第2章 第2节 一元二次方程及其应用(1课时)-【易中考】2024年中考总复习数学（河南专版）

第二节一元二次方程及其应用(1课时)》 考点清单★固基础 考点1一元二次方程的有关概念 》基础即时练 1.(2022·三亚模拟)一元二次方程x2+2x+ 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 概念 2的整式方程 1=0的解是( 二次项系数a≠0) A.x1=1,x2=-1 B.x1=x2=1 一般 次项系数 C.x1=-1,x2=2 D.x1=x2=-1 形式 +b+ =0 二次项一次项常数项 考点3 根的判别式及根与系数的关系（重点） 考点2 一元二次方程的解法 (重点) 1.一元二次方程根的判别式 解法 适用情况 注意事项/步骤 1.形如ax2+c=0 -元二次方程ax2+br+c=0(a≠0)的根的 概念 直接 (a≠0，ae<0)的 判别式为：4=b2-4ac 开平 开方后所取值记得加 方程： “±” 方法 2.形如(x+b)2=a 根的情况 L.4>0一方程有两个不相等的实数根： (a≥0)的方程 与判别式 2.4=0与方程有两个相等的实数根： 适用于所有一元二 的关系 3.4<0=方程没有实数根 1.方程的右边一定要化 次方程，ax2+r+ 为0： 公 c=0(a≠0)的求根 2.·根与系数的关系（选学内容）】 2.将a,b.c代入公式时 式 公式为 法 应注意其符号： x=-b±yB-4 如果a2+b:+c=0(a≠0)的两个根为x1, 3.若6-4ac<0,则原方 根与系数 2a b 程无解 的关系 ,那么名1+x= (b2-4ac≥0) 》基础即时练 因 将方程右边化为0 式 后，方程的左边可 2.(2023·北京平谷区二模)若关于x的一元 以提取含有x的公 不能在方程两边同除以 分 因式，形如x(ax+ 公因式 二次方程x2+2x+m=0有两个实数根，则 解 b)=0或(ax+b)· 实数m的取值范围为( ) 法 (cx+d)=0 A.m>1 B.m<1 1.化二次项系数为1： C.m≥1 D.m≤1 2.把常数项移到方程的 适用于所有一元二 另一边： 考点4 一元二次方程的应用 配 次方程，其中当二 3.在方程两边同时加上 方 次项系数为1，一次 一次项系数一半的平方： 平均 设a为初始量，m为平均增长率，2为增长次 法 项系数为偶数时， 4.把方程整理成(x+b) 增长（下 数，b为增长后的量，则a(1+m)=b:m为平 配方法较简单 =a(a≥0)的形式： 降)率 均下降率，2为下降次数，b为下降后的量，则 5.运用直接开平方法解 方程 问题 a(1-m)2=b 。22(河南易中考 (续表) (续表) 1.若n(n≥2)个人（或球队数）相互之间握手 1.如图①，设空白部分的宽为x,则S=(@ (或单循环赛)，则握手（或单循环赛）总次数 -2x)(b-2x1: 循环赛 问题 2(m-1): 2.n(n≥2)个人相互.赠送礼物，则礼物总份 数=m(n-1) 1,常用公式：利润=售价-成本： 每每 总利润=单件利润×销售量 2.如图②图③.图④.Sw=(a-x)(B-x): 问题 2.每每问题中，单价每涨a元，少卖b件，若 涨价y元.则少卖的数量为之·b件 面积 问题 》基础即时练 3.(2023·广西)据国家统计局发布的《2022 年国民经济和社会发展统计公报》显示， 2020年和2022年全国居民人均可支配收人 分别为3.2万元和3.7万元.设2020年至 2022年全国居民人均可支配收入的年平均 3.如图⑤，围栏总长为a,BC的长为b,则 增长率为x,依题意可列方程为( Sau=b(a-b) A.3.2(1-x)2=3.7B.3.2(1+x)2=3.7 2 C.3.7(1-x)2=3.2 D.3.7(1+x)2=3.2 重点精析★提升练 精讲点1)一元二次方程及其解法 (重难点) 精讲点2 一元二次方程根的判别式（重难点） 例1(2022·平定县模拟)方程(x-2)2= 例2(2023·深圳三模)若关于x的一元二 3(x-2)的解是() 次方程x2+x+m=0有两个相等的实数根，则 A.x=5 B.1=5,x3=2 ) 实数m的值为( C.x1=1,x2=2 D.x=2 A.-4 B-4 c D.4 【思路分析】先移项得到(x-2)2-3(x-2)= 0,然后利用因式分解法解方程. 【思路分析】根据方程有两个相等的实数根，得 解：(x-2)2=3(x-2), 到△=0，建立关于m的方程，解答即可. x-2)'-3(x-2)=0,[把(x-2)看作一个整体] 解：，一元二次方程x2+x+m=0有两个相等 (x-2)(x-2-3)=0. 的实数根。 x-2=0或x-2-3=0 .△=0..12-4m=0, 所以x1=2,2=5 解得m=子故选C 故选B. 数学)23· 聚焦河南★瞄靶向 C.只有一个实数根 河南真题 D.没有实数根 命题点●》一元二次方程根的判别试(7年7考) 2.(2023·郑州模拟)关于x的一元二次方程x2+ x-2=m,下列说法正确的是(） 常考命题角度：根的情况问题(7年6考)、取值 范围问题(7年1考) A.当m=0时，此方程有两个相等的实数根 1.(2023·河南)关于x的一元二次方程x2+mx B.当m>0时，此方程有两个不相等的实数根 -8=0的根的情况是( C.当m<0时，此方程没有实数根 A.有两个不相等的实数根 D.此方程的根的情况与m的值无关 B.有两个相等的实数根 3.(2023·唐河三模)一元二次方程ax2+x-2= C.只有一个实数根 0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是 D.没有实数根 () 2.(2022·河南)一元二次方程x2+x-1=0的 1 1 A.a<- B.a=- 根的情况是( 8 8 A.有两个不相等的实数根 1 C.a>- 8 D.a>- B.没有实数根 C.有两个相等的实数根 ●数学文化 D.只有一个实数根 3.(2021·河南)若方程x2-2x+m=0没有实 1.(2021·舟山)欧几里得的《几何原本》中记载， 数根，则m的值可以是( 形如x2+ax=62的方程的图解法是：画 Rt△ABC,使∠ACB=90°， A.-1B.0 C.1 D.3 4.新定义(2020·河南)定义运算：m☆n=mn2 BC=号，AC=b,再在斜边AB mn-1.例如：4☆2=4×22-4×2-1=7.则方 程1☆x=0的根的情况为( 上截取BD=受则该方程的一个正根是( A.有两个不相等的实数根 A.AC的长 B.AD的长 B.有两个相等的实数根 C.BC的长 D.CD的长 C.无实数根 2.(2021·南通)1275年，我国南宋数学家杨辉在 D.只有一个实数根 《田亩比类乘除捷法》中提出这样一个问题：直 两年模拟 田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步.问 阔及长各几步.意思是：矩形面积864平方步，宽 1.(2022·鹤壁模拟)一元二次方程(x+2)· 比长少2步，问宽和长各几步.若设长为x步， (x-2)=5-3x的根的情况是() 则可列方程为 A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 温圈提园精讲精练，赢中考！请完成易练通8、P9的内容！ ■24河南易中考4.解：设A种魔方的单价为a元，B种魔方的单价为b元 【河南真题】1A r2a+6b=130. a=20 2.解：设菜苗基地每捆A种菜苗的价格是x元， 由题意可得 解得 3a=4h. b=15】 根据题意得300=300+3.解得x=20. x 5 答：4种魔方的单价为20元，B种魔方的单价为15元 4x 【命题角度拓展练】200 经检验，￥=20是原方程的解， 【两年模拟】1.B 答：菜苗基地每捆A种菜苗的价格是20元 2.解：设王师傅生产一个A型炒锅和一个B型炒锅分别可得 【两年模拟】1A2.3(x-1)=6210 r3x+2y=23. x=5 x元y元工资，由题意得 解得 4x+3y=32 y=4 3.解：设A种花卉每盆x元，则B种花卉每盆(x+0.5)元， 答：王师傅生产一个A型炒锅和一个B型炒锅分别可 由题意得60000-.90000 +0.5解得x=l, 得5元，4元工资. 经检验，x=1是所列方程的解，且符合题意， 3,解：设购进B种棕子x盒，则购进A种粽子(2x-4)盒， x+0.5=1.5, 根据题意得，25(2x-4)+30x=1500解得x=20. 答：A种花卉每盆1元，B种花卉每盆1.5元 2x-4=36 答：购进A种粽子36盒，B种粽子20盒. 第四节一元一次不等式（组）(1课时) 4.解：设每棵柳树苗的售价为x元，每棵银杏树苗的售价 【基础即时练】1.A2.A3.24.32 2x+3y=1800 fx=150 为y元，依题意得 解得 【变式训练】1.C2.33 4x+y=1100, y=500. 【河南真题】1.2<x≤32.x>a3.x≤-24.-2 答：每棵柳树苗的售价为150元，每棵银杏树苗的售价 5.解：(1)购买一件原价为450元的健身器材时， 为500元 选择活动一需付款：450×0.8=360元， 【数学文化】D 选择活动二需付款：450-80=370元， 第二节一元二次方程及其应用(1课时) 360<370,·.活动一更合算 (2)设一件这种健身器材的原价是x元， 【基础即时练】1.D2.D3.B 根据题意，得0.8x=x-80,解得x=400, 【河南真题】1.A2.A3.D4.A 答：一件这种健身器材的原价是400元 【两年模拟】1.A2.B3.D (3)一件这种健身器材的原价为a元， 【数学文化】1.B2.x·(x-12)=864 则活动一所需付款为：0.8a元， 第三节分式方程及其应用(1课时) 活动二当0<a<300时，所需付款为：a元， 当300≤a<600时，所需付款为：(a-80)元， 【基础即时练】1，x=4 当600≤m<900时，所需付款为：(a-160)元， 2解名日 ①当0<a<300时，a>0.8a,此时无论a为何值，都是 去分母得，2x=x-1. 活动一更合算，不符合题意 移项，合并同类项得，x=一1。 ②当300≤a<600时，a-80<0.8a,解得300≤a<400. 检验：当x=-1时，x(x-1)=2≠0， 即当300≤a<400时，活动二更合算， 所以原分式方程的解为x=一1. ③当600≤a<900时.a-160<0.8a,解得600≤a<800. 3.A 即当600≤a<800时，选择活动二更合算， -3