精品解析：湖北省鄂北六校（宜城一中、枣阳一中等）2024-2025学年高三上学期期中考试数学试题

宜城一中 枣阳一中 曾都一中 襄阳六中 南漳一中 老河口一中 2024—2025学年上学期期中考试 高三数学试题 时间：120分钟 主命题学校：曾都一中 分值：150分 命题老师：姜华红 徐士勇 董建勇 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先解一元二次不等式求出集合A,再根据绝对值不等式应用交集定义计算即可. 【详解】集合， ，则. 故选：B.     2. 若则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据已知求出,再根据复数的模长公式计算即可. 【详解】因为,所以, 则。 故选：C. 3. 已知x，y是任意实数，则是且的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据充分条件，必要条件的定义判断即可. 【详解】若，则不能推出且，例如：； 若且，则，即命题成立， 所以命题是且的必要不充分条件. 故选：B 4. 设均为非零向量，且，，则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由向量垂直可求得，利用向量夹角公式可求得结果. 【详解】由得：，， ，又，. 故选：C. 5. 若，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由函数、和的单调性可依次得、和，进而得解. 【详解】因为是上的增函数， 所以，即， 又因为是增函数，所以， 又是上的增函数， 所以，即， 综上所述，a，b，c的大小关系为. 故选：A. 6. 已知等比数列的前3项和为28，且，则（ ） A. 28 B. 56 C. 64 D. 128 【答案】D 【解析】 【分析】通过前3项和以及，求解，由通项公式可计算结果. 【详解】因为，所以， 又的前3项和为28，即①， 又②， ②式比①式可得，解得（舍）或， 代入②式得，则. 故选：D 7. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题设可得、，再由余弦差角公式即可得结果. 【详解】由，即， 由，即，而，则， 所以，可得. 故选：B 8. 英国数学家牛顿在17世纪给出了一种求方程近似根的方法—牛顿迭代法，做法如下：如图，设是的根，选取作为的初始近似值，过点作曲线的切线，则与轴的交点的横坐标，称是的第一次近似值；过点作曲线的切线，则该切线与轴的交点的横坐标为，称是的第二次近似值；重复以上过程，得的近似值序列，其中，称是的次近似值，这种求方程近似解的方法称为牛顿迭代法.若使用该方法求方程的近似解，则下列正确的是（ ） A. 若取初始近似值为1，则过点作曲线的切线 B. 若取初始近似值为1，则该方程解的第二次近似值为 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据条件介绍的牛顿迭代法求近似解即可. 【详解】解：构造函数，则， 取初始近似值，，， 则，即，则A错误； ，，B错误； 根据题意，可知， 上述式子相加，得， 所以，C不正确，则D正确. 故选：D. 【点睛】关键点睛《解答本题的关键是理解牛顿迭代法的含义，并根据其含义去解决问题. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 设等差数列的前项和为，公差为，，，，下列结论正确的是（ ） A. ， B. C. D. 当时，最大 【答案】BC 【解析】 【分析】由等差数列的性质和已知条件可知A和B选项；利用等差数列求和判断C选项；根据，判断D选项. 【详解】因为，，，所以和异号，且， 所以，，所以，故A错误，B正确； ，故C正确； 因为，，，，所以当时，最大，故D错误. 故选：BC. 10. 已知实数满足，则下列结论正确的是（ ） A. 的最小值为9 B. 的最大值为 C. 的最大值为 D. 的最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据对数的性质及运算法则得到，再利用基本不等式即可验证各选项是否正确. 【详解】由对数的性质及运算法则可知：，且， 所以：. 对于选项A：由，得：， 所以， 当，即时，取“”，所以选项A正确； 对于选项B：，所以， 当，即时取“”，所以的最大值为，所以选项B错误； 对于选项C：因为， 由选项B的解题中可知：，所以， 所以，所以选项C正确； 对于选项D：因为 ，即 当，即时，取“”， 所以，故选项D正确. 故选A,C,D. 11. 函数的图象过原点，且无限接近直线但又不与该直线相交，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 若，则 D. 方程有3个实数根 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用指数函数的图象性质可求出参数，判断选项A；代入进行求解，判断选项B；不等式的证明可利用作差法思想及均值不等式思想来判断选项C；求解方程，判断实数根，判断选项D. 【详解】由函数图象过原点，可知 ， 再由的图象无限接近直线但又不与该直线相交，可知， 所以，故A错误； 由，则， ，故B正确； 若， ， 当且仅当取等号，但是，所以等号不成立，故C正确； 由 ，则或， 当时，， 当时，，则或，故D正确. 故选：BCD. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数，，且，，， ，，，则______. 【答案】192 【解析】 【分析】由题意累乘即可得解. 【详解】由题意知，， 所以. 故答案为：192 13. 如图，函数的部分图象如图所示，已知点A，D为的零点，点B，C为的极值点，，则______. 【答案】## 【解析】 【分析】结合正弦函数的周期及向量数量积公式计算可得，再由函数零点可得，即可得解析式. 【详解】由图可得，又，则，， ，则，， 则，化简得， 又，则，则有， 解得，又，则. 故答案为：. 14. 若，，记数列的前项和为，则的最小值为______. 【答案】 【解析】 【分析】由题意得，令，则，可得，令，求导分析单调性结合的范围即可求解. 【详解】，则， 所以， 令，则， 所以， 令， 则， 所以当时，，此时单调递减， 当时，，此时单调递增， 因为，且， 当时，， 当时，， 所以的最小值为. 故答案为：. 【点睛】易错点睛：本题主要考查函数与数列的综合问题，属于难题.解决该问题应该注意的事项： (1)数列是一类特殊的函数，它的图象是一群孤立的点； (2)转化以函数为背景的条件时，应该注意题中的限制条件，如函数的定义域，这往往是很容易被忽视的问题； (3)利用函数的方法研究数列中的相关问题时，应准确构造相应的函数，注意数列中相关限制条件的转化. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数. （1）求的单调减区间； （2）将函数的图象向左平移个单位长度，再将所得图象上各点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象.若对任意，，求实数的最小值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用倍角公式降幂，再由辅助角公式可得，最后利用复合函数单调性求出单调递减区间即可. （2）根据函数平移及伸缩求出的解析式，求解即可. 【小问1详解】 . 由，解得， 所以函数的单调递减区间为； 【小问2详解】 将函数的图象向左平移个单位长度，可得到函数 ， 再将所得图象上各点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象，即， 当时，，则，则， 对任意的、，， 则， 故实数的最小值为. 16. 已知函数在点处的切线方程为 （1）求函数的解析式； （2）若，且过点可作曲线的三条切线，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2）. 【解析】 【分析】（1）由导数的几何意义和切点在曲线上建立方程组，解出即可； （2）先将问题转化为在切点处的切线方程有三个不同的实数根，再构造函数，求导分析单调性和极值即可； 【小问1详解】 由题意得， 故， 【小问2详解】 过点向曲线作切线，设切点为， 则，， 则切线方程为， 将代入上式，整理得. 过点可作曲线的三条切线， 方程有三个不同实数根. 记，， 令，得或1，则，，的变化情况如下表： 0 1 + 0 - 0 + 极大 极小 当，有极大值；，有极小值， 由题意有，当且仅当即解得时函数有三个不同零点.此时过点可作曲线的三条不同切线.故的取值范围是. 17. 在中，角，，所对的边分别为，，，且 （1）求角的大小； （2）设是边AC上一点，BD为角平分线且，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理和诱导公式化简已知式可得，分类讨论和即可得出答案； （2）由角平分线定理可得，再由正弦定理可得，结合同角三角函数的基本关系可求出的值. 【小问1详解】 因为，在中，， 所以 在中，由正弦定理得： 又，，所以，即， 又，所以，所以， 所以，因为，所以，即. 【小问2详解】 因为，是角平分线，即， 因为，所以， 由正弦定理可知，所以， 所以，整理可得， 即，又因为，且， 即，解得. 18. 已知函数. （1）若，求极值； （2）求函数的单调区间； （3）若函数有两个极值点，，求证：. 【答案】（1）极大值为，极小值为 （2）当时，的减区间是，无增区间； 当时，的增区间是，减区间是和. （3）证明：由（2）知，当时，有两个极值点，，， 则，是方程的两个根，从而，， 由韦达定理，得，. 所以， . 令，，， 则， 当时，，则在上是增函数，从而， 故 【解析】 【分析】（1）代入函数解析式，利用导数求函数极值； （2）利用导数，对分类讨论，求函数单调区间； （3），是方程的两个根，有，，，，化简得，令，利用导数求的单调性，可证明结论. 【小问1详解】 当时，，函数定义域为， ， 当，，在上单调递增， 或，，在和上单调递减， 的极大值为，的极小值为. 【小问2详解】 由，得. 令，则，， 当，即时，恒成立，则， 所以在上是减函数. 当，即或. （i）当时，在上单调递增，恒成立， 从而，所以在上是减函数. （ii）当时，函数有两个零点：，， 列表如下： - 0 + 0 - 减函数 极小值 增函数 极大值 减函数 综上，当时，的减区间是，无增区间； 当时，的增区间是，减区间是和. 【小问3详解】 略 【点睛】方法点睛： 1. 导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理． 2.利用导数解决含参函数的单调性问题时，一般将其转化为不等式恒成立问题，解题过程中要注意分类讨论和数形结合思想的应用. 3.证明不等式，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效. 19. 把满足任意，总有的函数称为“类余弦型”函数. （1）已知为“类余弦型”函数，，求的值； （2）在（1）的条件下，定义数列：，求的值； （3）若为“类余弦型”函数，且，对任意非零实数，总有.设有理数，满足，判断与的大小关系，并给出证明. 【答案】（1） （2） （3），证明：由题意得：函数定义域为，定义域关于原点对称， 令，有，又，故. 令，为任意实数，则，即，故是偶函数， 因为，又因为当时，， 所以当时，有，所以， 又，为有理数，不妨设，，令为，分母的最小公倍数，且，，，均为自然数，且， 设，，则， 令，，则， 即，则， 即可得， 故可得单调递增， 则，又是偶函数，所以有. 【解析】 【分析】（1）利用特殊值法：令，得，令，，和，求得的值； （2）由题设令，，可得，易知以为公比，为首项的等比数列，进而可得的通项，利用对数的运算性质即可求值； （3）先证为偶函数，再证若，，都是自然数且，如有，，设，只需证是增函数，利用函数单调性的性质即可证明. 【小问1详解】 令则，，又，故， 令，，则，则， 又，故； 【小问2详解】 令，，则， 即， 又，则， 又，所以数列以为公比，为首项的等比数列， 即，则， 则； 【小问3详解】 略 【点睛】关键点睛：根据递推关系的特点，灵活应用特殊值法求函数值及函数关系，而第三问：根据有理数的性质：令，，将问题转化为判断在上为增函数. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 宜城一中 枣阳一中 曾都一中 襄阳六中 南漳一中 老河口一中 2024—2025学年上学期期中考试 高三数学试题 时间：120分钟 主命题学校：曾都一中 分值：150分 命题老师：姜华红 徐士勇 董建勇 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 若则（ ） A. B. C. D. 3. 已知x，y是任意实数，则是且的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 设均为非零向量，且，，则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 5. 若，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 6. 已知等比数列的前3项和为28，且，则（ ） A. 28 B. 56 C. 64 D. 128 7. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 8. 英国数学家牛顿在17世纪给出了一种求方程近似根的方法—牛顿迭代法，做法如下：如图，设是的根，选取作为的初始近似值，过点作曲线的切线，则与轴的交点的横坐标，称是的第一次近似值；过点作曲线的切线，则该切线与轴的交点的横坐标为，称是的第二次近似值；重复以上过程，得的近似值序列，其中，称是的次近似值，这种求方程近似解的方法称为牛顿迭代法.若使用该方法求方程的近似解，则下列正确的是（ ） A. 若取初始近似值为1，则过点作曲线的切线 B. 若取初始近似值为1，则该方程解的第二次近似值为 C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 设等差数列的前项和为，公差为，，，，下列结论正确的是（ ） A. ， B. C. D. 当时，最大 10. 已知实数满足，则下列结论正确的是（ ） A. 的最小值为9 B. 的最大值为 C. 的最大值为 D. 的最小值为 11. 函数的图象过原点，且无限接近直线但又不与该直线相交，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 若，则 D. 方程有3个实数根 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数，，且，，， ，，，则______. 13. 如图，函数的部分图象如图所示，已知点A，D为的零点，点B，C为的极值点，，则______. 14. 若，，记数列的前项和为，则的最小值为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数. （1）求的单调减区间； （2）将函数的图象向左平移个单位长度，再将所得图象上各点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象.若对任意，，求实数的最小值. 16. 已知函数在点处的切线方程为 （1）求函数的解析式； （2）若，且过点可作曲线的三条切线，求实数的取值范围. 17. 在中，角，，所对的边分别为，，，且 （1）求角的大小； （2）设是边AC上一点，BD为角平分线且，求的值. 18. 已知函数. （1）若，求极值； （2）求函数的单调区间； （3）若函数有两个极值点，，求证：. 19. 把满足任意，总有的函数称为“类余弦型”函数. （1）已知为“类余弦型”函数，，求的值； （2）在（1）的条件下，定义数列：，求的值； （3）若为“类余弦型”函数，且，对任意非零实数，总有.设有理数，满足，判断与的大小关系，并给出证明. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $