第4章 第6节 解直角三角形(1课时)-【易中考】2024年中考总复习数学（河南专版）

第六节 解直角三角形(1课时) 考点清单★固基础 考点1 锐角三角函数 考点3 解直角三角形的实际应用 1.有关角度 在Rt△ABC中,乙C=90 图示 乙A为△ABC中的一个锐角 在视线与水平线所成的 _视线 仰角、 锐角中,视线在水平线 正弦 乙A的正弦:sinA- 行 俯角 上方的是仰角,视线在 ■视线 b 余弦 乙A的余弦:eosA= 水平线下方的是俯角 正切 坡面的铅直高度与水 坡度(坡 平宽度的比称为坡度 ,坡角越 考点2 特殊角的三角函数值 (重点) 比)、坡 (坡比);坡面与水平 线的夹角叫做坡角,坡 角 大,坡度越大,坡面 30。 45。 0 60。 - 比=lana= 越陆 -~ ~ ## sina -般以观察者的位置 为中心,正北或正南方 cos 方位角 北{ 向作为起始方向旋转 北偏东___ (对称方 到目标方向线所成的 tana 向角) 偏# ) 角,通常表达成北 I南 【温馨提示】由上表可知,当两角互余时,一角的 (南)偏东(西)多少度 正弦值等于另一角的余弦值,即若/A+/B= 【温馨提示】在测量时,测量结果与实际值之间 $$0*. 则sin A=cos B.cos A=sin B. 在锐角范围 的差值叫误差,一般减小误差的方法有; 内,sina,tana的值随a的增大而增大,cosā的 1.多次测量求平均值; 值随a的增大而减小. 2.使用高精度的测量仪器; >基础即时练 3.观测者在读数时应保持视线水平于仪器 1.(2022·连云港)如图,在6x6正方形网格 2.解直角三角形应用题中的常见题型 中,△ABC的顶点A.B,C都在网格线上,且 利用水平距 测量底部可以 测量底部不可 都是小正方形边的中点,则sinA= 题 离测量物体 到达的物体的 型 到达的物体的 的高度 高度 高度 数学 ( 模型 测量a,B,水平距 仰角o,俯角B, 俯角o,俯角 数据离a 水平距离a B,高度a 78(河南易中考) (续表) 处,又测得繁塔顶端D的仰角为45*}已知测 h tan= tana= 角仪的高度为1.5m.测量点A.B与繁塔DC a+x' 数幅 tana= 二 的底部C在同一水平线上,则繁塔DC的高 tanB= tanB= 度为 a _(结果精确到0.1m.参考数据: I=a: h=h.+h.= h=a-h= sin 36~0.59.cos 36*-0. 81.tan36*。 tan o· tan B tanB-tan a(tan a+tanB) tan B 0.73). >基础即时练 D 2.(2023·开封一模)繁塔是古城开封现存古 老的建筑之一.某数学小组测量繁塔DC的 高度,如图,在A处用测角仪测得繁塔顶 D的仰角为36{},沿AC方向前进13m到达B 重点精析★提升练 精讲点 1解直角三角形 (重难点) 解:由题意可知, BAE= MAF= BAD= 90{°.FG=1.8m. 例 (2023·河南)综合实践活动中,某小 则 EAF+ BAF= BAF+ BAH=90$$$ 组用木板自制了一个测高仪测量树高,测高仪 '. 乙EAF=乙BAHI ABCD为正方形,AB=30cm,顶点A处挂了一个 * AB=30 cm.BH=20 cm. 铅锤M.如图是测量树高的示意图,测高仪上的 则tan BAHBH2 AB= 点D.A与树顶E在一条直线上,铅垂线AM交 3 BC于点H.经测量,点A距地面1.8m.到树EG ..tan乙EAF= AF =tan/BAP= 的距离AF=11m.BH=20cm.求树EG的高度 (结果精确到0.1m) m. :.EG=EF+FG= 答:树EC的高度为9.1m 精讲点 【思路分析】由题意可知,乙BAE三乙MAF= 2.解直角三角形的实际应用之坡 BAD=90$$FG=1. 8m.易知 EAF= BAH$$ 度、坡角问题 可得tan EAF-EF AF 例(2022·株洲)如图①所示,某登山运 动爱好者由山坡甲的山顶点A处沿线段AC至 FF-22 3 m.利用EG=EF+FG即可求解 山谷点C处.再从点C处沿线段CB至山坡乙 数学79. 的山顶点B处.如图②所示,将直线/视为水平 ._BCV-45”. 面,山坡甲的坡角乙ACM=30*,其高度AM为 ' ACB=180-30*-45^*=10$ $$$$ 0.6千米,山坡乙的坡度i=1:1.BV1/于V.且 (2)在Rt△ACM中, AMC=90*.乙ACM=30*$ CV=/2千米 AM=0.6千米. (1)求/ACB的度数 .AC=2AM=1.2千米 (2)求在此过程中该登山运动爱好者走过的 在Rt △BCN中, BNC=90*, BCN=45 ^*$$ 路程 CN=/2千米. :BC=__ CV cos/BCN =2(千米). 1.2+2=3.2(千米). ② 3. 该登山运动爱好者走过的路程为3.2千来 解:(1)山坡乙的坡度i=1:1 聚焦河南★瞄向 河南真题 命题点 仰角、俯角问题(7年5考) 1.(2022·河南)开封清明上河园是依照北宋著 名画家张择端的《清明上河图》建造的,拂云 阁是园内最高的建筑,某数学小组测量拂云 阁DC的高度,如图,在A外用测角仪测得排 云阁顶端D的仰角为34*,沿AC方向前进 15m到达B处,又测得拂云阁顶端D的仰角 为45*}.已知测角仪的高度为1.5m,测量点 A.B与拂云阁DC的底部C在同一水平线上 求拂云阁DC的高度(结果精确到1m.参考 数据:sin34*~0.56,cos34*~0.83.tan34* 0.67). 1) 2.(2020·河南)位于河南省登封市境内的元代 4534L 观星台,是中国现存最早的天文台,也是世界 文化遗产之一. 某校数学社团的同学们使用卷尺和自制的测 角仪测量观星台的高度,如图所示,他们在班 80(河南易中考 面一条水平步道MP上架设测角仪,先在点 3.(2019·河南)数学兴趣小组到黄河风景名胜 M处测得观星台最高点A的仰角为22*,然后 区测量炎帝塑像(塑像中高者)的高度,如图 沿MP方向前进16m到达点V处,测得点A 所示,炎帝塑像DE在高55m的小山EC上, 的仰角为45*,测角仪的高度为1.6m 在A处测得塑像底部E的仰角为34*,再沿 (1)求观星台最高点A距离地面的高度(结果 AC方向前进21m到达B处,测得塑像顶部D 精确到0.1m.参考数据;sin22*~0.37. 的仰角为60{}.求炎帝塑像DE的高度.(结果精 cos22*~0.93.tan22~0.40.2~1.41). 确到1m.参考数据:sin34*~0.56.cos34* (2)“景点简介”显示,观星台的高度为12.6m 0.83.tan34*~0.67,3~1.73) 请计算本次测量结果的误差,并提出一条减 D. 小误差的合理化建议 60×34A ## 命题点 2.方向角问题(7年1考) 4.(2017·河南)如图所示,我国两艘海监船A. B在南海海域巡航,某一时刻,两船同时收到 指令,立即前往救援遇险抛铺的渔船C,此 时,B船在A船的正南方向5海里处,A船测 得渔船C在其南偏东45*方向,B船测得渔船 C在其南偏东53*方向,已知A船的航速为 (数学81. 30海里/时,B船的航速为25海里/时,问C 两年模拟 船至少要等待多长时间才能得到救援。 .(参考 1.(2023·开封兰考县一模)某校“综合与实 数据:sin53-~4 3; 践”活动小组的同学要测量AB,CD两座楼之 2~1.41) 间的距离,他们借助无人机设计了如下测量 方案:无人机在AB,CD两楼之间上方的点0 处,点0距地面AC的高度为80m.此时观 到楼AB底部点A处的俯角为72*,楼CD上 点E处的俯角为30{,沿水平方向由点0飞行 32m到达点F,测得点E处俯角为60{},其中 点A.B.C.D.E.F.0均在同一竖直平面内 请根据以上数据求楼AB与CD之间的距离 AC的长(结果精确到1m.参考数据;sin72*。 0. 95.cos 72~0.31.tan 72*~3.08.3~1. 73). 82(河南易中考 2.(2023·南阳宛城区二模)“儿童散学归来早 ·数学文化 忙趁东风放纸鸢”,随着春季的来临,放风筝 已成为孩子们的最爱,周末小冬和爸爸一起 (2022·绍兴)圭表(如图①)是我国古代一种 去公园放风筝,如图,当小冬站在C处时,风 通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪 筝在空中的位置为点B,仰角为53{},小冬站 器,它包括一根直立的标竿(称为“表”)和一把 在G处继续放线,当再放2米长的线时,风等 呈南北方向水平固定摆放的与标竿垂直的长尺 飞到点C处,此时点B、C离地面MN的高度 (称为“丰”),当正午太阳照射在表上时,且影 恰好相等,C点的仰角为44{,若小冬的眼睛 便会投影在圭面上,主面上日影长度最长的那 与地面MN的距离AG为1.6米,请计算风筝 一天定为冬至,日影长度最短的那一天定为夏 离地面MN的高度.(结果保留整数,参考数 至.图②是一个根据某市地理位置设计的圭表 据:sin44*~0.7,sin 53*~0.8,cos53*~0.6) 平面示意图,表AC垂直丰BC,已知该市冬至正 #2 午太阳高度角(即乙ABC)为37*,夏至正午太阳 高度角(即/ADC)为84{*,圭面上冬至线与夏至 线之间的距离(即DB的长)为4米 益夏至 冬) 冬至正,夏至正午阳光 午阳光 表 A #进 长 H 北 ② (1)求乙BAD的度数 (2)求表AC的长(最后结果精确到0.1米). (参考数据:sin37*。3 5,c0837~}~4 5,tan37~3 4' 温提示 精讲精练,赢中考!请完成易练通P35~P37的内容 数学 83.DB' 【河南真题】 #.BD 1.解:如图,延长EF交CD于点D BD DB' I.则四边形AEFB,AEHC是短 形.设D=xm. 乙EDB'= BDC EDB'+ EDB= BDC+ 在Rt△DHF中 , DFH-403则 H.45: 347F FDB.即/B'DB=/FDC C B FH=DH=xm. .△B'DB△EDC... BB' BD #v2.# 2_3或1 tan 34"tan34 ·EF-15 m.: E-FH=15 m,即3 tan34-x=15.解 2. 解::A0B=C0D=90*.0AB=0CD=30 得x-30.5.:.DC-30.5+1.5=32(m). m0B0 C0 A0 =3.COD+乙AOD=乙AOB+A0D 答:拂云阁DC的高度约为32m. 即/AOC= BOD.'△AOC△BOD 2.解:(1)如图,过A作AD1PM于D.延长BC交AD于E .40O-V5.2 CA0=2.DB0. AC C0 ' AOB=90.'DB0+ ABD+ BA0=90$$$ ............ B::2 '.CAO+ ABD+乙BA0=90*.即乙AMB=90$$ 【两年模拟】1.B2.C 3.-5 ,<m5 则四边形BMNC与四边形BMDE均是矩形 . BC=MV=16m.DE=C=BM=1.6m 4.(1)△ABD△ACE LAEC=90*, ACE=45*. $($ )解:' BAC= $DAF$=9 0$$ ABC= ADE=30$*$ .△ACE是等腰直角三角形.:.CE=AE. 设AE=CE=xm..BE=(16+x)m. * /BAC= DAE.. 乙BAD= CAE BD AD .x~10.7.:.AD~10.7+1.6=12.3(m) 答:观星台最高点A距离地面的高度约为123m 在Rt△ADE中.乙ADE=30* (2)“景点简介”显示,观星台的高度为12.6m. -③. .本次测量结果的误差为12.6-12.3=0.3(m). BAC=90*. B=30o$ ACB=60$$$$$$ 减小误差的合理化建议为:多次测量取平均值 '. DCE= ACB+ ACE=90 3.解:由题意可得,CE=55m.AB=21m. /15 A-34*.CBD=60 (3)AD= 2 CE 55 在Bt△ACE中.'tanA= AC"AC' 【数学文化】 1.D 2.134 即tan34。= 第六节 解直角三角形(1课时 BC=AC-AB~82.1-21=61.1(m). 2.36.6m 【基础即时练】 在Rt△BCD中,.tan乙CBD= .CDCD 5 BC61.1' 10- CD 即tan 600。 .AC=GH=0G+0F+FH-25.97+32+16-74(m) 61.1~1.73. 答:楼AB与CD之间的距离AC的长约为74m .CD~61.1x1.73~105.7(m). 2.解:如图.过点A作AD/ $.DE=CD-CE~105.7-55~51(m). MN.分别过点B、C作 答:炎帝塑像DE的高度约为51m BE1AD于点 E.CF1 4.解:如图,过点C作 AD于点F. CD1AB于点D.设 BD=:海里. CAF=44*},BE=CFAC=(AB+2)米. 在Rt△ACD中. 设AB=x米,则AC=(x+2)米, .乙A=45。. ..AD=DC=(x+5) B第 海里. .BE~0.8x米. 在Rt△BDC中,由 3..x=15. .CF-0.7(x+2)米.0.8x~0.7(x+2).解得x-14 .BC= 15$+20=25(海里)$AC=20+2 20 $$ .BE~0.8x~11.2米.11.2+1.6~13米 20/2(海里). 答:风筝离地面MV的高度约为13米 20~0. 94(时),B船到C 【数学文化】 解:(1): ADC=84*, ABC=37*. '. BAD= ADC- ABC=47 (2)在Rt△ABC中,tan 37。-AC 4C.BCAC -0.94<1..A船先到达C船处 tan370 答:C般至少要等0.94小时才能得到救援 同理,在Rt△ADC中,DC-AC tan84 【两年模拟】 7 E 1603002 0 · BD=4.: BC-DC-AC AC 1.解:如图,延长AB.CD分 tan37* t184=BD=4. 别与直线0F交于点G和 点H. 则AG-CH=80m. 答:表AC的长约为3.3米. 第五章 GH=AC. 四边形 AGO= EH0=90 第一节 平行四边形与多边形(1课时) 在Bt△AG0中,/A0G=72*. ~25.97(m) tan 72~3.08 【基础即时练】 1.B 2.10 3.800* 4.540 【变式训练】10 乙HFE是△OFE的一个外角, 【河南真题】110* '. OEF= HFF- FOE=30 【两年模拟】1.C 2.D 3.41 4.12 . FFOE= 0EF=30}:EF=0F=32 m$ 在Rt△EFH 中,7HFE=60*. 第二节 矩形、菱形、正方形(1课时) 【基础即时练】 1.C 2.10 3.B 11