专题5.5 行程问题（六大题型总结）——一元一次方程的应用（压轴题专项讲练）-2024-2025学年七年级数学上册压轴题专项讲练系列（浙教版2024）

专题5.5 行程问题（六大题型总结） 【题型一：单人行程问题】 1．（23-24七年级上·广东深圳·期末）一列火车正在匀速行驶，它先用的时间通过了一条长的桥（即从车头进入桥头到车尾离开桥尾），又用的时间通过了一条长为的桥，这列火车的长度是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级上·全国·课堂例题）小华骑自行车从家到学校，若她的速度为，则可早到；若她的速度为，则会迟到．她家到学校的路程是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24八年级上·河北石家庄·期中）嘉洪的爸爸平时开车从家中到嘉洪姥姥家，匀速行驶需要3小时． 某天，父女俩以平时的速度行驶了的路程时遇到了暴雨，立即将车速减少了20千米/小时，到达姥姥家时共用了小时，则嘉洪家到姥姥家的距离是（　　） A．150千米 B．160千米 C．180千米 D．200千米 4．（24-25七年级上·重庆·阶段练习）甲、乙两地相隔一座山岭，某人从甲地到乙地用小时，从乙地回到甲地用小时，他往返途中上山速度是3千米/时，下山速度是4千米/时，则甲、乙两地间的山岭路程有（    ）千米． A．24 B．24.5 C．49 D．48 5．（23-24七年级上·湖北武汉·期末）某摄制组从市到市有一天的路程，计划上午比下午多走100千米到市吃午饭，但由于堵车，中午才赶到一个小镇，只行驶了上午原计划的三分之一，过了小镇，汽车行驶了500千米，傍晚才停下来休息，司机说，再走从市到这里的路程的二分之一就到达目的地了．，两市相距 千米． 6．（24-25七年级上·全国·期末）科技创新小组为测试新款机器人的性能，令机器人在一个长的笔直测试道上来回运动，当机器人到达起点或终点时立即按当前运行速度折返，每次运动时间为，运动过程如下：第次从起点出发以的速度运动到记录点；第次从出发以的速度运动到记录点；第次从出发以的速度运动到记录点；第次从出发以的速度运动到记录点，到达后停止．若机器人的运动速度不超过，记录点恰好为终点，则的值为 ． 【题型二：相遇问题】 7．（24-25七年级上·广西南宁·开学考试）A、B两地相距5760千米，甲车从A地开往B地，每小时行驶30千米，甲车开出2小时后，乙车从B地开往A地，它的速度是甲车的4倍，乙车开出（     ）小时两车相遇． A．38 B．40 C．42 D．44 8．（23-24七年级上·江苏南通·阶段练习）五羊中学学生郊游，沿着与笔直的铁路线并列的公路匀速前进，每小时走4500米，一列火车以每小时120千米的速度迎面开来，测得从车头与队首学生相遇，到车尾与队末学生相遇，共经过60秒，如果队伍长500米，那么火车长（    ）米 A．2070 B．1575 C．2000 D．1500 9．（24-25七年级上·重庆·开学考试）甲、乙、丙三人步行的速度分别为每分钟100米、90米、75米．甲在公路上A处，丙在公路上B处，乙在A、B两地之间，且距B地125米处．三人同时出发，甲与乙、丙相向而行，甲和乙相遇5分钟后，甲和丙又相遇了，求A、B之间的距离． 10．（23-24六年级下·黑龙江哈尔滨·开学考试）A、B两地相距32千米，两地间有一条平直的公路，甲从A地出发匀速前往B地，甲的速度为4千米/时，甲出发30分钟后，乙从B地出发，沿同一条公路匀速前往A地，甲的速度是乙速度的，当两人相距5千米时，乙距A地 千米． 11．（24-25七年级上·河北沧州·期中）一辆快车从A地匀速驶往B地，同时一辆慢车从B地匀速驶往A地，两车行驶时相遇，相遇地点距B地．相遇后再行驶，快车到达B地，休息后立即以原速返回，驶往A地． （1）快车的速度是_____，慢车的速度是_____；A、B两地的距离是_____； （2）从两车出发直至慢车到达A地的过程中，经过几小时两车相距？ 12．（23-24七年级上·全国·期末）甲乙两地相距千米，两条狗从甲乙两地相向奔跑，它们每分钟分别跑450米和350米，它们相向跑1分钟后，同时掉头背向跑2分钟，又掉头相向跑3分钟，再掉头背向跑4分钟，…直到相遇为止，从出发到相遇需 分钟． 【题型三：追及问题】 13．（23-24七年级上·全国·单元测试）甲以的速度先走，乙以的速度追甲，则乙追上甲需要的时间为 ． 14．（2024七年级·全国·竞赛）甲乘汽车去拜访乙，在汽车上突然发现乙正往相反的方向走，甲忙喊停车，1分钟后，甲下车去追乙．若甲的速度是乙的速度的2倍，但比汽车的速度慢80%，则自甲下车后追上乙所用的时间为 分钟． 15．（23-24七年级上·四川泸州·期末）某校组织七年级学生从学校乘大客车去实践基地开展研学游活动．小李因事迟到了分钟才赶到学校，他立即坐上爸爸的小汽车从学校出发，沿相同的路线用了分钟在路上追上了大客车．已知小汽车的速度比大客车的速度每小时多千米，分别求大客车、小汽车的速度． 16．（23-24七年级上·陕西西安·开学考试）小明以60米/分的速度步行去图书馆，5分钟后爸爸发现他忘了带图书证，爸爸立即骑自行车以300米/分的速度去追小明，并且在途中追上了他，请解决以下问题： （1）爸爸追上小明用了多长时间？ （2）爸爸追上小明后，小明搭爸爸的自行车去图书馆，结果比只步行提前了10分钟到，若爸爸搭上小明后的骑行速度为240米/分，求小明家离图书馆有多远？ 17．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）A、B两地相距，一列快车以的速度从A地匀速驶往B地，到达B地后立刻原路原速返回A地，一列慢车以的速度从地匀速驶往地．两车同时出发，截止到它们都到达终点时，两车恰好相距的次数是（    ）次 A．5 B．4 C．3 D．2 18．（23-24七年级上·山东淄博·阶段练习）某学校七年级学生组织步行到郊外旅行，701班学生组成前队，速度为每小时4千米， 702班同学组成后队，速度为每小时6千米，前队出发1小时后，后队才出发，同时，后队派出一名联络员骑自行车在两队之间不断地来回进行联络，骑车的速度是每小时12千米（队伍长度忽略不计）． （1）后队出发后多长时间可以追上前队？ （2）后队刚好追上前队时，联络员共骑行了多少千米？ （3）联络员出发到他第一次追上前队的过程中，何时联络员离前队的距离与他离后队的距离相等？ 【题型四：环形跑道问题】 19．（23-24七年级上·广东汕头·期末）甲乙两人在300米的环形跑道上跑步，甲每分钟跑100米，乙每分钟跑80米，若他们从同一地点同时同向出发，则（     ）分钟后他们第一次相遇． A．10 B．15 C．20 D．30 20．（23-24七年级上·广东东莞·开学考试）哥哥和弟弟在400米的环形跑道上跑步．若两人同时同地反向出发，则4分钟相遇；若同时同地同向出发，40分钟哥哥追上弟弟，哥哥每分钟跑 米． 21．（24-25七年级上·全国·期中）甲、乙两同学从400米环形跑道上的某一点背向出发，分别以每秒2米和每秒3米的速度跑步．6秒钟后，一只小狗从甲处以每秒6米的速度向乙跑，遇到乙后，又从乙处以每秒6米速度向甲跑，如此往返，直至甲乙第一次相遇，那么小狗一共跑了 米 ． 22．（23-24七年级上·河南郑州·开学考试）某城市举行环城自行车比赛．比赛路线一圈是6千米，甲车速度是乙车速度 ，如果在出发后1小时10分时，乙车恰好第二次追上甲车，那么乙车比甲车每分钟多走 千米． 23．（23-24七年级上·江苏连云港·阶段练习）运动场环形跑道周长，小红跑步的速度是爷爷的倍，他们从同一起点沿跑道的同一方向同时出发，后小红第一次与爷爷相遇．小红和爷爷相遇后立即转身沿相反方向跑，第一次相遇多少分钟后小红再次与爷爷相遇？ 24．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·期中）小明和小亮在400米环形跑道上练习跑步，已知小明的速度为每秒5米，小亮的速度比小明快，两人同时同地出发，经过 秒，两人第一次相遇． 25．（23-24七年级下·河南鹤壁·阶段练习）如图，正方形的边长为6，甲、乙两动点分别从正方形ABCD的顶点A，C同时沿正方形的边开始运动，甲按顺时针方向环行，乙按逆时针方向环行，若甲的速度是乙速度的2倍，则它们第次相遇是在（    ） A．边上 B．A点 C．边上 D．B点 26．（23-24七年级上·陕西西安·期末）如图，正方形ABCD的轨道上有两个点甲与乙，开始时甲在A处，乙在C处，它们沿着正方形轨道顺时针同时出发，甲的速度为每秒1cm，乙的速度为每秒5cm，已知正方形轨道ABCD的边长为2cm，则乙在第2024次追上甲时的位置（    ） A．AB上 B．BC上 C．CD上 D．AD上 【题型五：水流问题】 27．（23-24七年级上·陕西西安·期末）一艘轮船在静水中的航行速度为，水流速度为，从甲码头顺流航行到乙码头，再逆流航行返回甲码头，共用（不计停留时间），求甲、乙两码头间的距离． 28．（23-24七年级上·广东东莞·期末）一架飞机从城市飞城市顺风行驶，用了2小时分钟，从城市返回城市逆风飞行，用了3小时．已知风的速度是千米/时，求飞机在无风航行时的平均速度． 29．（23-24七年级上·广西南宁·开学考试）一条船往返于甲、乙两港之间，由甲至乙是顺水行驶，由乙至甲是逆水行驶．已知船在静水中的速度为8千米/时，平时逆行与顺行所用的时间之比为，某天恰逢暴雨，水流速度为原来的2倍，这条船往返共用了9小时．问：甲、乙两港相距多少千米？ 30．（23-24七年级上·江苏南通·阶段练习）一只小船从甲港到乙港逆流航行需2小时，水流速度增加一倍后，再从甲港到乙港航行需3小时，水流速度增加后，则乙港返回甲港需航行 ． 31．（23-24七年级上·江苏泰州·阶段练习）三地在同一条河流边，某人乘船由地顺流而下到地，然后又逆流而上到地，共乘船3小时，已知船在静水中的速度是每小时6千米，水流速度是每小时2千米，若两地距离为3千米，则两地之间的距离是 千米． 32．（2024七年级上·全国·专题练习）一艘快艇从A码头到B码头顺流行驶，同时一艘游船从B码头出发顺流而下．已知，A、B两码头相距140千米，快艇在静水中的平均速度为67千米/小时，游船在静水中的平均速度为27千米/小时，水流速度为3千米/小时． （1）请计算两船出发航行30分钟时相距多少千米？ （2）如果快艇到达B码头后立即返回，试求两船在航行过程中需航行多少时间恰好相距100千米？ 【题型六：上坡下坡问题】 33．（23-24七年级下·四川成都·开学考试）（行程问题）某人从山脚上山平均每小时行35千米，从山顶沿原路下山时平均每小时行40千米，往返一次共用7.5小时，山脚到山顶的距离是 千米． 34．（23-24七年级上·广西·开学考试）小华从到，先下坡再上坡，共用小时，如果两地相距千米， 下坡每小时行千米，上坡每小时行千米，那么原路返回要（    ）小时． A． B． C． D． 35．（2024七年级·全国·竞赛）某景区A、B两个区域由两段坡路组成，一段上坡路、一段下坡路．游客晓晓从A区到B区需要50分钟，从B区原路返回A区需要45分钟，若晓晓上坡的速度为40米/分，下坡的速度为60米/分，求A区到B区的路程． 36．（23-24七年级上·全国·课后作业）某天运动员小伟沿平路从家跑步去银行办理业务，小伟找到银行卡后，发现离银行下班时间仅剩半小时，为了节省时间，小伟选择另外一条近的坡路去银行，小伟先上坡再下坡，用时9分钟到达银行，已知上坡的平均速度是平路上跑步的平均速度的，下坡的平均速度是平路上跑步的平均速度的，且上坡路程是下坡路程的2倍，已知小伟在平路上跑步的平均速度是280米/分钟．这段坡路的总路程是多少米？ 37．（23-24七年级上·辽宁盘锦·阶段练习）小明骑车自甲地经乙地，先上坡后下坡，到达乙地后立即返回甲地，共用34分钟，已知上坡速度是400米/分，下坡速度是450米/分，则甲地到乙地的路程是 米． 38．（23-24七年级上·福建泉州·期末）如图，水平跑道和的长度分别为米和米，斜坡跑道的长度为米．小明从点出发沿跑道慢跑到达点，小东同时从点出发沿跑道慢跑到达点．他们在水平跑道慢跑的速度都是米分，小明在上坡跑道慢跑速度是水平跑道速度的一半，小东在下坡跑道慢跑速度是水平跑道速度的倍． （1）小明在上坡跑道的慢跑速度是______米/分． （2）当小明和小东相遇时，求小明慢跑的路程． （3）当小明和小东相距米时，求小明慢跑的时间． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题5.5 行程问题（六大题型总结） 【题型一：单人行程问题】 1．（23-24七年级上·广东深圳·期末）一列火车正在匀速行驶，它先用的时间通过了一条长的桥（即从车头进入桥头到车尾离开桥尾），又用的时间通过了一条长为的桥，这列火车的长度是（    ） A． B． C． D． 【思路点拨】 本题考查一元一次方程的实际应用，根据火车通过两条桥的速度相等列方程，解方程即可． 【解题过程】 解：设这列火车的长度是， 由题意得：， 解得， 故选：C． 2．（23-24七年级上·全国·课堂例题）小华骑自行车从家到学校，若她的速度为，则可早到；若她的速度为，则会迟到．她家到学校的路程是（    ） A． B． C． D． 【思路点拨】 设他家到学校的路程为，根据每小时骑，可早到；每小时骑，就会迟到，列方程求解即可． 【解题过程】 解：设他家到学校的路程为， 由题意得，． 解得：， 所以他家到学校的路程为， 故选：D 3．（23-24八年级上·河北石家庄·期中）嘉洪的爸爸平时开车从家中到嘉洪姥姥家，匀速行驶需要3小时． 某天，父女俩以平时的速度行驶了的路程时遇到了暴雨，立即将车速减少了20千米/小时，到达姥姥家时共用了小时，则嘉洪家到姥姥家的距离是（　　） A．150千米 B．160千米 C．180千米 D．200千米 【思路点拨】 本题考查了一元一次方程应用中的行程问题，设嘉洪家到姥姥家的距离是千米，则平时每小时行驶千米，减速后每小时行驶千米，用遇到暴雨前行驶路程加上遇到暴雨后行驶路程等于总路程这个等量关系列出方程求解即可．直接设未知数法，找到准确的等量关系，列出方程正确求解是解题的关键． 【解题过程】 解：设嘉洪家到姥姥家的距离是千米，则平时每小时行驶千米，减速后每小时行驶千米， 由题可知：遇到暴雨前用时小时，遇到暴雨后用时小时， 则可得：， 解得：， 答：嘉洪家到姥姥家的距离是180千米． 故选：C． 4．（24-25七年级上·重庆·阶段练习）甲、乙两地相隔一座山岭，某人从甲地到乙地用小时，从乙地回到甲地用小时，他往返途中上山速度是3千米/时，下山速度是4千米/时，则甲、乙两地间的山岭路程有（    ）千米． A．24 B．24.5 C．49 D．48 【思路点拨】 本题主要考查了一元一次方程的应用，找准等量关系、正确列出一元一次方程是解题的关键． 设从甲地到乙地上山用了x小时，则下山用了小时，利用时间、路程、速度并结合从乙地回到甲地用7．5小时，可列出关于x的一元一次方程，解之可得出x的值，再将其代入中计算即可解答． 【解题过程】 解：设从甲地到乙地上山用了x小时，则下山用了小时， 根据题意得：，解得：， ∴， ∴甲、乙两地间的山岭路程有24千米． 故选：A． 5．（23-24七年级上·湖北武汉·期末）某摄制组从市到市有一天的路程，计划上午比下午多走100千米到市吃午饭，但由于堵车，中午才赶到一个小镇，只行驶了上午原计划的三分之一，过了小镇，汽车行驶了500千米，傍晚才停下来休息，司机说，再走从市到这里的路程的二分之一就到达目的地了．，两市相距 千米． 【思路点拨】 本题考查一元一次方程的实际应用，设市到市相距千米，根据从市到市有一天的路程，计划上午比下午多走100千米到市，得到，两市相距千米，再根据到中午只行驶了上午原计划的三分之一，以及到傍晚汽车行驶了500千米，且再走从市到这里的路程的二分之一就到达目的地列出方程进行求解即可． 【解题过程】 解：设市到市相距千米，由题意，得：，两市相距千米， 根据题意，得：， 解得：， ∴， ∴，两市相距750千米； 故答案为：750． 6．（24-25七年级上·全国·期末）科技创新小组为测试新款机器人的性能，令机器人在一个长的笔直测试道上来回运动，当机器人到达起点或终点时立即按当前运行速度折返，每次运动时间为，运动过程如下：第次从起点出发以的速度运动到记录点；第次从出发以的速度运动到记录点；第次从出发以的速度运动到记录点；第次从出发以的速度运动到记录点，到达后停止．若机器人的运动速度不超过，记录点恰好为终点，则的值为 ． 【思路点拨】 本题考查了一元一次方程的应用，由机器人的运动速度不超过，可得，再分别以点为终点，分别列出方程求出的值进行判断即可求解，运用分类讨论思想并正确列出一元一次方程是解题的关键． 【解题过程】 解：因为机器人的运动速度不超过， 所以，即， 若恰好为终点，则， 解得，舍去； 若恰好为终点，则， 解得，舍去； 若恰好为终点，则， 解得， 或， 解得，舍去； 若恰好为终点，则， 解得， 或， 解得， 或， 解得，舍去； 综上所述，记录点恰好为终点时，的值为或或． 【题型二：相遇问题】 7．（24-25七年级上·广西南宁·开学考试）A、B两地相距5760千米，甲车从A地开往B地，每小时行驶30千米，甲车开出2小时后，乙车从B地开往A地，它的速度是甲车的4倍，乙车开出（    ）小时两车相遇． A．38 B．40 C．42 D．44 【思路点拨】 本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确建立方程是解题关键．设乙车开出小时两车相遇，两车相遇时，走过的路程总和等于两地相距的距离，据此建立方程，解方程即可得． 【解题过程】 解：设乙车开出小时两车相遇， 由题意得：， 解得， 故选：A． 8．（23-24七年级上·江苏南通·阶段练习）五羊中学学生郊游，沿着与笔直的铁路线并列的公路匀速前进，每小时走4500米，一列火车以每小时120千米的速度迎面开来，测得从车头与队首学生相遇，到车尾与队末学生相遇，共经过60秒，如果队伍长500米，那么火车长（   ）米 A．2070 B．1575 C．2000 D．1500 【思路点拨】 本题主要考查一元一次方程的应用，先将60秒化为小时，设火车长x千米，然后根据学生行驶的路程+火车的路程=火车的长度+学生队伍的长度列方程求解即可． 【解题过程】 解：设火车长x千米．60秒=小时． 根据题意得：． 解得：． 1.575千米=1575米． 答：火车的长为1575米． 故选：B． 9．（24-25七年级上·重庆·开学考试）甲、乙、丙三人步行的速度分别为每分钟100米、90米、75米．甲在公路上A处，丙在公路上B处，乙在A、B两地之间，且距B地125米处．三人同时出发，甲与乙、丙相向而行，甲和乙相遇5分钟后，甲和丙又相遇了，求A、B之间的距离． 【思路点拨】 本题考查一元一次方程的实际应用，设A、B之间的距离为米，则开始时甲乙之间的距离为米，根据甲和乙相遇5分钟后，甲和丙又相遇了，列出方程进行求解即可． 【解题过程】 解：设设A、B之间的距离为米，由题意，得： ， 解得：； 答：A、B之间的距离为9625米． 10．（23-24六年级下·黑龙江哈尔滨·开学考试）A、B两地相距32千米，两地间有一条平直的公路，甲从A地出发匀速前往B地，甲的速度为4千米/时，甲出发30分钟后，乙从B地出发，沿同一条公路匀速前往A地，甲的速度是乙速度的，当两人相距5千米时，乙距A地 千米． 【思路点拨】 本题考查了一元一次方程的实际应用，根据题意得到乙的速度为6千米/时，设x小时后两人相距5千米，分相遇前和相遇后两种情况讨论，分别列出方程求解即可． 【解题过程】 解：甲的速度是乙速度的，甲的速度为4千米/时， 乙的速度为（千米/时）， 设乙出发x小时后两人相距5千米， 两人相遇前：， 整理得：， 解得：， 此时，乙距A地的距离为：（千米）； 两人相遇后： 整理得：， 解得：， 此时，乙距A地的距离为：（千米）； 综上，当两人相距5千米时，乙距A地11千米或17千米． 11．（24-25七年级上·河北沧州·期中）一辆快车从A地匀速驶往B地，同时一辆慢车从B地匀速驶往A地，两车行驶时相遇，相遇地点距B地．相遇后再行驶，快车到达B地，休息后立即以原速返回，驶往A地． （1）快车的速度是_____，慢车的速度是_____；A、B两地的距离是_____； （2）从两车出发直至慢车到达A地的过程中，经过几小时两车相距？ 【思路点拨】 本题考查一元一次方程在行程问题中的应用，有理数四则混合计算的实际应用： （1）根据两车同时出发，行驶2h时相遇，相遇地点距地，可知慢车的速度，再根据相遇后再行驶，快车到达地，可得快车的速度，则两地距离可得； （2）设从两车出发直至慢车到达地的过程中，经过小时两车相距，则分三种情况列方程求解即可：①两车相遇前；②两车相遇后；③快车到达地，休息后，此时快车再次驶向地，两车有一个相距的时间，根据题意列方程求解即可； 明确行程问题的基本关系式并理清题中的数量关系是解题的关键． 【解题过程】 （1）解：∵两车同时出发，行驶时相遇，相遇地点距地， ∴慢车的行驶速度为：， 又∵相遇后再行驶，快车到达地， ∴快车行驶了， ∴快车的速度为， ∴、两地的距离是： 故答案为：；；； （2）解：设从两车出发直至慢车到达地的过程中，经过小时两车相距，则有三种情况： ①两车相遇前：， 解得：； ②两车相遇后：， 解得：； ③时，快车行驶了， ∴快车到达地，休息后，时， 此时两车已经相距：， ∴， 解得：． 答：经过小时或小时或小时两车相距． 12．（23-24七年级上·全国·期末）甲乙两地相距千米，两条狗从甲乙两地相向奔跑，它们每分钟分别跑450米和350米，它们相向跑1分钟后，同时掉头背向跑2分钟，又掉头相向跑3分钟，再掉头背向跑4分钟，…直到相遇为止，从出发到相遇需 分钟． 【思路点拨】 本题考查了一元一次方程的应用，根据题意，它们每分钟分别跑450米和350米，那么每分钟它们一共跑了：米，可以把每次相向与反向跑的相距的距离列举出来，然后再进一步解答即可．本题主要是把每次跑的距离列举出来，然后找出每次选项后的距离变化，再进一步解答即可． 【解题过程】 解：根据题意可得： 每分钟它们一共跑了：（米）． 根据题意，得： 第一次相向（1分钟）：相距（米）； 第一次反向（2分钟）：相距米） 第二次相向（3分钟）：相距（米）； 第二次反向（4分钟）：相距（米）； 第三次相向（5分钟）：相距（米）； 第三次反向（6分钟）：相距 （米）； 第四次相向（7分钟）：相距 （米）； 第五次反向（8分钟）：相距 （米）； 第五次相向（9分钟）：设t分钟相遇， 故， 解得， 故经过分钟，相遇， 故答案为：． 【题型三：追及问题】 13．（23-24七年级上·全国·单元测试）甲以的速度先走，乙以的速度追甲，则乙追上甲需要的时间为 ． 【思路点拨】 本题主要考查了一元一次方程的应用，设乙追上甲需要的时间为，根据甲乙的路程相等列出关于x的一元一次方程，求解即可得出答案． 【解题过程】 解：设乙追上甲需要的时间为， 根据题意有：， 解得：， 则乙追上甲需要的时间为， 故答案为：． 14．（2024七年级·全国·竞赛）甲乘汽车去拜访乙，在汽车上突然发现乙正往相反的方向走，甲忙喊停车，1分钟后，甲下车去追乙．若甲的速度是乙的速度的2倍，但比汽车的速度慢80%，则自甲下车后追上乙所用的时间为 分钟． 【思路点拨】 本题考查了一元一次方程的应用，得到甲乙两人路程的等量关系是解决本题的关键．等量关系为：甲路程-乙路程=汽车1分钟的路程，把相关数值代入计算即可． 【解题过程】 解：设追上用的时间是t分钟，汽车的速度是v， 那么甲的速度是，乙的速度是， 则：， 解得， 故答案为：11． 15．（23-24七年级上·四川泸州·期末）某校组织七年级学生从学校乘大客车去实践基地开展研学游活动．小李因事迟到了分钟才赶到学校，他立即坐上爸爸的小汽车从学校出发，沿相同的路线用了分钟在路上追上了大客车．已知小汽车的速度比大客车的速度每小时多千米，分别求大客车、小汽车的速度． 【思路点拨】 本题考查了一元一次方程的应用，设大客车的速度为千米小时，则小汽车的速度为千米小时，根据题意列出方程，解方程即可求解，根据题意，找到等量关系，列出方程是解题的关键． 【解题过程】 解：设大客车的速度为千米小时，则小汽车的速度为千米小时， 由题意可得，， 解得， ∴， 答：大客车的速度为千米小时，小汽车的速度为千米小时． 16．（23-24七年级上·陕西西安·开学考试）小明以60米/分的速度步行去图书馆，5分钟后爸爸发现他忘了带图书证，爸爸立即骑自行车以300米/分的速度去追小明，并且在途中追上了他，请解决以下问题： （1）爸爸追上小明用了多长时间？ （2）爸爸追上小明后，小明搭爸爸的自行车去图书馆，结果比只步行提前了10分钟到，若爸爸搭上小明后的骑行速度为240米/分，求小明家离图书馆有多远？ 【思路点拨】 （1）设爸爸追上小明用了分钟，根据题意可得，求解即可； （2）设小明家离图书馆有米，根据题意，列方程求解即可． 【解题过程】 （1）解：设爸爸追上小明用了分钟，根据题意可得， 解得， 答：爸爸追上小明用了分钟； （2）解：设小明家离图书馆有米， 由题意可得：， 解得（米）， 答：小明家离图书馆有米． 17．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）A、B两地相距，一列快车以的速度从A地匀速驶往B地，到达B地后立刻原路原速返回A地，一列慢车以的速度从地匀速驶往地．两车同时出发，截止到它们都到达终点时，两车恰好相距的次数是（    ）次 A．5 B．4 C．3 D．2 【思路点拨】 本题主要考查了一元一次方程的实际应用，设两车相距时，行驶的时间为t小时，相距要从相遇前和相遇后；追及前和追及后，快车已到终点几个方面考虑，共计5种情况，经计算检验数据是否符合题意． 【解题过程】 解：设两车相距时，行驶的时间为t小时，依题意得： 当快车从A地开往B地，慢车从B地开往A地，两车相距时，则有： 解得； ②当快车继续开往B地，慢车继续开往A地，相遇后背离而行，两车相距时， ， 解得； ③快车从A地到B地全程需要小时，此时慢车从B地到A地行驶， ∵ ∴快车又从B地返回A地是追慢车，则有： ， 解得； ④快车追上慢车后并超过慢车相距时，则有， 解得； ⑤快车返回A地终点所需时间是10小时，此刻慢车行驶了，距终点还需 行驶，则有： 解得． 综上所述，两车恰好相距的次数为5次． 故选：A． 18．（23-24七年级上·山东淄博·阶段练习）某学校七年级学生组织步行到郊外旅行，701班学生组成前队，速度为每小时4千米， 702班同学组成后队，速度为每小时6千米，前队出发1小时后，后队才出发，同时，后队派出一名联络员骑自行车在两队之间不断地来回进行联络，骑车的速度是每小时12千米（队伍长度忽略不计）． （1）后队出发后多长时间可以追上前队？ （2）后队刚好追上前队时，联络员共骑行了多少千米？ （3）联络员出发到他第一次追上前队的过程中，何时联络员离前队的距离与他离后队的距离相等？ 【思路点拨】 （1）本题主要考查一元一次方程的实际应用，解答本题的关键在于找到题目中的等量关系列式求解，根据后队追上前队所走路程一样可列方程． （2）解答本题的关键在于明确联络员骑行的总时间本题即可求解．当后队刚好追上前队时，联络员共骑行的时间为后队刚好追上前队的时间，根据（1）追及时间可知，联络员共骑行的距离也即可求出． （3）解答本题的关键在于正确表示出联络员与前后两队伍之间的距离，用前面队伍所走的路程减去联络员所骑行的距离等于联络员骑行的距离减去后面队伍所走的路程，列式求解即可． 【解题过程】 （1）解：设后队追上前队所用时间为小时，则前队被追上时所走时间为小时， 根据“路程=时间速度”，两队伍追上时路程一样，可列方程为： 解得，． ∴后队出发后两小时可以追上前队． （2）∵当后队刚好追上前队时，联络员共骑行的时间等于后队刚好追上前队的时间， ， ∴联络员骑行距离为： ． ∴联络员共骑行了． （3）设联络员出发后小时与前队和后队的距离相等为 ， 联络员出发后小时，前队所走的路程为：； 后队所走的路程为：； 联络员所走的路程为：， 联络员与前队距离为：； 联络员与后队距离为：， 根据联络员与前后队距离相等得到， 解得：， ∴联络员骑行小时后离前队的距离与他离后队的距离相等． 【题型四：环形跑道问题】 19．（23-24七年级上·广东汕头·期末）甲乙两人在300米的环形跑道上跑步，甲每分钟跑100米，乙每分钟跑80米，若他们从同一地点同时同向出发，则（    ）分钟后他们第一次相遇． A．10 B．15 C．20 D．30 【思路点拨】 本题考查了一元一次方程的应用－行程问题，解题关键是找出等量关系列方程．根据当甲、乙两人第一次相遇时，甲比乙多跑了300米列方程求解即可． 【解题过程】 解：设分钟后他们第一次相遇， ∴， 解得， 故选：B． 20．（23-24七年级上·广东东莞·开学考试）哥哥和弟弟在400米的环形跑道上跑步．若两人同时同地反向出发，则4分钟相遇；若同时同地同向出发，40分钟哥哥追上弟弟，哥哥每分钟跑 米． 【思路点拨】 本题考查了一元一次方程的应用，先求得两人的速度和，再设哥哥每分钟跑米，根据题意列出一元一次方程，解方程，即可求解． 【解题过程】 解：两人的速度和米每分钟 设哥哥每分钟跑米，则 解得：， 故答案为：． 21．（24-25七年级上·全国·期中）甲、乙两同学从400米环形跑道上的某一点背向出发，分别以每秒2米和每秒3米的速度跑步．6秒钟后，一只小狗从甲处以每秒6米的速度向乙跑，遇到乙后，又从乙处以每秒6米速度向甲跑，如此往返，直至甲乙第一次相遇，那么小狗一共跑了 米 ． 【思路点拨】 本题考查了一元一次方程的实际应用，找到等量关系列方程是解题的关键．设经过x秒甲乙第一次相遇，根据“甲、乙两人第一次相遇时，共走了400米”列方程求解即可． 【解题过程】 解：设经过x秒甲乙第一次相遇， 根据题意，得， 解得， ∴小狗一共跑了米， 故答案为：444． 22．（23-24七年级上·河南郑州·开学考试）某城市举行环城自行车比赛．比赛路线一圈是6千米，甲车速度是乙车速度 ，如果在出发后1小时10分时，乙车恰好第二次追上甲车，那么乙车比甲车每分钟多走 千米． 【思路点拨】 本题主要考查了一元一次方程的实际应用，设甲的速度为每分钟千米，乙的速度为每分钟千米，根据题意可知1小时10分钟时乙比甲多走12千米，据此列出方程求解即可． 【解题过程】 解：设甲的速度为每分钟千米，乙的速度为每分钟千米， 由题意得，， 解得， ∴乙车比甲车每分钟多走千米， 故答案为：． 23．（23-24七年级上·江苏连云港·阶段练习）运动场环形跑道周长，小红跑步的速度是爷爷的倍，他们从同一起点沿跑道的同一方向同时出发，后小红第一次与爷爷相遇．小红和爷爷相遇后立即转身沿相反方向跑，第一次相遇多少分钟后小红再次与爷爷相遇？ 【思路点拨】 此题考查了一元一次方程的应用，设爷爷跑步的速度为，则小红跑步的速度为，根据后小红第一次与爷爷相遇，列出方程，求得两人的速度；设后小红再次与爷爷相遇，立即转身沿相反方向跑，列出方程，再进行求解即可． 【解题过程】 解：设爷爷跑步的速度为，则小红跑步的速度为，根据题意得： ， 解得：， 则． 则爷爷跑步的速度是，小红跑步的速度是； 设后小红再次与爷爷相遇，根据题意得： ， 解得． 答：相遇后分钟小红再次与爷爷相遇． 24．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·期中）小明和小亮在400米环形跑道上练习跑步，已知小明的速度为每秒5米，小亮的速度比小明快，两人同时同地出发，经过 秒，两人第一次相遇． 【思路点拨】 本题考查的是一元一次方程的应用，已知小明的速度为每秒钟5米，小亮的速度比小明快，则小亮的速度为每秒钟米，题目中未说明两人的跑步方向，因此要考虑两种情况：①若两人方向相同，第一次相遇时小亮比小明多跑一圈；②若两人方向相反，第一次相遇时两人的路程之和为一圈．分别列方程求解即可．解题关键在于两人的跑步方向可能有两种情况，需要讨论清楚． 【解题过程】 解：∵小明的速度为每秒钟5米，小亮的速度比小明快， ∴小亮的速度为：（米/秒） 设经过秒，两人第一次相遇，根据题意得： ①若两人方向相同：， 解得：； ②若两人方向相反：， 解得：； 综上所述，两人同时同地出发，经过400或秒，两人第一次相遇． 故答案为：400或． 25．（23-24七年级下·河南鹤壁·阶段练习）如图，正方形的边长为6，甲、乙两动点分别从正方形ABCD的顶点A，C同时沿正方形的边开始运动，甲按顺时针方向环行，乙按逆时针方向环行，若甲的速度是乙速度的2倍，则它们第次相遇是在（    ） A．边上 B．A点 C．边上 D．B点 【思路点拨】 本题考查了路程问题的一元一次方程应用；找到等量关系是解题关键．设乙的速度为，需要秒第2024次相遇，根据路程速度时间，即可得到关于的一元一次方程，解得的值，可得的值，即甲移动的路程，由此即可求得相遇所在的边． 【解题过程】 解：设乙的速度为，则甲的速度为，正方形的边长为，需要秒第2024次相遇， 第一次相遇，甲乙的路程和为，其余次相遇，每次相遇的路程和为， 由题意：， 解得：， 而， 表明甲与乙第次相遇点为运动圈加，因乙是逆时针移动，则此时乙移动到了点处． 故选：． 26．（23-24七年级上·陕西西安·期末）如图，正方形ABCD的轨道上有两个点甲与乙，开始时甲在A处，乙在C处，它们沿着正方形轨道顺时针同时出发，甲的速度为每秒1cm，乙的速度为每秒5cm，已知正方形轨道ABCD的边长为2cm，则乙在第2024次追上甲时的位置（    ） A．AB上 B．BC上 C．CD上 D．AD上 【思路点拨】 本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是通过计算找到两个点循环的规律．根据题意列出一元一次方程，找到四次一循环的规律，即可求解． 【解题过程】 解：设乙走x秒第一次追上甲， 根据题意，得， 解得； ∴ 乙走1秒第一次追上甲，则乙在第1次追上甲时的位置是上； 设乙再走y秒第二次追上甲， 根据题意，得， 解得； ∴乙再走2秒第二次追上甲，则乙在第2次追上甲时的位置是上； 同理，乙再走2秒第三次追上甲，则乙在第3次追上甲时的位置是上； 同理，乙再走2秒第四次追上甲，则乙在第4次追上甲时的位置是上； ∴ 乙在第5次追上甲时的位置又回到上； ∵， ∴乙在第2024次追上甲时的位置是上， 故选：D． 【题型五：水流问题】 27．（23-24七年级上·陕西西安·期末）一艘轮船在静水中的航行速度为，水流速度为，从甲码头顺流航行到乙码头，再逆流航行返回甲码头，共用（不计停留时间），求甲、乙两码头间的距离． 【思路点拨】 本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是找出题目中的等量关系．根据轮船在静水中的速度为，水流速度为，求出轮船在顺流航行时的速度和逆水航行的速度，再根据“顺水从甲到乙的时间逆水从乙到甲的时间小时”，列方程即可求解． 【解题过程】 解：设两码头间的距离为，则船在顺流航行时的速度是，逆水航行的速度是， 根据题意得：， 解得：， 甲、乙两码头间的距离为． 28．（23-24七年级上·广东东莞·期末）一架飞机从城市飞城市顺风行驶，用了2小时分钟，从城市返回城市逆风飞行，用了3小时．已知风的速度是千米/时，求飞机在无风航行时的平均速度． 【思路点拨】 本题考查了一元一次方程的应用．根据题意正确的列方程是解题的关键． 设飞机在无风航行时的平均速度为千米/时，则顺风行驶的平均速度为千米/时，逆风行驶的平均速度为千米/时，依题意得，，计算求解即可． 【解题过程】 解：设飞机在无风航行时的平均速度为千米/时，则顺风行驶的平均速度为千米/时，逆风行驶的平均速度为千米/时， 依题意得，， 解得，， ∴飞机在无风航行时的平均速度为千米/时． 29．（23-24七年级上·广西南宁·开学考试）一条船往返于甲、乙两港之间，由甲至乙是顺水行驶，由乙至甲是逆水行驶．已知船在静水中的速度为8千米/时，平时逆行与顺行所用的时间之比为，某天恰逢暴雨，水流速度为原来的2倍，这条船往返共用了9小时．问：甲、乙两港相距多少千米？ 【思路点拨】 本题是比的应用，一元一次方程的应用，①根据平时逆水航行时间：顺水航行时间可得出平时逆水航行速度：顺水航行速度；②雨天逆水航行时间+顺水航行时间=9，同时顺水速度=静水速度+水流速度，逆水速度=静水速度-水流速度．据此列方程求解即可． 【解题过程】 解：设水流速度平时速度为x千米/时． 根据题意得：， 解得， 设甲、乙两港相距S千米， 根据题意得：， 解得． 答：甲，乙两港相距20千米． 30．（23-24七年级上·江苏南通·阶段练习）一只小船从甲港到乙港逆流航行需2小时，水流速度增加一倍后，再从甲港到乙港航行需3小时，水流速度增加后，则乙港返回甲港需航行 ． 【思路点拨】 本题主要考查了一元一次方程的应用，根据逆水速=静水速-水流速度，设船在静水中的速度为x千米/小时，原来的水速为y千米/小时，根据甲港到乙港逆流航行需2小时可得总路程是，水流增加1倍后总路程；从乙港返回甲港是顺流航行时间=总路程，根据总路程不变即可得出乙港返回甲港时间．据此解答． 【解题过程】 解：设船在静水中的速度为x千米/小时，原来的水速为y千米/小时，根据题意得： 甲港到乙港两次路程相等得 ， ， ， ； 水流速度增加后，从乙港返回甲港需航行时间 ， ， , （小时）． 故答案为1小时． 31．（23-24七年级上·江苏泰州·阶段练习）三地在同一条河流边，某人乘船由地顺流而下到地，然后又逆流而上到地，共乘船3小时，已知船在静水中的速度是每小时6千米，水流速度是每小时2千米，若两地距离为3千米，则两地之间的距离是 千米． 【思路点拨】 本题考查了一元一次方程的应用，分两种情况：当点在线段上时，当点在线段的延长线上时，分别列出一元一次方程，解方程即可，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解此题的关键． 【解题过程】 解：设两地之间的距离是千米， 如图，当点在线段上时， ， 由题意得：， 解得：， 如图，当点在线段的延长线上时， ， 由题意得：， 解得；， 综上所述，两地之间的距离是10或6千米， 故答案为：10或6． 32．（2024七年级上·全国·专题练习）一艘快艇从A码头到B码头顺流行驶，同时一艘游船从B码头出发顺流而下．已知，A、B两码头相距140千米，快艇在静水中的平均速度为67千米/小时，游船在静水中的平均速度为27千米/小时，水流速度为3千米/小时． （1）请计算两船出发航行30分钟时相距多少千米？ （2）如果快艇到达B码头后立即返回，试求两船在航行过程中需航行多少时间恰好相距100千米？ 【思路点拨】 （1）利用游船在顺水中的速度为静水速+水速，直接表示出两船的实际水速，即可求出； （2）分两种情况讨论①两船都在顺流而下时②快艇到B码头返回后两船相背而行时；得出两个方程，解出即可． 本题考查一元一次方程的应用，根据题意找出等量关系列方程是解题的关键． 【解题过程】 （1）解：千米． 即在航行30分钟时两船相距120千米； （2）解：设在出发x小时后两船相距100千米． 第一种情况：两船都在顺流而下时，则 ， 理整得， 解得， 即两船都在顺流而下时，在航行1小时时两船相距100千米． 第二种情况：快艇到B码头返回后两船相背而行时． ∵快艇从A码头到B码头需回时小时． 于是由题意有， 整理得， 解得． 即两船都在相背而行时，在航行小时时两船相距100千米． 综上所述，两船从出发在航行1个小时和小时都恰好相距100千米． 【题型六：上坡下坡问题】 33．（23-24七年级下·四川成都·开学考试）（行程问题）某人从山脚上山平均每小时行35千米，从山顶沿原路下山时平均每小时行40千米，往返一次共用7.5小时，山脚到山顶的距离是 千米． 【思路点拨】 本题设出路程，根据时间路程速度，表示出时间，再找出等量关系列出方程求解． 设山脚到山顶的距离是千米，上山用的时间就是小时，下山用的时间就是小时，上山和下山的时间和就是7.5小时，由此列出方程求解． 【解题过程】 解：设山脚到山顶的距离是千米，由题意得： ， ， ， ； 答：山脚到山顶的距离是140千米． 故答案是：140 34．（23-24七年级上·广西·开学考试）小华从到，先下坡再上坡，共用小时，如果两地相距千米， 下坡每小时行千米，上坡每小时行千米，那么原路返回要（    ）小时． A． B． C． D． 【思路点拨】 设从到上坡的路程为千米，下坡的路程为千米根据已知条件列方程解方程即可解答．本题考查了一元一次方程与实际问题，审清题意，找出数量关系和等量关系是解题的关键． 【解题过程】 解：设从到上坡的路程为千米，下坡的路程为千米，根据题意得： ， 解得：， ∴， 即上坡路为千米，下坡路为千米， ∴原路返回的时候先上坡再下坡， ∴上坡路为千米，下坡路为千米， ∴上坡时间为小时，下坡路时间为小时， ∴原路返回的时间为小时， 故选． 35．（2024七年级·全国·竞赛）某景区A、B两个区域由两段坡路组成，一段上坡路、一段下坡路．游客晓晓从A区到B区需要50分钟，从B区原路返回A区需要45分钟，若晓晓上坡的速度为40米/分，下坡的速度为60米/分，求A区到B区的路程． 【思路点拨】 本题主要考查一元一次方程的应用，设从区到区走上坡路需分钟，则走下坡路需分钟，求出A区与B区的距离，根据从B区原路返回A区需要45分钟列出方程，求出从区到区的上坡路程和下坡路程，进而得出A区到B区的路程． 【解题过程】 解：设从区到区走上坡路需分钟，则走下坡路需分钟， ， 解得， （米）． 答：区与区相距2280米． 36．（23-24七年级上·全国·课后作业）某天运动员小伟沿平路从家跑步去银行办理业务，小伟找到银行卡后，发现离银行下班时间仅剩半小时，为了节省时间，小伟选择另外一条近的坡路去银行，小伟先上坡再下坡，用时9分钟到达银行，已知上坡的平均速度是平路上跑步的平均速度的，下坡的平均速度是平路上跑步的平均速度的，且上坡路程是下坡路程的2倍，已知小伟在平路上跑步的平均速度是280米/分钟．这段坡路的总路程是多少米？ 【思路点拨】 设这段坡路的总路程是米，则上坡路程是米，下坡路程是米，根据题意列出一元一次方程求解即可． 【解题过程】 解：设这段坡路的总路程是米，则上坡路程是米，下坡路程是米， 根据题意得，， 解得． 答：这段坡路的总路程是2100米． 37．（23-24七年级上·辽宁盘锦·阶段练习）小明骑车自甲地经乙地，先上坡后下坡，到达乙地后立即返回甲地，共用34分钟，已知上坡速度是400米/分，下坡速度是450米/分，则甲地到乙地的路程是 米． 【思路点拨】 此题主要考查一元一次方程的实际运用问题．本题应先设出两地的总路程，上坡的路程和下坡的路程，又已知了上坡和下坡的速度，因此能够表示出上坡和下坡的所用的时间，再根据来回的总时间为34分钟，列出关于总时间的等量关系，求得两地的距离． 【解题过程】 解：设甲、乙两地间路程为，从甲地到乙地上坡路程为，则下坡路程为， 于是从甲地到乙地用时，自乙地返回甲地用时． 又来回共用时34分钟， 则有． 即， ∴． 故答案为：7200． 38．（23-24七年级上·福建泉州·期末）如图，水平跑道和的长度分别为米和米，斜坡跑道的长度为米．小明从点出发沿跑道慢跑到达点，小东同时从点出发沿跑道慢跑到达点．他们在水平跑道慢跑的速度都是米分，小明在上坡跑道慢跑速度是水平跑道速度的一半，小东在下坡跑道慢跑速度是水平跑道速度的倍． （1）小明在上坡跑道的慢跑速度是______米/分． （2）当小明和小东相遇时，求小明慢跑的路程． （3）当小明和小东相距米时，求小明慢跑的时间． 【思路点拨】 （1）根据题意，小明在上坡跑道慢跑速度是水平跑道速度的一半，即可求解； （2）根据题意，24秒后小东在上，相遇点在上，设相遇时，用时分，根据题意列出一元一次方程即可求解； （3）依题意，当小明和小东相距米时，设小明慢跑的时间为分，分相遇前后两种情况分别讨论，列出一元一次方程，解方程即可求解． 【解题过程】 （1）解：依题意，米分， 故答案为：． （2）解：∵（分），（分）， ∴24秒后小东在上，相遇点在上， 设相遇时，用时分，依题意得： 解得： ∴（米） 答：当小明和小东相遇时，求小明慢跑的路程为米； （3）解：由（2）可知相遇点距离点（米） 依题意，当小明和小东相距米时，设小明慢跑的时间为分， ①两人相遇前，小明在线段上，小东在线段上， 依题意：， 解得：， ②两人相遇后，则小明在线段上，小东在线段上， 依题意，， 解得：， 综上所述，当小明和小东相距米时，求小明慢跑的时间为分钟或分钟． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 6 学科网（北京）股份有限公司 $$