第3章 第4节 二次函数及其应用(2课时)-【易中考】2024年中考总复习数学（河南专版）

第四节 二次函数及其应用(2课时)】 考点清单★固基础 考点1二次函数的概念及解析式 2.二次函数的图象特征与系数a,b,c的关系 决定抛物线的形状和a>0,开口回上： 形如y=ax2+bx+c(a.b,c为常数，a≠ 概念 开口方向 a<0,开口向下 0)的函数叫做二次函数 决定抛物线对称轴的 b=0,对称轴为y轴： 1.一般式：y=ax+a+c(a≠0)： ab>0(a,b同号)，对称 a.b 位置（对称轴为直线 2.顶点式：y=a(x-h)2+k(a≠0)，其中 轴在y轴左侧： 解析式 (h,k)是抛物线的顶点坐标： ab<0(a,b异号)，对称 的形式 3.交点式：y=a(x-x)(x-2)(a≠0)， 轴在y轴右侧 其中x,是抛物线与x轴交点的横 c=0,抛物线过原点： 坐标 e>0,抛物线与y轴交于 决定抛物线与y轴交 正半轴： 三种解析式 点的位置 c<0,抛物线与y轴交于 之间的关系 顶点式配 一般式 因式分解，交点式 负半轴 考点2 二次函数的图象与性质 (重点) 3.根据二次函数图象判断a、b、c的相关结论 1.二次函数的图象与性质 图象 草图 二次函数y=ax2+bx+e(a,b.c为常数，a≠0) 函数 a>0, a<0, u>0. a<0, a>0 a<0 b>0. b=0, b<0. b>0, 结论 c<0, e≥0， c≥0， e<0, 图象 4≥0 4≥0 4≥0 4=0 o 【提分要点】根据二次函数图象判断含a、b、c的 图象 关系式与0的关系：a+b+c>0曰当x=1时，y 开口向上 开口向下 开口 >0:a+b+c<0曰当x=1时，y<0:a+b+c=0 对称 对称轴是直线x=一2 中当x=1时，y=0. 轴、 》基础即时练 顶点 顶点坐标是 b 4ac-b 2a' 4a 1.(2023·湖南)如图所 在对称轴的左侧，y在对称轴的左侧，y随x 示，直线（为二次函数 随x的增大而减小： 的增大而增大：在对称轴 y=a2+bx+c(a≠0) 减 在对称轴的右侧，y的右侧，y随x的增大而 的图象的对称轴，则下 随x的增大而增大， 减小 列说法正确的是( 简记为“左诚右增” 简记为“左增右诚” A.b恒大于0 B.a,b同号 最值 ÷4ae-b Aa 大÷e-b C.a,b异号 D.以上说法都不对 4a 。50(河南易中考 考点3抛物线的平移 二次函数与 根的判别 抛物线与x轴交点与一元 二次函数y=a(x-h)2+k(a≠0)与y=a(x-h,) 元二次方 式的情况 二次方程实数根的情况 程的转化 +k,(a≠0)的图象关系是形状相同，位置不同， 抛物线与x轴有两个交点(x1 它们可以相互平移得到.平移的规律如下表： 0),(x,0)曰x,无是一元二次 b-4ac >0 平移前 二次函数 方程a2+bx+c=0的两个不相 抛物线的 移动方向 平移后抛物线的解析式 简记 y=ax'+ 等的实数根 解析式 x+c(a≠ 抛物线与x轴只有一个交点 0),当y= 向左平移 -=是-元三次 左加 0时，得一 b2-4ae=0 m个单位 y=a(x-h+m)）2+方 方程x2+br+c=0的二重实 元二次方 程ax2+ 根，即x1==-20 向右平移 x+c=0 y=a(x- y=a(x-h-m)2+k 右减 抛物线与x轴没有交点台一元 m个单位 h)2+k -4ac<0二次方程ar2+bx+e=0没有实 数根 (a≠0) 向上平移 y=a(x-h)产+k+m 上加 m个单位 2.二次函数与一元一次不等式的关系 (1)ax2+br+c>0的解集=抛物线y=ax2+bx 向下平移 y=a(x-h)产+k-m +c位于x轴上方部分对应的点的横坐标的 下减 m个单位 取值范围， (2)ax2+br+c<0的解集抛物线y=aax2+br 》基础即时练 +c位于x轴下方部分对应的点的横坐标的 2.(2023·广西)将抛物线y=x2向右平移3个 取值范围， 单位，再向上平移4个单位，得到的抛物线 是( 考点5二次函数的应用 A.y=(x-3)2+4 1.与几何图形的综合应用 B.y=(x+3)2+4 二次函数与几何图形的综合应用题型很多， C.y=(x+3)2-4 最常见的类型有存在性问题、动点问题，涉及 D.y=(x-3)2-4 的内容有方程、函数、等腰三角形、直角三角 3.(2022·榆阳区一模)已知抛物线y=mx2+ 形、相似三角形、平行四边形等多种知识.解 2mx+2(m>0),将抛物线向下平移3个单 决这类综合应用问题，对应策略如下： 位，得到的新抛物线解析式的最小值为3- (1)存在性问题：注意灵活运用数形结合思想， 2m,则m的值为( 可先假设存在，然后借助已知条件求解，若有 A.3 B.1 解（求出的结果符合题目要求），则假设成立， C.2 D.4 即存在：若无解（推出矛盾或求出的结果不符 合题目要求)，则假设不成立，即不存在. 考点4 二次函数与一元二灯方程、不等式的联系 (2)动点问题：通常利用数形结合、分类和转化 1.二次函数与一元二次方程的关系 思想，借助图形，切实把握图形运动的全过程， 数学)51■ 动中取静，选取某一时刻作为研究对象，然后 的最优解或最优方案，一定要结合实际问题中 根据题意建立方程模型或者函数模型求解。 自变量的取值范围确定最优解或最优方案。 2.实际应用 》基础即时练 (1)与二次函数有关的实际应用问题，解题步 4.(2023·天津)如图，要围一个矩形菜园 骤如下： ABCD,其中一边AD是墙，且AD的长不能超 ①一找：找出问题中的变量和常量以及它们 过26m,其余的三边AB,BC,CD用篱笆，且 之间的函数关系.②二列：列出函数关系式， 这三边的和为40m.有下列结论： 并确定自变量的取值范围.③三解：应用二次 ①AB的长可以为6m: 函数的图象及性质解决实际问题.④四验：检 ②AB的长有两个不同的值满足菜园ABCD 验结果的合理性，特别是检验是否符合实际 面积为192m2: 意义 ③菜园ABCD面积的最大值为200m2 (2)考查方向 其中，正确结论的个数是( ①与实际问题结合，建立二次函数模型，求解 最值，如与桥梁、隧道等建筑物结合，求解二 菜园 次函数最值与两对称点间的线段长.②与经 济利润问题结合，构造二次函数，求解最大利 A.0 B.1 C.2 D.3 润.③与其他函数相结合 【温馨提示】二次函数的最值不一定是实际问题 重点精析★提升练 精讲点1 二次函数的图象与性质（重难点） 4。 0 3 4 4 3 0 0 例1(2023·甘肃兰州)已知二次函数y= 根据表格所提供的数据，完成下列习题： -3(x-2)2-3,下列说法正确的是( (1)该二次函数图象的对称轴为直线 ,顶点 A.对称轴为x=-2 B.顶点坐标为(2,3) 坐标为 函数有最值，其值为； C.函数的最大值是-3D.函数的最小值是-3 (2)该二次函数图象与x轴的交点坐标为 解：二次函数y=-3(x-2)2-3的对称轴为直 ,与y轴的交点坐标为： 线x=2,顶点坐标为(2，-3)： (3)在如图所示的平面直角坐标系中画出函数 -3<0.二次函数图象开口向下，函数有最 的图象： 大值，为y=-3. ∴.A、B,D选项错误，C选项正确.故选C 4 ●一题多问 3 在探究二次函数y=ar2+bx+c(a≠0)的图象 -54-3-2-012314:5: 与性质的过程中，x与y的几组对应值列表 如下： 。52(河南易中考 (4)该二次函数的解析式为 将4点坐标(1,0)代人得-1-2+c=0 (5)若二次函数图象上的点A(-1,8)关于对称轴 对称的点为点B,则点B的坐标为一 .e= 抛物线为y=-2-之+号 (6)若点A(-2,y),B(2,2),C(5,y3)在该二 次函数图象上，则y,y,3的大小关系为 y=2-2 由 213 y=-x- 2+ 2 精讲点2确定二次函数解析式 (重难点) x=-2 解得 3或 B(-2,-2 )例2 (2022·合肥模拟)如图，在平面直角坐标 y=- 2，y=0. 系中，抛物线y=-?+r+c与直线y=2t+b交 (2)设点P(m,--+引，则 于A、B两点，其中点A在x轴上，已知A点坐标 c(m…m- (1,0),点P是直线AB上方的抛物线上一动点（不 与点AB重合)，连接PA,直线AB,PA分别交y轴 sPc=(-m2-2m+2)-(分m-】 于点D,E,过P作y轴的平行线交直线AB于点C. =-m2-m+2 (1)求二次函数的解析式及B点的坐标： (2)求当PC长最大时，线段DE的长， -(m++ -1<0当m=-2时.PC取得最大值 此时P(-2号) 设PC与x轴交于点F,则F(-20),如图， 【思路分析】(1)利用待定系数法解答即可求得 函数解析式，将两个函数解析式联立即可求得 点B坐标； (2)设点P(m,-m-3m+多，则 C(m,2m-,利用m的代数式表示出PC, 0F=2 求得当PC长最大时的m,再利用DE∥PC得出 A点坐标(1,0)，∴.OA=1, 比例式即可求解， 解：(1)将A点坐标(10)代人y=之+6得 AF=0A+0F=2, 3 DE AD AO DE 1 +6=0 PC∥DE,P元-ACAF 9 3 42 解得5=一子心抛物线为y三-2-之+6 数学53■ 精讲点3二次函数的综合应用 (重难点)》 取值范围，即可求解 解：(1)：抛物线C,:y=a(x-3)2+2, 例3(2023·河北)嘉嘉和淇淇在玩沙包游 C,的最高点坐标为(3,2)， 戏.某同学借此情境编制了一道数学题，请解答 :点A(6,1)在抛物线C,y=a(x-3)2+2上 这道题， 如图，在平面直角坐标系中，一个单位长度代表 1=a(6-3户+2.解得a=- 1m长.嘉嘉在点A(6,1)处将沙包（看成点）抛 出，其运动路线为抛物线C:y=a(x-3)2+2 心抛物线C的解析式为y=-号：-3)+2， 的一部分，淇淇恰在点B(0,c)处接住，然后跳起将 令x=0,则c=-)0-3)+2=1 沙包回传，其运动路线为抛物线C:y=一名+ 综上所达，G的最高点坐标为3,2)a=一 g,c=l. 令+c+1的一部分 (2),嘉嘉在x轴上方1m的高度上，且到点A .m 水平距离不超过1m的范围内可以接到沙包， C ∴.点A的坐标范围为(5,1)-(7,1)， 0 6.x/m 当经过(5,1)时，1=8×5°+号x5+1+ 8 (1)写出C,的最高点坐标，并求a,c的值： 17 解得n=5 (2)若嘉嘉在x轴上方1m的高度上，且到点A 水平距离不超过1m的范围内可以接到沙包 当经过7.)时，1=-名×7+号×7+1+1， 求符合条件的n的整数值， 41 【思路分析】(1)利用顶点式即可得到最高点坐 解得n=7 标：点A(6,1)在抛物线上，利用待定系数法即 17 41 可求得a的值；令x=0,即可求得c的值.(2)求 5≤m≤7 得点A的坐标范围为(5,1)~(7,1)，求得n的 符合条件的n的整数值为4和5 聚焦河南★瞄靶向 河南真题 命题点1二次函数的图象与性质(7年3考) 常考命题角度：增减性问题(7年1考)、对 称轴问题(7年2考)、平移问题（近七年未 A.第一象限 B.第二象限 考查过) C.第三象限 D.第四象限 1.(2023·河南)二次函数y=ax2+bx的图象如 2.(2019·河南)已知抛物线y=-x2+bx+4经 图所示，则一次函数y=x+b的图象一定不 过(-2，n)和(4，n)两点，则n的值为() 经过() A.-2 B.-4 C.2 D.4 。54(河南易中考 命题点2)二次函数的实际应用(7年4考) 常考命题角度：二次函数的实际应用(7年4考) 3.(2023·河南)小林同学不仅是一名羽毛球运 动爱好者，还喜欢运用数学知识对羽毛球比 赛进行技术分析，下面是他对击球线路的 分析 4.(2022·河南)小红看到一处喷水景观，喷出 如图，在平面直角坐标系中，点A,C在x轴 的水柱呈抛物线形状，她对此展开研究：测得 上，球网AB与y轴的水平距离OA=3m, 喷水头P距地面0.7m,水柱在距喷水头P水 CA=2m,击球点P在y轴上.若选择扣球，羽 平距离5m处达到最高，最高点距地面3.2m: 毛球的飞行高度y(m)与水平距离x(m)近似 建立如图所示的平面直角坐标系，并设抛物线 满足一次函数关系y=-0.4x+2.8;若选择吊 的表达式为y=a(x-h)2+k,其中x(m)是水 球，羽毛球的飞行高度y(m)与水平距离x(m)近 柱距喷水头的水平距离，y(m)是水柱距地面 似满足二次函数关系y=a(x-1)2+3.2. 的高度 V=x-1F+3.2 1=-0.4r+28B (1)求抛物线的表达式 (2)爸爸站在水柱正下方，且距喷水头P水平 (1)求点P的坐标和a的值 距离3m.身高1.6m的小红在水柱下方走 (2)小林分析发现，上面两种击球方式均能使 动，当她的头顶恰好接触到水柱时，求她与爸 球过网.要使球的落地点到C点的距离更近， 爸的水平距离。 请通过计算判断应选择哪种击球方式 命题点3二次函数性质的综合应用(7年2考) 常考命题角度：二次函数性质的综合应用(7年 2考) 5.(2021·河南)如图，抛物线y=x2+mx与直 数学)55■ 线y=-x+b相交于点A(2,0)和点B. 两年模拟 (1)求m和b的值： (2)求点B的坐标，并结合图象写出不等式x 1.(2022·夏邑县模拟)如图，已知二次函数y +mx>-x+b的解集； =(x+1)2-4,当-2≤x≤2时，则函数y的 (3)点M是直线AB上的一个动点，将点M向 最小值和最大值( 左平移3个单位长度得到点N,若线段MN与 抛物线只有一个公共点，直接写出点M的横 坐标x,的取值范围。 A.-3和5 B.-4和5 C.-4和-3 D.-1和5 2.开放性(2023·济源一模)写出一个图象开 口向上，且经过点(0,1)的二次函数的解析 式： 3.(2022·开封二模)如图①是古典凝重的开封 北门，也叫安远门，有安定远方之寓意.其主 门洞的截面如图②，上部分可看作是抛物线 形，下部分可看作是矩形，边AB为16米，BC 为6米，最高处点E到地面AB的距离为 8米 ① ② (1)请在图②中建立适当的平面直角坐标系， 并求出抛物线的解析式， (2)该主门洞内设双向行驶车道，正中间有 0.6米宽的双黄线.车辆必须在双黄线两侧行 驶，不能压双黄线，并保持车辆最高点与主门 洞有不少于0.6米的空隙（安全距离），试判 断一辆大型货运汽车装载某大型设备后，宽 。56(河南易中考 3.7米，高6.6米，能否安全通过该主门洞.请 4.(2023·焦作一模)“沙包掷准”是同学们非 说明理由。 常喜爱的一项趣味运动.沙包行进的路线呈 抛物线形状，经研究，小航在掷沙包时，掷出 起点处高度为1m,当水平距离为2m时，沙 包行进至最高点2m,建立如图所示直角坐标 系，并设抛物线的表达式为y=a(x-h)2+k, 其中x(m)是水平距离，y(m)是行进高度. (1)求抛物线的表达式： (2)若地靶的中心到起掷线的距离为5m,设 沙包落点与地靶中心的距离为R(cm),区域 与得分对应如表，请问小航成绩怎样？请说 明理由， 区域0≤R≤2020<R≤4040<R≤60,60<R≤8080<R≤100 得分50 40 30 20 10 温馨提示精讲精练，赢中考！请完成易练通P21~P23的内容！ 数学57■（2)将8m,16)代人1-授得，16=终解得m=3. =（4-22)m,4-22<2. m 选择吊球，使球的落地点到C点的距离更近 m的实际意义为当电阻R为3)时，电流大小为 4.解：(1)由题意知，点(5,3.2)是抛物线y=a(x-h)2+ 16A. k的顶点∴，y=a(x-5)2+3.2. (3)1=4 R当1=10时，R=4.8,当1≤10时. 又：抛物线经过点(0,0.7) R≥4.8.，∴该电路的限制电流不能超过10A,那么该电 0.7=a(0-5)2+3.2.解得a=-0.1. 路的可变电阻控制在不低于4,8Ω ∴抛物线的表达式为y=-0.1(x-5)2+3.2 2.解：(1)：点C(0,4)在直线y=2x+b上，.b=4, (或y=-0.1x2+x+0.7) ·一次函数的表达式为y-2x+4: (2)当y=1.6时，L.6=-0.1(x-5)2+3.2. 点A(2,a)在直线y=2x+4上，.a=8,∴，点A(2,8) 解得x=1,x2=9.3-1=2(m),9-3=6(m) “点A(2,8)在反比例函数y=(x>0)的图象上， 答：小红与爸爸的水平距离为2m或6m, x 5.解：(1)将点A的坐标代入地物线表达式得0=4+2m, 六=2×8=16心反比例函数的表达式为y=16 解得m=-2, (2)在y=2x+4中，令y=0,得x=-2, 将点A的坐标代入直线表达式得0=-2+b,解得弘=2 (2)由(1)得，直线和抛物线的表达式分别为y=-x+ .B(-2,0),C(0,4),∴.S△m=Sae+Sae= 「Y=-x+2. x=-1, x=2. 2,y=x2-2x,由 解得 或 4×2+7×2×4=4+4=8 ly=x-2x, y=3, y=0. 故点B的坐标为(-1,3)， 第四节二次函数及其应用(2课时) 从图象看，不等式x2+>-x+b的解集为r<-1或x>2 (3)当点M在线段AB上时，线段MN与抛物线只有一 【基础即时练】1.C2.A3.D4.C 个公共点， 【一题多问】 M,N的距离为3，而A.B的水平距离是3，故此时只 (1)x=2(2,-1)小-1 有一个交点，即-1≤xw<2: (2)(1.0)和(3,0)(0.3) 当点M在点B的左侧时，线段MN与抛物线没有公共 (3)(画出函数图象略)(4)y=x2-4x+3 点：当点M在点A的右侧且x,=3时，抛物线和MN交 (5)(5,8)(6)y2<5<y 于抛物线的顶点(1，-1)，即xm=3时，线段N与抛物 【河南真题】1.D2.B 线只有一个公共点。 3.解：(1)在一次函数y=-04x+2.8, 综上，-1≤xm<2或xw=3 令x=0时，y=2.8,P(0,2.8), 【两年模拟】1.B2.y=x2+1(答案不唯一) 将P(0,28)代人y=a(x-1)2+3.2中，可得a+32=28, 3.解：(1)建立的平面直角坐 解得a=-0.4. 标系如图所示。 (2)0A=3m,CA=2m,∴，0C=5m,选择扣球，则令 由题意可得，点E的坐标 D y=0,即-0.4x+2.8=0,解得x=7,即落地点距离点0 为(0,8)，点D的坐标为 距离为7m,∴，落地点到C点的距离为7-5=2m, (-8,6), 10 选择吊球，则令y=0,即-0.4(x-1)子+3.2=0， 设抛物线的解析式为y=ax+8, 解得x=±22+1（负值舍去），即落地点距离点0距离为 点D在该函数图象上，6=a×(-8)2+8, (22+1)(m),落地点到C点的距离为5-(22+1) 7 解得a=-32' (5)12角平分线上的点到角两边的距离相等 中线将三角形分成面积相等的两个小三角形 该抛物线的解析式为)=一立+8 (2)这辆大型货运汽车能安全通过该主门洞， 三角形的中位线长度等于第三边的一半 理由：将x=37+03=4代人y=一立+8。 【河南真题】B 【两年模拟】1.A2.C3.C 得y=克×4+8=7.5,75>6.6+06这辆大 【数学文化】3、15 型货运汽车能安全通过该主门洞。 第三节特殊三角形及其性质(1课时) 4.解：(1)由图象知，抛物线的顶点为(2,2)， ∴.抛物线解析式为y=a(x-2)2+2. 【基础即时练】4 把(0.1)代入解析式得，1=a(-2)2+2, 【一题多问】 解得a=-抛物线的表达式为y=一(x-2+2 1.(1)55°等腰三角形两底角相等，等腰三角形“三线合 一”(2)8等腰三角形“三线合一”(3)253(4)14 (2)小航成绩应为50分，理由如下： 2.(1)12直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边 当y=0时.-(x-22+2=0, 的-半(2)24(3)学 (4)15°直角三角形两锐 解得x1=2+22,x2=-22+2(舍去)， 角互余(5)24直角三角形斜边上的中线等于斜边 ,2+254.828, 的一半 ∴沙包落地点距0点的距离为4.828m=s483cm, ∴.沙包落点与地靶中心的距离约为500-483=17(cm), 【河南真题】1.5或v1324或433.2+1或1 2 0<17<20,,小航成绩应为50分 【两年模拟】1.B2.D3号或7 第四章几何初步与三角形 【数学文化】 第一节几何初步、相交线与平行线(1课时) 证明：因为∠AOB是△OCM的外角， 所以∠AOB=∠M+∠MCO. 【基础即时练】L.B2.A3.如果a=b,那么1al=1b1 因为0ON=OC=MN. 【变式训练】D 所以∠OCN=∠ONC,∠NOM=∠M. 【河南真题】1.B2.140°3.D4.B 因为∠CNO是△OMN的外角. 【两年模拟】1.C2.A3.D4.B 所以∠OCN=∠ONC=∠NOM+∠M=2∠M. 【数学文化】B 所以∠AOB=∠M+∠AMC0=3∠M, 第二节一般三角形及其性质(1课时) 即∠1=号∠A0B 【基础即时练】1.40°2.C 第四节 【变式训练】C 全等三角形(1课时) 【一题多问】 【基础即时练】1.32.C (1)6(答案不唯一)(2)30°40°(3)4万 【一题多解】 (4)25线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等 解法I:①AE=BF 8