2.1有理数的加法（讲义，4个知识点5大题型）数学新教材浙教版七年级上册

本讲义聚焦有理数加法核心知识点，系统梳理加法法则（同号、异号、相反数、与0相加）、运算步骤（判符号、定符号、算绝对值）及运算律、简便计算技巧，作为有理数四则运算基础，为后续加减混合运算搭建递进式学习支架。 该资料特色在于结合行程、气温等生活情境及数轴动态演示，培养数学眼光中的几何直观与抽象能力，通过分类探究归纳法则提升数学思维的运算能力，应用题（如钻井深度、水位变化）强化数学语言的模型意识。课中辅助教学，课后分层练习助力查漏补缺。

第二章 有理数的运算 2.1 有理数的加法 课标要点 1.结合行程、气温升降、收支盈亏等真实生活情境，借助数轴动态演示有理数相加的过程，理解有理数加法的实际意义。 2.通过分类探究同号两数相加、异号两数相加、互为相反数相加、一个数与0相加四种情况，归纳完整的有理数加法法则。 3.掌握有理数加法两步计算思路：先定符号、再算绝对值，能规范完成整数、分数、小数的有理数加法基础运算。 4.能根据实际问题列出有理数加法算式并求解，借助数形结合解释运算逻辑，形成“符号优先，绝对值运算为辅”的有理数运算思维。 5.能运用有理数加法法则解决简单比较、求值类小题，为后续加减混合运算打好基础。 学习重难点 重点：1.有理数加法法则，熟练区分四种加法类型的计算方法。 2.运算时先确定和的符号，再对绝对值做加减运算，规范书写计算步骤。 难点：1.异号两数相加的原理理解，准确判断结果符号、用较大绝对值减去较小绝对值。 2.负分数、负小数参与的加法运算，多重符号易混淆出错。 3.结合数轴、生活情境的应用题列式，用加法法则解释实际运算过程。 知识点 有理数加法法则（重点） 1.同号两数相加：取相同符号，并把绝对值相加。 2.异号两数相加，绝对值不相等：取绝对值较大的加数的符号，并用较大绝对值减去较小绝对值。 3.互为相反数的两个数相加得0。 4.一个数同0相加，仍得这个数。 易错提醒 异号相加是绝对值相减，同号相加是绝对值相加，两类计算方法不要混淆。 随学随练 1．（2026·浙江丽水·二模）计算：（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：． 2．（2026·浙江杭州·一模）计算：________． 【答案】 【详解】解： 知识点 有理数加法法则运算步骤（重点） 1.判符号：判断两个加数是同号、异号还是含0； 2.定符号：根据加法法则确定结果的正负号； 3.算绝对值：同号相加求和，异号相减求差。 随学随练 1．（26-27七年级·浙江·暑假作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解：原式． （2）解：原式． （3）解：原式． （4）解∶原式． 2．（26-27七年级·浙江·暑假作业）计算： (1)． (2)． (3)． (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】根据有理数的加法法则计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 知识点 有理数加法运算律（重点、难点） 1.加法交换律：a+b=b+a，交换两个加数位置，和不变； 2.加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c)，先把前两个数相加，或先把后两个数相加，和不变。 特别提醒 运算律适用于多个有理数连加，可灵活分组简化计算，优先结合相反数、凑整数、同分母数。 随学随练 1．（25-26七年级上·浙江金华·阶段检测）如图是小明有理数计算的一部分，在计算过程中使用的运算律表述正确的是（    ） A．①加法交换律②加法结合律 B．①②都是加法交换律 C．①加法结合律②加法交换律 D．①②都是加法结合律 【答案】A 【分析】本题考查加法运算律，根据加法交换律和结合律判断即可求解． 【详解】解：根据计算过程，第①步使用了加法交换律，第②步使用了加法结合律， 故选：A． 2．（25-26七年级上·浙江杭州·期中）下列交换加数位置的变形，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查加法交换律，根据加法交换律逐一进行判断即可． 【详解】解：A、，原选项变形错误，不符合题意； B、，原选项变形错误，不符合题意； C、，原选项变形正确，符合题意； D、，原选项变形错误，不符合题意； 故选C． 知识点 有理数连加简便计算常用技巧（难点） 1.凑零结合：将互为相反数的数先相加，和为0； 2.同号结合：先把所有正数、所有负数分别相加，再合并结果； 3.凑整结合：小数、分数搭配相加凑整数，简化运算； 4.同分母结合：分数连加时，分母相同的分数优先合并。 教材延伸 有理数加法是有理数四则运算基础，所有有理数减法均可转化为加法运算；利用运算律简化计算是期中、期末高频考点。 随学随练 1．（26-27七年级·浙江·暑假作业）计算： (1)； (2) (3)； 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 2．（26-27七年级·浙江·暑假作业）计算： (1)； (2)． (3)； (4)． 【答案】(1)3 (2) (3)18 (4) 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． （3）解：原式 ． （4）解：原式 ． 题型 有理数加法运算 ▌例1 （25-26七年级上·浙江绍兴·期中）计算____________． 【答案】 【分析】本题考查有理数的加法运算． 根据异号两数相加的法则，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值计算即可． 【详解】解：． 故答案为：． 解题贴士 先确定和的符号，再计算绝对值的和或差。 ▌对点练1-1 （25-26七年级上·浙江嘉兴·期中）计算：______． 【答案】0 【分析】本题考查有理数的加法运算，直接计算即可． 【详解】解：， 故答案为：0． ▌对点练1-2 （25-26七年级上·浙江宁波·阶段检测）计算的结果是_________． 【答案】6 【分析】原式利用异号两数相加的法则计算即可得到结果． 本题考查了有理数的加法，熟练掌握加法法则是解本题的关键． 【详解】解：． 故答案为：6． 题型 有理数的加法运算律 ▌例2 （25-26七年级上·浙江·阶段检测）的原理是（　　） A．加法交换律 B．加法结合律 C．分配律 D．加法交换律与结合律 【答案】A 【分析】根据题意，该式为省略括号的和的形式，则依据是加法交换律． 【详解】解：根据题意，原等式左边可以看成省略括号的和的形式，根据加法交换律，可得 故选：A 【点睛】本题考查了有理数加法运算和加法交换律，熟练掌握相关运算法则和运算律是解答关键． 解题贴士 · 加法交换律：只交换加数的前后位置，不添加、去掉括号； · 加法结合律：添加/去掉括号，改变运算分组顺序，数字位置不变； ▌对点练2-1 （25-26七年级上·浙江衢州·阶段检测）下列交换加数位置的变形中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查有理数加法的运算律，根据加法交换律，在交换加数的位置时，一定要连同前面的符号一起移动，掌握加法的运算律是解题的关键． 【详解】解：A、，故选项不符合题意； B、，故选项不符合题意； C、，故选项不符合题意； D、，故选项符合题意； 故选：D． 题型 利用有理数加法运算律简便运算 ▌例3 （25-26七年级上·浙江金华·期中）计算 (1) (2) 【答案】(1)32 (2) 【分析】本题主要考查有理数的加法运算，熟练掌握有理数的加法运算是解题的关键； （1）根据有理数的加法法则可进行求解； （2）根据有理数的加法交换律和结合律可进行求解． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式． 解题贴士 · 移数带符号，活用加法交换、结合律； · 相反数优先凑0； · 分数、小数统一形式再凑整分组； · 同号归类简化运算。 ▌对点练3-1 （2026七年级上·浙江·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3)2 (4) 【分析】本题主要考查了有理数的加法，熟练掌握有理数的加法法则和加法的运算律是解题的关键． （1）利用有理数的加法法则和加法结合律解答即可； （2）利用有理数的加法法则和加法交换律和加法结合律解答即可； （3）利用有理数的加法法则和加法交换律和加法结合律解答即可； （4）利用有理数的加法法则和加法交换律和加法结合律解答即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． ▌对点练3-2 （2026七年级上·浙江·专题练习）计算： (1)（﹣3）+40+（﹣32）+（﹣8） (2)43+（﹣77）+27+（﹣43） (3)18+（﹣16）+（﹣23）+16 (4)（﹣3）+（+7）+4+3+（﹣5）+（﹣4） (5)5.6+（﹣0.9）+4.4+（﹣8.1） (6)（﹣2）+17+（+12）+（﹣4） 【答案】(1)﹣3 (2)﹣50 (3)﹣5 (4)2 (5)1 (6) 【分析】(1)运用加法的交换律和结合律，同号的相结合，再按照异号两数相加的法则计算即可； (2)运用加法的交换律和结合律，同号的相结合，再按照异号两数相加的法则计算即可； (3)运用加法的交换律和结合律，同号的相结合，再按照异号两数相加的法则计算即可； (4)运用加法的交换律和结合律，同号的相结合，再按照异号两数相加的法则计算即可； (5)运用加法的交换律和结合律，同分母的相结合，再按照异号两数相加的法则计算即可． 【详解】（1）（﹣3）+40+（﹣32）+（﹣8） ＝40+[（﹣3）+（﹣32）+（﹣8）] ＝40+（﹣43） ＝﹣3， （2）43+（﹣77）+27+（﹣43） ＝（43+27）+[（﹣77）+（﹣43）] ＝70+（﹣120） ＝﹣50， （3）18+（﹣16）+（﹣23）+16 ＝（18+16）+[（﹣16）+（﹣23）] ＝34+（﹣39） ＝﹣5， （4）（﹣3）+（+7）+4+3+（﹣5）+（﹣4） ＝[（+7）+4+3]+[（﹣3）+（﹣5）+（﹣4）] ＝14+（﹣12） ＝2， （5）5.6+（﹣0.9）+4.4+（﹣8.1） ＝（5.6+4.4）+[（﹣0.9）+（﹣8.1）] ＝10+（﹣9） ＝1， （6） ＝ ＝ ＝． 【点睛】本题考查了有理数加法法则和加法的运算律，熟练运用有理数的加法法则是解题的关键． 题型 有理数的加法与相反数、绝对值、数轴 ▌例4 （25-26七年级上·浙江台州·期末）如图，数轴的单位长度为1，点与点表示的数互为相反数，则点表示的数是（    ） A． B． C．0 D．2 【答案】B 【分析】本题考查有理数在数轴上的表示、相反数的性质及有理数加法，先根据、互为相反数的性质，结合数轴上、的距离确定点表示的数，再根据点与点的位置关系求出其表示的数． 【详解】解：观察数轴可得，点与点之间的距离为6个单位长度， ∵点与点表示的数互为相反数，点在点左侧， ∴点表示的数为． ∵点在点右侧2个单位长度处， ∴点表示的数为； 故选：B． 解题贴士 互为相反数的两点到原点距离相等，两点中点就是原点0，再确定点B代表的数字。 ▌对点练4-1 （25-26七年级上·浙江杭州·期末）若x的相反数是6，y的绝对值是8，则的值为______． 【答案】2或 【分析】本题考查了有理数的加法，相反数，绝对值，掌握相应的运算法则是关键．根据有理数的加法，相反数，绝对值的运算法则进行计算． 【详解】解：∵x的相反数是6，y的绝对值是8， ∴，， ∴或． 故答案为：或． ▌对点练4-2 （25-26七年级上·浙江温州·期末）数轴上有、两点，点在点的右侧，且．若点表示的数为，则点所表示的数是___________． 【答案】 【分析】本题考查了数轴上两点间的距离，有理数的加法．点在点的右侧，因此点所表示的数等于点所表示的数加上的距离 【详解】解：，即点所表示的数是 故答案为：． ▌对点练4-3 （26-27七年级·浙江·暑假作业）计算： (1)． (2)． (3)． 【答案】(1)3 (2) (3) 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：. 题型 有理数加法的应用 ▌例5 （2026·浙江·模拟预测）2025年10月，我国深地川科1井首次突破10000米．以水平地面为基准面，向上为正方向．若当时深度记为米，后续钻井又下探910米，则钻井最终下探深度可记为（    ）． A．米 B．米 C．米 D．10910米 【答案】A 【详解】解：． 解题贴士 先定标准：看清规定正、负分别代表的实际意义。 ▌对点练5-1 （2026·浙江嘉兴·二模）嘉兴某天早上气温，中午气温上升，计算中午的气温算式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵ 早上气温为，中午气温上升， ∴ 中午气温的正确算式为． ▌对点练5-2（25-26七年级上·浙江宁波·期中）今年第8号台风“竹叶草”给我市带来极端风雨天气，有一个水库7月30日8：00的水位为（以为警戒线）在以后的6个时刻测得的水位升降情况如下（记上升为正，单位：）． 时刻 1 2 3 4 5 6 升降 0.8 0.6 0.5 (1)根据记录的数据，求第2个时刻该水库的实际水位； (2)在这6个时刻中，该水库最高实际水位是多少？ (3)经过6次水位升降后，水库的水位超过警戒线了吗？ 【答案】(1)第2个时刻该水库的实际水位是10.6 (2)在这6个时刻中，该水库最高实际水位是11.7 (3)超过 【分析】本题考查正负数的实际应用，有理数运算的实际应用，正确的列出算式，是解题的关键： （1）用原始水位加上表格中1时刻和2时刻的数据进行计算即可； （2）求出每个时刻的水位，进行判断即可； （3）由（2）中结果，即可得出结论． 【详解】（1）解：， 答：第2个时刻该水库的实际水位是10.6； （2）的水位为， 第1时刻的水位为， 第2时刻的水位为， 第3时刻的水位为， 第4时刻的水位为， 第5时刻的水位为， 第6时刻的水位为， 答：在这6个时刻中，该水库最高实际水位是11.7； （3）由（2）可知，6次水位升降后，实际水位为， ， 故水库的水位超过警戒线． 基础通关 1．（2026·浙江台州·二模）与和为的数是（     ） A．2026 B．0 C． D． 【答案】A 【分析】根据互为相反数的两个数的和为0，求解即可． 【详解】解：的相反数为， 根据互为相反数的两个数的和为0可得，与和为的数是， A选项符合． 2．（2026·浙江台州·模拟预测）计算的结果是（   ） A． B． C．3 D．6 【答案】D 【详解】解：． 3．（25-26七年级上·浙江杭州·阶段检测）下表是小明的妈妈元旦当天的微信零钱收支明细（单位/元）：观察表格信息，可知小明的妈妈元旦当晚微信零钱余额和前一天相比（    ） 微信转账 如意水果店 微信红包 便民菜场 A．多了23元 B．少了23元 C．多了116元 D．少了95元 【答案】A 【分析】本题主要考查了有理数加法的实际应用，熟练掌握有理数加法运算法则是解题的关键． 通过计算所有收支明细的代数和，若结果为正，则余额增加；若为负，则余额减少． 【详解】解：∵ 收支总和为， ∴ 余额多了23元． 故选：A． 4．（25-26七年级上·浙江杭州·期末）我国是最早运用负数运算的国家，在古代数学名著《九章算术》中就记载了利用算筹实施“正负术”的方法．图1展示了计算“”的过程，按照此方法，图2展示的计算是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了有理数的加法，解题的关键是：理解图1表示的计算．由图1可以看出白色表示正数，黑色表示负数，观察图2即可列式． 【详解】解：由图1知：白色表示正数，黑色表示负数， 所以图2表示的过程应是在计算， 故选：D． 5．（25-26七年级上·浙江温州·期中）已知三个数的和为负数，那么这三个数一定（   ） A．至少有一个是负数 B．都是正数 C．是两个负数与一个正数 D．是两个正数与一个负数 【答案】A 【分析】本题考查了有理数的加法运算．三个数的和为负数，则不可能都是正数或非负数，因此至少有一个是负数，据此进行分析，即可作答． 【详解】解：三个数的和为负数，则不可能都是正数或非负数，因此至少有一个是负数， 故选：A． 6．（25-26七年级上·浙江绍兴·阶段检测）现有个有理数相加，若和为负数，则加数中负数的个数（   ） A．可以是个 B．至少个 C．有个 D．有个 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的加法法则：同号相加，取相同符号，并把绝对值相加；符号不相同的异号相加，取绝对值较大数的符号，并用较大数的绝对值减去较小数的绝对值；互为相反数的两个数相加得．根据题意结合有理数的加法法则分类讨论即可． 【详解】解：假设加数中负数的个数为个，则这个有理数均为非负数，其和为非负数，与题意矛盾，故A选项错误； 假设加数中负数的个数为个，比如这个数为，，，则，满足和为负数，且加数中负数的个数为个， 综上所述：加数中负数的个数至少有1个． 故选：B ． 7．（25-26七年级上·浙江杭州·阶段检测）快递员小明每天从快递点P骑电动三轮车到A，B，C三个小区投送快递，每个小区经过且只经过一次，最后返回快递点P．P，A，B，C之间的距离（单位：km）如图所示，则小明骑行的最短距离为（　　） A．5.3 B．6 C．6.3 D．4.5 【答案】A 【分析】本题涉及到距离的计算．有理数加法的实际应用，需要找出所有可能的路线，计算其距离，再比较得出最短距离． 【详解】解：找出所以可能路线计算： ，距离为； ，距离为； ，距离为； ，距离为； ，距离为； ，距离为 通过比较这些路线的距离，是最短的． 故选：A 8．（25-26七年级上·浙江湖州·阶段检测）下列判断：①整数和分数统称有理数；②一个正数与一个负数相加一定得0；③两个负数的和的绝对值一定等于它们的绝对值的和；④两个正数的和一定是正数．其中正确的个数有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】本题主要考查有理数的加法法则和有理数的定义，解决本题的关键是要熟练掌握有理数加法法则． 根据有理数的加法法则和有理数的分类进行逐一判断即可． 【详解】解：①整数和分数统称有理数，正确； ②一个正数与一个负数相加不一定得0，如，错误； ③两个负数的和的绝对值一定等于它们的绝对值的和，如，，正确； ④两个正数的和一定是正数，如，正确． 综上所述，①③④正确，共3个， 故选B． 9．（25-26七年级上·浙江湖州·期末）气象播报早晨的气温为，中午气温上升了，则中午的气温是___________． 【答案】6 【分析】此题考查了有理数加法的实际应用，根据气温变化，使用有理数加法法则计算中午气温． 【详解】解：∵早晨的气温为，中午气温上升了， ∴中午气温为． 故答案为：． 10．（25-26七年级上·浙江杭州·阶段检测）《九章算术注》中用不同颜色的算筹（小棍形状的记数工具）分别表示正数和负数（白色为正，黑色为负），如图①，表示算式，则图②所表示的算式是______． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数的加法计算，根据题意可得有3根白色小棍，代表，有4根黑色小棍代表，计算出二者相加的结果即可得到答案． 【详解】解：由题意得图②所表示的算式是， 故答案为：． 11．（2026·浙江衢州·一模）如图，比数轴上点表示的数大5的数是__________． 【答案】4 【分析】先在数轴上读点A所表示的数，再根据有理数的加法法则进行计算即可． 【详解】解：因为点A表示的数为， 所以，比点A表示的数大5的数是：． 12．（26-27七年级·浙江·暑假作业）计算： (1)； (2)； (3) ； (4)． 【答案】(1)3 (2)0 (3) (4) 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： . 13．（26-27七年级·浙江·暑假作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； 【答案】(1)0 (2) (3) (4) 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 素养提升 14．（25-26七年级上·浙江金华·开学考试）有A、B两个整数，A为77，B的各数位数字之和为12，的和最小为（    ） A．116 B．125 C．134 D．170 【答案】A 【分析】本题主要考查了整数的数位与大小的关系，B的各数位数字之和为12，则B至少是两位数，要使和最小，那么B只能是两位数，那么B的十位数字要最小，即B的个位数字要最大，据此确定B的值即可得到答案． 【详解】解：∵ B的各数位数字之和为12， ∴ B至少为两位数． ∵要是的和最小，且A为77， ∴当B最小时，的和最小， ∴B为两位数， ∵要满足B最小， ∴B的十位数字要最小， ∵B的各数位数字之和为12， ∴B的个位数字要最大，即为9， ∴B的十位数字为3，即B为39， ∴的和最小为， 故选：A． 15．（25-26七年级上·浙江金华·阶段检测）明明在做一道“用3、5、7、9、0、0、0组成一个七位数”的题目，他先组成了一个所有零都读不出来的最大数，记作m；他又组成了一个只读一个零的最小数，记作那么______． 【答案】 【分析】本题考查了大数的读法和有理数的加法，理解组数的要求并正确计算是解题的关键． 先求出所有零都不读的最大数为，再求出只读一个零的最小数为，再代入计算即可． 【详解】解：，， 则． 故答案为：． 16．（25-26七年级上·浙江·周测）宸宸的背包最多可以装12千克的物品，现有六件物品重量与价值如下表所示： 宸宸想把六件物品中的若干件装入背包，使得背包中物品的价值最大，则背包中所装物品是__________，最大总价值为________百元． A B C D E F 重量（千克） 2 3 4 3 6 8 价值（百元） 12 19 22 14 40 45 【答案】 A、C、E 74 【分析】本题考查了推理计算，有理数的加法，根据“背包最多可以装12千克”，列出可能出现的组合，分别计算总价值，即可得到答案． 【详解】解：背包最多可以装12千克， 最有可能的组合有： 物品 总重量（千克） 总价值（百元） A、B、C、D 12 67 A、B、E 11 71 A、C、E 12 74 B、D、E 12 73 C、F 12 67 装A、C、E三件物品能使背包中物品的价值最大，总价值为（百元）， 故答案为：A、C、E，74． 17．（25-26七年级上·浙江台州·期中）【项目主题】露营基地野餐 【背景】当下露营正成为人们一种新的周末休闲娱乐方式，李明和朋友约定周末去郊外露营基地野餐，出发前，李明需要驾车去购买一些露营的食物、水果等． 【素材】从家出发，先向西行驶到炸鸡店，继续向西行驶到达面包店，然后向东行驶到达水果店，继续向东行驶到烧烤店，接着向西行驶到寿司店，最后向东行驶到露营基地． 【任务】以家为原点，向东为正，向西为负，李明的行动记录如下：，，，，，； (1)露营基地在家的哪个方向，距家多远？ (2)李明一共行驶了多少千米？ 【答案】(1)露营基地在家的东边，离家有 (2)李明一共行驶了 【分析】本题考查有理数的混合运算，正数和负数，理解题意并列出正确的算式是解题的关键． （1）根据正数和负数的实际意义列式计算，根据向东为正，向西为负即可得出答案； （2）根据绝对值的实际意义，将各数的绝对值相加并计算即可． 【详解】（1）解：； 答：露营基地在家的东边，离家有； （2）解：， 答：李明一共行驶了． 18．（25-26七年级上·浙江金华·期中）【项目主题】露营基地野餐 【背景】当下露营正成为人们一种新的周末休闲娱乐方式，李明和朋友约定周末去郊外露营基地野餐，出发前，李明需要驾车去购买一些露营的食物、水果等． 【素材】从家出发，先向西行驶到炸鸡店，继续向西行驶到达面包店，然后向东行驶到达水果店，继续向东行驶到烧烤店，最后向东行驶到露营基地． 【任务】以家为原点，向东为正，向西为负，李明的行动记录如下：； 任务一：水果店离家有多远？ 任务二：李明一共行驶了多少千米？ 【答案】任务一：水果店离家；任务二：李明一共行驶了 【分析】本题考查正负数的实际应用，有理数加法的实际应用，正确的列出算式，是解题的关键： 任务一：求出前三个数据的和，根据和的情况作答即可； 任务二：求出所有数据的绝对值的和，即可． 【详解】任务一：； 答：水果店离家； 任务二： 答：李明一共骑行了． 迁移创新 19．（25-26七年级上·浙江湖州·阶段检测）设表示不大于的最大整数，如，，，则的值为______． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的新定义运算，有理数的加法运算，根据新定义分别求出的值，再相加即可求解，理解新定义是解题的关键． 【详解】解：由题意得，，，， ∴， 故答案为：． 20．（25-26七年级上·浙江杭州·期末）定义了一种非零实数运算“”，解答下列问题： 【观察运算】 ①． ②． ③． ④． 【归纳法则】 (1)根据以上运算，归纳“”运算的法则： 已知实数和，其中，． 当时，_________；当时，_________． 【运用法则】 (2)利用上述法则，分别计算和，你有什么发现？ 【探究规律】 (3)请你验证下列等式是否成立： ． ． ． 你有什么发现？试着用字母表示你发现的规律． 【答案】(1)； (2)，运算“”满足交换律（或，为非零实数）． (3)等式成立；等式成立；等式成立，发现的规律：（为非零实数） 【分析】本题考查了新定义运算，有理数的运算，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据所给算式，归纳出“”运算的运算法则即可； （2）根据新定义运算计算可以发现，即可得出结论； （3）根据新定义运算计算可以发现结合律在“”运算中还适用，即可得出结论． 【详解】（1）解：观察运算发现当时，； 当时，； 故填：； ． （2），， ， 发现的规律：（为非零实数）． （3），． ，， ． ，． ，， ，． ，， ． 发现的规律：（为非零实数）． 学科网（北京）股份有限公司1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二章 有理数的运算 2.1 有理数的加法 课标要点 1.结合行程、气温升降、收支盈亏等真实生活情境，借助数轴动态演示有理数相加的过程，理解有理数加法的实际意义。 2.通过分类探究同号两数相加、异号两数相加、互为相反数相加、一个数与0相加四种情况，归纳完整的有理数加法法则。 3.掌握有理数加法两步计算思路：先定符号、再算绝对值，能规范完成整数、分数、小数的有理数加法基础运算。 4.能根据实际问题列出有理数加法算式并求解，借助数形结合解释运算逻辑，形成“符号优先，绝对值运算为辅”的有理数运算思维。 5.能运用有理数加法法则解决简单比较、求值类小题，为后续加减混合运算打好基础。 学习重难点 重点：1.有理数加法法则，熟练区分四种加法类型的计算方法。 2.运算时先确定和的符号，再对绝对值做加减运算，规范书写计算步骤。 难点：1.异号两数相加的原理理解，准确判断结果符号、用较大绝对值减去较小绝对值。 2.负分数、负小数参与的加法运算，多重符号易混淆出错。 3.结合数轴、生活情境的应用题列式，用加法法则解释实际运算过程。 知识点 有理数加法法则（重点） 1.同号两数相加：取相同符号，并把绝对值相加。 2.异号两数相加，绝对值不相等：取绝对值较大的加数的符号，并用较大绝对值减去较小绝对值。 3.互为相反数的两个数相加得0。 4.一个数同0相加，仍得这个数。 易错提醒 异号相加是绝对值相减，同号相加是绝对值相加，两类计算方法不要混淆。 随学随练 1．（2026·浙江丽水·二模）计算：（     ） A． B． C． D． 2．（2026·浙江杭州·一模）计算：________． 知识点 有理数加法法则运算步骤（重点） 1.判符号：判断两个加数是同号、异号还是含0； 2.定符号：根据加法法则确定结果的正负号； 3.算绝对值：同号相加求和，异号相减求差。 随学随练 1．（26-27七年级·浙江·暑假作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 2．（26-27七年级·浙江·暑假作业）计算： (1)． (2)． (3)． (4)． 知识点 有理数加法运算律（重点、难点） 1.加法交换律：a+b=b+a，交换两个加数位置，和不变； 2.加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c)，先把前两个数相加，或先把后两个数相加，和不变。 特别提醒 运算律适用于多个有理数连加，可灵活分组简化计算，优先结合相反数、凑整数、同分母数。 随学随练 1．（25-26七年级上·浙江金华·阶段检测）如图是小明有理数计算的一部分，在计算过程中使用的运算律表述正确的是（    ） A．①加法交换律②加法结合律 B．①②都是加法交换律 C．①加法结合律②加法交换律 D．①②都是加法结合律 2．（25-26七年级上·浙江杭州·期中）下列交换加数位置的变形，正确的是（   ） A． B． C． D． 知识点 有理数连加简便计算常用技巧（难点） 1.凑零结合：将互为相反数的数先相加，和为0； 2.同号结合：先把所有正数、所有负数分别相加，再合并结果； 3.凑整结合：小数、分数搭配相加凑整数，简化运算； 4.同分母结合：分数连加时，分母相同的分数优先合并。 教材延伸 有理数加法是有理数四则运算基础，所有有理数减法均可转化为加法运算；利用运算律简化计算是期中、期末高频考点。 随学随练 1．（26-27七年级·浙江·暑假作业）计算： (1)； (2) (3)； 2．（26-27七年级·浙江·暑假作业）计算： (1)； (2)． (3)； (4)． 题型 有理数加法运算 ▌例1 （25-26七年级上·浙江绍兴·期中）计算____________． 解题贴士 先确定和的符号，再计算绝对值的和或差。 ▌对点练1-1 （25-26七年级上·浙江嘉兴·期中）计算：______． ▌对点练1-2 （25-26七年级上·浙江宁波·阶段检测）计算的结果是_________． 题型 有理数的加法运算律 ▌例2 （25-26七年级上·浙江·阶段检测）的原理是（　　） A．加法交换律 B．加法结合律 C．分配律 D．加法交换律与结合律 解题贴士 · 加法交换律：只交换加数的前后位置，不添加、去掉括号； · 加法结合律：添加/去掉括号，改变运算分组顺序，数字位置不变； ▌对点练2-1 （25-26七年级上·浙江衢州·阶段检测）下列交换加数位置的变形中，正确的是（    ） A． B． C． D． 题型 利用有理数加法运算律简便运算 ▌例3 （25-26七年级上·浙江金华·期中）计算 (1) (2) 解题贴士 · 移数带符号，活用加法交换、结合律； · 相反数优先凑0； · 分数、小数统一形式再凑整分组； · 同号归类简化运算。 ▌对点练3-1 （2026七年级上·浙江·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． ▌对点练3-2 （2026七年级上·浙江·专题练习）计算： (1)（﹣3）+40+（﹣32）+（﹣8） (2)43+（﹣77）+27+（﹣43） (3)18+（﹣16）+（﹣23）+16 (4)（﹣3）+（+7）+4+3+（﹣5）+（﹣4） (5)5.6+（﹣0.9）+4.4+（﹣8.1） (6)（﹣2）+17+（+12）+（﹣4） 题型 有理数的加法与相反数、绝对值、数轴 ▌例4 （25-26七年级上·浙江台州·期末）如图，数轴的单位长度为1，点与点表示的数互为相反数，则点表示的数是（    ） A． B． C．0 D．2 解题贴士 互为相反数的两点到原点距离相等，两点中点就是原点0，再确定点B代表的数字。 ▌对点练4-1 （25-26七年级上·浙江杭州·期末）若x的相反数是6，y的绝对值是8，则的值为______． ▌对点练4-2 （25-26七年级上·浙江温州·期末）数轴上有、两点，点在点的右侧，且．若点表示的数为，则点所表示的数是___________． ▌对点练4-3 （26-27七年级·浙江·暑假作业）计算： (1)． (2)． (3)． 题型 有理数加法的应用 ▌例5 （2026·浙江·模拟预测）2025年10月，我国深地川科1井首次突破10000米．以水平地面为基准面，向上为正方向．若当时深度记为米，后续钻井又下探910米，则钻井最终下探深度可记为（    ）． A．米 B．米 C．米 D．10910米 解题贴士 先定标准：看清规定正、负分别代表的实际意义。 ▌对点练5-1 （2026·浙江嘉兴·二模）嘉兴某天早上气温，中午气温上升，计算中午的气温算式正确的是（    ） A． B． C． D． ▌对点练5-2（25-26七年级上·浙江宁波·期中）今年第8号台风“竹叶草”给我市带来极端风雨天气，有一个水库7月30日8：00的水位为（以为警戒线）在以后的6个时刻测得的水位升降情况如下（记上升为正，单位：）． 时刻 1 2 3 4 5 6 升降 0.8 0.6 0.5 (1)根据记录的数据，求第2个时刻该水库的实际水位； (2)在这6个时刻中，该水库最高实际水位是多少？ (3)经过6次水位升降后，水库的水位超过警戒线了吗？ 基础通关 1．（2026·浙江台州·二模）与和为的数是（     ） A．2026 B．0 C． D． 2．（2026·浙江台州·模拟预测）计算的结果是（   ） A． B． C．3 D．6 3．（25-26七年级上·浙江杭州·阶段检测）下表是小明的妈妈元旦当天的微信零钱收支明细（单位/元）：观察表格信息，可知小明的妈妈元旦当晚微信零钱余额和前一天相比（    ） 微信转账 如意水果店 微信红包 便民菜场 A．多了23元 B．少了23元 C．多了116元 D．少了95元 4．（25-26七年级上·浙江杭州·期末）我国是最早运用负数运算的国家，在古代数学名著《九章算术》中就记载了利用算筹实施“正负术”的方法．图1展示了计算“”的过程，按照此方法，图2展示的计算是（    ） A． B． C． D． 5．（25-26七年级上·浙江温州·期中）已知三个数的和为负数，那么这三个数一定（   ） A．至少有一个是负数 B．都是正数 C．是两个负数与一个正数 D．是两个正数与一个负数 6．（25-26七年级上·浙江绍兴·阶段检测）现有个有理数相加，若和为负数，则加数中负数的个数（   ） A．可以是个 B．至少个 C．有个 D．有个 7．（25-26七年级上·浙江杭州·阶段检测）快递员小明每天从快递点P骑电动三轮车到A，B，C三个小区投送快递，每个小区经过且只经过一次，最后返回快递点P．P，A，B，C之间的距离（单位：km）如图所示，则小明骑行的最短距离为（　　） A．5.3 B．6 C．6.3 D．4.5 8．（25-26七年级上·浙江湖州·阶段检测）下列判断：①整数和分数统称有理数；②一个正数与一个负数相加一定得0；③两个负数的和的绝对值一定等于它们的绝对值的和；④两个正数的和一定是正数．其中正确的个数有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 9．（25-26七年级上·浙江湖州·期末）气象播报早晨的气温为，中午气温上升了，则中午的气温是___________． 10．（25-26七年级上·浙江杭州·阶段检测）《九章算术注》中用不同颜色的算筹（小棍形状的记数工具）分别表示正数和负数（白色为正，黑色为负），如图①，表示算式，则图②所表示的算式是______． 11．（2026·浙江衢州·一模）如图，比数轴上点表示的数大5的数是__________． 12．（26-27七年级·浙江·暑假作业）计算： (1)； (2)； (3) ； (4)． 13．（26-27七年级·浙江·暑假作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； 素养提升 14．（25-26七年级上·浙江金华·开学考试）有A、B两个整数，A为77，B的各数位数字之和为12，的和最小为（    ） A．116 B．125 C．134 D．170 15．（25-26七年级上·浙江金华·阶段检测）明明在做一道“用3、5、7、9、0、0、0组成一个七位数”的题目，他先组成了一个所有零都读不出来的最大数，记作m；他又组成了一个只读一个零的最小数，记作那么______． 16．（25-26七年级上·浙江·周测）宸宸的背包最多可以装12千克的物品，现有六件物品重量与价值如下表所示： 宸宸想把六件物品中的若干件装入背包，使得背包中物品的价值最大，则背包中所装物品是__________，最大总价值为________百元． A B C D E F 重量（千克） 2 3 4 3 6 8 价值（百元） 12 19 22 14 40 45 17．（25-26七年级上·浙江台州·期中）【项目主题】露营基地野餐 【背景】当下露营正成为人们一种新的周末休闲娱乐方式，李明和朋友约定周末去郊外露营基地野餐，出发前，李明需要驾车去购买一些露营的食物、水果等． 【素材】从家出发，先向西行驶到炸鸡店，继续向西行驶到达面包店，然后向东行驶到达水果店，继续向东行驶到烧烤店，接着向西行驶到寿司店，最后向东行驶到露营基地． 【任务】以家为原点，向东为正，向西为负，李明的行动记录如下：，，，，，； (1)露营基地在家的哪个方向，距家多远？ (2)李明一共行驶了多少千米？ 18．（25-26七年级上·浙江金华·期中）【项目主题】露营基地野餐 【背景】当下露营正成为人们一种新的周末休闲娱乐方式，李明和朋友约定周末去郊外露营基地野餐，出发前，李明需要驾车去购买一些露营的食物、水果等． 【素材】从家出发，先向西行驶到炸鸡店，继续向西行驶到达面包店，然后向东行驶到达水果店，继续向东行驶到烧烤店，最后向东行驶到露营基地． 【任务】以家为原点，向东为正，向西为负，李明的行动记录如下：； 任务一：水果店离家有多远？ 任务二：李明一共行驶了多少千米？ 迁移创新 19．（25-26七年级上·浙江湖州·阶段检测）设表示不大于的最大整数，如，，，则的值为______． 20．（25-26七年级上·浙江杭州·期末）定义了一种非零实数运算“”，解答下列问题： 【观察运算】 ①． ②． ③． ④． 【归纳法则】 (1)根据以上运算，归纳“”运算的法则： 已知实数和，其中，． 当时，_________；当时，_________． 【运用法则】 (2)利用上述法则，分别计算和，你有什么发现？ 【探究规律】 (3)请你验证下列等式是否成立： ． ． ． 你有什么发现？试着用字母表示你发现的规律． 学科网（北京）股份有限公司1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $