精品解析：浙江省诸暨中学暨阳分校2024-2025学年高二上学期11月期中考试数学试题

诸暨中学暨阳分校2024学年第一学期期中考试 高二数学试题 命题：倪志华审题：蔡炎 考生须知： 1.本试题卷共4页，满分150分，考试时间为120分钟. 2.考生答题前，务必将自己的姓名、考号、班级（行政班）用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题纸上. 3.选择题的答案须用2B铅笔将答题纸上对应题目的答案标号涂黑，如有改动，须将原填涂处用橡皮擦净. 4.非选择题的答案须用黑色字迹的签字笔或钢笔写在答题纸相应区域内，答案写在本试题卷上无效. 2024.11 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.每小题列出的四个选项中只有一个选项是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分） 1. 已知空间向量，，若，则（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 以上都不对 2. 若方程表示焦点在轴上的椭圆，则，的一组可能取值是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 过，两点的直线倾斜角为，则（ ） A. B. C. D. 4. 双曲线的左焦点到其中一条渐近线的距离为（ ） A. 2 B. C. 1 D. 5. 暨阳分校环境优美，依山傍水，绿树成荫.某日，小明饭后散步至池塘边，恰好可以在池塘中看到太阳的倒影，即入射光线经池塘水面反射后，反射光线经过小明眼睛.建立适当坐标系后，已知入射光线上有一点，经直线反射后经过点，则入射光线所在直线方程为（ ） A. B. C. D. 6. 如图所示，已知直四棱柱中，底面是边长为2的菱形，且，，，，分别是，，的中点，则异面直线，所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 7. 已知椭圆与双曲线有公共焦点，，，一个公共点恰在以为直径的圆上，，分别为椭圆与双曲线的离心率，则的值为（ ） A. 2 B. C. 1 D. 8. 已知圆，直线，点、为圆上的两个动点，若直线上存在点，使得，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.每小题列出的四个选项中有多项是符合题目要求的，全部选对得6分，部分选对得部分分） 9. 直线方向向量是，若，则平面的法向量可以是（ ） A. B. C. D. 10. 已知圆，过点且斜率为的直线交圆于，两点，为圆上一动点，则下列选项正确的是（ ） A. 时，直线被圆C截得的弦长最长 B. 时，直线被圆C截得的弦长最短 C. 的最大值为 D. 三角形面积的最大值为2 11. 抛物线的焦点为，过的直线交抛物线于，，以下说法正确的有（ ） A. 以为圆心，为半径的圆与抛物线仅有1个交点 B. 以为直径的圆与轴相切 C. 当轴时，取到最小值 D. 若点为抛物线准线与轴交点，则一定有 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 如下图所示平行六面体中，，，，则体对角线________（用，，表示）. 13. 若圆与圆有公共点，则的最小值为________. 14. 已知为坐标原点，，且动点在双曲线的右支上，动点满足，则的最小值为________. 四、简答题（本大题共5小题，共77分.简答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15 已知点，，圆 （1）求过线段中点，且与垂直的直线的方程； （2）过点作圆的切线，求切线方程. 16. 已知椭圆，其中离心率为，且过点 （1）求椭圆标准方程； （2）过点的直线被椭圆截得的弦长为，求直线的方程. 17. 如图，在四棱柱中，底面是等腰梯形，，是线段上一点，且. （1）时，求证：平面； （2）时，若在底面上的射影为的重心，且，求平面与平面夹角的余弦值. 18. 已知以动点为圆心圆过点，且圆与直线相切，若动点的轨迹为. （1）求轨迹的方程； （2）直线与轨迹相交于、两点，已知且，证明：直线恒过定点，并求出点坐标； 19. 在空间直角坐标系中，已知向量，点.若平面以为法向量且经过点，则平面的点法式方程可表示为，一般式方程可表示为. （1）若平面，直线的方向向量为，求直线与平面所角的正弦值； （2）已知集合，记集合中所有点构成的几何体体积为，集合，记集合中所有点构成的几何体为，求的值及几何体相邻两个面（有公共棱）所成二面角的余弦值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 诸暨中学暨阳分校2024学年第一学期期中考试 高二数学试题 命题：倪志华审题：蔡炎 考生须知： 1.本试题卷共4页，满分150分，考试时间为120分钟. 2.考生答题前，务必将自己的姓名、考号、班级（行政班）用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题纸上. 3.选择题的答案须用2B铅笔将答题纸上对应题目的答案标号涂黑，如有改动，须将原填涂处用橡皮擦净. 4.非选择题的答案须用黑色字迹的签字笔或钢笔写在答题纸相应区域内，答案写在本试题卷上无效. 2024.11 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.每小题列出的四个选项中只有一个选项是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分） 1. 已知空间向量，，若，则（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 以上都不对 【答案】A 【解析】 【分析】根据空间向量坐标关系判断即可得答案. 【详解】已知，， 设，则，故, 则时，，即. 故选：A. 2. 若方程表示焦点在轴上的椭圆，则，的一组可能取值是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】根据椭圆的方程类型列不等式求解的关系即可得结论. 【详解】方程转化为， 若方程表示焦点在轴上的椭圆，则，所以， 则，的一组可能取值是，. 故选：B. 3. 过，两点的直线倾斜角为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据两点斜率表达式以及斜率和倾斜角关系得到方程，解出即可. 【详解】由题意得，解得. 故选：C. 4. 双曲线的左焦点到其中一条渐近线的距离为（ ） A. 2 B. C. 1 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据双曲线方程求出渐近线和左焦点坐标，利用点到直线距离公式求解. 【详解】由已知得，则左焦点的坐标为，双曲线的渐近线方程为， 因为焦点到两条渐近线的距离相等， 所以左焦点到其中一条渐近线的距离为， 故选：. 5. 暨阳分校环境优美，依山傍水，绿树成荫.某日，小明饭后散步至池塘边，恰好可以在池塘中看到太阳的倒影，即入射光线经池塘水面反射后，反射光线经过小明眼睛.建立适当坐标系后，已知入射光线上有一点，经直线反射后经过点，则入射光线所在直线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 分析】先求出点关于直线对称点的坐标，结合点的坐标即可求得入射光线所在直线的方程． 【详解】设关于直线对称的点为， 则，解得，即， 因为入射光线经过点，所以所在直线的斜率为， 则入射光线所在直线方程为，即． 故选：D. 6. 如图所示，已知直四棱柱中，底面是边长为2的菱形，且，，，，分别是，，的中点，则异面直线，所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系求异面直线，所成角的余弦值即可. 【详解】解：连接，，，并且，的中点为， 因为底面是菱形，所以， 又因为四棱柱为直四棱柱， 所以底面， 又因为，所以底面， 所以，. 以点为坐标原点，分别以，，为轴，轴，轴建立空间直角坐标系（如图所示）. 则，，，，， 于是，，， 所以，， 设异面直线，所成角为， 则. 故选：D 【点睛】 7. 已知椭圆与双曲线有公共焦点，，，的一个公共点恰在以为直径的圆上，，分别为椭圆与双曲线的离心率，则的值为（ ） A. 2 B. C. 1 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据椭圆和双曲线的定义，结合圆的几何性质，列式求解. 【详解】设椭圆的长轴长为，双曲线的长轴长为，焦距为，设点在第一象限， 所以，，两个式子平方和为， 且点在以为直径的圆上，所以， 所以，，即， 所以. 故选：A 8. 已知圆，直线，点、为圆上的两个动点，若直线上存在点，使得，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】取中点为，连，CE，分析可得当共线时，有最大值，结合圆的对称性与正弦定理可得，即，转化为圆心到直线的距离即可得的取值范围，即可得所求. 【详解】如图，取中点为，连，CE， 已知，圆心，半径， 则当共线时，有最大值， 因为，则此时， 又由正弦定理得，故， 所以当的时，， 由于点在直线上，所以圆心到直线的距离， 整理解得， 故的最大值为. 故选：D. 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.每小题列出的四个选项中有多项是符合题目要求的，全部选对得6分，部分选对得部分分） 9. 直线的方向向量是，若，则平面的法向量可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】AB 【解析】 【分析】由题意得到直线的方向向量与面的法向量平行，四个选项一一判断，得到答案. 【详解】，故直线的方向向量与面的法向量平行， A选项，与平行，满足要求， B选项，，故与平行，满足要求， C选项，，故与垂直，不合要求； D选项，，故与垂直，不合要求， 故选：AB 10. 已知圆，过点且斜率为直线交圆于，两点，为圆上一动点，则下列选项正确的是（ ） A. 时，直线被圆C截得的弦长最长 B. 时，直线被圆C截得的弦长最短 C. 的最大值为 D. 三角形面积的最大值为2 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据直线与圆相交弦长公式，圆心到直线距离变化，点与圆的位置关系，相交弦长与圆心形成的三角形面积逐项判断，即可得结论. 【详解】圆的圆心为，半径， 又点在圆内，则直线与圆相交弦长， 又圆心到直线的距离， 且当直线过圆心时，即时，，直线被圆C截得的弦长最长为，故A不正确； 当时，即时，，直线被圆C截得的弦长最短为，故B正确； 由于为圆上一动点，则，故C正确； 因为， 直线与圆相交过程中，，所以， 所以三角形面积的最大值为2，故D正确. 故选：BCD. 11. 抛物线的焦点为，过的直线交抛物线于，，以下说法正确的有（ ） A. 以为圆心，为半径的圆与抛物线仅有1个交点 B. 以为直径圆与轴相切 C. 当轴时，取到最小值 D. 若点为抛物线准线与轴交点，则一定有 【答案】ABD 【解析】 【分析】联立圆与抛物线方程，根据解的个数判断A；利用半径与距离的关系判断B；当轴，求出的长判断C；将转化为判断D. 【详解】 对于A，抛物线的焦点为， 所以以为圆心，为半径的圆的方程为， 联立，得，即， 因为，所以，交点坐标为， 所以以为圆心，为半径的圆与抛物线仅有1个交点,故A正确； 对于B，设，则的中点，， 则以为直径的圆的半径为，的中点的横坐标为， 所以的中点到轴的距离为，即以为直径的圆与轴相切，故B正确； 对于C，当过点直线斜率不存在时，即，此时， 当斜率存在时，直线方程为，联立得， 设，， 则，当且仅当时，等号成立， 所以当轴时，取到最小值，故C错误； 对于D，点为抛物线准线与轴交点，所以， 直线方程为， 联立，则，所以， 则 ，所以，故D正确； 故选：ABD. 【点睛】关键点点睛：D选项中，转化为. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 如下图所示平行六面体中，，，，则体对角线________（用，，表示）. 【答案】 【解析】 【详解】由图可得. 故答案为：. 13. 若圆与圆有公共点，则的最小值为________. 【答案】 【解析】 【分析】根据方程可判断圆心在圆内部，两圆有公共点，当圆内切与圆时，圆半径最小. 【详解】解：圆的圆心，半径为2，圆的圆心，半径为， 因为，所以圆心在圆内部， 因为两圆有公共点， 所以当圆内切与圆时最小， 此时，即. 故答案为：. 14. 已知为坐标原点，，且动点在双曲线的右支上，动点满足，则的最小值为________. 【答案】 【解析】 【分析】依题意，求出的运动轨迹，结合表示的几何意义求解. 【详解】 因为，， 所以，即， 即， 所以的运动轨迹为以为圆心，半径为2的圆， 因为动点在双曲线的右支上， 所以，即， 因为， 最小值几何意义为点到圆上点与到距离和的最小值， 又因为， 所以表示为最小， 即最小， 所以当三点共线时符合题意， 即， 所以的最小值为， 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题重点在于几何意义的理解，转化为点共线时最小. 四、简答题（本大题共5小题，共77分.简答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知点，，圆 （1）求过线段中点，且与垂直的直线的方程； （2）过点作圆的切线，求切线方程. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）求出中点与直线的斜率，应用点斜式写出即可； （2）设切线的斜率，写出切线方程，应用相切的充要条件求出斜率，即可解出切线方程. 【小问1详解】 解：因为点，， 所以线段中点，， 所以直线的斜率为， 所以直线的方程为， 即 【小问2详解】 解：当斜率不存在时，显然不满足题意， 当切线存在斜率时，设切线方程为，即， 因为圆的圆心为，半径为1， 所以，解之得或， 所以圆的切线方程为或. 16. 已知椭圆，其中离心率为，且过点 （1）求椭圆的标准方程； （2）过点的直线被椭圆截得的弦长为，求直线的方程. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）依题意，表示椭圆离心率，将点代入椭圆方程，联立方程求解； （2）分别表示出直线方程，结合弦长公式求解. 【小问1详解】 因为椭圆，其中离心率为，且过点， 所以，解得， 所以椭圆的标准方程为. 【小问2详解】 过点的直线斜率不存在时，直线方程为，此时截得的弦长为，不符题意； 当斜率存在时，设直线方程为，即， 联立，得， 设直线与椭圆的交点为， 则，， 则， 解得， 所以直线的方程. 17. 如图，在四棱柱中，底面是等腰梯形，，是线段上一点，且. （1）时，求证：平面； （2）时，若在底面上的射影为的重心，且，求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2）0 【解析】 【分析】（1）利用面面平行证线面平行可得答案； （2）利用三角形重心的性质，建立空间直角坐标系，运用空间角的向量求法求解可得答案. 【小问1详解】 连，在等腰梯形中，，当时，有，得， 四边形为平行四边形，得， 面，面，面， 又，面，面，面， ，面面，由面， 得平面; 【小问2详解】 ，则，连，，，四边形为等腰梯形， ，由余弦定理可得，则，， 取的重心为，连，作， 如图，以，，为，，轴，建立坐标系， 可得， ，，，，由题意，得， 可得，又因，且， 由勾股定理可得，， 又由，得， 又因为，可得； 整理得，； 设面的法向量为， ，整理得，取，得，，， 又因为面的法向量为， 设平面与平面夹角为，所以， 所以平面与平面夹角的余弦值为0 18. 已知以动点为圆心的圆过点，且圆与直线相切，若动点的轨迹为. （1）求轨迹的方程； （2）直线与轨迹相交于、两点，已知且，证明：直线恒过定点，并求出点坐标； 【答案】（1） （2）证明见解析， 【解析】 【分析】（1）根据抛物线的定义得轨迹方程即可； （2）设直线方程为，联立直线与抛物线得交点坐标关系，根据数量积的坐标运算求得关系，从而得结论. 【小问1详解】 动圆过定点，且与直线相切， 点到的距离等于点到直线的距离． 因此，点的轨迹是以为焦点、为准线的抛物线 设该抛物线方程为，可得，解得 抛物线方程为，即为所求轨迹的方程； 【小问2详解】 设直线方程为，， 由消去得：， ，化简得， 所以， 则 整理得，即， 则或，即或， 所以直线方程为或， 当直线方程为时，过定点，当直线方程为时，过定点与点重合，舍去； 故直线恒过定点. 19. 在空间直角坐标系中，已知向量，点.若平面以为法向量且经过点，则平面点法式方程可表示为，一般式方程可表示为. （1）若平面，直线的方向向量为，求直线与平面所角的正弦值； （2）已知集合，记集合中所有点构成的几何体体积为，集合，记集合中所有点构成的几何体为，求的值及几何体相邻两个面（有公共棱）所成二面角的余弦值. 【答案】（1） （2）； 【解析】 【分析】（1）利用题中概念计算出平面法向量，然后利用线面角与直线方向向量和平面法向量所成角的关系计算即可； （2）分析集合P，利用体积公式求体积即可；利用题目中给定的定义求出法向量，结合面面角的向量法求解即可． 【小问1详解】 由题可知， 直线的方向向量为，平面的法向量为， 直线与平面所角为， 则， 【小问2详解】 易知：集合表示的几何体是关于平面xoy，yoz，zox对称的，它们在第一卦限的形状为正三棱锥，如下图 其中OA、OB、OC两两垂直，且， 所以， 集合Q所表示的几何图形也关于平面xoy，yoz，zox对称， 在第一卦限内的部分如图（1）， 如图2，就是把图1的几何图形进行分割的结果. 由平面的方程为：，其法向量为； 平面的方程为：，其法向量为. 且平面与平面所成的角为钝角，设为，则， 【点睛】关键点点睛：解决该题的关键是：（1）根据空间想象，结合学过的知识，弄清楚三个集合表示的几何图形的形状.（2）根据题设给出的结论，由平面的方程可直接得到平面的法向量.利用法向量求平面所成的角. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$