-AC tan 376-lan 849=BD=4. 别与直线OF交于点G和 点H. 号4C-号C=4解得AC=33(米)。 则AG=CH=80m, 答：表AC的长约为3.3米 GH=AC, 第五章 四边形 ∠AG0=∠EH0=90°. 在Rt△AG0中，∠A0G=72°， 第一节 平行四边形与多边形(1课时) ∴0G=AG80 =am7203.08 25.97(m) 【基础即时练】1.B2.103.800°4.540 【变式训练】10 ,∠HFE是△OFE的一个外角， 【河南真题】 1109 .∴.∠OEF=∠HFE-∠FOE=30 【两年模拟】L.C2.D3.414.12 ∴.∠F0E=∠OEF=30°，.EF=0F=32m. 在RL△EFH中，∠HFE=60°， 第二节矩形、菱形、正方形(1课时) 六FH=EF×es60°=32×2=16(m) 【基础即时练】1.C2.103.B —11 【一题多问】 【河南真题】 2(2)号(364居 1.解：(1)证明：如图，过点B 2.(1)35° 202242号③号 作CD的平行线，分别交 AD于点E,交OC于点F 、B 【变式训练】A ,CD与⊙0相切于点C, ∴，∠0CD=90°. 【河南真题】 1或 2.C3.C4.1 AD⊥CD.∠ADC=90 【两年模拟】 1.D2.D3.25 :EF∥CD..∠OFB=∠AEB=90 第六章 圆 .∠BOC+∠OBF=90°，∠ABE+∠BAD=90 AB为⊙0的切线.∴.∠OBA=90° 第一节 圆的有关概念与性质(1课时) ∴.∠OBF+∠ABE=90°...∠OBF=∠BAD 【基础即时练】1.80°2.D ,∠B0C+∠BAD=90. 【河南真题】1.D 、3 (2)在R△ABE中，AB=75cm,e0s∠BAD= 2.解：(1)证明：在△ABC中，BA=BC,∠ABC=90°， .∠CAB=45 .AE =45 em. 3 :AB为⊙0的直径.∠ADB=∠BDG=90° 由(1)知，∠OBF=∠BAD.∴cos∠OBF= 5 ∴△ABD是等腰直角三角形..DA=DB. 在Rt△OBF中，OB=25cm,∴.BF=15cm. ∠DAE与∠DBE同弧，.∠DAE=∠DBE. .∴.0F=20cm. ∠ADF=∠BDG. 0C=25cm,∴.CF=5cm 在△ADF与△BDG中， AD BD, ,∠OCD=∠ADC=∠CFE=90°， I∠DAF=∠DBG. ,四边形CDEF是矩形..DE=CF=5cm .△ADF≌△BDG(ASA). .'AD =AE ED =50 cm. (2)①4-22②30 2.解：(1)证明：如图，连接OP,延长B0与圆交于点C,则 3.解：(1)证明：在R1△ABC中，M是AC的中点， OP =OB =OC. ,∴.MA=MB..∠A=∠MBA. “.AP与⊙O相切于点P, ,四边形ABED是圆内接四边形. ∴.∠AP0=90° .∠ADE+∠ABE=180 .∠PA0+∠AOP=90. 又∠ADE+∠MDE=18O°，∴.∠MDE=∠MB4 M0⊥CN,·∠AOP+ 同理可证∠MED=∠A ∴.∠MDE=∠MED.∴.MD=ME.(2)①2②60° ∠P0C=90. .∠PAO=∠POC 【两年模拟】1.C2.B 3.解：(1)证明：AB是⊙0的直径∴，∠BCA=∠DCA=90° OP=OB,∴.∠OPB=∠PBO 又：CD=CB,AC=AC,△ABC≌△ADC(SAS). .∴.∠POC=∠OPB+∠PBO=2∠PB0 (2)①135°②60 .∠PA0=2∠PB0. (2)如图，过点P作PD⊥OC于点D, 第二节与圆有关的位置关系(1课时) 则有0=P+0P-等 【基础即时练】1.B2.△ABD,△ACD,△BCD 12-