精品解析：广东省清远市四校联盟2024-2025学年高一上学期11月期中联考数学试题

2024－2025学年第一学期四校联盟期中联考试题 高一数学 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的） 1. 设集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用列举法表示集合A，再利用交集的定义求解即得． 【详解】依题意，，而， 所以． 故选：B 2. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据存在量词命题的否定可得否定命题. 【详解】命题“”的否定是“”. 故答案为：B. 3. 已知，，则p是q的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据充分必要条件的规定,分别判断充分性和必要性是否满足即得. 【详解】因，故由得不出，即p不是q的充分条件； 而由可得，故必有成立，即p是q的必要条件， 故p是q的必要不充分条件. 故选：B. 4. 下列函数中与函数相等的函数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数相等的判断方法，即从函数定义域和对应法则一一分析即可. 【详解】对A，的定义域为，而的定义域，故两者不是相等函数，故A错误； 对B，，其定义域为，则其与为相等函数，故B正确； 对C，的定义域为，而的定义域为，故两者不是相等函数，故C错误； 对D，，与的对应法则不同，故两者不是相等函数，故D错误. 故选：B. 5. ，，，，下列不等式恒成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】ACD举反例；B选项由不等式的可加性可判断. 【详解】对于A，若，则，选项不成立，故A错误； 对于B，由不等式的可加性可知，，故B正确； 对于C、D，若，则选项不成立，故C、D错误． 故选：B． 6. 我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休．”在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来研究函数图象的特征．我们从这个商标中抽象出一个图象如图，其对应的函数可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由图象知函数的定义域排除选项A、D，再根据不成立排除选项C，即可得正确选项. 【详解】因为函数的定义域为，函数的定义域为， 函数与的定义域均为. 由图知的定义域为，排除选项A、D， 对于，当时，，不符合图象，所以排除选项C. 故选：B. 7. 已知偶函数的图象经过点且当时， 不等式 恒成立，则使得 成立的x取值范围为( ) A. B. C. (1，3) D. [1，3] 【答案】B 【解析】 【分析】根据偶函数的图象经过点，可得，由函数的单调性的定义判断函数在上单调递减，列出不等式，解之即可. 【详解】由题意知，偶函数的图象经过点， 所以点也在图象上，即， 当时，不等式恒成立， 则，所以函数在上单调递减， 所以等价于， 所以，解得或， 所以x的取值范围为. 故选：B. 8. 德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其命名的函数被称为狄利克雷函数，其中为实数集，为有理数集，以下关于狄利克雷函数的四个结论中，正确的个数是个. ①函数偶函数； ②函数的值域是； ③若且为有理数，则对任意的恒成立； ④在图象上存在不同的三个点，，，使得为等边角形. A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】当时，，当时，，函数为偶函数，①正确，函数的值域是，②正确，为有理数，则当时，，当时，，故，③正确，，，构成等边三角形，故④正确，得到答案. 【详解】当时，，当时，，故，函数为偶函数，①正确； 函数的值域是，②正确； 为有理数，则当时，，当时，，故，③正确； ，，，故，，构成等边三角形，故④正确； 故选：D. 【点睛】本题考查了函数的新定义问题，意在考查学生的理解能力和对于函数性质的灵活运用. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对但不全的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知幂函数的图象经过点，则（ ） A. 函数为增函数 B. 函数为偶函数 C. 当时， D. 当时， 【答案】ACD 【解析】 【分析】设幂函数的解析式，代入点，求得函数的解析式，根据幂函数的单调性可判断A、C项，根据函数的定义域可判断B项，结合函数的解析式，利用平方差证明不等式可判断D项. 【详解】解：设幂函数，则，解得，所以， 所以的定义域为，在上单调递增，故A正确， 因为的定义域不关于原点对称，所以函数不是偶函数，故B错误， 当时，，故C正确， 当时，， 又，所以，D正确． 故选：ACD. 10. 若正实数满足，则下列说法正确的是（　　） A. 有最小值为 B. 有最小值为 C. 有最小值为 D. 有最大值为 【答案】BC 【解析】 【分析】A、C、D选项直接用基本不等式得出结论，B选项需用巧用“1”技巧进行化简即可使用基本不等式. 【详解】对于A：因为，则，当且仅当，即时取等号，故A错误， 对于B，，当且仅当，即时取等号，故B正确， 对于C：因为，则，当且仅当，即时取等号，故C正确， 对于D：因为， 当且仅当，即，时取等号，这与均为正实数矛盾，故D错误， 故选：BC 11. 定义在R上的连续函数满足，，，，则（ ） A. B. 当x，时， C. 若，则为偶函数 D. 当时， 【答案】BC 【解析】 【分析】举反例即可判断A，D；利用赋值法推出，从而可判断B；利用赋值法结合偶函数定义判断C. 【详解】对于A项，令，则满足题中所给条件，但此时有，A项错误； 对于B项，当x，时，取，则，所以， 所以，B项正确； 对于C项，由题意得定义域关于原点中心对称，且， 则，所以为偶函数，C项正确； 对于D项，令，则满足题中所给条件， 但当时，，故不成立，D项错误． 故选：BC 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知，则______ 【答案】4 【解析】 【分析】根据分段函数规定，代入自变量的值计算即得对应函数值. 【详解】因，则. 故答案为：4. 13. 已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则____． 【答案】 【解析】 【分析】设，则利用奇函数的定义得出，可得出函数在上的解析式.即可求解 【详解】设，则，则， 函数是上的奇函数，则当时，. 又， 所以 故答案为： . 14. 定义，若函数，则的最大值为________；若在区间上的值域为，则的最大值为________． 【答案】 ①. 3 ②. ##1.75 【解析】 【分析】根据定义作出函数的图象，写出解析式，即可求出最大值；根据函数值域，求出对应点的坐标，利用数形结合进行求解的最大值． 【详解】根据定义作出的大致图象，如图， 其中， 即 由图可知，当时，取最大值3． 当时，当或时，由，解得：或； 当时，当时，由，解得：． 由图可知，若函数在区间上的值域为，则最大值为． 故答案为：3，． 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知集合，． （1）求； （2）求． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）（2）解一元一次不等式求集合B，再由集合的交、并、补运算求集合. 【小问1详解】 由，又， 所以. 【小问2详解】 由（1）知：，或， 所以. 16. 已知关于的不等式的解集为或． （1）求的值； （2）求关于的不等式的解集． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据一元二次不等式的解集确定对应方程的根，再利用方程的系数与根的关系求参数即可； （2）代入参数，解一元二次不等式即可. 【小问1详解】 关于的不等式的解集为或， ∴，且和4是方程的两实数根， 由根与系数的关系知，，解得； 【小问2详解】 由（1）知，时， 不等式为， ∴不等式的解集是. 17. 已知函数，． （1）若过点，求解析式； （2）若． （ⅰ）当函数不单调，求a的取值范围； （ⅱ）当函数的最小值是关于a的函数，求表达式 【答案】（1） （2）（ⅰ）；（ⅱ） 【解析】 【分析】（1）根据题意，将点代入函数的解析式，求得，即可求解； （2）（ⅰ）根据题意，结合二次函数的图象与性质，列出不等式，即可求解； （ⅱ）由（ⅰ）知，对称轴为，结合二次函数性质，分，和，三种情况讨论，即可求解. 【小问1详解】 因为函数过点， 将点代入函数的解析式，可得，解得， 所以函数解析式为. 【小问2详解】 （ⅰ）由函数， 可得其图象对应的抛物线开口向上，且对称轴为， 要使得函数不单调，可得，解得， 所以实数a的取值范围； （ⅱ）由（ⅰ）知，函数的图象对应的抛物线开口向上，且对称轴为， 当时，即时，在单调递增，所以； 当时，即时，在单调递减，在单调递增， 所以； 当时，即时，在单调递减，所以， 所以表达式为 18. 生产A产品需要投入年固定成本5万元，每年生产万件，需要另外投入流动成本万元，且，每件产品售价为10元，且生产的产品当年能全部售完. （1）写出利润（万元）关于年产量（万件）的函数解析式；（年利润=年销售收入-固定成本-流动成本） （2）年产量为多少万件时，该产品的年利润最大？最大年利润是多少？ 【答案】（1） （2）当年产量为7万件时，年利润最大，最大年利润为万元. 【解析】 【分析】（1）根据“年利润=年销售收入-固定成本-流动成本”求得. （2）结合二次函数的性质以及基本不等式求得正确答案. 【小问1详解】 依题意，. 【小问2详解】 由（1）得， 当，所以的最大值为； 当时，， 当且仅当时等号成立， 当时，；当时，； 由于， 所以当年产量为7万件时，年利润最大，最大年利润为万元. 19. 已知有限集，如果中的元素满足，就称为“完美集”. （1）判断：集合是否是“完美集”并说明理由； （2）是两个不同的正数，且是“完美集”，求证：至少有一个大于2； （3）若为正整数，求：“完美集”. 【答案】（1） 由，所以集合是“完美集”； （2） 若是两个不同的正数， 且是“完美集”， 设， 根据根与系数关系可知相当于方程的两根， 由于，解得或（舍）， 所以， 又均为正数， 所以，当且仅当时成立 是两个不同的正数， 所以至少有一个大于2； （3） 【解析】 【分析】（1）根据“完美集”的定义，进行判断即可； （2）根据“完美集”的定义，结合集合的运算，以及一元二次方程的性质进行求解即可； （3）设设中，得到，分，，进行分类讨论即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 不妨设中， 由， 得， 当时，即有， 又为正整数，所以， 则，则无解，即不存在满足条件的“完美集”； 当时，即有， 故只能， 则，可求得， 于是此时“完美集”只有一个为； 当时，由， 即有， 又， 又，所以， 即， 又， 即，与矛盾， 所以当时，不存在“完美集”； 综上所述，“完美集”为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024－2025学年第一学期四校联盟期中联考试题 高一数学 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的） 1. 设集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 3. 已知，，则p是q的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 4. 下列函数中与函数相等的函数是（ ） A. B. C. D. 5. ，，，，下列不等式恒成立的是（ ） A. B. C. D. 6. 我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休．”在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来研究函数图象的特征．我们从这个商标中抽象出一个图象如图，其对应的函数可能是（ ） A. B. C. D. 7. 已知偶函数的图象经过点且当时， 不等式 恒成立，则使得 成立的x取值范围为( ) A. B. C. (1，3) D. [1，3] 8. 德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其命名的函数被称为狄利克雷函数，其中为实数集，为有理数集，以下关于狄利克雷函数的四个结论中，正确的个数是个. ①函数偶函数； ②函数的值域是； ③若且为有理数，则对任意的恒成立； ④在图象上存在不同的三个点，，，使得为等边角形. A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对但不全的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知幂函数的图象经过点，则（ ） A. 函数为增函数 B. 函数为偶函数 C. 当时， D. 当时， 10. 若正实数满足，则下列说法正确的是（　　） A. 有最小值为 B. 有最小值为 C. 有最小值为 D. 有最大值为 11. 定义在R上的连续函数满足，，，，则（ ） A. B. 当x，时， C. 若，则为偶函数 D. 当时， 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知，则______ 13. 已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则____． 14. 定义，若函数，则的最大值为________；若在区间上的值域为，则的最大值为________． 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知集合，． （1）求； （2）求． 16. 已知关于的不等式的解集为或． （1）求的值； （2）求关于的不等式的解集． 17. 已知函数，． （1）若过点，求解析式； （2）若． （ⅰ）当函数不单调，求a的取值范围； （ⅱ）当函数的最小值是关于a的函数，求表达式 18. 生产A产品需要投入年固定成本5万元，每年生产万件，需要另外投入流动成本万元，且，每件产品售价为10元，且生产的产品当年能全部售完. （1）写出利润（万元）关于年产量（万件）的函数解析式；（年利润=年销售收入-固定成本-流动成本） （2）年产量为多少万件时，该产品的年利润最大？最大年利润是多少？ 19. 已知有限集，如果中的元素满足，就称为“完美集”. （1）判断：集合是否是“完美集”并说明理由； （2）是两个不同的正数，且是“完美集”，求证：至少有一个大于2； （3）若为正整数，求：“完美集”. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $