第3章 第3节 反比例函数(1课时)-【易中考】2024年中考总复习数学（河南专版）

第三节 反比例函数(1课时) 考点清单★固基础 考点1)反比例函数的概念及解析式 》基础即时练 1.(2023·扬州三模)已知a>b>c,点A(a 1L.反比例函数的概念：一般地，如果两个变量x, b,),B(a-c,y2),C(c-a,y3)在反比例函 y之间的关系式可以表示为y=(k为常数， 数y=(k为常数，k>0)的图象上，则y, 且≠0)，那么称y是x的反比例函数，它的 2,y的大小关系是 (用“>”连 图象是双曲线.自变量x的取值范围为不等 接) 于0的一切实数 2.反比例函数解析式的三种形式(k为常数，且 考点3 反比例函数中k的几何意义（重点） k≠0) （1y=卓：(2)y=kx:(3)y=k 如图，在反比例函数y= k(k≠0)图象上任取一 考点2)反比例函数的图象与性质（重点） k的几 点P(x,y),过这一点分 何意义 别作x轴、y轴的垂线 反比例函数y=(k是常数，且k≠0)的图象关 PM、PN,与坐标轴围成 于原点对称，它的位置和性质受k的符号的影 的矩形PMON的面积S=Irl=k 响具体如下： S网陆=1日 4 =k是 k>0 k<0 常数，k≠0】 OA■ 图象 0 S 第一、三象限 第二、四象限 所在象限 (x,y同号) (x,y异号) 基本 在每个象限内，y随x在每个象限内，y随x 图形 性质 的增大而减小 的增大而增大 的面积 当x1<2<0或0< 当x,<,2<0或0< 函数值的 x1<2时，y>为 x1<2时，y<为2 大小比较 当x1<0<2时，y<当x1<0<时，> S阳=21k 0<3 0>3 【温馨提示】对于反比例函数，不能简单地说y 随x的增大而增大（或增大而减小），应指明在 某一象限内或自变量的取值范围内函数的增减 变化情况 数学)43■ 【提分要点】一般反比例函数与几何图形（三角 考点5》反比例函数的实际应用 (重点) 形，四边形)结合，可直接利用k的几何意义求 面积，若图形两边均与坐标轴不平行或重合，则 反比例函数的实际应用主要是通过实例构建反 先将其分割，然后求其面积之和 特征 比例函数模型，即通过题意或图象列出关系式， 》基础即时练 根据图象和性质解决问题 2.(2023·合肥三模)如图，一次函数y=x+1 1.分析实际问题中变量之间的关系： 解题2.建立反比例函数模型； 与反比例函数y=交于点C,CD⊥x轴于D 方法 3.用反比例函数的有关知识解答，注意利用反 点，若梯形OBCD的面积为4，则k= 比例函数两变量之积是定值的性质，算出定值 路程(s)一定，速度()和时间(t)成反比，即 矩形面积(S)一定，长(y)和宽(x)成反比，即y O D 常见 考点4 反比例函数解析式的确定 应用 电压()一定，电流()和电阻(R)成反比，即I L.设所求反比例函数的解析式为y= k(k0): 容积(V)一定，排水速度(Q)和排水时间(：)成 待定系 2.找出反比例函数图象上一点P(a,b): 反比，即Q=y 数法 3.将点P的坐标代人y=k中，得k=山： 【提分要点】在反比例函数实际应用题中，要注 4确定反比例函数解析式为y=鸣 意自变量的取值范围，有时只是反比例函数图 当题中已知面积时，考虑用的几何意义 象的一支或一段。 利用k的 求解，由面积得k,再结合图象所在象限 【温馨提示】一次函数与反比例函数的综合题 几何意义 判断k的正负，从而得出的值，代入解析 (1)求交点坐标：将一次函数与反比例函数联立 式即可 方程组求解即可，若为正比例函数，只要知道 》基础即时练 个交点坐标，其关于原点对称的点即另一个 3.(2022·游仙区校级二模)如图，在菱形 交点 ABOC中，AB=2,∠A=60°，菱形的一个顶点 (2)确定函数解析式：将一个交点坐标代入y C在反比例函数y(k≠0)的图象上，则反 上可求k,再由反比例函数解析式确定另一个交 比例函数的解析式为( 点坐标，最后由两个交点坐标利用待定系数法 可求一次函数的解析式。 (3)利用函数图象确定不等式x+b>或x+ Ay=-33 B.y=-3 b<k的解集：需数形结合进行分析判断，函数值 较大表现在图象上为图象在上方，函数值较小表 C.y=-3 D.y=3 现在图象上为图象在下方， (4)求几何图形面积：①通常将坐标轴上的边或 。44(河南易中考 与坐标轴平行的边作为底边，再利用点的坐标 三角形，再利用面积的和或差来求解.此外，求 求得底边上的高，最后利用面积公式求解：②当 面积时要充分利用“数形结合”的思想，即用 三边均不在坐标轴上时，一般可采用割补法将 “坐标”求“线段”，用“线段”求“坐标” 其转化为一边在坐标轴上（或平行于坐标轴）的 重点精析★提升练 精讲点1)反比例函数的图象与性质 (重难点) 反比例函数系数k的几何意义得出S△m=3, 那么S4c0=1,进而得出答案. 例1 (2023·湖北)在反比例函数y=4- 解：过点B作BC⊥x轴于点C,过点A作AD⊥x 的图象上有两点A(x1,y),B(x2,2),当x1<0< 轴于点D,如图 x2时，有y1<2,则k的取值范围是() A.k<0B.k>0 C.k<4D.k>4 【思路分析】根据题意可得反比例函数y=4 的图象在一三象限，进而可得4-k>0.解不等 ∠B0A=90°，.∠BOC+∠AOD=90°. 式即可求解 .∠AOD+∠OAD=90°，∴.∠BOC=∠OAD 解：当1<0<3时，有，<为， .·∠BC0=∠AD0=90°， ·反比例函数y-4-的图象在一三象限 OB △BC0∽△0DA,O =tan30°= 3 ∴.4-k>0,解得k<4,故选C. 精讲点2)确定反比例函数的解析式（重难点） 31 )例2(2022·庐阳区校级三模)如图，∠04B ×6=3,.S60= 1k1=1 =30°，点A在反比例函数y=6(x>0)的图象 :经过点B的反比例函数图象在第二象限∴k= 上，过点B的反比例函数解析式为()》 -2,故反比例函数解析式为y=-2.故选C 精讲点3)反比例函数中k的几何意义（重难点） 5例3(2023·湖南)如图，在平面直角坐标系 中，0是坐标原点，点A是反比例函数y=k Ay=-6 B.y=-4 (k≠0)图象上的一点，过点A分别作AM⊥x轴 于点M,AN⊥y轴于点N,若四边形AMON的面 Cy=-2 Dy=-1 积为2.则k的值是( 【思路分析】过点B作BC⊥x轴于点C,过点A 作AD⊥x轴于点D,证明△BCO∽△ODA,利用 相似三角形的判定与性质得 S△DA 数学45■ A.2 B.-2 C.1 D.-1 可求解： 解：，AM⊥x轴于点M,AN⊥y轴于点N, (2)设将一次函数y=x+3的图象向下平移m ∠M0N=90°， 个单位后的函数表达式为y=x+3一m,根据题 ,∴.四边形AMON是矩形 意得出相应的一元二次方程，利用根的判别式 ,四边形AMON的面积为2，，k=2 即可求解 ·反比例函数在第一、三象限， 解：(1)将点A(-2,m)代入y=x+3, .k=2.故选A 得m=-2+3,解得m=1, 精讲点4》反比例函数的综合应用（重难点） .A(-2,1) 例4(2023·贵州一模)如图，一次函数y= 将点A(-2,1)代人y=-」 x+3的图象与反比例函数y=:1(x<0)的图 得1号解得=-山 象交于A(-2,m),B两点 反比例函数的表达式为y=-2(x<0). (2)设将一次函数y=x+3的图象向下平移m 个单位后的函数表达式为y=x+3-m 一次函数的图象与反比例函数的图象只有一个 交点 (1)求这个反比例函数的表达式： 即x+3-m=-2,整理得2+(3-m)x+2=0. (2)将一次函数y=x+3的图象向下平移m个 b2-4a=(3-m)2-4×1×2=0. 单位，当平移后的函数图象与反比例函数的图 解得m=3-22或m=3+22(舍去). 象只有一个交点时，求m的值 ,∴.平移后的函数图象与反比例函数的图象只有 【思路分析】(1)将点A(-2,m)代入y=x+3, 得出A(-2,1),将其代入反比例函数解析式即 一个交点时，m的值为3-22 聚焦河南★瞄靶向 河南真题 C.y1>y3>y2 D.3>y2>y 2.(2017·河南)已知点A(1,m),B(2,n)在反 命题点1》反比例函数的图象与性质(7年2考) 比例函数y=-2的图象上，则m与n的大小 常考命题角度：增减性问题(7年2考)、反比例函 关系为 ·(用“<”连接) 数与一次函数图象交点问题（近七年未考查过） 命题点2)反比例函数中k的饥何意义(7年3考) 1.(2020·河南)若点A(-1,y1),B(2,y32), 常考命题角度：反比例函数中片的几何意义(7 C3,)在反比例函数y=-的图象上.则 年3考) 少1,2,3的大小关系是( 3.(2018·河南)如图，反比例函数y=车气（(> A.y1>y2>y3 B.y2>y3>y1 O)的图象过格点（网格线的交点）P 。46(河南易中考 (1)求反比例函数的解析式 4.(2023·河南)小军借助反比例函数图象设计 (2)在图中用直尺和2B铅笔画出两个矩形 “鱼形”图案，如图，在平面直角坐标系中，以 (不写画法)，要求每个矩形均需满足下列两 反比例函数y=图象上的点A(v3,)和点B 个条件： ①四个顶点均在格点上，且其中两个顶点分 为顶点，分别作菱形AOCD和菱形OBEF,点 别是点O,点P: D,E在x轴上，以点O为圆心，OA长为半径 ②矩形的面积等于k的值 作AC,连接BF (1)求k的值： (2)求扇形AOC的半径及圆心角的度数： (3)请直接写出图中阴影部分面积之和. 命题点3)反比例函数的综合应用(7年4考) 常考命题角度：反比例函数的综合应用(7年4 考) 数学)47■ 6.（2021·河南)如图，大、小两个正方形的中心 均与平面直角坐标系的原点O重合，边分别 与坐标轴平行，反比例函数y=的图象与大 正方形的一边交于点A(1,2),且经过小正方 5.(222·河南)如图，反比例函数y=(x>0)的 形的顶点B. (1)求反比例函数的解析式： 图象经过点A(2,4)和点B,点B在点A的下 (2)求图中阴影部分的面积 方，AC平分∠OAB,交x轴于点C. (1)求反比例函数的表达式 (2)请用无刻度的直尺和圆规作出线段AC的 垂直平分线.（要求：不写作法，保留作图痕 迹，使用2B铅笔作图)》 (3)线段OA与(2)中所作的垂直平分线相交 于点D,连接CD.求证：CD∥AB. 两年模拟 1.跨学科(2023·焦作一模)如图，某种品牌 的电动车的蓄电池电压为定值，使用电源时， 。48(河南易中考 电流I(A)是电阻R(2)的反比例函数，其图 2.(2023·唐河县三模)如图，在平面直角坐标 象经过A(8,6),B(m,16)两点. 系中，一次函数y=2x+b的图象经过点 IA C(0,4),与反比例函数y=左(x>0)的图象 20 交于点A(2,a) 8 14 10 6 024681012141618202224R2 (1)求I与R的函数表达式，并说明比例系数 (1)求一次函数和反比例函数的表达式： 的实际意义； (2)一次函数y=2x+b的图象与x轴交于B (2)求m的值，并说明m的实际意义： 点，求△AB0的面积 (3)如果以蓄电池为电源的用电器限制电流 不得超过10A,那么用电器的可变电阻应控 制在什么范围内？ 温圈提园精讲精练，燕中考！请完成易练通P19、P20的内客！ 数学)49■由图象可得,当BD=3.5cm或5.0cm或6.1cm时. ·150<160..选择方案一所需费用更少. △DCF为等腰三角形.(答案不唯一) 2.解:(1)设A.B两种奖品的单价分别为x元、v元,依题 【两年模拟】 1.B 2.C 3.C 4.B r3x+2y=120. [x=30. 意,得 解得 15x+4y=210. ly=15. 第二节 一次函数的性质及其应用(2课时 答:A,B两种奖品的单价分别为30元、15元. 【基础即时练】1.y=-x+1(答案不唯一)2.1 3.5 (2)设学校准备购买A种奖品n个,则购买B种奖品 4.x<-1 (30-m)个,由题意得,m> 5.解:(1)由题意知.1000x0.9=900(元). 设学校购买A.B两种奖品所需的钱数为元 答:他实际花了900元购买加油卡 则r=30m+15x(30-m)=15m+450.因为15 0.所以 (2)由题意可知,y=0.9(x-0.30),整理得 y=0.9-0.27. 随n的增大而增大,故当m三8时,购买A.B两种奖品所 需的钱数最少,此时购买A种奖品8个,B种奖品22个 .v关于x的函数解析式为v=0.9x-0.27 【两年模拟】解:(1)设A款年画购进:个,B款年画败 (3)由(2)可知,当x=7.30时,y=6.30. [x+y=40. 解得 [x=25. 7.30-6.30=1.00(元) 进y个,根据题意得 120x+25y=875. 1v=15. 答:优惠后油的单价比原价便宜1.00元 答:A款年画和B款年画分别购进25个和15个. (2)设A款年画购进a个,则B款年画购进(40-a)个,利 3.解:(1)20 (2)设乙壶中水温y关于加热时间x的函数解析式为 y=kx+b.将点(0.20).(160,80)代入y=hkx+b得 .W=(28-20)a+(37-25)(40-a)=-4a+480. .k=-4<0...W随a的减少而增大. r20=b. 8.¥二 解得 -820. .当a=14.40-a=26时,W最大,最大利润为480-4x 180=l60+b. =20. 14-424(元). (3)65 答:A款年画购进14个,B款年画购进26个,利润最大 【河南真题】 最大利润为424元. 1.解:(1)y=k.x+b的图象经过点(0.30).(10,180). 【数学文化】(32,4800) [6=30. [k=15. : 解得 第三节 反比例函数(1课时) 110k.+b=180. 16-30. b.=15表示的实际意义是购买一张学生暑期专享卡后 【基础即时练】1.y.>y.>y2.6 3.B 每次健身费用为15元,b=30表示的实际意义是购买 【河南真题】1.C 2.m<n 一张学生暑期专享卡的费用为30元 3.解:(1)点P(2.2)在反比 (2)由题意可得,打折前的每次健身费用为 例函数y-(x>0)的图 $$5 +0.6=25(元).则h=25x0.8=2 0$ (3)选择方案一所需费用更少,理由如下 由题意可知,y=15x+30,y.=20x .反比例函数的解析式为 当健身8次时,选择方案一所需费用:v.=15x8+30= 4 y= .-1_..- 150(元);选择方案二所需费用:v.=20x8=160(元) (2)当线段0P为矩形对角线时,满足条件的矩形为矩 形0APB; 当线段0P为矩形的边时. 由题意可得,矩形的面积等于4 3-2 ·点P的坐标为(2.2).:0P=2/2.:.矩形另一边等 于/2.·.满足条件的矩形为矩形OPMV或矩形OPED(如 5.解:(1)·反比例函数y-的图象经过点A(2.4). 图,任选两个矩形) 2 h=2x4=8. .反比例函数的表达式为v= 8 。 (2)如右图,直线EF即为 所求. (3)证明:如右图AC平分 D 0AB.'乙OAC=乙BAC 4.解:(1)将A(、5.1)代入y-中,得1-,解得 -5. ·AC的垂直平分线交0A于0 3 3 点D.:.DA=DC (2):过点A作0D .乙DAC= DCA. DCA=乙BAC..CD//AB 的垂线,交x轴于点 6.解:(1)·反比例函数y--的图象经过点A(1.2), G.如图 。 :A(3.1). .AG-1.0G-3. (2)小正方形的中心与平面直角坐标系的原点0重 80A=v(③)+1=2 合,边分别与坐标轴平行..设B点的坐标为(m,m). .半径为2; .反比例函数y-2的图象经过B点..m= :AG0A. . A0G=30°. .m}=2..小正方形的面积为4m=8$ 由菱形的性质知乙A0G=2COG=30* .大正方形的中心与平面直角坐标系的原点0重合,边分 *乙A0C=60. 别与坐标轴平行,且A(1.2) .扇形AOC的圆心角的度数为60。. .大正方形在第一象限内的顶点坐标为(2.2). (3):0D=20G=2/3. .大正方形的面积为4x2=16. '$mo=AGx0D=1x2/3=2/3. .图中阴影部分的面积三大正方形的面积一小正方形 _xmr: .SAoc= -xx2= 的面积=16-8=8. 如图,由菱形0BEF知,Srmo=Smmo. 【两年模拟】 rJ& 1.解:(1)由于电流/(A)是电阻R(0)的反比例函数. 设/:V H.图象过点A(8.6).V=/·R=8x6-48. .48表示该蓄电池电压为 ./与R函数表达式为/= 48 48V. =(4-22)m.4-2/2<2. m 3.选择吊球,使球的落地点到C点的距离更近 .m的实际意义为当电阻R为30时,电流大小为 4.解:(1)由题意知.点(5.3.2)是抛物线y=a(x-h)}+ 16A. k的顶点.'.y=a(x-5)②+3.2. (3):1-48 48..当1=10时,R-4.8,:当1<10时. 又:抛物线经过点(0.0.7). R>4.8.:该电路的限制电流不能超过10A.那么该电 .0.7=a(0-5)+3.2.解得a=-0.1. 路的可变电阻控制在不低于4.80 .抛物线的表达式为y=-0.1(x-5)+3.2 2.解:(1)点C(0,4)在直线y=2x+b上..b=4. (或y=-0.1x+x+0.7). .一次函数的表达式为v=2x+4; (2)当y=1.6时.1.6=-0.1(x-5)+3.2 点A(2.a)在直线y=2x+4上..a=8.点A(2.8). 解得x=1.x.=9.3-1=2(m).9-3=6(m). ·点A(2,8)在反比例函数y-(x>0)的图象上. 答:小红与爸爸的水平距离为2m或6m 5.解:(1)将点A的坐标代入抛物线表达式得0=4+2m 解得m=-2. (2)在y=2x+4中,令y=0.得x=-2. 将点A的坐标代入直线表达式得0=-2+b,解得=2 (2)由(1)得,直线和抛物线的表达式分别为y三-x+ .B(-2.0).C(0,4).S=Soc+Ssoc= [y=-r+2. ”解得 [x=2. 2.y=x-2x,由 ly-2-2x, ly=3. Ly=0 故点B的坐标为(-1,3). 第四节 二次函数及其应用(2课时) 从图象看,不等式+m>-x+b的解集为x<-1或x>2 (3)当点M在线段AB上时,线段MN与抛物线只有一 【基础即时练】 1.C 2.A 3.D 4.C 个公共点, 【一题多问】 V.V的距离为3.而A.B的水平距离是3.故此时只 (1)x=2 (2.-1)小 -1 有一个交点,即-1x×<2; (2)(1.0)和(3.0)(0.3) 当点M在点B的左侧时,线段MV与抛物线没有公共 (3)(画出函数图象略)(4)y=x2-4x+3 点;当点M在点A的右侧且x.=3时,抛物线和MV交 (5)(5.8)(6)yy<y 于抛物线的顶点(1.-1).即x.=3时,线段MV与抛物 【河南真题】 1.D 2.B 线只有一个公共点 3.解:(1)在一次函数v=-0.4x+2.8. 综上,-1<x<2或x=3 令x=0时,y=2.8.:P(0.2.8) 【两年模拟】1.B 2.v=x+1(答案不唯一) 将P(0.28)代入y=a(x-1)+3.2中,可得a+3.2=2.8. 3.解:(1)建立的平面直角坐 解得a=-0.4. 标系如图所示. ($2):0A=3m.CA=2m...0C=5m.选择扣球,则令 由题意可得,点E的坐标 y=0.即-0.4x+2.8=0,解得x=7.即落地点距离点0 为(0.8),点D的坐标为 距离为7m..落地点到C点的距离为7-5=2m. (-8,6). 选择吊球,则令v=0.即-0.4(x-1)+3.2=0. 10 设抛物线的解析式为y=ax*48. 解得x=+2/2+1(负值舍去),即落地点距离点0距离为 .点D在该函数图象上.6=ax(-8)}+8. (2/2+1)(m)..落地点到C点的距离为5-(22+1)