专题3.5 圆锥曲线中的弦长问题（特色专题卷）-2024-2025学年高二数学特色专题卷（人教A版2019选择性必修第一册）

专题3.5 圆锥曲线中的弦长问题 考试时间：120分钟；满分：150分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共19题，单选8题，多选3题，填空3题，解答5题，满分150分，限时150分钟，试卷紧扣教材，细分题组，精选一年好题，两年真题，练基础，提能力！ 1． 选择题（共8小题，满分40分，每小题5分） 1．（24-25高二上·山西晋中·期中）经过椭圆的左焦点作倾斜角为的直线，直线与椭圆相交于A，B两点，则线段AB的长为（    ） A． B． C．2 D． 2．（24-25高二上·吉林通化·期中）已知直线与抛物线相交于两点，且线段的中点坐标为，则直线的斜率为（    ） A． B．2 C． D．6 3．（2024·福建泉州·模拟预测）椭圆，其右焦点为，若直线过点与交于，则最小值为（    ） A． B．1 C． D．2 4．（24-25高二上·陕西西安·阶段练习）已知双曲线，过右焦点的直线与双曲线交于两点．且，这样的直线有4条，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高二上·河南·阶段练习）已知椭圆的右焦点为，过点F的直线交椭圆C于A，B两点，若AB的中点坐标为，则C的方程为（   ） A． B． C． D． 6．（24-25高二上·全国·课后作业）已知点为抛物线上异于原点的两个动点，若，则线段中点的横坐标的最小值为（    ） A．1 B． C． D．2 7．（2024高三上·河南·专题练习）已知椭圆的焦距为，直线与椭圆交于点，若，则椭圆的离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 8．（24-25高三上·湖南长沙·期中）已知抛物线 的焦点为 ，过焦点 的直线交 于 两点， 在第一象限，若以 为直径的圆经过(0,2)，则 的面积为（    ） A． B． C． D．5 2． 多选题（共3小题，满分18分，每小题6分） 9．（24-25高二上·吉林白城·期中）已知过点的直线与椭圆交于A、B两点，则弦长可能是（   ） A．1 B． C． D．3 10．（23-24高二上·河南开封·期末）已知椭圆与直线相交于两个不同的点，点为线段的中点，则（   ） A． B．或 C．弦长的最大值为 D．点一定在直线上 11．（2024·黑龙江吉林·二模）已知抛物线C：，焦点为F，直线与抛物线C交于A，B两点，过A，B两点作抛物线准线的垂线，垂足分别为P，Q，且M为的中点，则（    ） A． B． C．梯形的面积是16 D．到轴距离为3. 3． 填空题（共3小题，满分15分，每小题5分） 12．（24-25高二上·全国·课后作业）已知双曲线的对称轴为坐标轴，其中一条渐近线方程为，直线截该双曲线的弦长为6，则该双曲线的方程为 . 13．（24-25高二上·云南红河·阶段练习）已知抛物线的焦点为F，直线与抛物线交于两个不同的点A，B．如果，2，成等差数列，那么 . 14．（24-25高二下·全国·课后作业）若，是抛物线上不同的两点，线段的垂直平分线交轴于点，则的最大值为 ． 4． 解答题（共5小题，第15题13分，第16、17题15分，第18、19题17分，满分77分） 15．（24-25高二上·陕西渭南·期中）已知抛物线的焦点为，过的直线与交于两点.当轴时，. (1)求的方程； (2)若，求直线的方程. 16．（24-25高二上·云南·期中）已知椭圆的离心率为，且短轴长为. (1)求的方程； (2)若直线与交于两点，且弦的中点为，求的一般式方程. 17．（24-25高二上·全国·课后作业）已知双曲线的虚轴长为2，且离心率为． (1)求的方程和焦点坐标； (2)设的右焦点为，过的直线交于两点，若中点的横坐标为3，求． 18．（24-25高二上·山东青岛·期中）己知椭圆C的中心为坐标原点O，焦点在x轴上，且椭圆C经过点，长轴长为. (1)求椭圆C的标准方程； (2)过点且斜率为1的直线l与椭圆C交于两点，求弦长； (3)若直线l与椭圆相交于两点，且弦的中点为，求直线l的方程. 19．（24-25高三上·上海长宁·期中）已知椭圆的一个顶点为，焦距为. (1)求椭圆的方程； (2)过点作斜率为的直线与椭圆交于不同的两点、，直线、分别与轴交于点、，当时，求的值. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题3.5 圆锥曲线中的弦长问题 考试时间：120分钟；满分：150分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共19题，单选8题，多选3题，填空3题，解答5题，满分150分，限时150分钟，试卷紧扣教材，细分题组，精选一年好题，两年真题，练基础，提能力！ 1． 选择题（共8小题，满分40分，每小题5分） 1．（24-25高二上·山西晋中·期中）经过椭圆的左焦点作倾斜角为的直线，直线与椭圆相交于A，B两点，则线段AB的长为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【分析】由椭圆的标准方程可得，进而可得直线方程，联立椭圆方程，结合韦达定理和弦长公式计算即可求解. 【详解】在中，，所以，即，故左焦点为， 而，故直线为， 联立，得， 设，由韦达定理得， 由弦长公式得. 故选：B. 2．（24-25高二上·吉林通化·期中）已知直线与抛物线相交于两点，且线段的中点坐标为，则直线的斜率为（    ） A． B．2 C． D．6 【答案】A 【分析】根据点在抛物线上，利用点差法可求直线斜率. 【详解】设，则，两式相减得. 因为线段的中点坐标为，所以， 所以. 故选：A. 3．（2024·福建泉州·模拟预测）椭圆，其右焦点为，若直线过点与交于，则最小值为（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】B 【分析】由题意当为通径时，即垂直轴时，其长度最小，由此即可得解． 【详解】要使最小，即为和焦点在的轴垂直的直线截得的线段长． 右焦点为，直线为，联立此直线和椭圆解得交点的纵坐标为， 故最小值为1． 故选：B． 4．（24-25高二上·陕西西安·阶段练习）已知双曲线，过右焦点的直线与双曲线交于两点．且，这样的直线有4条，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据直线与双曲线相交的情形，分两种情况讨论：①直线只与双曲线右支相交，②直线与双曲线的两支都相交，分析其弦长的最小值，利用符合条件的直线的数目，可得答案． 【详解】设，令，则， 过双曲线的右焦点作直线与双曲线交于两点， 如果在同一支上，则有， 如果在两支上，则有， 因为这样的直线有4条， 所以，解得， 故选：B 5．（24-25高二上·河南·阶段练习）已知椭圆的右焦点为，过点F的直线交椭圆C于A，B两点，若AB的中点坐标为，则C的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出直线的方程，并与椭圆方程联立，利用韦达定理列式求解即得. 【详解】直线的斜率，其方程为， 由消去得，， 由AB的中点坐标为，得，整理得，而， 解得，此时，， 所以C的方程为. 故选：A 6．（24-25高二上·全国·课后作业）已知点为抛物线上异于原点的两个动点，若，则线段中点的横坐标的最小值为（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】B 【分析】利用梯形中位线将中点的横坐标转化为，再应用抛物线定义转化为，再由可得最小值. 【详解】设的中点，抛物线的准线为， 如图，作，垂足分别为. 由直角梯形的性质可得， 取抛物线焦点为，由抛物线定义可得， 当且仅当直线经过点时取等号， 所以线段中点的横坐标的最小值为． 故选：B. 7．（2024高三上·河南·专题练习）已知椭圆的焦距为，直线与椭圆交于点，若，则椭圆的离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 联立椭圆与直线方程，利用韦达定理与弦长公式得到关于的齐次不等式，从而得解. 【详解】 联立方程，消去，整理得， 则， 设的横坐标分别为，则，， 所以 ， 由，得，整理得， 即，即，又，则，故， 所以椭圆的离心率的取值范围为. 故选：C． 【点睛】方法点睛：求圆锥曲线的离心率（或离心率的取值范围），常见有两种方法： ①求出，代入公式； ②只需要根据一个条件得到关于的齐次式，结合转化为的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以或转化为关于的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得（的取值范围）． 8．（24-25高三上·湖南长沙·期中）已知抛物线 的焦点为 ，过焦点 的直线交 于 两点， 在第一象限，若以 为直径的圆经过(0,2)，则 的面积为（    ） A． B． C． D．5 【答案】B 【分析】根据焦点可得，即可根据圆心到轴距离以及圆的半径可得圆与与相切，即可求解，可得，联立直线方程与抛物线方程得韦达定理，即可根据焦点弦公式以及点到直线距离求解面积. 【详解】由题意知 ，解得 ，所以抛物线 ， 设 坐标为 , 又抛物线的焦半径可知,故圆的半径为 故以为直径的圆的圆心圆心到轴的距离为 以为直径的圆的与相切，且切点为(0,2)，故因此，故 ， 直线 为 ， 联立 ，消去 得， ，所以 ， . O 到直线 的距离 ， 所以 的面积为 故选：B 2． 多选题（共3小题，满分18分，每小题6分） 9．（24-25高二上·吉林白城·期中）已知过点的直线与椭圆交于A、B两点，则弦长可能是（   ） A．1 B． C． D．3 【答案】BC 【分析】根据给定条件，求出弦长的取值范围即可判断得解. 【详解】当直线的斜率存在时，设过点斜率存在的直线方程为：， 由消去y，并整理得，恒成立， 设，则， ， 当直线的斜率不存在时，因此， 所以弦长可能是，. 故选：BC 10．（23-24高二上·河南开封·期末）已知椭圆与直线相交于两个不同的点，点为线段的中点，则（   ） A． B．或 C．弦长的最大值为 D．点一定在直线上 【答案】AD 【分析】先联立椭圆与直线的方程，得一元二次方程，用判别式求的取值范围，进而判断选项A、B；得出韦达定理形式，求弦长的表达式，判断选项C；得到中点的坐标形式，判断选项D. 【详解】设两点的坐标为：， 联立椭圆与直线的方程， 得：， 由判别式，得，即，选项A正确，选项B不正确； 韦达定理：， 弦长， 当时，弦长取最大值，，选项C不正确； 由直线，线段中点的坐标为， 即，所以点的坐标满足直线方程，选项D正确. 故选：AD. 11．（2024·黑龙江吉林·二模）已知抛物线C：，焦点为F，直线与抛物线C交于A，B两点，过A，B两点作抛物线准线的垂线，垂足分别为P，Q，且M为的中点，则（    ） A． B． C．梯形的面积是16 D．到轴距离为3. 【答案】BD 【分析】先判断得直线经过点，再联立直线与抛物线方程，得到，进而得到，从而判断AD，利用两点求斜率与直线垂直时斜率之积为可判断B，分别求得，结合梯形的面积公式可判断C. 【详解】对于A，由题意得，则直线经过点， 联立，消去，得， 设，则， 则，所以，故A错误； 对于B，由题意得， 所以，所以，故B正确； 对于C，由题意可得， ， 所以梯形的面积是，故C错误； 对于D，因为，所以到轴距离为3，故D正确. 故选：BD. 3． 填空题（共3小题，满分15分，每小题5分） 12．（24-25高二上·全国·课后作业）已知双曲线的对称轴为坐标轴，其中一条渐近线方程为，直线截该双曲线的弦长为6，则该双曲线的方程为 . 【答案】 【分析】由渐近线方程设出双曲线方程，再直曲联立得到韦达定理，最后由弦长公式求出，解出即可； 【详解】由于的一条渐近线为，可设双曲线的方程为， 将代入双曲线得， 若直线与双曲线交点为， 则，， 则，解得， 经检验，满足题意； 故该双曲线的方程为，即. 故答案为：. 13．（24-25高二上·云南红河·阶段练习）已知抛物线的焦点为F，直线与抛物线交于两个不同的点A，B．如果，2，成等差数列，那么 . 【答案】/ 【分析】联立抛物线和直线方程，得到，再由等差中项的性质得到，结合抛物线的定义可得，结合可得到满足的方程，求解即得结果. 【详解】设，， 联立，整理得：， 由，得， 由韦达定理，得， 由，2，成等差数列，可得， 由抛物线的定义得， 所以，故，解得或（舍）. 故答案为：. 14．（24-25高二下·全国·课后作业）若，是抛物线上不同的两点，线段的垂直平分线交轴于点，则的最大值为 ． 【答案】6 【分析】设，，中点，利用点差法可得直线的斜率，再利用中垂线可得，然后利用抛物线的定义，由即可求解. 【详解】 设，，中点， 则， 设斜率为，则， 相减得：， 因为，即， 设抛物线的焦点为，， 所以，当且仅当，，三点共线时等号成立， 此时满足在抛物线内部， 所以的最大值为6. 故答案为：6. 4． 解答题（共5小题，第15题13分，第16、17题15分，第18、19题17分，满分77分） 15．（24-25高二上·陕西渭南·期中）已知抛物线的焦点为，过的直线与交于两点.当轴时，. (1)求的方程； (2)若，求直线的方程. 【答案】(1) (2)或. 【分析】（1）根据点坐标可得两点坐标，利用可求的方程. （2）设直线的方程，与抛物线联立，结合过焦点的弦长公式可求直线的方程. 【详解】（1） 由题意得，， 把代入得，即， ∴，解得， ∴的方程为：. （2） 由（1）得直线斜率存在，， 设， 由得，， ∴， 由得，，解得， ∴直线的方程为或. 16．（24-25高二上·云南·期中）已知椭圆的离心率为，且短轴长为. (1)求的方程； (2)若直线与交于两点，且弦的中点为，求的一般式方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据椭圆离心率和的关系求解即可. （2）设点，代入椭圆方程，利用点差法求解即可. 【详解】（1）由题意得，， 又∵， ∴ ， ∴的方程为：. （2） 设，则， ∵点在椭圆上，∴， 两式作差得，， ∴， ∴, ∴直线的方程为：，整理得. 17．（24-25高二上·全国·课后作业）已知双曲线的虚轴长为2，且离心率为． (1)求的方程和焦点坐标； (2)设的右焦点为，过的直线交于两点，若中点的横坐标为3，求． 【答案】(1)方程为，左、右焦点坐标分别为 (2) 【分析】（1）根据双曲线虚轴长以及离心率联立方程组即可得出的方程； （2）联立直线与双曲线方程，由韦达定理以及弦长公式计算可得. 【详解】（1）因为的离心率为，又的虚轴长为2，所以， 又， 联立解得，， 所以的方程为，左、右焦点坐标分别为． （2）由（1）知， 根据题意易得过的直线斜率存在， 设的直线方程为，如下图所示： 联立，化简得， 所以， 因为中点横坐标为3，所以， 解得，所以， 则， 则． 18．（24-25高二上·山东青岛·期中）己知椭圆C的中心为坐标原点O，焦点在x轴上，且椭圆C经过点，长轴长为. (1)求椭圆C的标准方程； (2)过点且斜率为1的直线l与椭圆C交于两点，求弦长； (3)若直线l与椭圆相交于两点，且弦的中点为，求直线l的方程. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据椭圆的长轴长及所经过点直接求出，得出椭圆C的标准方程. （2）直线l与椭圆方程联立，得出韦达定理，根据弦长公式得出结果. （3）设，根据“点差法”求出直线的斜率，由点斜式即可求解. 【详解】（1）由题意设椭圆C的方程为， 因为椭圆经过点且长轴长为， 所以， 所以椭圆C的标准方程为. （2）由已知设直线l的方程为，设，. 将直线代入， 得， 所以，， . （3）设，则中点是， 于是，即， 由于在椭圆上，故， 两式相减得到，即， 故，于是， 故直线的方程是， 整理得 19．（24-25高三上·上海长宁·期中）已知椭圆的一个顶点为，焦距为. (1)求椭圆的方程； (2)过点作斜率为的直线与椭圆交于不同的两点、，直线、分别与轴交于点、，当时，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）依题意可得，即可求出，从而求出椭圆方程； （2）首先表示出直线方程，设、，联立直线与椭圆方程，消元列出韦达定理，由直线、的方程，表示出、，根据得到方程，解得即可. 【详解】（1）解：依题意可得，， 又，所以， 所以椭圆方程为. （2）解：依题意过点的直线为， 设、，不妨令， 由，消去整理得， 所以，解得， 所以，， 直线的方程为，令，解得， 直线的方程为，令，解得， 所以 ， 所以， 即 即 即 整理得，解得. 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为、； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式； （5）代入韦达定理求解. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$