第19讲 对数函数（4种题型+3个易错点+过关检测）-2024-2025学年高一数学考试满分全攻略同步备课备考系列（苏教版2019必修一）

第19讲 对数函数（4种题型+3个易错点+过关检测） 知识点一、对数函数的概念 　　一般地，函数y=logax(a>0，a≠1)叫作对数函数，它的定义域是(0，+∞). 知识点二、对数函数的图象与性质 对数函数 y=logax(a>0，a≠1) a>1 0<a<1 图象 性质 定义域：(0，+∞) 值域：R 图象过点(1，0) 增函数； 当0<x<1时，y<0； 当x>1时，y>0 减函数； 当0<x<1时，y>0； 当x>1时，y<0 　　注意：对数函数y=logax与y=lox(a>0，a≠1)的图象关于x轴对称. 知识点三、对数函数图象的变换 1. 平移变换：对数函数图象的平移变换同指数函数图象的平移变换，满足“左加右减，上加下减”的原则. 2. 对称变换(a>0，a≠1) (1)函数y=logax的图象与函数y=-logax(即y=lox)的图象关于x轴对称； (2)函数y=logax的图象与函数y=loga(-x)的图象关于y轴对称； (3)函数y=logax的图象与函数y=-loga(-x)的图象关于原点对称. 知识点四、反函数 1. 当a>0，a≠1时，y=logax称为y=ax的反函数. 反之，y=ax也称为y=logax的反函数. 一般地，如果函数y=f(x)存在反函数，那么它的反函数记作y=f -1(x). 2. 知识拓展     (1)互为反函数的两个函数的单调性相同，但单调区间不一定相同. (2)互为反函数的两个函数的定义域和值域正好互换. (3)互为反函数的两个函数的图象关于直线y=x对称. 知识点五、对数函数的图象及其应用 1. 对数型函数图象过定点问题 　　求函数y=m+loga f(x)(a>0，且a≠1， f(x)>0)的图象所过定点时，只需令f(x)=1，求出x，即得定点为(x，m). 2. 根据对数函数图象判断底数大小的方法 　　作直线y=1，与所给图象相交，交点的横坐标即为各个底数，根据在第一象限内，自左向右，图象对应的对数函数的底数逐渐变大，可比较底数的大小. 3. 函数图象的变换规律 (1)一般地，函数y=f(x+a)+b(a，b为实数)的图象是由函数y=f(x)的图象沿x轴向左或向右平移|a|个单位长度后，再沿y轴向上或向下平移|b|个单位长度得到的. (2)含有绝对值的函数的图象一般是经过对称变换得到的. 知识点六、比较对数值的大小 1. 比较对数值大小的类型及方法 (1)底数相同，真数不同：利用对数函数的单调性进行比较. (2)底数不同，真数相同：利用对数函数的图象或用换底公式转化进行比较. (3)底数不同，真数不同：利用中间量进行比较. (4)若底数为同一参数，则根据底数对对数函数单调性的影响，对底数进行分类讨论. 1 学科网（北京）股份有限公司 知识点七、解对数不等式 1. 简单对数不等式的解法 (1)形如loga f(x)>logab(a>0，且a≠1)的不等式，借助函数y=logax(a>0，且a≠1)的单调性求解，如果a的取值不确定，则需分a>1和0<a<1两种情况进行讨论； (2)形如loga f(x)>b(a>0，且a≠1)的不等式，应将b化为以a为底数的对数式的形式(即b=logaab)，借助函数的单调性求解； (3)形如logf(x)a>logg(x)a的不等式，利用换底公式化为同底的对数进行求解或利用图象求解. 知识点八、与对数函数有关的函数的定义域、值域问题 1. 对数型函数的定义域 　　求对数型函数的定义域时，除了要遵循前面所学的求函数定义域的方法外，还要保证对数的真数大于0，底数大于0且不等于1. 2. 求对数型函数的值域的常用方法 (1)直接法：根据函数解析式的特征，直接得出函数的值域. (2)配方法：当所给的函数可化为二次函数形式(形如y=m[f(logax)]2+nf(logax)+c(m≠0，a>0，a≠1))时，可以用配方法求函数的值域. (3)单调性法：根据所给函数在其定义域(或定义域的某个子集)上的单调性，求出函数的值域. (4)换元法：求形如y=loga f(x)(a>0且a≠1， f(x)>0)的函数的值域时，先换元，令u=f(x)，利用函数的图象和性质求出u的范围，再利用y=logau(a>0，且a≠1)的单调性、图象求出y的取值范围. 知识点九、与对数函数有关的函数的单调性 1. “定义域优先”原则：单调区间是定义域的子集. 2. 与对数函数有关的函数的单调性的判断方法 　　形如y=loga f(x)(a>0，a≠1， f(x)>0)的复合函数，当a>1时，y=loga f(x)的单调性与y=f(x)的单调性相同；当0<a<1时，y=loga f(x)的单调性与y=f(x)的单调性相反. 　　形如y=f(logax)(a>0且a≠1)的复合函数，一般用复合函数的单调性“同增异减”的规律判断，即令t=logax(a>0，a≠1)，只需研究t=logax与y=f(t)的单调性即可. 题型1：对数函数的概念 【例题1】（22-23高一上·江苏宿迁·期中）在下列四个命题中，正确的是（    ） A．若则； B．若，则； C．，则； D．若，则． 【变式1】（21-22高一·全国·课后作业）下列函数是对数函数的是（    ） A． B． C．（，） D． 【变式2】（23-24高一上·北京大兴·阶段练习）已知函数，则 ； ． 【变式3】（23-24高一上·新疆省直辖县级单位·阶段练习）已知函数，则的值是 . 题型2：对数函数的图象 【例题2】（23-24高一上·云南昆明·期末）如图所示，函数图像①②③④⑤⑥⑦⑧中不属于函数：，的是（    ）    A．①⑤ B．②⑥ C．③⑦ D．④⑧ 【变式1】（21-22高一上·全国·课后作业）已知，且，则函数与的图象只可能是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24高一上·河北唐山·期中）已知且，若函数的图象经过定点，则定点坐标 ． 【变式3】（20-21高一·江苏·课后作业）设a与b为实数，，.已知函数的图象如图所示，求a与b的值. 题型3：对数函数的性质 【例题3】（24-25高一上·全国·课堂例题）函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（23-24高一上·天津·阶段练习）函数的值域为R．则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25高一上·山东青岛·期中）函数的定义域是 【变式3】（24-25高一上·全国·课后作业）已知函数． (1)画出函数的图象； (2)写出函数的单调区间； (3)当时，函数的值域为，求m的取值范围． 题型4：对数函数与指数函数互为反函数 【例题4】（24-25高一上·全国·课堂例题）若函数是函数的反函数，则的值为（    ） A．16 B．0 C．1 D．2 【变式1】（23-24高一上·湖南株洲·阶段练习）已知函数与互为反函数．若的反函数为，则（    ） A． B． C． D．2 【变式2】（22-23高一上·湖南衡阳·期末）函数与互为反函数，则 ． 【变式3】（23-24高一上·广东深圳·期末）我们知道，指数函数（，且）与对数函数（，且）互为反函数.已知函数，其反函数为. (1)求函数，的最小值； (2)对于函数，若定义域内存在实数，满足，则称为“L函数”.已知函数为其定义域上的“L函数”，求实数的取值范围. 易错点1：忽略对底数的讨论而致错 【例题1】若实数a满足，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（22-23高一上·北京海淀·阶段练习）已知，那么的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（22-23高一上·上海杨浦·期中）若，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式3】（23-24高一上·上海·期末）已知在上是关于的减函数，则实数a的取值范围是 . 易错点2：忽略复合函数中函数的定义域而致错 【例题2】（23-24高一上·湖北·期末）若函数在区间内单调递增，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式1】（20-21高一上·安徽·阶段练习）若函数在区间内为减函数，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（高一上·湖北荆州·期中）若函数在区间内单调递减，则a的取值范围是 ． 【变式3】（22-23高一上·辽宁·期末）已知函数，若在区间内单调递减，则的取值范围是 . 易错点3：忽略复合函数中函数的值域而致错 【例题3】（23-24高一上·重庆·阶段练习）已知函数，对任意的，，且时，满足，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（23-24高一上·江苏盐城·期末）已知函数定义域为，对任意的，当时，有.若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24高一上·广东深圳·期中）已知函数，若对，都有，则的取值范围为 【变式3】（23-24高一上·全国·期末）已知且，若存在,存在,使得成立,则实数a的取值范围是 . 一、单选题 1．（2023高一上·全国·专题练习）已知函数，直线与这三个函数图象的交点的横坐标分别为，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·全国·课堂例题）下列函数中是对数函数的为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一上·广东深圳·期末）设实数，且，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 4．（24-25高一上·福建厦门·期中）函数的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 5．（22-23高一上·湖南长沙·假期作业）若函数的值域是，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高一上·山东青岛·期中）函数且的图象恒过点，函数且的图象恒过点，则（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高一上·黑龙江哈尔滨·期中）已知，，，则a，b，c的大小关系是（   ） A． B． C． D． 8．（24-25高一上·全国·课后作业）当时，在同一平面直角坐标系中，函数与的图象是（    ）． A．   B．   C．   D．   二、多选题 9．（24-25高一上·浙江杭州·期中）下列函数既是偶函数，又在上是减函数的是（    ） A． B． C． D． 10．（24-25高一上·浙江宁波·期中）已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．的值域为 B．关于原点对称 C．在上单调递增 D．在上的最大值、最小值分别为、，则 11．（22-23高一上·福建福州·阶段练习）已知函数，设，则（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 三、填空题 12．（23-24高一上·贵州毕节·期末）已知函数的定义域和值域都是，则 . 13．（24-25高一上·新疆·期中）函数的定义域是 . 14．（24-25高一上·上海·随堂练习）若函数，其中，设是的反函数，则 ．（） 四、解答题 15．（24-25高一上·上海·单元测试）若函数（且）在上的最大值为2，最小值为m，函数在上是严格增函数，求的值． 16．（24-25高一上·浙江绍兴·期中）函数. (1)当时，求该函数的值域； (2)若对于恒成立，求的取值范围. 17．（24-25高一上·浙江杭州·期中）已知非常数函数是定义域为的奇函数． (1)求实数的值； (2)判断并证明函数的单调性； (3)已知，且，求的取值范围． 18．（23-24高一上·新疆乌鲁木齐·阶段练习）已知. (1)若函数的值域为，求实数的取值范围； (2)若函数在区间上为单调函数，求实数的取值范围； (3)若函数在区间上的最小值为，求实数的值. 19．（23-24高一上·重庆·期末）已知函数． (1)证明函数的图象过定点； (2)设，且，讨论函数在上的最小值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第19讲 对数函数（4种题型+3个易错点+过关检测） 知识点一、对数函数的概念 　　一般地，函数y=logax(a>0，a≠1)叫作对数函数，它的定义域是(0，+∞). 知识点二、对数函数的图象与性质 对数函数 y=logax(a>0，a≠1) a>1 0<a<1 图象 性质 定义域：(0，+∞) 值域：R 图象过点(1，0) 增函数； 当0<x<1时，y<0； 当x>1时，y>0 减函数； 当0<x<1时，y>0； 当x>1时，y<0 　　注意：对数函数y=logax与y=lox(a>0，a≠1)的图象关于x轴对称. 知识点三、对数函数图象的变换 1. 平移变换：对数函数图象的平移变换同指数函数图象的平移变换，满足“左加右减，上加下减”的原则. 2. 对称变换(a>0，a≠1) (1)函数y=logax的图象与函数y=-logax(即y=lox)的图象关于x轴对称； (2)函数y=logax的图象与函数y=loga(-x)的图象关于y轴对称； (3)函数y=logax的图象与函数y=-loga(-x)的图象关于原点对称. 知识点四、反函数 1. 当a>0，a≠1时，y=logax称为y=ax的反函数. 反之，y=ax也称为y=logax的反函数. 一般地，如果函数y=f(x)存在反函数，那么它的反函数记作y=f -1(x). 2. 知识拓展     (1)互为反函数的两个函数的单调性相同，但单调区间不一定相同. (2)互为反函数的两个函数的定义域和值域正好互换. (3)互为反函数的两个函数的图象关于直线y=x对称. 知识点五、对数函数的图象及其应用 1. 对数型函数图象过定点问题 　　求函数y=m+loga f(x)(a>0，且a≠1， f(x)>0)的图象所过定点时，只需令f(x)=1，求出x，即得定点为(x，m). 2. 根据对数函数图象判断底数大小的方法 　　作直线y=1，与所给图象相交，交点的横坐标即为各个底数，根据在第一象限内，自左向右，图象对应的对数函数的底数逐渐变大，可比较底数的大小. 3. 函数图象的变换规律 (1)一般地，函数y=f(x+a)+b(a，b为实数)的图象是由函数y=f(x)的图象沿x轴向左或向右平移|a|个单位长度后，再沿y轴向上或向下平移|b|个单位长度得到的. (2)含有绝对值的函数的图象一般是经过对称变换得到的. 知识点六、比较对数值的大小 1. 比较对数值大小的类型及方法 (1)底数相同，真数不同：利用对数函数的单调性进行比较. (2)底数不同，真数相同：利用对数函数的图象或用换底公式转化进行比较. (3)底数不同，真数不同：利用中间量进行比较. (4)若底数为同一参数，则根据底数对对数函数单调性的影响，对底数进行分类讨论. 1 学科网（北京）股份有限公司 知识点七、解对数不等式 1. 简单对数不等式的解法 (1)形如loga f(x)>logab(a>0，且a≠1)的不等式，借助函数y=logax(a>0，且a≠1)的单调性求解，如果a的取值不确定，则需分a>1和0<a<1两种情况进行讨论； (2)形如loga f(x)>b(a>0，且a≠1)的不等式，应将b化为以a为底数的对数式的形式(即b=logaab)，借助函数的单调性求解； (3)形如logf(x)a>logg(x)a的不等式，利用换底公式化为同底的对数进行求解或利用图象求解. 知识点八、与对数函数有关的函数的定义域、值域问题 1. 对数型函数的定义域 　　求对数型函数的定义域时，除了要遵循前面所学的求函数定义域的方法外，还要保证对数的真数大于0，底数大于0且不等于1. 2. 求对数型函数的值域的常用方法 (1)直接法：根据函数解析式的特征，直接得出函数的值域. (2)配方法：当所给的函数可化为二次函数形式(形如y=m[f(logax)]2+nf(logax)+c(m≠0，a>0，a≠1))时，可以用配方法求函数的值域. (3)单调性法：根据所给函数在其定义域(或定义域的某个子集)上的单调性，求出函数的值域. (4)换元法：求形如y=loga f(x)(a>0且a≠1， f(x)>0)的函数的值域时，先换元，令u=f(x)，利用函数的图象和性质求出u的范围，再利用y=logau(a>0，且a≠1)的单调性、图象求出y的取值范围. 知识点九、与对数函数有关的函数的单调性 1. “定义域优先”原则：单调区间是定义域的子集. 2. 与对数函数有关的函数的单调性的判断方法 　　形如y=loga f(x)(a>0，a≠1， f(x)>0)的复合函数，当a>1时，y=loga f(x)的单调性与y=f(x)的单调性相同；当0<a<1时，y=loga f(x)的单调性与y=f(x)的单调性相反. 　　形如y=f(logax)(a>0且a≠1)的复合函数，一般用复合函数的单调性“同增异减”的规律判断，即令t=logax(a>0，a≠1)，只需研究t=logax与y=f(t)的单调性即可. 题型1：对数函数的概念 【例题1】（22-23高一上·江苏宿迁·期中）在下列四个命题中，正确的是（    ） A．若则； B．若，则； C．，则； D．若，则． 【答案】B 【分析】结合对数性质可逐一判断各选项. 【详解】对A，若，则均无意义，故A错； 对B，若，说明，则B项正确； 对C，若，则，不一定能推出，故C错； 对D，若，则无意义，故D错. 故选：B 【变式1】（21-22高一·全国·课后作业）下列函数是对数函数的是（    ） A． B． C．（，） D． 【答案】B 【分析】根据对数函数的定义，即可判断选项. 【详解】对于A，真数为，而不是，故A不是对数函数； 对于B，底数为常数，且，真数为，且函数系数为1，故B是对数函数； 对于C，真数为常数，而不是，故C不是对数函数； 对于D，真数为，而不是，故D不是对数函数． 故选：B． 【变式2】（23-24高一上·北京大兴·阶段练习）已知函数，则 ； ． 【答案】 1 /0.5 【分析】根据函表达式，即可求出结果. 【详解】因为，所以，又， 所以， 故答案为：，. 【变式3】（23-24高一上·新疆省直辖县级单位·阶段练习）已知函数，则的值是 . 【答案】/ 【分析】由分段函数解析式，将自变量代入求值即可. 【详解】由解析式有， 所以． 故答案为： 题型2：对数函数的图象 【例题2】（23-24高一上·云南昆明·期末）如图所示，函数图像①②③④⑤⑥⑦⑧中不属于函数：，的是（    ）    A．①⑤ B．②⑥ C．③⑦ D．④⑧ 【答案】B 【分析】根据题意，分别由指数函数的图像特点与对数函数的图像特点，即可判断. 【详解】由指数函数的图像性质可知，①②③④为指数函数图像， 且③④为单调递增的指数函数，取可知，③④分别对应， 又①④图像关于轴对称，则①对应，即②不属于； 由对数函数的图像性质可知，⑤⑥⑦⑧为对数函数图像， 其中⑦⑧为单调递减的对数函数， 由“底大图低”可知⑧对应，⑦对应， 且⑤⑧图像关于轴对称，则⑤对应，即⑥不属于； 故选：B 【变式1】（21-22高一上·全国·课后作业）已知，且，则函数与的图象只可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据对数函数的性质结合条件分析即得. 【详解】当时，函数为增函数，且直线与y轴的交点的纵坐标大于1； 当时，函数为减函数，且直线与y轴的交点的纵坐标在0到1之间，只有C符合， 故选：C． 【变式2】（23-24高一上·河北唐山·期中）已知且，若函数的图象经过定点，则定点坐标 ． 【答案】 【分析】根据求函数图象经过的定点坐标. 【详解】由，此时. 所以函数的图象过定点. 故答案为： 【变式3】（20-21高一·江苏·课后作业）设a与b为实数，，.已知函数的图象如图所示，求a与b的值. 【答案】， 【分析】由图象可知，函数图象过点，将点的坐标代入函数中，可得关于的方程组，从而可求出的值 【详解】由图象可知，函数的图象过点， 所以，且， 由，得，解得， 则，得， 所以， 题型3：对数函数的性质 【例题3】（24-25高一上·全国·课堂例题）函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据对数中真数为正，列不等式可解. 【详解】令，解得. 故函数的定义域是. 故选：B. 【变式1】（23-24高一上·天津·阶段练习）函数的值域为R．则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用对数函数的性质，结合一元二次不等式求解即得. 【详解】由函数的值域为R，得的取值包含所有正实数， 因此，解得或， 所以实数m的取值范围是. 故选：D 【变式2】（24-25高一上·山东青岛·期中）函数的定义域是 【答案】 【分析】利用对数型复合函数与具体函数的定义域解法即可得解. 【详解】对于， 有，即，解得或. 所以的定义域为. 故答案为：. 【变式3】（24-25高一上·全国·课后作业）已知函数． (1)画出函数的图象； (2)写出函数的单调区间； (3)当时，函数的值域为，求m的取值范围． 【答案】(1)作图见解析 (2)单调递减区间是，单调递增区间是 (3) 【分析】（1）根据图象变换作出所求函数图象； （2）根据图象可得函数的单调区间； （3）可得，结合图象即可得结果. 【详解】（1）先作出的图象，再把的图象x轴下方的部分往上翻折， 得到的图象，如图所示． （2）由题意可知：的定义域为， 由图可知，在上单调递减，在上单调递增． 所以的单调递减区间是，单调递增区间是． （3）由的图象可知， 由题意结合图象知，m的取值范围为． 题型4：对数函数与指数函数互为反函数 【例题4】（24-25高一上·全国·课堂例题）若函数是函数的反函数，则的值为（    ） A．16 B．0 C．1 D．2 【答案】B 【分析】运用反函数概念求反函数解析式，结合对数函数性质计算即可. 【详解】函数是函数的反函数,则. 故. 故选：B. 【变式1】（23-24高一上·湖南株洲·阶段练习）已知函数与互为反函数．若的反函数为，则（    ） A． B． C． D．2 【答案】C 【分析】根据题意，得到，代入，即可求解. 【详解】由函数与互为反函数， 若的反函数为，则. 故选：C. 【变式2】（22-23高一上·湖南衡阳·期末）函数与互为反函数，则 ． 【答案】0 【分析】根据指数函数与对数函数互为反函数求解即可. 【详解】与互为反函数， ，故， ∴. 故答案为： 【变式3】（23-24高一上·广东深圳·期末）我们知道，指数函数（，且）与对数函数（，且）互为反函数.已知函数，其反函数为. (1)求函数，的最小值； (2)对于函数，若定义域内存在实数，满足，则称为“L函数”.已知函数为其定义域上的“L函数”，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由反函数得到，再利用换元法，根据二次函数的性质求函数，的最小值. （2）由L函数的定义得到等式，然后分离参数，由函数单调性求出实数的取值范围. 【详解】（1）由题意得， 所以，， 令，设， 则为开口向上，对称轴为的抛物线， 当时，在上为单调递增函数， 所以的最小值为； 当时，在上单调递减，在上单调递增， 所以的最小值为； 当时，在上为单调递减函数， 所以的最小值为； 综上，可得. （2）依题意，， 则在上存在，满足， 即 则， 即， 令，则上式化为，即， 因为，当且仅当时取等号， 又，结合函数的单调性可得，即， 因为在上是增函数， 当时，；当时，； 所以. 易错点1：忽略对底数的讨论而致错 【例题1】若实数a满足，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分两种情况进行讨论即可. 【详解】当时, ,故 当时, ,故 故a的取值范围是. 故选：B 【点睛】本题主要考查了根据对数函数的单调性解不等式的方法,属于基础题型. 【变式1】（22-23高一上·北京海淀·阶段练习）已知，那么的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】不等式即为，讨论与1的大小关系，根据对数函数的单调性确定的取值范围. 【详解】，当时，为增函数，故； 当时，为减函数，故即取； 所以的取值范围是； 故选：D 【变式2】（22-23高一上·上海杨浦·期中）若，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将不等式的右边也变为以为底的对数形式，然后对讨论，利用对数的单调性解不等式即可. 【详解】解：由已知， 当时，不等式明显成立； 当时，， 综合得：实数的取值范围是， 故选：B. 【变式3】（23-24高一上·上海·期末）已知在上是关于的减函数，则实数a的取值范围是 . 【答案】 【分析】利用一次函数、对数函数单调性，结合复合函数单调性求出a的范围. 【详解】由，得且，因此函数单调递减，而，则， 由在上是关于的减函数，得函数在上单调递增，且， 因此，解得， 所以实数a的取值范围是. 故答案为： 易错点2：忽略复合函数中函数的定义域而致错 【例题2】（23-24高一上·湖北·期末）若函数在区间内单调递增，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用对数函数及复合函数的单调性计算即可. 【详解】由已知得，解之得，即的定义域为， 又在区间内单调递增，根据复合函数的单调性， 可得：，解得． 故选：D 【变式1】（20-21高一上·安徽·阶段练习）若函数在区间内为减函数，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】转化为在区间内为减函数，且在区间内恒成立可求得结果. 【详解】令，则， 所以在区间内为减函数，且在区间内恒成立， 所以且，解得. 故选：C. 【点睛】关键点点睛：转化为在区间内为减函数，且在区间内恒成立进行求解是解题关键. 【变式2】（高一上·湖北荆州·期中）若函数在区间内单调递减，则a的取值范围是 ． 【答案】 【详解】试题分析:函数开口向下，对称轴是直线x=a,所以要使函数在区间内单调递减，需有且,解得． 考点：由函数单调性求参数范围． 【方法点睛】复合函数单调性，运用口诀“同增异减”即内外两层函数单调性相同，则该函数为单调递增函数，若内外两层单调性相反即一个单调递增另一个单调递减，则该函数为单调递减函数．本题中对数函数是以2为底数，所以问题等价于函数在区间内恒大于零且单调递减，从而求解． 【变式3】（22-23高一上·辽宁·期末）已知函数，若在区间内单调递减，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】设，由题得在区间上为减函数，且在区间上恒成立，分，，三种情况讨论即可解决. 【详解】因为函数在区间内单调递减， 设， 所以在区间上为减函数，且在区间上恒成立， 当时，，满足题意； 当时，，开口向下，在区间上不为减函数，不满足题意； 当时，， 所以，解得； 所以综上可得. 故答案为： 易错点3：忽略复合函数中函数的值域而致错 【例题3】（23-24高一上·重庆·阶段练习）已知函数，对任意的，，且时，满足，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由已知可得函数在区间上为增函数，结合二次函数，对数函数和复合函数的性质即可得解. 【详解】因为对任意的、，且时，满足， 所以函数在区间上为增函数. 内函数开口向上，对称轴为， 若，则函数在区间上不单调，不合乎题意； 若，则函数在区间上为增函数， 所以外函数为增函数，故，解得. 故选：C. 【变式1】（23-24高一上·江苏盐城·期末）已知函数定义域为，对任意的，当时，有.若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，由条件可得，构造函数，即可得到函数在上单调递增，结合函数的单调性求解不等式，即可得到结果. 【详解】由题意可知，当时，有， 即，即， 令，则当时，， 则函数在上单调递减， 由，可得， 即，所以，解得， 即实数的取值范围是. 故选：B 【变式2】（23-24高一上·广东深圳·期中）已知函数，若对，都有，则的取值范围为 【答案】 【分析】由题意将问题转化为 在上，再分和两种情况，结合对数函数的单调性，可求出的取值范围. 【详解】当时，在上递增， 因为对，都有， 所以，所以， 所以，解得； 当时，在上递减， 因为对，都有， 所以，所以， 所以，解得； 综上，或， 即的取值范围为， 故答案为： 【变式3】（23-24高一上·全国·期末）已知且，若存在,存在,使得成立,则实数a的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据题意知，建立不等式求解即可. 【详解】因为， 当时,， 因为存在,存在, 使得成立, 所以函数在上的最小值小于函数在上的最大值. 当时,函数在上单调递减, 则，解得; 当时,函数在上单调递增, 则，解得， 综上,实数a的取值范围是. 故答案为：. 一、单选题 1．（2023高一上·全国·专题练习）已知函数，直线与这三个函数图象的交点的横坐标分别为，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用对数函数性质，结合函数图象即可得出结论. 【详解】由题意，根据对数函数的图象与性质， 可知当底数大于1时，在x轴上方，底数越大，函数图象越靠近x轴， 作出的大致图象，如图所示，    可知直线与的图象交点的横坐标的大小关系是： ， 故选：B． 2．（24-25高一上·全国·课堂例题）下列函数中是对数函数的为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】运用对数函数概念可判断. 【详解】根据对数函数概念，形如且的函数是对数函数.结合选项知道为对数函数. 故选：D. 3．（23-24高一上·广东深圳·期末）设实数，且，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】解指数不等式和对数不等式得到解集，根据两个解集的包含关系，得到答案. 【详解】由，解得， 由，可得或，解得或， 故“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 4．（24-25高一上·福建厦门·期中）函数的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由对数函数性质计算出定义域后，结合复合函数单调性的判定方法计算即可得. 【详解】由题意可得，解得或， 由， 则其在上单调递减，在上单调递增， 又为单调递增函数， 故的单调递减区间. 故选：B. 5．（22-23高一上·湖南长沙·假期作业）若函数的值域是，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由对数函数值域，则内层函数值域包含，结合二次函数性质列不等式求参数范围. 【详解】函数的值域是， 则的值域包含，故即可， 所以. 故选：C 6．（24-25高一上·山东青岛·期中）函数且的图象恒过点，函数且的图象恒过点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用指数函数与对数函数的性质求得两定点的坐标，从而得解. 【详解】对于，令，得，， 所以的图象恒过点，即； 对于，令，得，， 所以的图象恒过点，即； 所以. 故选：B. 7．（24-25高一上·黑龙江哈尔滨·期中）已知，，，则a，b，c的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先化简，，结合指数函数的单调性比较，进而比较大小即可. 【详解】因为，， 所以. 故选：B. 8．（24-25高一上·全国·课后作业）当时，在同一平面直角坐标系中，函数与的图象是（    ）． A．   B．   C．   D．   【答案】A 【分析】由对数函数指数函数单调性以及它们各自所过的定点即可得解. 【详解】当时，函数与分别在各自的定义域内单调递减、单调递增， 故可排除BCD， 且函数与图象分别过定点，经检验，A符合题意. 故选：A. 二、多选题 9．（24-25高一上·浙江杭州·期中）下列函数既是偶函数，又在上是减函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】利用函数的奇偶性及在上的单调性，逐项判断即得. 【详解】对于A，函数的定义域为，该函数不具奇偶性，A不是； 对于B，函数的定义域为R，，是偶函数，当时，在上单调递减，B是； 对于C，函数的定义域为R，，是偶函数，在上单调递减，C是； 对于D，函数的定义域为，， 是奇函数，D不是. 故选：BC 10．（24-25高一上·浙江宁波·期中）已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．的值域为 B．关于原点对称 C．在上单调递增 D．在上的最大值、最小值分别为、，则 【答案】ABD 【分析】利用作差法，结合对数函数的性质判断A，构造函数，研究的性质判断B，利用的单调性与奇偶性判断CD，从而得解. 【详解】对于A，， 所以，则， 即恒成立，所以的定义域为， 且当趋于无穷大时，接近于0， 当趋于无穷小时，趋于无穷大， 所以的值域为，故A正确； 对于B，因为， 令，则，易知的定义域为， 又， 所以为奇函数，关于原点对称，即关于原点对称，故B正确； 对于C，因为在上递减， 而将的图象向右平移一个单位可得的图象， 所以在上单调递减，故C错误； 对于D，因为在上递减， 且为奇函数，则， 在上为减函数， 而将的图象向右平移一个单位可得的图象， 在上为减函数，即在上单调递减， 则，故D正确. 故选：ABD. 11．（22-23高一上·福建福州·阶段练习）已知函数，设，则（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】ABC 【分析】作出函数的图象，当时由于可得可判断A，结合基本不等式可判断B；数形结合，结合函数的单调性可判断CD. 【详解】作出函数的图象，如图示： 对于A，当时，由于，可知， 则，则，即，A正确； 对于B，由于，则， 即，则，B正确； 对于D，当时，， 若，由于，在单调递增，则； 若，则，所以当时，必有，故D错误； 对于C，当时，， 如下图： 存在，使成立，故C正确. 故选：ABC 【点睛】关键点点睛：解题的关键点是作出函数的图象数形结合求解. 三、填空题 12．（23-24高一上·贵州毕节·期末）已知函数的定义域和值域都是，则 . 【答案】或 【分析】分类讨论的取值范围，得到函数的单调性，代入数据即可求解. 【详解】当时，易知函数单调递减，由定义域和值域都是， 所以解得所以. 当时，易知函数单调递增，由定义域和值域都是， 所以解得所以. 故答案为：或. 13．（24-25高一上·新疆·期中）函数的定义域是 . 【答案】 【分析】根据函数定义域的具体要求直接构造不等式组求解即可. 【详解】由题意知：，解得：，的定义域为. 故答案为：. 14．（24-25高一上·上海·随堂练习）若函数，其中，设是的反函数，则 ．（） 【答案】 【分析】根据反函数的定义，在原函数中令函数值为，即可解出. 【详解】由题意，令， 则，， 解得，， 即. 故答案为：. 四、解答题 15．（24-25高一上·上海·单元测试）若函数（且）在上的最大值为2，最小值为m，函数在上是严格增函数，求的值． 【答案】3 【分析】根据对数函数的单调性，对进行分类讨论，再验证的单调性，求符合条件的的值即可. 【详解】当时，函数是正实数集上的严格增函数， 而函数（且）在上的最大值为2，最小值为m， 因此有，解得，所以， 此时在上是严格增函数，符合题意， 故； 当时，函数是正实数集上的减函数， 而函数在上的最大值为2，最小值为m， 因此有，解得，所以， 此时在上是严格减函数，不符合题意． 综上所述，． 16．（24-25高一上·浙江绍兴·期中）函数. (1)当时，求该函数的值域； (2)若对于恒成立，求的取值范围. 【答案】(1) (2). 【分析】（1）根据对数的运算性质，结合换元法、对数的单调性进行求解即可； （2）根据（1）的结论，通过常变量分离，结合构造函数、结合基本不等式进行求解即可. 【详解】（1）， ，， 令，则， 易知单调递减，该函数值域为即； （2）令，则在上恒成立， 当时，恒成立，； 当时，等价于恒成立， 令. 当且仅当时取等号，. 综上，. 17．（24-25高一上·浙江杭州·期中）已知非常数函数是定义域为的奇函数． (1)求实数的值； (2)判断并证明函数的单调性； (3)已知，且，求的取值范围． 【答案】(1)，； (2)单调递增，证明见解析； (3). 【分析】（1）根据给定条件，利用奇函数的性质求出. （2）由（1）求出函数，结合对数函数单调性及单调函数的定义判断推理即可. （3）根据给定条件，将不等式转化为，再结合函数的单调性求出最值即可. 【详解】（1）函数为上的奇函数，则，且， 即，整理得， 即，于是，解得，， 当，时，，此时，函数无意义； 当，时，，函数无意义； 当，时，，函数为常数函数，不符合要求； 当，时，，定义域为，符合题意， 所以，. （2）由（1）知，，函数在上单调递增， 而函数在上单调递增，所以函数在上单调递增， ，则，， 于是，而函数在上单调递增， 因此，即， 所以函数在上单调递增. （3）由（2）知，函数在上单调递增，则，， 由，，，得， 因此，， 当时，，，， 当且仅当时取等号，于是， 所以的取值范围是. 【点睛】结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化： 一般地，已知函数， ①若，，总有成立，故； ②若，，有成立，故； ③若，，有成立，故； ④若，，有，则的值域是值域的子集 ． 18．（23-24高一上·新疆乌鲁木齐·阶段练习）已知. (1)若函数的值域为，求实数的取值范围； (2)若函数在区间上为单调函数，求实数的取值范围； (3)若函数在区间上的最小值为，求实数的值. 【答案】(1)或 (2) (3)或5 【分析】（1）根据题意，由对数函数的定义域列出不等式，即可得到结果； （2）根据题意，由复合函数的单调性，分在上为增函数与在上为减函数讨论，即可得到结果； （3）根据题意，由换元法，结合二次函数的值域，分类讨论，即可得到结果. 【详解】（1）由题意得，中的，解得：或. （2）因为为增函数，函数在区间上为单调函数， 则当时，函数为单调函数，且在上恒成立， 函数的对称轴为， ①若在上为增函数，则，解得， ②若在上为减函数，则，解得， 综上，； （3）由已知，，令，当时，， ①若，则函数在上递增，所以， 解得， ②若，则，解得， 不合要求， ③若，则函数在上递减，所以， 解得， 综上，或5. 19．（23-24高一上·重庆·期末）已知函数． (1)证明函数的图象过定点； (2)设，且，讨论函数在上的最小值． 【答案】(1)证明见解析 (2)答案见解析 【分析】（1）计算出的值，即可证得结论成立； （2）对参数、的取值进行分类讨论，分析函数在上的单调性，即可得出函数在上的最小值. 【详解】（1）证明：因为，故函数的图象过定点. （2）当时， 由，可得，即， 由，可得，即， 即， 因为，所以， 所以，函数在上单调递增，则； 当时， 由可得，即， 由可得，即， 所以， 若，则， 此时，函数在上单调递增，则； 若，则， 当时，函数在上单调递减，此时，； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增，则. 综上所述，在上的最小值为. 【点睛】思路点睛：本题考查含参函数在闭区间上的最值问题，对于这类问题，要注意对参数的取值进行分类讨论，并分析函数在区间上的单调性，再结合单调性求解. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$