第2章 第4节 一元一次不等式(组)(1课时)-【易中考】2024年中考总复习数学（河南专版）

第四节 一元一次不等式（组）(1课时) 考点清单★固基础 考点1不等式的概念与性质 (重点) 》基础即时练 1.(2022·浙江杭州)已知a,b,c,d是实数，若 1.概念 a>b,c=d,则( 不等式的定 般地，用符号“<”（或“≤”），“>" A.a+c>b+d B.a+b>c+d 义（人教版） (或”≥”)，“≠“连接的式子叫做不等式 C.a+e>b-d D.a+b>c-d 不等式的解 使不等式成立的未知数的值 考点2 一元一次不等式及其解法（重点） 不等式 一个含有未知数的不等式的所有的解， 含有一个未知数，并且未知数的次数是1的不 的解集 组成这个不等式的解集 概念 等式，叫做一元一次不等式 2.不等式的性质 解法 去分母、去括号，移项、合并同类项、系数化为1 步骤 (系数化为1时，注意不等号方向是否改变)》 不等式两边都加上（或减 解集 黑<a 去)同一个数（或式子）， 应用：解不等式中 性质1 在数 不等号的方向不变，即若 的移项 x>a 轴上 a>b,则a±e>b±c 的表 x≤a 不等式两边同乘（或除以） 示 x≥a 同一个正数，不等号的方向 应用：解不等式中 性质2 【提分要点】“两定” 不变，即若a>b,c>0则ar 的去分母（或系数 >(或>总 化为1) 1.定边界点：“≤”和“≥”是实心圆点，“<”和 “>”是空心圆圈； 2.定方向：小于和小于或等于向左，大于和大于 不等式两边同乘（或除以） 同一个负数，不等号的方向 应用：解不等式中 或等于向右 性质3 改变，即若a>b,c<0,则 的去分母（或系数 》基础即时练 ≤（或≤） 化为1) 2(2023·安徽)在数轴上表示不等式，<0 【易错警示】不等式的其他相关性质 的解集，正确的是( ) ①对称性：如果a>b,那么b<a. A.2-1023457 B.2-i012345 ②传递性：如果a>b,且b>c,那么a>c C.2-i092345 D.2-1012345 ③同向相加性：如果a>b,c>d,那么a+c> b+d. 考点3一元一次不等式组及其解法（重点） ④如果a≥b,且b≥a,那么a=b. 1.一元一次不等式组：一般地，关于同一未知数 的几个一元一次不等式合在一起，就组成一 。28(河南易中考 个一元一次不等式组， 考点4列一元一次不等式（组）解应用题的步骤 2.一元一次不等式组的解法 (1)解一元一次不等式组的一般步骤：先求出 审 即审清题意，找出不等关系 这个不等式组中每个一元一次不等式的解 设 即设出关键未知数 集，然后求各不等式解集的公共部分，得出不 列 即列不等式 等式组的解集， 解 即解不等式 (2)常见的几种不等式组解集的表示（其中a>b) 验 即检验结果是否符合实际背景 不等式组 在数轴上表示 解集 口诀 答 即写出规范结果，并作答 【温馨提示】表示不等关系的关键词与不等号的 x>a 同大取大 x>b 对应 x<b 同小取小 “大于”“多于”“超过”“高于”台“>” x <b “小于”“少于”“不足”“低于”台“<” x <0 大小小大 b<x<a “至少”“不少于”“不低于”“不小于”台“≥” x>b 中间找 大大小小 “最多”“不高于”“不大于”“不超过”一“≤” 无解 x<b 无解了 》基础即时练 》基础即时练 4.(2022·山西)某品牌护眼灯的进价为240 3.(2023·开封一模)不等式组 元，商店以320元的价格出售.“五一节”期 间，商店为让利于顾客，计划以利润率不低 2x-2≤0 的最小整数解是 于20%的价格降价出售，则该护眼灯最多可 1-x<0 降价 元 重点精析★提升练 精讲点1)解一元一次不等式（组） (重难点)】 精讲点2 不等式组的特殊解 (重难点) 例1 (2021·武汉模拟)不等式组 5例2 (2021·清河县期末)若不等式组 r2x-6<3x, r2x<3(x-3)+1,① 2≥0 的解集为 3x+2 恰有4个整数解，则a的取 5 4 >x+a② 4 解：由2x-6<3x,得x>-6. 值范围是 将+2：1≥0去分母. 解：解不等式①，得x>8 5 4 解不等式②，得x<2-4a. 得4(x+2)-5(x-1)≥0 ∴.8<x<2-4a. 去括号，得4x+8-5x+5≥0（既要注意不要漏 :该不等式组恰有4个整数解，∴，其整数解为 乘，也要注意改变符号) 9、10、11、12(思考2-4a取什么值时，能确保有 移项，合并得-x≥-13 12这个整数解) 两边同乘(-1)，得x≤13（不等号改变方向）， 将解集在数轴上表示出来， -6<x≤13.故答案为-6<x≤13. 数学)29■ 8910111213→能将(2-4a)描在12这个位置 篷数量不超过购买B种型号帐篷数量的}，为使购 2-4a 吗？能描在13这个位置吗？ 买帐篷的总费用最低，应购买A种型号帐篷和B 当2-4a描在12右边直到13时，均符合题意， 种型号帐篷各多少顶？购买帐篷的总费用最低为 六12<2-4a≤13，解得- 5 ≤a< 多少元？ 4 2 5 【思路分析】审题时注意“不超过”“最低”等限 ≤a<-2 故答案为-4 制性词语的数学意义 。变式训练 解：(1)设每顶A种型号帐篷的价格为x元，每 1.(2022·邵阳)关于x的不等式组 顶B种型号帐篷的价格为y元， 2 2x+4y=5200 x=600, -X, 根据题意，得 解得 3 3x+y=2800. y=1000. 有且只有三个整数解，则 答：每顶A种型号帐篷的价格为6O0元，每顶B 2r-1<2(a-2) 种型号帐篷的价格为1000元 a的最大值是( (2)设该景区购买A种型号帐篷m顶，总费用为 A.3 B.4 C.5 D.6 元，则购买B种型号帐篷为(20-m)顶，由题意 精讲点3 元一次不等式（组）的应明（难点） 得，w=600m+1000(20-m)=-400m+20000. 例3(2023·云南)蓝天白云下，青山绿水间，支 其中m≤写20-m),得m≤5， 一顶帐篷，邀亲朋好友，听蝉鸣，闻清风，活家常，好 -400<0,∴.和随m的减小而增大， 不惬意.某景区为响应文化和旅游部《关于推动露 ,当A种型号帐篷为5顶时，总费用最低，总费 营旅游休闲健康有序发展的指导意见》精神，需要 用为m=600×5+1000×(20-5)=18000 购买AB两种型号的帐篷若购买A种型号帐篷2 答：当购买A种型号帐篷为5顶，B种型号帐篷 顶和B种型号帐篷4顶，则需5200元：若购买A种 为15顶时，总费用最低，最低为18000元. 型号帐篷3顶和B种型号帐篷1顶，则需2800元 。变式训练 (1)求每顶A种型号帐篷和每顶B种型号帐篷 2.(2020·攀枝花)世纪公园的门票价格是每人 的价格。 5元，一次购门票满40张，每张门票价格可少 (2)若该景区需要购买A、B两种型号的帐篷共20 1元.若一个团队少于40人，至少要有 顶（两种型号的帐篷均需购买），购买A种型号帐 人进公园，买40张门票反而更合算. 聚焦河南★瞄靶向 河南真题 2.(2020·河南)已知关于x的不等式组 命题点1解一元一次不等式（组）(7年3考) [>4其中a,b在数轴上的对应点如图所 lx>b, 常考命题角度：直接考查(7年2考)、与数轴结 示，则这个不等式组的解集为 合考查(7年1考) 60 rx-3≤0 1.(2022·河南)不等式组 x 的解集为 2 >1 3.(209·河南)不等式组 2s-1, ’的解集是 -x+7>4 ■30（河南易中考 命题点2)一元一次不等式组的特殊解(？年2考) 常考命题角度：整数解的最值(7年1考)、与分 式化简结合考查(7年1考)、整数解的和与积 (近七年未考查过) x+5>2, 4.(2018·河南)不等式组 的最小整数解 4-x≥3 是 命题点3一元一次不等式的应用(7年4考) 常考命题角度：一次不等式的应用(7年4考) 5.(2023·河南)某健身器材专卖店推出两种优 惠活动，并规定购物时只能选择其中一种。 活动一：所购商品按原价打八折： 活动二：所购商品按原价每满300元减80 6.(2021·河南)猕猴嬉戏是某山景区的一大特 元.（如：所购商品原价为300元，可减80元， 色，猕猴玩偶非常畅销.小李在某网店选中A, 需付款220元：所购商品原价为770元，可减 B两款猕猴玩偶，决定从该网店进货并销售. 160元，需付款610元) 两款玩偶的进货价和销售价如下表： (1)购买一件原价为450元的健身器材时，选 类别价格 A款玩偶 B款玩偶 择哪种活动更合算？请说明理由。 进货价/（元/个） 40 30 (2)购买一件原价在500元以下的健身器材 销售价/（元/个） 56 45 时，若选择活动一和选择活动二的付款金额 (1)第一次小李用1100元购进了A,B两款 相等，求一件这种健身器材的原价 玩偶共30个，求两款玩偶各购进多少个 (3)购买一件原价在900元以下的健身器材 (2)第二次小李进货时，网店规定A款玩偶进 时，原价在什么范围内，选择活动二比选择活 货数量不得超过B款玩偶进货数量的一半.小 动一更合算？设一件这种健身器材的原价为 李计划购进两款玩偶共30个，应如何设计进 a元，请直接写出a的取值范围. 货方案才能获得最大利润，最大利润是多少？ (3)小李第二次进货时采取了(2)中设计的方 案，并且两次购进的玩偶全部售出，请从利润 率的角度分析，对于小李来说哪一次更合算？ (注：利润率=利润×1009%) 「成本 数学31■ 餐桌、餐椅进行销售，有关信息如下表： 原进价/（元/张）零售价/（元/张）成套售价/（元/套） 餐桌 a 380 餐奇 940 a-140 160 已知用600元购进的餐椅数量与用1300元 购进的餐桌数量相同。 (1)求表中a的值 (2)该商场计划购进餐椅的数量是餐桌数量的 5倍还多20张，且餐桌和餐椅的总数量不超过 200张.若将一半的餐桌成套（一张餐桌和四张 餐椅配成一套)销售，其余餐桌、餐椅以零售方 式销售，请问怎样进货，才能获得最大利润？ 最大利润是多少？ 两年模拟 2x+1>3, 1.(2022·河南大联考)不等式组 l-x≤2 的最 小整数解是 2x>3, 2.(2023·洛阳三模)不等式组 的 x-1≤8-2x 所有整数解的和是 x+1≤3， 3.(2023·商丘一模)不等式组 -2x-6<-4 的解集在数轴上表示正确的是( A.月02B.日02 c。D.。… 4.(2023·郑州模拟)某家具商场计划购进某种 温圈提园精讲精练，赢中考！请完成易练通PI2、PI3的内容！ 。32(河南易中考4.解;设A种魔方的单价为a元,B种魔方的单价为6元 【河南真题】1.A r2a+6-130. [a=20. 解得 2.解:设菜苗基地每捆A种菜苗的价格是x元. 由题意可得 13a=4. l6-15. 300 300 根据题意得 +3.解得x-20. 答:A种魔方的单价为20元,B种魔方的单价为15元 【命题角度拓展练】200 经检验,x=20是原方程的解 【两年模拟】1.B 答:菜苗基地每捆A种菜苗的价格是20元 2.解:设王师傅生产一个A型炒锅和一个B型炒锅分别可得 【两年模拟】1.A 2.3(x-1)-6210 r3x+2y=23. [x=5. x元y元工资,由题意得 解得 14x+3y=32. Ly=4. 3.解:设A种花卉每贫x元,则B种花卉每盆(x+0.5)元. 答:王师傅生产一个A型炒锅和一个B型炒锅分别可 由题意得60000 90000 =0.5,解得x=1. 得5元4元工资 经检验,x=1是所列方程的解,且符合题意 3.解:设购进B种粽子x盒,则购进A种粽子(2x-4)盒, x+0.5=1.5. 根据题意得,25(2x-4)+30x=1500 解得x=20 答:A种花卉每盆1元,B种花卉每盆1.5元 2x-4=36. 答:购进A种粽子36盒,B种棕子20盒 第四节一元一次不等式(组)(1课时 4.解:设每棵柳树苗的售价为x元,每棵银查树苗的售价 【基础即时练】 1.A 2.A 3.2 4.32 [2x+3y=1800. 解得 .[x=150. 为y元,依题意得 【变式训练】1.C 2.33 l4x+y=1100, Ly=500. 【河南真题】1.2<x<3 2.xa3.x-24.-2 答:每棵柳树苗的售价为150元,每棵银杏树苗的售价 为500元. 5.解:(1)购买一件原价为450元的健身器材时 【数学文化】D 选择活动一需付款:450x0.8=360元. 选择活动二需付款:450-80=370元. 第二节 一元二次方程及其应用(1课时) ·360370.).活动一更合算. (2)设一件这种健身器材的原价是x元, 【基础即时练】 1.D 2.D 3.B 根据题意,得0.8x=x-80,解得x=400. 【河南真题】 1.A 2.A 3.D 4.A 答:一件这种健身器材的原价是400元 【两年模拟】 1.A 2.B 3.D (3)一件这种健身器材的原价为a元, 【数学文化】 1.B 2.x·(x-12)=864 则活动一所需付款为:0.8a元. 第三节 分式方程及其应用(1课时) 活动二当0<a<300时,所需付款为:a元. 当300<a<600时,所需付款为:(a-80)元. 【基础即时练】1.:=4 当600<a<900时,所需付款为:(a-160)元. ①当0<a<300时,a>0.8a.此时无论a为何值,都是 去分母得,2x=x-1. 活动一更合算,不符合题意 移项,合并同类项得,x=-1. ②当300<a<600时.a-80<0.8a,解得300<a<400. 检验:当x=-1时,x(x-1)=20. 即当300<a<400时,活动二更合算. 所以原分式方程的解为x三-1 ③当600<a<900时.a-160<0.8a,解得600<a800$ 3.A 即当600<a<800时,选择活动二更合算 综上,当300{a<400或600{a<800时,选择活动二 ·h=280>0.:.W随x的增大而增大. 更合算. .当x=30时,W取最大值,最大值为280x30+800= 6.解:(1)设A款玩偶购进:个.B款玩偶购进(30-x)个, 9200(元). 由题意,得40x+30(30-x)=1100 答:购进餐桌30张、餐椅170张时,才能获得最大利润 解得x=20,30-20=10(个). 最大利润是9200元. 答:A款玩偶购进20个,B款玩偶购进10个. 第三章 函数 (2)设A款玩偶购进a个,B款玩偶购进(30-a)个,获 利y元, 第一节 平面直角坐标系与函数(1课时) 由题意,得y=(56-40)a+(45-30)(30-a)= 【基础即时练】 1.B 2.D 3.(-7.3)或(3.3) a+450. 【变式训练】1.C 2.x>1 .A款玩偶进货数量不得超过B款玩偶进货数量的一半 【河南真题】 1.A 2.C 3.C 4.y=x(答案不唯一) .a(30-a).:a<10. 5.解:(1)①5.0 y=a+450..k=1>0.y随a的增大而增大.当a= ②点A是线段BC的中点.AB=AC. 10时.y=10+450-460(元). · CF/BD. F= BDA. .B款玩偶为30-10=20(个). 又:乙BAD=CAF. △BAD△CAF(AAS). 答:按照A款玩偶购进10个、B款玩偶购进20个的方 .BD=CF.:线段CF的长度无需测量即可得到 案进货才能获得最大利润,最大利润是460元 (2)由题意可得y,的图象如图①所示 20×(56-40)+10x(45-30) vfem (3)第一次的利润率= 1100 { x100%~42.7%. 第二次的利润率=10x40+20x30 460 x100%=46%. :46%>42.7%. 1_ .对于小李来说第二次的进货方案更合算 【两年模拟】 1.2 2.5 3.D #, 123 45 67 8xiem 4.解:(1)根据题意,得1300600 aa-140,解得a=260. ① 经检验,a=260是所列方程的解..a=260 (3)由题意画出函数y.的图象如图②所示 (2)设购进餐桌x张,则购进餐椅(5x+20)张,销售利 em 润为W元. 由题意得x+5x+20<200.解得x<30 .a=260.:.餐桌的进价为260元/张,餐椅的进价为 120元/张. 依题意可知 #yn 0 12345 678x/cm ②