第4章 第3节 特殊三角形及其性质(1课时)-【易中考】2024年中考总复习数学（河南专版）

解得a=-32' (5)12角平分线上的点到角两边的距离相等 中线将三角形分成面积相等的两个小三角形 该抛物线的解析式为)=一立+8 (2)这辆大型货运汽车能安全通过该主门洞， 三角形的中位线长度等于第三边的一半 理由：将x=37+03=4代人y=一立+8。 【河南真题】B 【两年模拟】1.A2.C3.C 得y=克×4+8=7.5,75>6.6+06这辆大 【数学文化】3、15 型货运汽车能安全通过该主门洞。 第三节特殊三角形及其性质(1课时) 4.解：(1)由图象知，抛物线的顶点为(2,2)， ∴.抛物线解析式为y=a(x-2)2+2. 【基础即时练】4 把(0.1)代入解析式得，1=a(-2)2+2, 【一题多问】 解得a=-抛物线的表达式为y=一(x-2+2 1.(1)55°等腰三角形两底角相等，等腰三角形“三线合 一”(2)8等腰三角形“三线合一”(3)253(4)14 (2)小航成绩应为50分，理由如下： 2.(1)12直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边 当y=0时.-(x-22+2=0, 的-半(2)24(3)学 (4)15°直角三角形两锐 解得x1=2+22,x2=-22+2(舍去)， 角互余(5)24直角三角形斜边上的中线等于斜边 ,2+254.828, 的一半 ∴沙包落地点距0点的距离为4.828m=s483cm, ∴.沙包落点与地靶中心的距离约为500-483=17(cm), 【河南真题】1.5或v1324或433.2+1或1 2 0<17<20,,小航成绩应为50分 【两年模拟】1.B2.D3号或7 第四章几何初步与三角形 【数学文化】 第一节几何初步、相交线与平行线(1课时) 证明：因为∠AOB是△OCM的外角， 所以∠AOB=∠M+∠MCO. 【基础即时练】L.B2.A3.如果a=b,那么1al=1b1 因为0ON=OC=MN. 【变式训练】D 所以∠OCN=∠ONC,∠NOM=∠M. 【河南真题】1.B2.140°3.D4.B 因为∠CNO是△OMN的外角. 【两年模拟】1.C2.A3.D4.B 所以∠OCN=∠ONC=∠NOM+∠M=2∠M. 【数学文化】B 所以∠AOB=∠M+∠AMC0=3∠M, 第二节一般三角形及其性质(1课时) 即∠1=号∠A0B 【基础即时练】1.40°2.C 第四节 【变式训练】C 全等三角形(1课时) 【一题多问】 【基础即时练】1.32.C (1)6(答案不唯一)(2)30°40°(3)4万 【一题多解】 (4)25线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等 解法I:①AE=BF 8第三节 特殊三角形及其性质(1课时) 考点清单★固基础 考点1) 等腰三角形的性质与判定 和“底边”来分类讨论，但需利用三角形的三边 关系来确定三角形是否存在： 概念 有两边相等的三角形是等腰三角形 ②在等腰三角形内求解角的问题时，可以按“顶 1.两腰相等，两底角相签（简写成“等边对等角”）. 角”和“底角”来分类讨论 2.顶角平分线、底边上的中线、底边上的高线互 相重合（简写成“三线合一”） 考点2)等边三角形的性质与判定 3.等腰三角形是轴对称图形，有1条对称轴 (不含等边三角形). 概念 三条边都相等的三角形是等边三角形 4,两腰上的高相等，两腰上的中线相等，两底角 1.三条边相等 的平分线相等. 2.三个角相等，且每一个角都等于60 5.①等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离 性质 3.等边三角形是轴对称图形，有3条对 之和等于两腰上的高，即PE+PF=CG(如图 称轴。 性质 ①). 4.具有等腰三角形的所有性质 【,三边都相等的三角形是等边三角形。 判定 2.三个角都相等的三角形是等边三角形 3.有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形 了=-（其中是等边三角形的边长 ① ② 面积 ②等腰三角形底边延长线上任意一点到两腰距 是任意边上的高) 离之差的绝对值等于两腰上的高，即PE-PF列 =CG(如图②) 考点3 直角三角形的性质与判定 1.有两条边相等的三角形是等腰三角形： 判定 直角三角形的两条直角边的平 2.有两个角相等的三角形是等腰三角形 勾股 方和等于斜边的平方.如果用a, 面积 S=2h(其中a是底边长，h是底边上的高) 定理 b和c分别表示直角三角形的两 直角边和斜边，那么a+b= 【温馨提示]1.顶角为108的等腰三角形的腰长与底 勾股定理 如果三角形两边的平方和等于第三边的平 边之比为(5-1)：2 逆定理 方，那么这个三角形是直角三角形 2顶角为6°的等腰三角形的底边与腰长之比为 1.两锐角之和等于90° (5-1):2 2.勾股定理：若直角三角形的两直角边长 3.顶角为120的等腰三角形的三边之比为1：1：、3， 直角三 分别为a,b斜边长为c,则有a2+=c2 面积为×限长 角形的 3.斜边上的中线等于斜边的一半. 性质 4.30°角所对的直角边等于斜边的一半， 4.等腰三角形中有关分类讨论的情况： 5.在直角三角形中，如果一条直角边等于斜 ①等腰三角形涉及边的问题时，可以按照“腰” 边的-一半，那么这条直角边所对的角等于30 数学65■ (续表) 考点4角平分线与线段的垂直平分线 1,有一个角为90°的三角形是直角三角形. 1.角平分线 直角三 2.有两个角互余的三角形是直角三角形 性质 角形的 (仅人教北师有). 角的平分线上的点到角的两边的距离相等 定理 判定 3.勾股定理逆定理：若a2+b2=c2,则以a, 判定 角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平 b,c为三边的三角形是直角三角形 定理分线上 直角三 S= 角形的 b=宁4（其中a,6为两条直角边的 1 2.线段的垂直平分线 面积 长，c为斜边长，h为斜边上的高)】 经过线段中点并且垂直于这条线段的直 定义 线，叫做这条线段的垂直平分线 【温馨提示】1.含30°角的直角三角形的三边之 性质 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端 比为13：2 定理 点的距离相等 2.等腰直角三角形的三边之比为1：1：2. 判定 与一条线段两个端点距离相等的点，在这 3.解直角三角形计算题的常用思路： 定理 条线段的垂直平分线上 ①当出现30°角时，应想到30°角所对的直角 》基础即时练 边是斜边的一半 2023·浙江丽水)如图，在△ABC中，AC的垂 ②当出现斜边上的中线时，要想到直角三角 直平分线交BC于点D,交AC于点E,∠B= 形中斜边上的中线等于斜边的一半。 ∠ADB.若AB=4,则DC的长是 4.作辅助线构造直角三角形，利用勾股定理或 三角函数求线段的长或角度， 5.利用全等三角形或相似三角形的性质进行转 换求相关的量， 重点精析★提升练 精讲点1 等腰三角形的性质与判定（重难点） 质求出ED:根据三角形的面积公式计算得出答案， 解：AB=AC,AD是△ABC的角平分线， 例1(2022·湖州)如图，已知在锐角△ABC 中，AB=AC,AD是△ABC的角平分线，E是AD BD-CD-28C=3.ADLBC 上一点，连接EB,EC.若∠EBC=45°，BC=6,则 在Rt△EBD中，∠EBC=45°.∴.ED=BD=3. △EBC的面积是( .SAEc三2BC·ED= 2×6×3=9.故选B. 。一题多问 1.如图，在等腰△ABC中，AB=AC= 10,D为BC的中点，E为边AC上一 点，BE与AD交于点O A.12 B.9 C.6 D.32 (1)若∠ABC=70°，BE平分∠ABC 【思路分析】根据等腰三角形的性质得到BD= 则∠AOE的度数是 B D CD=3,AD⊥BC:根据等腰直角三角形的判定与性 【解题依据】此问中用到等腰三角形的性质为 。66(河南易中考 。一题多问 (2)若BC=12,则AD的长为 2.如图，在R1△ABC中，∠ACB=90°，AC=6,点 【解题依据】此问中用到等腰三角形的性质为 D是AB上的一点，连接CD. (3)若∠C=60°，则△ABC的面积为 (4)若BE为AC边上的中线，BC=8,连接 DE,则△DCE的周长为 (1)若∠B=30°，则AB的长为 精讲点2)直角三角形的性质与判定（重难点】 【解题依据】此问用到的直角三角形的性质是 5例2(2023·河北)如图，在R1△ABC中，AB= 4,点M是斜边BC的中 点，以AM为边作正方形 (2)若AB=10,则△ABC的面积为 AMEF,若SE方形Aw=16, (3)若CD是斜边AB上的高，BC=8,则CD 则SABc=() 的长为 A.45 B.8/3 C.12 D.16 (4)若CD为∠ACB的平分线，过点D作 【思路分析】根据正方形的面积可求得AM的 ∠CDB平分线，交BC于点E,当∠EDB= 长，利用直角三角形斜边的中线求得斜边BC的 4∠B时，∠B的度数为 长，利用勾股定理求得AC的长，根据三角形的 【解题依据】此问用到的直角三角形的性质是 面积公式即可求解 解：SE方wr=16,.AM=√16=4。 (5)若D为斜边AB的中点，CD=5,则△ABC :在Rt△ABC中，点M是斜边BC的中点， 的周长为 .BC=2AM=8. 【解题依据】此问用到的直角三角形的性质是 .AC=VBC-AB2=8-4=43. 六Sa4c=2×ABXAC= ×4×45=83. 2 故选B. 聚焦河南★瞄靶向 河南真题 90时，AQ的长为 命题点直角三角形的性质与判定(7年3考) 常考命题角度：直角三角形的性质(7年2考)、 直角三角形的判定(7年1考)》 1.(2022·河南)如图，在R△ABC中，∠ACB= 2.(2018·河南)如图，∠MAN=90°，点C在边 90°，AC=BC=22,点D为AB的中点，点P在 AM上，AC=4,点B为边AN上一动点，连接BC, AC上，且CP=1,将CP绕点C在平面内旋转， △A'BC与△ABC关于BC所在直线对称点D, 点P的对应点为点Q,连接AQ,DQ.当∠ADQ= E分别为AC,BC的中点，连接DE并延长交A'B 数学)67■ 所在直线于点F,连接A'E.当△A'EF为直角三 3.(2022·南阳宛城区一模)如图，在△ABC中， 角形时，AB的长为 ∠BCA=90°，AC=6,BC=8,点D是AB的中 点，点E是BC上一动点，将△BDE沿DE翻 折得到△FDE,EF交CD于点M,当△DFM 是直角三角形时，线段BE的长为 3.(2017·河南)如图，在Rt△4BC中，∠A=90°， AB=AC,BC=2+1,点M,N分别是边BC,AB 上的动点，沿MN所在的直线折叠∠B,使点B 的对应点B始终落在边AC上，若△MB'C为直 ·数学文化 角三角形，则BM的长为 (阿基米德三等分角的方法)阿基米德是古代著 名哲学家、数学家、物理学家，他研究了一种三 等分角的方法：设∠AOB是任意给定的角.如 图，以O为圆心，以MN的长为半径画圆分别交 OB及OA反向延长线于点C,D.将直尺上的点 两年模拟 N置于点D处，M点置于OD延长线上，移动直 1.(2023·郑州模拟)某城市几条道路的位置关 尺(ME为直尺)，使点M在OD的延长线上移 系如图所示，道路AB∥CD,道路AB与AE的 动，N点沿劣弧DC向C移动，当M,N,C三点成 夹角∠BAE=50°.城市规划部门想新修一条道 一条直线时，∠AMN= 3∠A0B. 路CE,要求CF=EF,则∠E的度数为( 虽然，阿基米德的作图方法不符合尺规作图要求， A.23°B.25°C.27° D.309 但作法简单明了.你能证明这个作法的正确性吗？ 2.如图，CD是△ABC的边AB上的中线，将线段 AD绕点D顺时针旋转90°后，点A的对应点E 恰好落在AC边上，若AD=2,BC=5,则CE的 长为() A.万 B.2 C.5 D.1 温黑提园精讲精练，赢中考！请完成易练通P28、P29的内容！ 。68(河南易中考