第14章 整式的乘法与因式分解知识点总结2023-2024学年人教版数学八年级上册

第14章 整式的乘法与因式分解 14.1整式的乘法 14.1.1同底数幂的乘法 【复习:1.5有理数的乘方】 1.求n个相同因数的积的运算,叫做乘方;乘方的结果叫做幂,相同的因数叫做底数,相同的因数的个数叫做指数 【知识点】 1.同底数幂相乘,底数不变,指数相加.用式子表示为:am an=am+n(m,n都是正整数) 2.三个或三个以上的同底数幂相乘时,法则仍成立 3.底数可以是一个数、一个字母、一个单项式,也可以是一个多项式 【题型】 (一)利用同底数幂的乘法法则求字母的值 (二)同底数幂乘法与整式加减混合运算 (三)逆用同底数幂的乘法法则 1. m14可以写成 ( ) A.m7+m7 B.m7 m7 C.m2 m7 D.m m14 答案:B 2. 若xm=2,xn=5,则xm+n的值为 ( ) A.7 B.10 C.25 D.52 答案:B 1. 计算: -22 (-2)2= (-x)(-x2)(-x3)(-x4)= 106 105 10= x2 (-x)5 (a+b)2 (a+b)6 (0.75a)3 (a)4 x3 xn-1-xn-2 x4 14.1.2幂的乘方 幂的乘方,底数不变,指数相乘.(am)n=amn(m,n都是正整数) 1. 计算: 14.1.3积的乘方 1.积的乘方,把积的每一个因式分别乘方,再把所得的幂相乘,即积的乘方等于幂的乘积 (ab)n=anbn(n是正整数) 2三个或三个以上因式的积的乘方也具有这一性质,即(abc)n=anbncn(n是正整数) 3.积的乘方的逆运算an bn =(ab)n(n是正整数) 同指数幂相乘,底数相乘,指数不变 1. 计算: 14.1.4整式的乘法 (一)单项式乘单项式和单项式乘多项式 1.单项式与单项式相乘,把它们的系数、同底数幂分别相乘,对于只在一个单项式里含有的字母,则连同它的指数作为积的一个因式。 2.单项式与多项式相乘,就是用单项式去乘多项式中的每一项,再把所得的积相加。 (单项式乘多项式的结果仍是多项式,原多项式的项数与计算后的项数相同) 注意: (1)可以先确定正负 (2)偶次幂恒为正 (3)有乘方的先算乘方 (二)多项式乘多项式 1.多项式与多项式相乘,先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项,再把所得的积相加 (三)同底数幂相除 1.同底数幂的除法法则:同底数幂相除,底数不变,指数相减,即am an=am-n(a≠0,m,n都是正整数,并且m>n) 2.0指数幂:任何不等于0的数的0次幂都等于1,即a0=1(a≠0) (四)整式的除法 1.单项式相除,把系数与同底数幂分别相除作为商的因式,对于只在被除式里含有的字母,则连同它的指数作为商的一个因式。 2.多项式除以单项式,先把这个多项式的每一项除以这个单项式,再把所得的商相加。 1. 计算: 答案: 14.2乘法公式 14.2.1平方差公式 【知识点】 1.平方差公式:两个数的和与这两个数的差的积,等于这两个数的平方差,用公式表示为: 2.平方差公式特征是: (1)公式左边是两个二项式相乘,这两个二项式中有一项相同,而另一项互为相反数 (2)公式右边是乘式中两项的平方差,即相同项的平方减去互为相反数的项的平方 1. 计算: 【题型】 (一)平方差公式连用 1. 计算: 14.2.2完全平方公式 (一)完全平方公式 1.两个数的和(或差)的平方,等于它们的平方和,加上(或减去)它们的积的2倍,这两个公式叫做完全平方公式 补充公式: 2.完全平方公式的变形 3.特殊的完全平方公式 (二)添括号法则 1.添括号时,如果括号前面是正号,括到括号里的各项都不变号;如果括号前面是负号,括到括号里的各项都变号. 【题型】 (一)直接利用公式进行计算 1. 计算: (1)直接利用公式 (2)可利用补充公式简化计算 (3)将所求数化为两数和或差的形式 (4)结合平方差公式 (5)特殊完全平方公式 (二)完全平方公式相关变形的应用 已知a+b=-2,ab=-15,求a2+b2的值 已知x+y=-5,xy=3,求x2+y2的值 已知x+ =3,则代数式x2+ 的值为_. 已知(a+b)2=7,(a-b)2=4,求a2+b2和ab的值 已知a+b=7,ab=2,求(1)a2+b2;(2)a2-ab+b2 14.3因式分解 1.把一个多项式化成几个整式的积的形式,像这样的式子变形叫做这个多项式的因式分解,也叫把这个多项式分解因式 2.因式分解的对象是多项式;因式分解的最后结果是几个整式的积的形式,不能是非整式积与和、差的混合,积中的因式必须是单项式或多项式,且每个因式都不能进一步分解 3.因式分解和整式的乘法是互逆的两个过程 14.3.1提公因式法 1.多项式的各项中都含有的相同的因式,叫这个多项式各项的公因式(公因式也可以是一个多项式,如2a(b+c)-3(b+c)) 2.公因式的确定: (1)找系数的最大公约数 (2)找相同字母 (3)找相同字母的最低指数 3.如果多项式的各项有公因式,可以把这个公因式提取出来,将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式,这种分解因式的方法叫提公因式法,即ma+mb+mc=m(a+b+c) 4.提公因式法的步骤 (1)确定要提取的公因式 (2)用公因式去除这个多项式,所得的商式作为另一个因式 (3)把多项式写成这两个因式的积的形式 5.提公因式后,另一个因式不能再含有公因式,且另一个因式的项数与原多项式的项数一致 6.当多项式的某一项恰好是公因式时,这项应看成它与1的乘积,提公因式后剩下的应是1 如: 14.3.2公式法 注:有公因式先提公因式 (一)平方差公式 (1)左边是二项式,每项都是平方的形式,两项的符号相反 (二)完全平方公式 (1)两个数的平方和加上(或减去)这两个数的积的2倍,等于这两个数的和(或差)的平方 (2)左边是三项式,首末两项分别为两数的平方项且符号相同,中间为两数的积的2倍,符号可正可负 1. ( ) A.7 B.4 C.3 D.3-2√2 (M2)答案:C 2. ( ) (M2)答案:49 3. 分解因式: (M1)答案:略 学科网(北京)股份有限公司 $$