精品解析：山东省青岛市即墨区2024-2025学年高三上学期11月期中教学质量检测数学试题

2024—2025学年度第一学期教学质量检测 高三数学试题 2024.11 本试卷分选择题和第非选择题两部分．满分150分，考试用时120分钟．考试结束后，将本试卷和答案卡一并交回． 注意事项： 1．答第I卷前考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡上． 2．选出每小题答案前，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．所有试题的答案，写在答题卡上，不能答在本试卷上，否则无效． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知复数满足，为虚数单位，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 直接根据复数代数形式的除法法则计算可得； 【详解】解：因为，所以 故选：A 【点睛】本题考查复数的运算，属于基础题. 2. 已知向量，，且，则（ ） A. B. C. 6 D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】由已知向量的坐标求出的坐标，再由向量垂直的坐标运算得答案． 【详解】因为，，所以. 又，所以，即，解得． 3. 设是等差数列的前项和，若，则（ ） A. 8 B. 10 C. 12 D. 15 【答案】B 【解析】 【分析】由下标和性质先求得的值，然后根据等差数列前项和公式化简计算即可. 【详解】因为，所以，所以， 所以， 故选：B. 4. 已知函数的最小正周期为，则的图象（ ） A. 关于点对称 B. 关于对称 C. 关于直线对称 D. 关于直线对称 【答案】D 【解析】 【分析】根据周期求出，代入，计算检验即可判断各选项. 【详解】因为函数的最小正周期为， 所以， 因为，所以AC错误； ，所以B错误，D正确. 故选：D 5. 将0，1，2，10四个数字排成一行，可以组成不同的5位数的个数是（ ） A. 6 B. 12 C. 15 D. 18 【答案】C 【解析】 【分析】首先求出数字0不在首位，再求出数字1和0相邻且1在0之前的排法，即可得解. 【详解】将0，1，2，10四个数字排成一行，且数字0不在首位， 则有种， 数字1和0相邻且1在0之前的排法有种， 去掉重复的（类似10102这样的数），满足题意的不同的5位数的个数为， 故选：C 6. 已知锐角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边上有一点，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据三角函数的定义及二倍角的余弦公式得解. 【详解】由三角函数定义，， 所以， 解得或（由为锐角知，舍）， 故选：D 7. 已知向量为单位向量，且，向量与共线，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】根据向量共线定理设(t∈R)，得，两边平方根据二次函数知识可得结果. 【详解】因为向量与共线，所以可设(t∈R)， 所以，所以， 因为向量，为单位向量，且， 所以， 所以，所以的最小值为. 故选：A 8. 已知成等比数列，且．若，则 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先证不等式，再确定公比的取值范围，进而作出判断. 【详解】令则，令得，所以当时，，当时，，因此， 若公比，则，不合题意； 若公比，则 但， 即，不合题意； 因此， ，选B. 【点睛】构造函数对不等式进行放缩，进而限制参数取值范围，是一个有效方法.如 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知复数在复平面内对应的点为，则（ ） A. 在第一象限 B. C. D. 的虚部为 【答案】BC 【解析】 【分析】确定，进而根据复数的概念及几何意义、模的运算逐项判断即可. 【详解】由， 可得：在第二象限，，，的虚部为3. 故选：BC 10. 已知，则（ ） A. 为偶函数 B. 是的最小正周期 C. 在区间上单调递增 D. 的值域为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据奇偶函数定义判断A，取特值判断B，根据符合函数单调性判断C，根据偶函数及在时的值域判断D. 【详解】由可知，，定义域为， 故定义域关于原点对称，又，所以函数为偶函数，故A正确； 取，则，，即，所以不是函数的周期，故B错误； 当时，，令且为减函数， 而在时单调递减，所以由复合函数的单调性知，单调递增，故C正确； 由为偶函数，只需研究时的值域，当时，， 因为，即时，是函数的一个周期，当时，，当且仅当，即时取等号，当时，， 令，则在上是增函数，所以， 当时，，所以，综上的值域为，故D正确. 故选：ACD 11. 如图，平面四边形中，对角线的交点为，△的面积是△面积的两倍，又数列满足，当时，，为数列的前项和，则（ ） A. B. C. 是等差数列 D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据面积比可得线段长之比判断A，由向量的线性运算判断哪B，根据三点共线消元后得出可判断C，由错位相减法求和可判断D. 【详解】过A作，垂足为，过作，垂足为，连接，交于点， 如图所示， 由题意可得：，则， 且，则，故，故A正确； ，故B错误； ∵三点共线，则， 可得，则，， 整理得：， 故数列是以首项，公差为2的等差数列，故C正确； 则，即， 所以, ， 两式相减得： ， 所以，故D正确. 故选：ACD 【点睛】关键点点睛：根据三角形面积的关系，得出线段长之比，再由向量线性运算，及三点共线得出关于的递推关系式，是解题的关键所在. 三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分． 12. 二项式展开式的常数项为_________. 【答案】 【解析】 【分析】直接利用二项式定理计算得到答案. 【详解】二项式展开式： 当即时， 故答案为： 【点睛】本题考查了二项式定理，意在考查学生的计算能力. 13. 已知是第四象限角，且，则___________. 【答案】 【解析】 【分析】由题求得的范围，结合已知求得，再由诱导公式求得及，进一步由诱导公式及同角三角函数基本关系式求得的值． 【详解】解：是第四象限角， ，则， 又， ． ，． 则． 故答案为． 【点睛】本题考查两角和与差的正切，考查诱导公式及同角三角函数基本关系式的应用，是基础题． 14. 在△中，若，则角A的范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】将正切化为正弦和余弦，化简后结合余弦定理可得到，结合基本不等式和余弦函数的图象即可求角A的范围. 【详解】 , 在, , 即, , , 当且仅当时等号成立， , 故答案为: 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知． （1）若，求； （2）设，若，求的夹角． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）两边平方后，根据向量的数量积运算性质即可求解； （2）两边平方后，根据向量的数量积运算性质即可求的，然后结合公式即可得解. 【小问1详解】 由题意得，即， 又因为，所以，即； 【小问2详解】 由题意得，即； 又， 所以， 所以，即， 所以，又 所以 16. 在中，. （1）求B； （2）若的周长为，求边上中线的长. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理，结合二倍角的正弦公式进行求解即可； （2）根据余弦定理，结合（1）的结论进行求解即可. 【小问1详解】 根据正弦定理由， 因为，所以，即，所以； 【小问2详解】 由（1）可知，而，所以， 因此，由余弦定理可知：， 因为的周长为，所以有， 设边上中点为，所以， 由余弦定理可知：， 所以边上中线的长. 17. 已知函数的部分图象如图所示. （1）求函数的解析，并求出在上的值域； （2）若将函数的图象向右平移个单位后所得曲线关于轴对称.求的最小值. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）代入两点，建立方程，根据解出参数的值，即可得解解析式，再根据函数的定义域求出函数的值域； （2）根据题意得到平移后的函数解析式，结合函数的对称性，得到，根据及取对应的值，即可得解. 【小问1详解】 由，得， 又点及附近点从左到右是上升的，则， 由，点及附近点从左到右是下降的， 且上升、下降的两段图象相邻，得， 联立解得，， 而，于是，， 当时，，所以， 即在上的值域为. 【小问2详解】 令将函数的图象向右平移个单位后得到的图象 所以， 由题意的图象曲线关于轴对称，即为偶函数， 所以，解得， 因为，所以当时，取得最小值. 18. 如果正项有穷数列满足，即，我们称其为“1的对称数列”，例如：数列2，3，，与数列3，2，1，，都是“1的对称数列”． （1）设是项数为8的“1的对称数列”，其中是等差数列，且，请依次写出的每一项； （2）设数列是13项的“1的对称数列”，其中是等比数列，，求数列的所有项和的最小值； （3）设数列是项的“1的对称数列”，数列前项的通项公式为，求数列的前项和．（注：） 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据等差数列写出前四项，再由新定义写出后四项即可； （2）由等比数列可求出数列前五项，再由新定义得出后五项及中间项，所以第六项及第八项可设为，求和后利用基本不等式得最值即可； （3）当时直接由公式求和，当时，利用裂项相消法求和即可. 【小问1详解】 设为前四项的公差， ， ， 的各项为. 【小问2详解】 设前五项公比为，显然， ， 则，可得， 解得或， 当时，，当时，（舍去）， 因为数列是13项的“1的对称数列”，所以， 设， ， 当且仅当时取等号， 所以数列的所有项和的最小值为. 【小问3详解】 当时， ， 当时， ， 所以. 【点睛】关键点点睛：新定义问题关键在于理解定义，运用定义解题，求和时利用所给公式及裂项相消法. 19. 已知数列为有穷数列，且，若数列满足如下两个性质，则称数列为的增数列： ①； ②对于，使得的正整数对恰有个． （1）若等差数列1，3，5，7，9为的增数列，求的值； （2）若数列为的8增数列，求的最小值； （3）若存在60的增数列，求的最大值． 【答案】（1）35 （2）8 （3）450 【解析】 【分析】（1）根据题意，由m的k增数列的定义求得m和k的值. （2）根据题意，由m的8增数列的定义，有，并且对于，使得的正整数对恰有个，根据这两个条件分析m的取值范围，求出最小值. （3）由题意得，若存在60的增数列，则根据定义分析当k最大时数列各项的特征，包括各项是否相等，各项的值为多少，相邻项的差值是多少，确定出数列的特征后再具体计算出k的值. 【小问1详解】 由题意得，根据m的k增数列的定义， ， 因为， 所以对于，使得的正整数对有： 共10对， 所以，于是. 【小问2详解】 由题意得，数列为的8增数列， 即， 且对于，使得的正整数对恰有个. 所以数列各项中必有不同的项，所以且. 若，则满足要求的数列中有五项为1，一项为2， 所以，不符合题意，所以； 若，则满足要求的数列中有四项为1，两项为2， 此时数列为，满足要求的整数对分别为 ，符合m的8增数列， 所以当时，存在m的8增数列， 故m的最小值为8. 【小问3详解】 由题意得，若数列中的每个项都相等，则， 若，则数列中存在大于1的项， 若首项，则将拆分成个1后k变大， 所以此时k不是最大值，故. 当时，若， 则交换和顺序后k变为， 所以此时k不是最大值，所以. 若，则， 此时将变为，并在数列首位添加一项1， 则k值变大，所以此时k不是最大值， 所以. 若数列中存在相邻的两项， 设此时中有x项为2， 将改为2，并在数列首位前添加个1后， k的值至少变为， 所以此时k也不是最大值. 综上，若k为最大值，则数列中的各项只能为1或2， 所以数列为的形式. 设其中有x项为1，y项为2， 因为存在60的k增数列，所以， 所以， 所以当且仅当时，k取最大值450. 【点睛】本题是数列有关的新定义问题，这类问题的关键是要准确理解题中对于“的增数列”的定义，特别是条件②中的正整数对指的是数列下标而非数列项本身；其次在最后一问的证明过程中，需要把多种情况都考虑到，只有全面分析数列满足的条件才能准确得出项的特征，而考虑的方面其实从前两问中可以分析出来. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年度第一学期教学质量检测 高三数学试题 2024.11 本试卷分选择题和第非选择题两部分．满分150分，考试用时120分钟．考试结束后，将本试卷和答案卡一并交回． 注意事项： 1．答第I卷前考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡上． 2．选出每小题答案前，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．所有试题的答案，写在答题卡上，不能答在本试卷上，否则无效． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知复数满足，为虚数单位，则等于（ ） A. B. C. D. 2. 已知向量，，且，则（ ） A. B. C. 6 D. 8 3. 设是等差数列的前项和，若，则（ ） A. 8 B. 10 C. 12 D. 15 4. 已知函数的最小正周期为，则的图象（ ） A. 关于点对称 B. 关于对称 C. 关于直线对称 D. 关于直线对称 5. 将0，1，2，10四个数字排成一行，可以组成不同的5位数的个数是（ ） A. 6 B. 12 C. 15 D. 18 6. 已知锐角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边上有一点，且，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知向量为单位向量，且，向量与共线，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 1 8. 已知成等比数列，且．若，则 A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知复数在复平面内对应的点为，则（ ） A. 在第一象限 B. C. D. 的虚部为 10. 已知，则（ ） A. 为偶函数 B. 是的最小正周期 C. 在区间上单调递增 D. 的值域为 11. 如图，平面四边形中，对角线的交点为，△的面积是△面积的两倍，又数列满足，当时，，为数列的前项和，则（ ） A. B. C. 是等差数列 D. 三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分． 12. 二项式展开式的常数项为_________. 13. 已知是第四象限角，且，则___________. 14. 在△中，若，则角A的范围是________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知． （1）若，求； （2）设，若，求的夹角． 16. 在中，. （1）求B； （2）若的周长为，求边上中线的长. 17. 已知函数的部分图象如图所示. （1）求函数的解析，并求出在上的值域； （2）若将函数的图象向右平移个单位后所得曲线关于轴对称.求的最小值. 18. 如果正项有穷数列满足，即，我们称其为“1的对称数列”，例如：数列2，3，，与数列3，2，1，，都是“1的对称数列”． （1）设是项数为8的“1的对称数列”，其中是等差数列，且，请依次写出的每一项； （2）设数列是13项的“1的对称数列”，其中是等比数列，，求数列的所有项和的最小值； （3）设数列是项的“1的对称数列”，数列前项的通项公式为，求数列的前项和．（注：） 19. 已知数列为有穷数列，且，若数列满足如下两个性质，则称数列为的增数列： ①； ②对于，使得的正整数对恰有个． （1）若等差数列1，3，5，7，9为的增数列，求的值； （2）若数列为的8增数列，求的最小值； （3）若存在60的增数列，求的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $