第十四章 整式的乘除与因式分解 整理与复习（单元测试（基础卷））-【上好课】八年级数学上册同步备课系列（人教版）

第十四章 整式的乘除与因式分解（单元测试） 一、单选题（每题3分，共30分） 1．下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据幂的乘方法、同底数幂的除法法则、同底数幂的乘法以及合并同类项逐项判断即可． 【详解】解：A．，故A选项计算正确，符合题意； B．，故B选项计算错误，不合题意； C．，故C选项计算错误，不合题意； D．与不是同类项，所以不能合并，故D选项计算错误，不合题意． 故选：A． 【点睛】本题主要考查同底数幂的乘除运算、幂的乘方运算以及整式的加减运算等知识点，同底数幂相乘，底数不变，指数相加；同底数幂相除，底数不变，指数相减；幂的乘方，底数不变，指数相乘． 2．下列各式从左到右的变形，因式分解正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据因式分解的概念可进行排除选项． 【详解】解：A、，属于整式的乘法，故不符合题意； B、，不符合几个整式乘积的形式，不是因式分解；故不符合题意； C、，属于因式分解，故符合题意； D、因为，所以因式分解错误，故不符合题意； 故选C． 【点睛】本题主要考查因式分解，熟练掌握因式分解的概念是解题的关键． 3．《孙子算经》中记载：“凡大数之法，万万曰亿，万万亿曰兆．”说明了大数之间的关系：1亿＝1万×1万，1兆＝1万×1万×1亿，则1兆等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将1万表示成，1亿表示成，然后用同底数幂的乘法法则计算即可． 【详解】∵1兆＝1万×1万×1亿， ∴1兆＝， 故选：C． 【点睛】本题考查同底数幂的乘法法则，科学记数法的表示方法，其中a的范围是，n是整数，正确确定a，n的值是解答本题的关键． 4．若，则p、q的值是（    ） A．2， B．， C．，8 D．2，8 【答案】A 【分析】首先把根据多项式乘法法则展开，然后根据多项式的各项系数即可确定p、q的值． 【详解】解：∵， 而， ∴，． 故选：A． 【点睛】此题主要考查了多项式的乘法法则和多项式各项系数的定义，解题关键就是利用它们确定p、q的值． 5．计算的值为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】原式各括号利用平方差公式变形，约分即可得到结果． 【详解】原式， ， ， ， 故选：C． 【点睛】本题考查的是平方差公式，掌握运算法则和平方差公式是解题关键． 6．已知，，，则的值为（     ）． A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】A 【分析】本题考查了同底数幂的乘法的逆运算，将与同底数幂的乘法法则建立联系是解答本题的关键，同底数幂的乘法的逆运算是指 ,将，，，三式相乘,即可得到答案． 【详解】解： ，，， ， ， 故选：A． 7．从前，古希腊一位庄园主把一块边长为米（）的正方形土地租给租户张老汉．第二年，他对张老汉说：“我把这块地的一边增加6米，相邻的另一边减少6米，变成矩形土地继续租给你，租金不变，你也没有吃亏，你看如何？”如果这样，你觉得张老汉的租地面积会（    ） A．没有变化 B．变大了 C．变小了 D．无法确定 【答案】C 【分析】分别求出2次的面积，比较大小即可． 【详解】原来的土地面积为平方米，第二年的面积为 所以面积变小了， 故选C． 【点睛】本题考查了列代数式，整式的运算，平方差公式，代数式大小的比较，正确理解题意列出代数式并计算是解题的关键． 8．如图，边长为a的正方形分割成两个正方形和两个长方形，根据图中各部分面积之间的关系能验证的等式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用两种方法表示出边长是的小正方形的面积，即可求解． 【详解】解：边长是的小正方形的面积是：，同时是：边长是的正方形的面积个边长是与的矩形的面积边长是的正方形的面积， 即：， 则：， 故选：B． 【点睛】本题考查了完全平方公式的几何背景，正确表示出边长是的小正方形的面积是关键． 9．已知，，则（    ） A．－6 B．6 C．12 D．24 【答案】B 【分析】先将式子利用完全平方公式展开，两式相减，即可得出答案． 【详解】解：∵，， ∴，， 两式相减：， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查完全平方公式，正确变形计算是解题的关键． 10．如果一个数等于两个连续奇数的平方差，那么我们称这个数为“幸福数”．下列数中为“幸福数”的是（   ） A．205 B．250 C．502 D．520 【答案】D 【分析】设两个连续奇数中的一个奇数为，则另一个奇数为，先得出由这两个奇数得到的“幸福数”为，再看四个选项中，能够整除4的即为答案． 【详解】设两个连续奇数中的一个奇数为，则另一个奇数为 由这两个奇数得到的“幸福数”为 观察四个选项可知，只有选项D中的520能够整除4 即 故选：D． 【点睛】本题考查了平方差公式的应用，理解“幸福数”的定义，正确列出“幸福数”的代数式是解题关键． 二、填空题（每题4分，共20分） 11．已知实数a，b，满足，，则的值为 ． 【答案】42 【分析】首先提取公因式，将已知整体代入求出即可． 【详解】 ． 故答案为：42． 【点睛】此题考查了求代数式的值，提公因式法因式分解，整体思想的应用，解题的关键是掌握以上知识点． 12．若是关于的完全平方式，则 ． 【答案】7或-1 【分析】直接利用完全平方公式的定义得出2（m-3）=±8，进而求出答案． 【详解】解：∵x2+2（m-3）x+16是关于x的完全平方式， ∴2（m-3）=±8， 解得：m=-1或7， 故答案为-1或7． 【点睛】此题主要考查了完全平方公式，正确掌握完全平方公式的基本形式是解题关键． 13．已知，则的值为 ． 【答案】1025 【分析】先化简，再逆用幂的乘方，进行求值即可． 【详解】解：∵， ∴ ． 故答案为：1025． 【点睛】本题考查积的乘方，幂的乘方，以及代数式求值．熟练掌握积的乘方，幂的乘方运算，是解题的关键． 14．已知的展开式中不含x的一次项，常数项是－6，则mn的值为 ． 【答案】6 【分析】根据多项式乘多项式运算法则进行化简，然后令含x的一次项的系数为零以及常数项为即可求出答案． 【详解】解： ， ∵的展开式中不含x的一次项，常数项是－6， ∴， ∴． 故答案为：6． 【点睛】本题考查多项式乘多项式，解题的关键是熟练运用多项式乘多项式的运算法则，本题属于基础题型． 15．三个长方形纸片如图1所示无缝隙地拼接在一起，它们的边长分别标记在图1中．现将拼接后的纸片用图2所示方式重新分割成三个长方形A，B，C．根据图2与图1的关系写出一个等式： （用含a，b，c，d，e，f的式子表示）． 【答案】 【分析】根据图形的面积不变原则，分别表示图形的面积即可． 【详解】根据图1，得图形的面积为； 根据图2，得图形的面积为； ∵图形的面积相等， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了图形面积的不同表示法，正确表示图形的面积是解题的关键． 三、解答题（16-18题每题4分，19题6分，20题7分，21、22题每题8分，23题9分，共50分） 16．因式分解： (1)； (2)； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）用提公因式法解答； （2）用提公因式法解答． 【详解】（1）解：原式 （2）解：原式 【点睛】此题考查了因式分解——提公因式法，熟练掌握提取公因式的方法是解本题的关键． 17．先化简，再求值：，其中． 【答案】，24 【分析】先展开，合并同类项，后代入计算即可． 【详解】 当时， 原式 ． 【点睛】本题考查了平方差公式，完全平方公式的计算，熟练掌握两个公式是解题的关键． 18．计算： (1)已知，求n的值． (2)已知，求m的值． 【答案】(1)2 (2)3 【分析】（1）利用幂的乘方法则变形得到，即可求解； （2）运用幂的乘方，把底数都化为3的形式，结合同底数幂的乘法，列出关于的方程求解． 【详解】（1）解：， ∴， 解得：； （2）， ， 即， ， 解得． 【点睛】本题主要考查同底数幂的乘法，幂的乘方等知识．熟练掌握运算法则的逆用是解题的关键． 19．在计算时，甲把b错看成了6，得到结果是：；乙错把a看成了，得到结果：． (1)求出a，b的值； (2)在（1）的条件下，计算的结果． 【答案】(1)， (2) 【分析】(1)根据题意可得出，，求出a、b的值即可； (2)把a、b的值代入，再根据多项式乘以多项式法则计算即可． 【详解】（1）解：根据题意得：， ， 所以，，， 解得：，； （2）解：把，代入，得 ． 【点睛】本题考查了多项式乘以多项式，等式的性质，能正确运用多项式乘以多项式法则进行计算是解此题的关键． 20．“平方差公式”和“完全平方公式”应用非常广泛，灵活利用公式往往能化繁为简，巧妙解题，请阅读并解决下列问题： (1)问题一：．则A=______，B=______； (2)计算：； (3)问题二：已知，则P=_____，Q=______； (4)已知长和宽分别为a，b的长方形，它的周长为14，面积为10，如图所示，求的值． 【答案】(1) (2) (3) (4)的值为39 【分析】（1）根据平方差公式的特点：A前面的符号相同，B前面的符号相反，找到A、B即可． （2）将写成的形式，再按照平方差公式进行计算即可． （3）由得，整理即可得P的值，由得，整理即可得Q的值. （4）根据题意得，则，把写成，将整体代入其中即可求出结果． 【详解】（1） ． 故答案为：． （2）原式 ． （3） ． ． 故答案为：． （4）由题意得：，整理得：． 则． 将代入，得 原式 故的值为39． 【点睛】本题主要考查了平方差公式和完全平方公式．熟练掌握两个公式的特点会灵活变形并掌握整体代入法是解题的关键． 21．因式分解的常用方法有提公因式法和公式法，但有些多项式无法直接使用上述方法分解，如，我们可以把它先分组再分解：，这种方法叫做分组分解法． 请解决下列问题： (1)分解因式：； (2)已知a，b，c是的三边，且满足，请判断的形状，并说明理由， 【答案】(1) (2)是等腰三角形，理由见解析 【分析】（1）根据题干中的方法进行分组分解因式即可； （2）利用分组法分解因式，然后得出，即可判断三角形的形状． 【详解】（1） ； （2）是等腰三角形．理由如下： ， ， ，，是的三边， ， ， ， 是等腰三角形． 【点睛】本题主要考查分组分解因式及提公因式与公式法分解因式，等腰三角形的定义等，理解题意，深刻理解题干中的分组分解法是解题关键． 22．如图1是长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成一个“回形”正方形（如图2）． (1)观察图2，请你写出、、之间的等量关系是______； (2)根据（1）中的结论，若，，求的值； (3)拓展应用：若，求的值______． 【答案】(1) (2)16 (3)-3 【分析】（1）根据图2可知，大正方形面积等于内部小正方形与4个小长方形的面积之和，分别用含a和b的代数式表示可得出答案； （2）由（1）可得出（x−y）2＝(x＋y)2−4xy，即可得出答案； （3）由[（2021−m）＋（m−2022）]2＝（2021−m）2＋（m−2022）2＋2（2021−m）（m−2022），即可求解． 【详解】（1）解：由图2可知，大正方形的边长为a＋b，内部小正方形的边长为b−a，小长方形的长为b，宽为a， ∴大正方形的面积为（a＋b）2，小正方形的面积为（b−a）2，小长方形的面积为ab， 由题可知，大正方形面积等于小正方形与4个小长方形的面积之和， 即（a＋b）2＝（b−a）2＋4ab＝（a−b）2＋4ab． 故答案为：（a＋b）2＝（a−b）2＋4ab． （2）∵，， ∴（x−y）2＝(x＋y)2−4xy＝52−4×＝16． （3）∵，[（2021−m）＋（m−2022）]2＝（2021−m）2＋（m−2022）2＋2（2021−m）（m−2022）， ∴1＝7＋2（2021−m）（m−2022）， ∴（2021−m）（m−2022）＝×(1−7)＝−3． 故答案为：-3． 【点睛】本题考查整式的化简求值、完全平方公式，能正确根据完全平方公式进行变形是解题的关键． 23．材料：对一个图形通过两种不同的方法计算它的面积或体积，可以得到一个数学等式． (1)如图1，将一个边长为a的正方形纸片剪去-一个边长为b的小正方形，根据剩下部分的面积，可得一个关于a，b的等式：__________． 请类比上述探究过程，解答下列问题： (2)如图2，将一个棱长为a的正方体木块挖去一个棱长为b的小正方体，根据剩下部分的体积，可以得到等式：__________，将等式右边因式分解，即__________； (3)根据以上探究的结果， ①如图3所示，拼叠的正方形边长是从1开始的连续奇数．．．，按此规律拼叠到正方形，其边长为19，求阴影部分的面积． ②计算： 【答案】(1) (2) (3)①② 【分析】（1）利用两种方法求出阴影部分的面积，即可得出结论； （2）利用两种方法求剩余的立方体的面积，即可得出结论； （3）①根据整个阴影部分的面积等于各部分小阴影部分的面积之和，结合（1）中结论，进行求解即可；②根据（2）中结论，进行求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴关于a，b的等式为：， 故答案为：． （2）解：由题意，得： ； 故答案为：； （3）解：① . ② ． 【点睛】本题考查因式分解的应用．正确的识图，利用两种方法表示面积和体积，是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第十四章 整式的乘除与因式分解（单元测试） 一、单选题（每题3分，共30分） 1．下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 2．下列各式从左到右的变形，因式分解正确的是（    ） A． B． C． D． 3．《孙子算经》中记载：“凡大数之法，万万曰亿，万万亿曰兆．”说明了大数之间的关系：1亿＝1万×1万，1兆＝1万×1万×1亿，则1兆等于（    ） A． B． C． D． 4．若，则p、q的值是（    ） A．2， B．， C．，8 D．2，8 5．计算的值为（    ）． A． B． C． D． 6．已知，，，则的值为（     ）． A．7 B．8 C．9 D．10 7．从前，古希腊一位庄园主把一块边长为米（）的正方形土地租给租户张老汉．第二年，他对张老汉说：“我把这块地的一边增加6米，相邻的另一边减少6米，变成矩形土地继续租给你，租金不变，你也没有吃亏，你看如何？”如果这样，你觉得张老汉的租地面积会（    ） A．没有变化 B．变大了 C．变小了 D．无法确定 8．如图，边长为a的正方形分割成两个正方形和两个长方形，根据图中各部分面积之间的关系能验证的等式是（    ） A． B． C． D． 9．已知，，则（    ） A．－6 B．6 C．12 D．24 10．如果一个数等于两个连续奇数的平方差，那么我们称这个数为“幸福数”．下列数中为“幸福数”的是（   ） A．205 B．250 C．502 D．520 二、填空题（每题4分，共20分） 11．已知实数a，b，满足，，则的值为 ． 12．若是关于的完全平方式，则 ． 13．已知，则的值为 ． 14．已知的展开式中不含x的一次项，常数项是－6，则mn的值为 ． 15．三个长方形纸片如图1所示无缝隙地拼接在一起，它们的边长分别标记在图1中．现将拼接后的纸片用图2所示方式重新分割成三个长方形A，B，C．根据图2与图1的关系写出一个等式： （用含a，b，c，d，e，f的式子表示）． 三、解答题（16-18题每题4分，19题6分，20题7分，21、22题每题8分，23题9分，共50分） 16．因式分解： (1)； (2)； 17．先化简，再求值：，其中． 18．计算： (1)已知，求n的值． (2)已知，求m的值． 19．在计算时，甲把b错看成了6，得到结果是：；乙错把a看成了，得到结果：． (1)求出a，b的值； (2)在（1）的条件下，计算的结果． 20．“平方差公式”和“完全平方公式”应用非常广泛，灵活利用公式往往能化繁为简，巧妙解题，请阅读并解决下列问题： (1)问题一：．则A=______，B=______； (2)计算：； (3)问题二：已知，则P=_____，Q=______； (4)已知长和宽分别为a，b的长方形，它的周长为14，面积为10，如图所示，求的值． 21．因式分解的常用方法有提公因式法和公式法，但有些多项式无法直接使用上述方法分解，如，我们可以把它先分组再分解：，这种方法叫做分组分解法． 请解决下列问题： (1)分解因式：； (2)已知a，b，c是的三边，且满足，请判断的形状，并说明理由， 22．如图1是长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成一个“回形”正方形（如图2）． (1)观察图2，请你写出、、之间的等量关系是______； (2)根据（1）中的结论，若，，求的值； (3)拓展应用：若，求的值______． 23．材料：对一个图形通过两种不同的方法计算它的面积或体积，可以得到一个数学等式． (1)如图1，将一个边长为a的正方形纸片剪去-一个边长为b的小正方形，根据剩下部分的面积，可得一个关于a，b的等式：__________． 请类比上述探究过程，解答下列问题： (2)如图2，将一个棱长为a的正方体木块挖去一个棱长为b的小正方体，根据剩下部分的体积，可以得到等式：__________，将等式右边因式分解，即__________； (3)根据以上探究的结果， ①如图3所示，拼叠的正方形边长是从1开始的连续奇数．．．，按此规律拼叠到正方形，其边长为19，求阴影部分的面积． ②计算： 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$