第4章 第5节 相似三角形(1课时)-【易中考】2024年中考总复习数学（河南专版）

第五节 相似三角形(1课时) 考点清单★固基础 考点1比例线段及其性质 5.黄金分割 如图，点C把线段AB分成两条线段AC和BC, L.线段的比：如果选用同一个长度单位量得两条 线段AB,CD的长度分别是m,n,那么这两条线 且胎化那么就说线段藏点C黄金分制。 段的比就是它们长度的比，即AB:CD=m:n 点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比 2.比例线段：四条线段a,b,c,d中，如果a与b 叫黄金比.即6-5-068，%-42 2 的比等于e与d的比，即分=子那么这四条 衣B 线段a,b,c,d叫做成比例线段，简称比例 【温馨提示】一条线段上有两个黄金分割点。 线段 考点2 相似三角形的性质与判定 (重点) 3.比例线段的性质 1.相似三角形的对应角相签，对应边成比例。 2.相似三角形的对应高的比、对应中线的比与 基本性质 d0d=bc(abed≠0) 性质 对应角平分线的比都等于相似比 合比性质 =那么0) 如果4」 3.相似三角形的周长比等于相似比，面积比等 于相似比的平方 如果《 =·=四《多+d+·+≠ n 1,平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所 等比性质 0),那么0+c+…+m。a 构成的三角形与原三角形相似（仅人教、华师有）， 6+d+…+nb 2.两角分别相等的两个三角形相似， 4.平行线分线段成比例 3.两边成比例且夹角相等的两个三角形相似 判定 4.三边成比例的两个三角形相似。 5.如果两个直角三角形满足一组锐角相等或两 图示 直角边对应成比例或斜边和一条直角边对应成 比例，那么这两个直角三角形相似 两条直线被一组平行线所截，所得的对应线 【温馨提示】判定三角形相似的思路： 定理 段成比例 1.有平行载线一一用平行线的性质，找等角， 如图0若八，八，则-E或想DE BCEFAC DE 另一对等角， 2.有一对等角，找 平行于三角形一边的直线截其他两边（或两 该角的两边成比例 夹角相等， 推论 边的延长线)，所得的对应线段成比侧 如喝2.③若E/c则品瓷品等 3.有两边成比例，找 第三边也成比例， 一对直角 数学73■ 常见的相似三角形的基本类型： 2.(2023·重庆B卷)如图，已知△ABC 1.“A”字型 2.“X”字型 3.斜交型 △EDC,AC:EC=2:3,若AB的长度为6， 则DE的长度为( D DE∥BC AB∥CD ∠AED=∠B 4.均蝶型 5.双垂图型 6.双垂图拓展型 A.4 B.9 C.12 D.13.5 D D G 考点3 相似多边形 AB⊥AC且 ∠CAD=∠B ∠A=∠D或 AD⊥BC ∠B=∠C 如果两个边数相同的多边形的角分别相篷，边成 概 比例，那么这两个多边形叫做相似多边形.相似多 注：对于双垂图型有①AB=BD·BC:②AC2= 念 边形对应边的比叫做相似比 CD·BC;③AD=BD·CD.对于双垂图拓展型 仅有AC2=CD·BC. 1.相似多边形的对应角相等，对应边成比例。 》基础即时练 2.相似多边形周长的比、对应对角线的比都等于 1.(2023·重庆A卷)若两个相似三角形周 必 相似比。 长的比为1：4，则这两个三角形对应边的 质 3.相似多边形中的对应三角形相似，相似比等于 比是( 相似多边形的相似比， 4.相似多边形面积的比等于相似比的平方 A.1:2 B.1:4 C.1:8 D.1:16 重点精析★提升练 精讲点 相似三角形的性质与判定（重难点）】 (2)如图③，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，D是 边BC上一点，连接AD,将△ACD沿AD所在直 例☐(2022·孝感节选)问题背景： 线折叠，点C恰好落在边AB上的E点处（思 次数学综合实践活动课上，小慧发现并证明了 考：这与题千有关联吗？怎样应用已有结论？) 关于三角形角平分线的一个结论.如图①，已知 若AC=1,AB=2,求DE的长 AD是△ABC的角平分线，可证怨-0小慧的 证明思路是：如图②，过点C作CE∥AB,交AD的 延长线于点上，构造相似三角形来证明光巴 解：(1)证明：CE∥AB。 尝试证明： 、∠E=∠EAB,∠B=∠ECB. (1)请参照小慧提供的思路，利用图②证明 CE CD AB BD AC-CD A.△CED△BAD.·AB=BD ,AD是△ABC的角平分线， 应用拓展： 。74(河南易中考 ∴.∠EAB=∠CAD.∴∠E=∠CAD 解法1： B=4把0 (2):将△ACD沿AD所在直线折叠，点C恰好 落在边AB上的E点处， ∴∠CAD=∠BAD,CD=DE. 0可知格品 又AC=1,AB=2, 2-0m=2Cn ∠BAC=90°. 解法2： ∴.BC=VAC+AB2=λ1+22=、5， .BD+CD=、5.3CD=5. ·DE=CD=5 3 。一题多解 如图，已知点E,C,B在同一条直线上，AC= 2FB,EB=3CB,请再添加一个条件，并证明： ∠A=∠F. 聚焦河南★瞄靶向 河南真题 ,连接m,可求出吧的值为 命题点 相似三角形的性质与判定(7年2考) (2)当0°<a<360°且a≠90时， 1.(2020·河南)将正方形ABCD的边AB绕点 ①(1)中的两个结论是否仍然成立？如果成 A逆时针旋转至AB',记旋转角为《，连接 立，请仅就图②的情形进行证明；如果不成 BB',过点D作DE垂直于直线BB',垂足为点 立，请说明理由 E,连接DB',CE. ②当以点B,E,C,D为顶点的四边形是平行 (1)如图①，当a=60°时，△DEB'的形状为 四边形时，请直接写出的值 数学75■ 两年模拟 L.（2022·开封二模)如图，直线11∥12∥L,已 知AE=1,BE=2,DE=3,则CD的长为 B 43 B 9 C.6 n 2.数学文化(2023·开封一模)《九章算术》中 记载了一种测量古井水面以上部分深度的方 法.如图所示，在井口P处立一根垂直于井口 2.(2018·河南节选)如图，在△0AB和△OCD中， 的木杆PA,视线AC与井口的直径PB交于点 ∠A0B=∠COD=90°，∠OAB=∠OCD=30°， D,如果测得PA=2米，PB=3.6米，PD= 连接4C交BD的延长线于点M请求出S的 1米，则BC为() 值及∠AMB的度数，并说明理由. B 。76(河南易中考 A.3.6米 B.4.2米 C.5.2米 D.7.8米 3.(2022·信阳二模)如图，在 平面直角坐标系中，点 A(1,4),点B(1,0),点 C(0,3),点M(m,0)是x轴 上一动点，点N是线段AB 上一动点.若∠MNC=90°，则m的取值范围 是 4.(1)【问题背景】如图①，已知△ABC∽ △ADE,请直接写出图中的另外一对相似三 ·数学文化 角形： 1.(2022·山西)神奇的自然界处处蕴含着数学 (2)【尝试应用】如图②，在△ABC和△ADE中， 知识.动物学家在鹦鹉螺外壳上发现，其每圈 ∠BAC=∠DAE=90°，∠ABC=∠ADE=30°，AC 螺纹的直径与相邻螺纹直径的比约为0.618. 与E相交于点F,点D在C边上，求0的值 这体现了数学中的( 和∠DCE的度数 (3)【拓展创新】如图③，D是△ABC内一点， ∠BAD=∠CBD=30°，∠BDC=90°，AB=23. A.平移 AC=3,请直接写出AD的长 B.旋转 C.轴对称 D.黄金分割 2.(2022·广西)古希腊数学家泰勒斯曾利用立 杆测影的方法，在金字塔影子的顶部直立一 根木杆，借助太阳光测金字塔的高度.如图， 木杆EF长2米，它的影长FD是4米，同一时 刻测得OA是268米，则金字塔的高度B0 是 米 温圈提园精讲精练，赢中考！请完成易练通33、34的内容！ 数学77■证明：：AD=BC,∴AC=AD+DC=BC+DC=BD. 【两年模拟】1，D AE BF, 2.证明：：∠AOD=∠C0B,∴.∠AOD-∠BD=∠COB- 在△AEC和△BFD中 CE=DF,.△AEC≌△BFD ∠BOD,即∠AOB=∠COD. AC BD, 0A=0C, (SSS),∠EAC=∠FBD,∴AE∥BF. 在△AOB和△COD中 ∠AOB=∠COD. 解法2：②CE∥DF LOB =OD, 证明：：AD=BC,∴.AC=AD+DC=BC+DC=BD, ,△AOB≌△COD(SAS)..AB=CD :CE∥DF,,∠ACE=∠BDF 第五节相似三角形(1课时) CE DF, 在△AEC和△BFD中 ∠ACE=∠BDF, 【基础即时练】1.B2.B LAC BD, 【一题多解】 ∴.△AEC≌△BFD(SAS),.∠EAC=∠FBD,·.AE∥BF. 解法1：补充条件：∠ACE=∠FBC. 解法3：④∠AEC=∠BFD=90° 证明4AC=2B小合-2 证明：'AD=BC.,∴，AC=AD+DC=BC+DC=BD :∠AC=∠BFD=90°∴.△AEC和△BFD都是直角三角形 EB=EC+CB=3CB..EC=3CB-CB=2CB.c=2. CE DF, AC EC ,△AEC≌△BFD(HL).,∠EAC=∠FBD. LAC BD, FB CB' ACE=∠FBC.△AEC∽△FCB,,∠A=∠F 解法2：补充条件：AE=2CF .AE∥BF 【河南真题】 证明：AC=2FB治-2 1,解：(1)如图所示，即为所求 AE=20P2=2 (2)证明：AE平分∠BAC .∴.∠BAE=∠DAE, BC+CB-3CB3CB-CB2CB2 ,·AB=AD,AE=AE .△BAE≌△DAE(SAS), :号-器-器△MB△0R2A=∠R ,∴.DE=BE 【河南真题】 2.AB=OB,EN切半圆O于FEB,EO把∠MEN三等分 1.解：(1)等腰直角三角形2 解：已知：如图②，点A,B,O,C在同一直线上，EB⊥AC (2)①两个结论仍然成立 证明：如图，连接BD. 垂足为点B,AB=OB,EV切半圆O于F AB=AB,∠BAB'=a, 求证：EB,EO把∠MEN三等分 证明：EB⊥AC,÷∠ABE=∠OBE=90 ÷∠ABB=900-受 AB =OB,BEBE. ∠BAD=-90°，AD=AB,.∠ABD=135 ∴.△ABE≌△OBE(SAS).∴.∠I=∠2. ,BE⊥OB,∴.BE是⊙O的切线。 -2 EN切半圆0于F,.∠2=∠3. 六∠EB'D=∠AB'D-LAB'B=135-受-(90- ∠1=∠2=∠3 .EB,EO把∠MEN三等分. 受）=45 3.(1)1(2)409 ,'DE⊥BB',.,∠EDB'=∠EB'D=459. -9 △DEB是等膜直角三角形.限=2 【河南真题】 L.解：如图，延长EF交CD于点D 0…0 H,则四边形AEFB,AEHC是矩 形.设D=xm :∠EDB'=∠BDC,∴.∠EDB'+∠EDB=∠BDC+ ∠EDB,即∠B'DB=∠EDC 在R△DiF中，LDFm=45,则H.4934E B FH=DH=x m. △BDB△C器-80=E 在△DHE中，∠DEH=34,则EH=,DW ② tan 34tan 34 E=3或1. EF=15mEH-fm=15m,即am34-=l5.解 2.解：.∠A0B=∠C0D=90°，∠0AB=∠0CD=30°. 得x=30.5.∴.DC=30.5+1.5=32(m). 80品=.∠0D+∠A0D=∠A0B+∠A0D, 答：拂云阁DC的高度约为32m 即∠AOC=∠BOD,∴.△AOC∽△BOD. 2.解：(I)如图，过A作AD⊥PW于D,延长BC交AD于E. AC-C0=万，∠CA0=LDB0, ∠AOB=90°，∠DB0+∠ABD+∠BA0=90 B22 ..∠CMO+∠ABD+∠BAO=90°，即∠AMB=90°. P D 【两年模拟】1B2.C3.- 4≤m≤5 侧四边形BMNC与四边形BMDE均是矩形 .BC MN =16 m,DE=CN BM =1.6 m. 4.(1)△ABD∽△ACE ∠AEC=90°，∠ACE=45°， (2)解：∠BAC=∠DAE=90°，∠ABC=∠ADE=30°， ∴.△ACE是等腰直角三角形.∴.CE=AE 太△MC∽△MDE8e AE =CE=x m,..BE=(16+x)m. ∠BAC=∠DAE,∴，∠BAD=∠CAE. y∠0E=22m2-能16+Q0 △MD△4CcE80-0LGE=∠R=30e ∴.x≈10.7.∴AD≈10.7+1.6=12.3(m). 答：观星台最高点A距离地面的高度约为123m 在RL△ADE中，∠ADE=30°， (2):“景点简介”显示，观星台的高度为12.6m, ∴.A5=m30=3B0=40 3“cEE=3. ∴.本次测量结果的误差为12.6-12.3=0.3(m). ∠BAC=90°，∠B=30°，∠ACB=60. 减小误差的合理化建议为：多次测量取平均值， ∴.∠DCE=∠ACB+∠ACE=90 3.解：由题意可得，CE=55m,AB=21m, ∠A=34°.∠CBD=60° 80: 在△ACE中，amA=GE-5 ΓACAC 【数学文化】1.D2.134 即m34-2-0.6AC=21m 第六节解直角三角形(1课时) .∴.BC=AC-AB=82.1-21=61.1(m). (基础即时练】1.专 2.36.6m 在R△BCD中，tan LCBD-=BC6L. CDCD -10