第2章 第1节 一次方程(组)及其应用(1课时)-【易中考】2024年中考总复习数学（河南专版）

第二章方程（组）与不等式（组） 第一节一次方程（组）及其应用(1课时) 考点清单★固基础 考点1等式的基本性质及其有关概念 2.解一元一次方程的一般步骤 L.等式的概念及性质 步骤 具体做法 注意事项 等式 表示相等关系的式子，叫做等式 若方程中未知数的 系数为分数，方程两 不要漏乘不含分母 等式两边加（或诚）同一个 去分母厨 应用：解方程中 边同时乘各分母的 的项 性质1数（或式子），结果仍相等， 的移项 最小公倍数 若a=b.则a±c=b±g 等式两边乘同一个数，或 括号前面是负号时， 依据去括号法则去 除以同一个不为0的数， 应用：解方程中 去括号 去括号后括号内各 括号 性质2 结果仍相等。 的去分母或系 项均要变号 若a=b,则ac=bc: 数化为1 含未知数的项移到 若a=b,则g=b(c≠0) e 等号的一边，不含未 移项 移项要变号 等式具有对称性和传递性： 知数的项移到另 其他 若a=b,则b=a: 一边 若a=b,b=c,则a=c 合并同把方程化为ax=-b 2.方程的相关概念 计算要认真、细致 类项 (a≠0)的形式 方程 含有未知数的等式叫做方程 方程两边同时乘未 方程 使方程左、右两边相等的未知数的值叫做 系数化 知数的系数的倒数， 的解 方程的解，一元方程的解也叫做方程的根 分子、分母不要颠倒 为1 解方程求方程解的过程叫做解方程 化为x=- 的形式 考点2》一元一次方程及其解法 (重点) 》基础即时练 1.一元一次方程：在整式方程中，只含有一个未 1.(2022春·宜阳县期中)解方程3x,-」 2 知数，并且未知数的次数是1，系数不等于0 的方程叫做一元一次方程.ax+b=0(a≠0) 4x+2-1时，去分母正确的是( 5 是一元一次方程的标准形式 A.5(3.x-1)=2(4x+2)-1 b 【温馨提示】(1)a≠0时，方程有唯一解x=-; B.2(3x-1)=5(4x+2)-1 C.5(3x-1)=2(4x+2)-2 (2)a=0,b=0时，方程有无数个解： D.5(3x-1)=2(4x+2)-10 (3)a=0,b≠0时，方程无解 数学17▣ 考点3)二元一次方程（组）及其解法（重点）》 2.一次方程（组）的应用题中常见的题型及数量 关系 1.二元一次方程：方程含有两个未知数，并且含 销售额=售价×销量： 有未知数的项的次数都是“1”的整式方程： 利润=销售额一成本： 相关 销售打 2.二元一次方程组：把具有相同未知数的两个 概念 折问题 利润率=利润 进价 ×100%: 二元一次方程（或一个二元一次方程，一个一元 售价=标价×折扣率 次方程)联立起来组成的方程组 利息=本金×利率×期数： 储蓄问题 基本 消元，即将二元一次方程组转化为一元一次 本息和=本金+利息=本金×(1+利率 (单利) 思想 方程 ×期数) 路程=速度×时间. 1.代人消元法：当方程组中一个未知数的系数 相遮问题：两地距离=两者路程和. 是1或-1，或一个方程的常数项为0时，选择 追及问题： 解题 代入消元法较简单； 行程 同地不同时，前者路程=追者路程， 方法 2.加减消元法：当方程组中同一个未知数的系 问题 同时不同地，前者路程+两地距离=追 数相等或互为相反数或成整数倍关系时，选择 者路程 加减消元法较简单 航行问题：顺速=船速+水速： 》基础即时练 逆速=船速-水速 x+y=3, 一个三位数，个位上的数字为“，十位上 2.(2023·温州三模)解方程组： 数字 3x-y=5. 的数字为b,百位上的数字为c,则这个三 问题 位数是100c+106+a 浓度问题 溶液=溶质+溶剂： (跨学科)溶质=浓度×溶液 》基础即时练 3.(2023·安徽)根据经营情况，公司对某商 品在甲、乙两地的销售单价进行了如下调 整：甲地上涨10%，乙地降价5元.已知销售 单价调整前甲地比乙地少10元，调整后甲 地比乙地少1元，求调整前甲、乙两地该商 考点4一次方程（组）的应用 品的销售单价 1.列方程（组）解应用题的一般步骤 即审清题意，分清题中的已知量和未知量 设 即设出关键未知数 列 即找出题干中的等量关系，列方程（组） 解 即解方程（组） 验 即检验结果是否正确或是否有实际意义 答 回归题目，规范作答 。18(河南易中考 重点精析女提升练 精讲点1二元一方程（组）及其解法（难点） 精讲点2 一次方程（组）的应用（重难点）》 fa=2, 5例2(2023·山西)风陵渡黄河公路大桥是 例 是二元一次方程组 连接山西、陕西、河南三省的交通要塞.该大桥 3 x+by=5 限重标志牌显示，载重后总质量超过30吨的车 的解，则x+2y的算术平方根为 辆禁止通行.现有一辆自重8吨的卡车，要运输 Lax -by =2 若干套某种设备，每套设备由1个A部件和3 (审题要细致啊)( 个B部件组成，这种设备必须成套运输.已知1 A.3 B.3,-3 个A部件和2个B部件的总质量为2.8吨，2个 C.3 D.3,-5 A部件和3个B部件的质量相等.求1个A部件 【思路分析】将{ 口=2·代入方程组即可得到关于 和1个B部件的质量各是多少 b=1 风酸型黄调 公路大桥30 x,y的二元一次方程组 限数30， 超载车辆请绕行 解：将 a=2 代入原方程组，得 黄河大桥 b=1 Hu3内h专8 ridge 40 3x+y=5, ① 2x-y=2,② 、7 ①+②，得5x=7x=5 【思路分析】设一个A部件的质量为x吨，一个 将=子代人①， B部件的质量为y吨.然后根据等量关系“1个 A部件和2个B部件的总质量为2.8吨”和“2 +y=5y 个A部件和3个B部件的质量相等”列二元一 次方程组求解即可 7,8 “+2双=N5+5 =,3(算术平方根是非负 解：设一个A部件的质量为x吨，一个B部件的 质量为y吨 数).故选C. x+2y=2.8. 、名师点睛 同学们一般都可能用上迷方法求 根据题意，得 2x=3y, 解，事实上，这道题目整体求解更容易， x=1.2, ①-②得x+2y=3(无需分别求出x和y), 解得 y=0.8. .x+2y=3.故选C. 答：一个A部件的质量为1.2吨，一个B部件的 质量为0.8吨 数学)19■ 聚焦河南★瞄靶向 种魔方和4个B种魔方所需钱数相同.求两 河南真题 种魔方的单价。 命题点1二元一方程（组）及其解法(7年1考) 1.(2023·河南)方程组 3x+y=5的解为 lx+3y=7 命题点2》一次方程（组）的应用(7年3考) 常考命题角度：由实际问题抽象出二元一次方 》命题角度拓展练 程组(7年3考) (2021·金昌)暑假期间，某眼镜店开展学生配 2.(2019·河南节选)学校计划为“我和我的祖 镜优惠活动.某款式眼镜的广告如下，请你为 国”演讲比赛购买奖品.已知购买3个A奖品和 广告牌填上原价 2个B奖品共需120元：购买5个A奖品和4个 原价： 元 B奖品共需210元求A,B两种奖品的单价 暑假八折优惠，现价：160元 两年模拟 1.数学文化(2023·安阳二模)《九章算术》是 中国古代的数学专著，它以计算为中心，以解 决人们生产、生活中的数学问题为目的，书中 3.数学文化(2018·河南)《九章算术》中记载： 有一个数学问题：今有数人共同买进（一种像 “今有共买羊，人出五，不足四十五：人出七， 玉的美石)，每人出)两钱，多出4两钱：每人 不足三.人数、羊价各几何？”其大意是：今有 人合伙买羊，若每人出5钱，还差45钱：若每 出？两钱，少3两钱，问人数、进的价格分别 人出7钱，还差3钱.合伙人数、羊价各是多 是多少.若设人数为x人，根据题意，可以列 少？设合伙人数为x人，羊价为y钱，根据题 出方程( 意，可列方程组为() A.P=5r+45, B.P=5x-45. +4=-3 3t+3 =7x+3 ly=7x+3 C.=5+45, D.=5x-45. C2-3=+4D244=+3 y=7x-3 y=7x-3 2.(2022·许昌二模)某厂根据委托生产A,B两 4.(2017·河南节选)学校“百变魔方”社团准 种型号的炒锅.王师傅在该厂工作，每月工作 备购买A,B两种魔方，已知购买2个A种魔 22天，每天工作8小时，工厂按计件的方式给 方和6个B种魔方共需130元：购买3个A 工人发工资.王师傅每小时可以生产4个A 。20(河南易中考) 型炒锅或6个B型炒锅.已知王师傅生产3 4.为响应市委、市政府创建“森林城市”的号召， 个A型炒锅和2个B型炒锅可得工资23元， 某中学在校园内计划种植柳树和银杏树.已 生产4个A型炒锅和3个B型炒锅可得工资 知购买2棵柳树苗和3棵银杏树苗共需 32元.王师傅生产一个A型炒锅和一个B型 1800元，购买4棵柳树苗和1棵银杏树苗共 炒锅分别可得多少元工资？ 需1100元.求每棵柳树苗和每棵银杏树苗各 多少钱。 ·数学文化 3.(2023·济源一模)某经销商在生产厂家订购 (2021·上海二模)我国元代数学家朱世杰的数 了两种畅销的粽子，两种粽子的进货价和销 学著作《四元玉鉴》中有一个“二果问价”问题， 售价如下表： 其内容如下：九百九十九文钱，甜果苦果买 类别 A种 B种 千，甜果九个十一文，苦果七个四文钱，试问买 甜果苦果各几个，又问各该几个钱，若设买甜果 进货价/（元/盒） 25 30 x个，买苦果y个，根据题意，可列方程组为 销售价/（元/盒） 32 40 () 若经销商用1500元购进A,B两种棕子，其中 x+y=999, x+y=1000. A种的数量是B种数量的2倍少4盒，求A,B A.11.4 B. 9 7 两种棕子各购进了多少盒 9x+7y=1000 T+4y=999 x+y=1000, rx+y=1000, C. D. 114 99x+28y=999 71=99g 【知识背景】《四元玉鉴》是中国元代重要著作 之一，是杰出数学家朱世杰的代表作，书中所有 问题都与求解方程或求解方程组有关，其中的 成果被视为中国筹算系统发展的顶峰， 温圈提园精讲精练，赢中考！请完成易练通6、P门的内容！ 数学)21■=（m+1)(m-1业.(m+3)(m-3) m+3 m+1 6.解：原式=3-(45-25)÷5+万× 3 =(m-1)·(m-3)=m2-4m+3. =3-2+1 m2-4m-6=0..m2-4m=6 =2. .原式=m2-4m+3=6+3=9. 7.解：原式=9-62+2+62-1=10. 3 5解：原式+2)-2)2+ x+2 解：原式=26+1-雪号6+1 3 .x+2-1 =(x+2)(x-2)3 x-2 9解：原式=(4厄45)+8×分+1-5-41+(-) ,x=31an30°+2=3× 3+2=3+2. =2+4+1-4+2+(-1)】 原式= 1 =2+2. 3+2-23 6解：原式=之-1年x-) 第二章方程（组）与不等式（组）】 xx(x-1) 第一节一次方程（组）及其应用(1课时) =-1)(x+1).x(x-1） (x-1) 【基础即时练】1.D =x+1. x+y=3,① 由题意可得x≠0，x≠1， 2.解： 3x-y=5,② 又：-5<x<5,要选一个整数， ①+②得4x=8. 可取x=-1,此时，原式=-1+1=0. 解得x=2 【数学文化】 将x=2代人①，得y=1. 解：0品5+6 x=2, ∴原方程组的解为 ly=1. (2)能找到无数个. 3.解：设调整前甲，乙两地该商品的销售单价分别为x元， x+10=y, y元，根据题意得， (3)a=mn. x(1+10%)+1=y-5, 证明：因为1=1+1 x=40. aa+m'a+n' 解得 y=50. (a+m)(a+n)=a(a+n)+a(a+m), 答：调整前甲、乙两地该商品的销售单价分别为40元， a+(m+n)a+mn =a+an +a ma, 50元. 即mn=a2,所以a=√mn x=1, 【河南真题】 第四节二次根式(1课时) y=2 2.解：设A,B两种奖品的单价分别为x元y元，依题意， 【基础即时练】1.x≥32.B3.1 r3x+2y=120. 「x=30, 解得 【河南真题】1.D2.D3.3(答案不唯一) 5x+4y=210. ly=15. 【两年模拟】1.C2.A3.C4.4(答案不唯一) 答：4，B两种奖品的单价分别为30元，15元 5.解：原式=32+1+2=32+3 3.A 2— 4.解：设A种魔方的单价为a元，B种魔方的单价为b元 【河南真题】1A r2a+6b=130. a=20 2.解：设菜苗基地每捆A种菜苗的价格是x元， 由题意可得 解得 3a=4h. b=15】 根据题意得300=300+3.解得x=20. x 5 答：4种魔方的单价为20元，B种魔方的单价为15元 4x 【命题角度拓展练】200 经检验，￥=20是原方程的解， 【两年模拟】1.B 答：菜苗基地每捆A种菜苗的价格是20元 2.解：设王师傅生产一个A型炒锅和一个B型炒锅分别可得 【两年模拟】1A2.3(x-1)=6210 r3x+2y=23. x=5 x元y元工资，由题意得 解得 4x+3y=32 y=4 3.解：设A种花卉每盆x元，则B种花卉每盆(x+0.5)元， 答：王师傅生产一个A型炒锅和一个B型炒锅分别可 由题意得60000-.90000 +0.5解得x=l, 得5元，4元工资. 经检验，x=1是所列方程的解，且符合题意， 3,解：设购进B种棕子x盒，则购进A种粽子(2x-4)盒， x+0.5=1.5, 根据题意得，25(2x-4)+30x=1500解得x=20. 答：A种花卉每盆1元，B种花卉每盆1.5元 2x-4=36 答：购进A种粽子36盒，B种粽子20盒. 第四节一元一次不等式（组）(1课时) 4.解：设每棵柳树苗的售价为x元，每棵银杏树苗的售价 【基础即时练】1.A2.A3.24.32 2x+3y=1800 fx=150 为y元，依题意得 解得 【变式训练】1.C2.33 4x+y=1100, y=500. 【河南真题】1.2<x≤32.x>a3.x≤-24.-2 答：每棵柳树苗的售价为150元，每棵银杏树苗的售价 5.解：(1)购买一件原价为450元的健身器材时， 为500元 选择活动一需付款：450×0.8=360元， 【数学文化】D 选择活动二需付款：450-80=370元， 第二节一元二次方程及其应用(1课时) 360<370,·.活动一更合算 (2)设一件这种健身器材的原价是x元， 【基础即时练】1.D2.D3.B 根据题意，得0.8x=x-80,解得x=400, 【河南真题】1.A2.A3.D4.A 答：一件这种健身器材的原价是400元 【两年模拟】1.A2.B3.D (3)一件这种健身器材的原价为a元， 【数学文化】1.B2.x·(x-12)=864 则活动一所需付款为：0.8a元， 第三节分式方程及其应用(1课时) 活动二当0<a<300时，所需付款为：a元， 当300≤a<600时，所需付款为：(a-80)元， 【基础即时练】1，x=4 当600≤m<900时，所需付款为：(a-160)元， 2解名日 ①当0<a<300时，a>0.8a,此时无论a为何值，都是 去分母得，2x=x-1. 活动一更合算，不符合题意 移项，合并同类项得，x=一1。 ②当300≤a<600时，a-80<0.8a,解得300≤a<400. 检验：当x=-1时，x(x-1)=2≠0， 即当300≤a<400时，活动二更合算， 所以原分式方程的解为x=一1. ③当600≤a<900时.a-160<0.8a,解得600≤a<800. 3.A 即当600≤a<800时，选择活动二更合算， -3