专题03 指、幂、对函数（含第3章）（六大题型+优选提升题）-【好题汇编】备战2024-2025学年高一数学上学期期末真题分类汇编（沪教版2020必修第一册，上海专用）

专题03 指、幂、对函数（含第3章）（六大题型+优选提升题） 幂、指数与对数的运算 1．（23-24高一上·上海长宁·期末）根式的指数幂形式为 . 【答案】 【分析】根据有理数指数幂的运算性质求解． 【解析】，． 故答案为：． 2．（23-24高一上·上海闵行·期末）用有理数指数幂的形式表示 .（其中） 【答案】 【分析】先将根式化为分数指数幂，再根据指数幂的运算求解. 【解析】由题意可得：. 故答案为：. 3．（23-24高一上·上海嘉定·期末）已知，则的值(    ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据指数的运算性质即可求得. 【解析】因为，所以. 故选：D. 4．（23-24高一上·上海杨浦·期末）已知，，则用a、b表示 . 【答案】/ 【分析】根据对数的运算法则，即可求得答案. 【解析】由题意得， 故答案为： 5．（23-24高一上·上海徐汇·期末）若，则 . 【答案】 【分析】根据对数的运算法则和对数的换底公式，准确运算，即可求解. 【解析】由对数的运算性质，可得， 可得，所以. 故答案为：. 6．（23-24高一下·上海宝山·期末）若，则的值为 ． 【答案】125 【分析】由题意，结合对数的换底公式计算即可求解. 【解析】由题意知，，则， 所以， 解得. 故答案为：125 7．（23-24高一上·上海闵行·期末）已知，则 .（用表示） 【答案】/ 【分析】根据指对互化可得，再结合对数运算求解. 【解析】因为，则， 所以. 故答案为：. 8．（20-21高一上·上海普陀·期末）已知，，则= . 【答案】2 【分析】根据已知求出的值即得解. 【解析】解：因为， 因为，所以. 所以. 故答案为：2 9．（21-22高一上·上海徐汇·期末）若函数满足，则 ． 【答案】 【分析】根据题意，令，结合指数幂的运算，即可求解. 【解析】由题意，函数满足，令，可得. 故答案为：. 10．（18-19高一上·上海浦东新·期末）实数满足，则实数的取值集合为 . 【答案】 【分析】首先分析出幂函数的定义域和单调性，然后可解出不等式. 【解析】，其定义域为，且在定义域上单调递减， 因为，所以，解得 故答案为： 11．（23-24高二下·上海·期末）已知且，则的最大值为 . 【答案】 【分析】利用基本不等式得到，结合对数运算法则求出最值. 【解析】且，故， 即，解得，当且仅当时，等号成立， 故. 故答案为： 12．（23-24高一上·上海浦东新·期末）记，那么 ． 【答案】 【分析】利用对数的换底公式计算可得答案. 【解析】因为， 所以. 故答案为：1. 13．（20-21高一上·上海徐汇·期末）且，则的值为 ． 【答案】 【分析】先求得，再化简可得，进而求解即可. 【解析】由题意，，，故.又， 所以，又，从而． 故答案为： 指数与对数的实际应用 14．（23-24高一上·上海闵行·期末）历史上数学计算方面的三大发明是阿拉伯数字､十进制和对数，其中对数的发明，大大缩短了计算时间，为人类研究科学和了解自然起了重大作用，对数运算对估算“天文数字”具有独特的优势.已知，则的估算值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】现根据对数运算结合已知数据求出，根据指对互化，即可得出答案. 【解析】， 所以，. 故选：A. 15．（22-23高一上·上海奉贤·期末）在有声世界里，声强级是表示声强度相对大小的指标，其值y[单位：dB（分贝）]定义为，其中I为声场中某点的声强度，其单位为（瓦/平方米），为基准值．则声强级为60dB时的声强度是声强级为50dB时的声强度的（    ）倍． A．10 B．100 C．1.2 D．12 【答案】A 【分析】根据题意，得到可得，两式相减得，即可求解. 【解析】由题意知，声强级是表示声强度相对大小的指标值的定义为， 可得， 两式相减得， 即，解得， 所以声强级为dB时的声强度是声强级为dB时的声强度的倍． 故选：A. 16．（22-23高二下·上海杨浦·期末）二维码与生活息息相关，我们使用的二维码主要是大小的，即441个点，根据0和1的二进制编码，一共有种不同的码，假设我们1万年用掉个二维码，那么大约可以用（    ）（，） A．万年 B．117万年 C．万年 D．205万年 【答案】A 【分析】直接作商，然后利用取对数法进行化简求解即可． 【解析】万年用掉个二维码， 大约能用万年， 设，则， 即万年． 故选：A 幂函数综合 17．（24-25高一上·上海·期末）若幂函数的图象经过点，则 . 【答案】/ 【分析】将点的坐标代入函数中直接求解即可. 【解析】因为幂函数的图象经过点， 所以，解得. 故答案为： 18．（23-24高一上·上海·期末）已知幂函数在区间上是严格增函数，则 . 【答案】 【分析】根据幂函数的定义及性质得到方程（不等式）组，解得即可. 【解析】因为幂函数在区间上是严格增函数， 所以，解得. 故答案为： 19．（23-24高一上·上海·期末）已知幂函数的图像过原点，则 . 【答案】2 【分析】由幂函数的概念求出或，再利用幂函数的图象性质进行验证即可. 【解析】因为函数是幂函数， 所以，解得或， 当时，其图像不过原点，应舍去， 当， 其图像过原点． 故答案为：2. 20．（23-24高一上·上海·期末）已知幂函数为偶函数，且在上严格单调递减，则实数m的值为 ． 【答案】 【分析】利用幂函数的定义和性质即可求解. 【解析】因为是幂函数，所以，解得或. 又因为在上严格单调递减，所以，解得，故而. 而且当时，是偶函数，符合题意，从而实数m的值为. 故答案为：. 21．（23-24高三上·上海静安·期末）下列幂函数在区间上是严格增函数，且图象关于原点成中心对称的是 （请填入全部正确的序号）． ①；  ②；   ③ ；  ④ ． 【答案】② 【分析】根据幂函数性质，在区间上单调递增，可得，再结合奇函数性质即可判断. 【解析】因为幂函数在区间上是严格增函数，所以，故④不满足题意, 因为该幂函数图象关于原点成中心对称，所以为奇函数， 根据奇函数的性质， 因为的定义域为，所以图象不关于原点成中心对称，故①不满足题意； 因为的定义域为，且，故②满足题意； 因为的定义域为，且，故③不满足题意. 故答案为：②. 22．（23-24高一上·上海闵行·期末）如图为三个幂函数在其定义域上的局部图像，则实数从小到大的排列顺序为 .（请用“”连接） 【答案】 【分析】利用幂函数的性质判断的大小即可得解. 【解析】对于，由其图象可知，例如； 对于，由其图象可知，例如； 对于，由其图象可知，例如； 所以. 故答案为：. 23．（22-23高二下·上海杨浦·期末）若关于的不等式的解集为，则实数的最小值为 . 【答案】 【分析】设出，，求出，作出图象，数形结合求出，求出实数的最小值 【解析】设，则为幂函数，定义域为，且为偶函数，在单调递增， ，则为单调递增的一次函数， 则不等式变为， 若，则， 若，则， 即,，,， 作出，的图象，实线部分即为,， 要使,，只需最小值大于等于1， 由图可知：，故只需即可，即，故的最小值为， 故答案为： 指数函数综合 24．（22-23高一上·上海奉贤·期末）函数的定义域为 ．（用区间表示） 【答案】 【分析】根据已知列出不等式，根据指数函数的单调性求解，即可得出答案. 【解析】要使函数有意义，则应有，所以. 故答案为：. 25．（23-24高一上·上海徐汇·期末）函数（且的图像过定点 . 【答案】 【分析】由指数函数的性质可得. 【解析】当时，， 故图像过定点， 故答案为：. 26．（23-24高一上·上海虹口·期末）函数在区间上的最小值是 ． 【答案】/ 【分析】由指数函数单调性、复合函数单调性即可求解. 【解析】由于关于在定义域内单调递增，关于在定义域内单调递减， 所以由复合函数单调性可知函数在区间上单调递减， 所以函数在区间上的最小值是. 故答案为：. 27．（22-23高一上·上海浦东新·期末）函数的值域是 . 【答案】 【分析】对函数解析式进行变形处理，即可得解. 【解析】， 因为，， 所以. 故答案为： 28．（22-23高一上·上海徐汇·期末）已知,则的值为 ． 【答案】 【分析】由题意可得，再将代入计算即可. 【解析】解：由题意可得， 又因为. 故答案为： 29．（22-23高一上·上海徐汇·期末）不等式的与不等式是同解不等式，则 ， ． 【答案】 【分析】根据指数函数单调性解不等式，结合二元一次不等式解法进而得到答案. 【解析】因为在上单调递增， 则，即， 即，解得， 因为也是的解， 所以，解得， 此时，即，解得，满足题意. 故答案为：； 30．（22-23高一上·上海静安·期末）若关于x的方程有负根，则实数a的取值范围 ． 【答案】 【分析】关于x的方程有负根可转化为指数函数与在第二象限有交点，结合图象即可求得实数a的取值范围． 【解析】关于x的方程有负根等价于指数函数与在第二象限有交点， 则当时，与在第二象限有交点， 所以实数a的取值范围． 故答案为：． 31．（22-23高一下·上海黄浦·期末）已知定义在上的奇函数，当时，，则 ． 【答案】 【分析】由奇函数的性质得出，可得出的值，再利用奇函数的性质可求得的值. 【解析】当时，，∴， ∵是定义在上的奇函数， ∴，∴，∴. 故答案为：. 32．（23-24高一上·上海·阶段练习）给机器人输入一个指令（其中常数）后，该机器人在坐标平面上先面向轴正方向行走个单位距离，接着原地逆时针旋转后再面向轴正方向行走个单位距离，如此就完成一次操作.已知该机器人的安全活动区域满足，若开始时机器人在函数图象上的点处面向轴正方向，经过一次操作后该机器人落在安全区域内的一点处，且点恰好也在函数图象上，则 . 【答案】3 【分析】首先设点，再根据题意可得点，再根据题意可知，点在安全活动区域，以及点也在函数的图象上，且，再利用不等关系，利用基本不等式，即可求解. 【解析】由题意设，则一次操作后该机器人落点为， 即在安全区域内，所以且. 由，可知， 所以，即能成立. 又因为，且等号当且仅当，即时成立， 综上，. 故答案为：3 33．（23-24高一上·上海·期末）已知，若对任意，总存在一个三角形且其边长为，，，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】由题意可得，对，，，总有恒成立，转化为，根据单调性求函数最值即可. 【解析】由题意可得：对，，，总有恒成立，只需， ， ①当时，，满足题意； ②当时，在上单调递减，，故需，即； ③当时，在上单调递增，，故只需，即， 综上所述，的取值范围是． 故答案为： 【点睛】关键点点睛：原问题对任意，，，总有，，为某一个三角形的边长，转化为对，，，总有恒成立，是解题的关键. 34．（22-23高一上·上海松江·期末）设函数，若是函数的最大值，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】由，求得的范围及最大值，再分析的单调性，讨论时函数在的范围建立不等式所求范围． 【解析】因为， 当时函数单调递减且， 由是函数的最大值， 所以的最大值为， 当时， 可得在时函数单调递减，在单调递增， 若，，则，不符题意； 若，，则，即， 综上可得的范围是． 故答案为： 35．（23-24高一上·上海闵行·期末）已知，若对任意的，存在唯一的，使得，则的值为 . 【答案】0 【分析】考察函数的单调性，根据题中条件可得，继而可得区间关于原点对称，即可得到答案. 【解析】因为函数为上的递增函数， 且， 所以， 由题意， 对任意的，存在唯一的， 使得， 即， 即任意的，存在唯一的， 故区间关于原点对称， 则， 故答案为：0. 36．（20-21高一上·上海闵行·期末）若实数、满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】不等式可化为，根据是增函数可求. 【解析】不等式化为， 是增函数，，即. 故选：A. 37．（23-24高一上·上海宝山·期末）已知，，对于实数a、b，给出以下命题： 命题①：若，则. 命题②：若，则. 则以下判断正确的是（   ） A．①为真命题；②为真命题. B．①为真命题；②为假命题. C．①为假命题；②为真命题. D．①为假命题；②为假命题. 【答案】A 【分析】令，，在R上分别讨论函数的奇偶性和单调性，从而结合函数的基本性质逐项判断命题的真假. 【解析】令，. 因为，所以是奇函数， 易知幂函数在R上增函数，因此也在R上增函数； 又因为，所以是偶函数， 令，假设任意且， 则 ， 由且知，， 所以， 即函数在上单调递增函数， 从而结合复合函数单调性可知，偶函数在上单调递增，在上单调递减，又. 对一命题①：当时，，故，又，所以， 所以，则 ， 即成立，故命题①真命题； 对于命题②：当 ，即时，，， （i）当时，则，所以， 又，所以， 所以，则， 即成立； （ii）当时，， 因为也在R上增函数, 在上单调递增, 所以在上单调递增，又， 所以在上， 又当时，，，所以在上恒成立， 故当时，成立； 综上所述，时，均有成立，故命题②真命题. 故选：A. 【点睛】本题关键是将函数拆成一个奇函数和一个函数值始终为正数的偶函数之和，考查对函数基本性质的掌握与熟练应用. 对数函数综合 38．（23-24高一上·上海·期末）不等式的解集是 . 【答案】 【分析】依题意可得，令，判断函数的单调性，结合，即可求出不等式的解集. 【解析】不等式，即， 令，， 因为与均在上单调递增， 所以在上单调递增， 又，所以当时， 则不等式的解集是. 故答案为： 39．（23-24高三上·上海普陀·期末）已知（且，函数的图象恒过定点，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】令即可求出定点. 【解析】令得， 此时， 所以函数的图象恒过定点，即点. 故答案为：. 40．（23-24高一上·上海松江·期末）设为常数且，在上是严格增函数，则实数的取值范围是 【答案】 【分析】根据指数函数单调性和对数函数单调性相关知识计算求解即可. 【解析】因为在上是严格增函数， 所以， 因为，所以在单调递减， 所以， 又因为，所以，即实数的取值范围是. 故答案为： 41．（23-24高一上·上海宝山·期末）已知函数的定义域为，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据题意，将问题转化为恒成立求参数，再结合二次函数性质即求解. 【解析】因为函数的定义域为， 所以在上恒成立， 则当时，满足题意； 当时，，解得. 综上所述，，即. 故答案为：. 42．（23-24高一上·上海·期末）已知，若，则 . 【答案】 【分析】利用对数的运算性质推得，从而得解. 【解析】因为， 所以， 则，则， 又，所以. 故答案为：. 43．（22-23高一上·上海奉贤·期末）已知对数函数在区间上的最大值比最小值大1，则 ． 【答案】2 【分析】根据对数函数的单调性，结合已知列出方程，求解即可得出答案. 【解析】由已知可得，函数在区间上单调递增. 又对数函数在区间上的最大值比最小值大1， 所以，，解得. 故答案为：2. 44．（22-23高一上·上海徐汇·期末）若时，对数函数的值总大于0，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据对数函数定义，对的取值范围进行分类讨论即可得出结果. 【解析】由对数函数定义可知，且； 当时，函数在上为单调递减， 若，则，不合题意； 当时，函数在为单调递增， 若，则，满足题意， 此时，解得或； 即实数的取值范围是 45．（22-23高一上·上海松江·期末）若满足时，恒有，则不可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定的不等式关系，结合均值不等式逐项判断作答. 【解析】对于A，取，，， 而，此时有，A不可能； 对于B，，于是，B可能； 对于C，，C可能； 对于D，，D可能. 故选：A 46．（21-22高一上·上海松江·期末）设平行于轴的直线分别与函数和的图像相交于点、，若在函数的图像上存在点，使得是以为斜边的等腰直角三角形，则点的横坐标为 . 【答案】 【分析】设，求得点坐标并代入，求得，进而求得的横坐标. 【解析】设，线段的中点坐标为，， 因为是以为斜边的等腰直角三角形， 所以，因为点在函数的图像上， 所以，， 所以，所以， 解得，所以点的横坐标为. 故答案为： 47．（22-23高一上·上海徐汇·期末）已知函数是定义在上的偶函数，且在上是严格增函数，，则不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】结合函数的奇偶性和单调性的关系，将不等式进行等价转化，进行求解即可． 【解析】是定义在上的偶函数，且在上是增函数，， ，则不等式等价为不等式， ∴，即，可得，即不等式的解集为. 故答案为：. 48．（23-24高一上·上海·期末）已知函数（，且为实数），下列说法正确的是（ ） A．函数的单调性只与有关，与无关 B．函数的单调性只与有关，与无关 C．函数的单调性与都有关 D．函数的单调性与都无关 【答案】D 【分析】通过对进行讨论，再用复合函数的求单调性的方法，可知该函数的单调性与是否有关. 【解析】函数， 当时，，单调递增. 当时，单调递增. 则且，，的单调性都为单调递增. 所以函数的单调性与无关. 故选：D 题型6 解答题 49．（22-23高一上·上海徐汇·期末）解答下列问题： (1)用表示； (2)已知，且，求M的值． 【答案】(1)； (2). 【分析】(1)根据对数的运算公式化简即可； (2)由题意可得，再根据换底公式可得由，可得，代入计算即可. 【解析】（1）解：因为； （2）解：因为，所以， 所以 又因为， 即， 所以， 所以. 50．（23-24高一上·上海徐汇·期末）已知函数. (1)求方程的解； (2)若关于x的方程在上有实数解,求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）解方程即可求解. （2）将问题转化为在上有实数解,求函数在上的值域即可. 【解析】（1）由题得即 故方程的解为. （2）由,得 易知在上是严格增函数, 且当时,当时, 故 51．（23-24高一上·上海·期末）已知函数，其中. (1)是否存在实数，使函数是奇函数?若存在，请写出证明. (2)当时，判断在上的单调性并证明. 【答案】(1)，证明见解析； (2)单调递增，证明见解析. 【分析】（1）是奇函数，利用解出并检验即可． （2）结合单调性的定义即可证明. 【解析】（1）函数定义域为R，若是奇函数， 则，解得， 此时， ，符合题意， 故. （2）是上的增函数，证明如下： 当时， 设任意且， ， ，，， ， 则 ， 是在上是单调增函数. 52．（23-24高一上·上海浦东新·期末）诺贝尔奖的发放方式为：每年一次，把奖金总金额平均分成6份，奖励在6项（物理、化学、文学、经济学、生理学和医学、和平）为人类作出了最有益贡献的人，每年发放奖金的总金额是基金在该年度所获利息的一半，另一半利息用于增加基金总额，以便保证奖金数逐年递增，资料显示：1998年诺贝尔奖发奖后基金总额已达19516万美元，假设基金平均年利率为． (1)请计算：1999年诺贝尔奖发奖后基金总额为多少万美元？当年每项奖金发放多少万美元（结果精确到1万美元）？ (2)设表示为第x（x是正整数）年诺贝尔奖发奖后的基金总额（1998年记为），试求函数的表达式．并据此判断新民网一则新闻“2012年度诺贝尔文学奖获得者莫言奖金高达150万美元”是否与计算结果相符，并说明理由． 【答案】(1)1999年发奖后基金总额为万美元，当年每项奖金发放万美元； (2)与计算结果相符，理由见解析. 【分析】（1）由题设知1999年诺贝尔奖发奖后基金总额为，再平均分6份，即可求结果； （2）根据题设有且，再求出2011年发奖后基金总额，进而求出2012年度各项奖金额，即可判断. 【解析】（1）由题设，1999年诺贝尔奖发奖后基金总额为万美元； 当年每项奖金发放万美元. （2）由且，则2011年，即， 所以2011年发奖后基金总额为， 则2012年度各项奖金为万美元， 所以“2012年度诺贝尔文学奖获得者莫言奖金高达150万美元”与计算结果相符. 53．（20-21高一上·江苏南通·期末）已知函数. （1）当时，求不等式的解集； （2）当时，设，且，求（用表示）； （3）在（2）的条件下，是否存在正整数，使得不等式在区间上有解，若存在，求出的最大值，若不存在，请说明理由. 【答案】（1）；（2）；（3）存在，3. 【分析】（1）时，不等式即，解不等式可得结果； （2）依题意得，进而由换底公式和对数的运算性质可得结果； （3）依题意得在区间上有解； 令，则，因此求得的最大值即可求得结果. 【解析】（1）当时， 故 ，所以不等式的解集为； （2）当时，， ， . （3）在（2）的条件下，不等式化为， 即在区间上有解. 令，则， ，， ，又是正整数，故的最大值为3. 一、填空题 1．（23-24高一上·上海·期末）已知定义在的严格增函数与.若对任意实数，存在实数和，不等式恒成立，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】先由的单调性转化得恒成立，从而求得；再由与的相关恒成立条件转化得恒成立，从而利用绝对值不等式求得；由此得解. 【解析】因为在上是严格增函数， 所以在上恒成立，即在上恒成立， 而，故； 因为对任意实数，存在实数和，不等式恒成立， 又，所以，即， 则，且在上恒成立， 令，则，恒成立， 若，则存在使得在恒成立， 故存在使得成立，故，故， 当且仅当时等号成立, 若，不妨设， 若即，则存在，使得成立即， 故， 而，故即. 此时，可使得等号成立， 若，则存在，使得成立， 故，故， 综上：. 故答案为：. 【点睛】关键点睛：本题解决的关键是取特殊值，利用绝对值不等式求得的最小值，从而得解. 2．（22-23高一上·上海徐汇·期末）已知函数，，若存在常数，对任意，存在唯一的，使得，则称常数是函数在上的“倍几何平均数”.已知函数，，则在上的“倍几何平均数”是 . 【答案】 【分析】由“倍几何平均数”的定义可知即为函数，最大值与最小值的几何平均数，根据函数在上的单调性，即可求得在上的“倍几何平均数”. 【解析】解：由已知中倍几何平均数的定义可得即为函数，最大值与最小值的几何平均数 又函数，在为减函数 故其最大值，最小值 故. 故答案为：. 二、单选题 3．（23-24高一上·上海闵行·期末）已知函数（）的值域是，有下列结论：①当时，；②当时，；③当时，.其中正确结论的个数为（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】D 【分析】首先由函数的性质，结合函数的值域，画出函数的图象，并结合端点的取值，结合函数的图象，以及最值，即可判断的取值. 【解析】设 当时，，函数单调递减， 当时，，函数单调递增， 所以在单调递增，在单调递减， 所以当时，取得最大值， 单调递增， 所以的图象如图所示， 令，得或， 当时，的值域为，所以，故①正确； 当时， ，， 的值域为，所以,故②正确； ③当时，，而， 所以，故③正确. 故选：D 【点睛】关键点点睛：本题考查分段函数的图象，以及最值问题，本题的关键是结合最值，画出函数的图象，并根据最值，分析端点值的取值范围. 三、解答题 4．（23-24高一上·上海·期末）（1）是定义在正整数集上的函数，并且满足 ①当为正整数时，； ②当为非负整数时，. 求的值. （2）函数定义在有序正整数对的集合上，且满足下列性质： ①；②；③. 求. 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）由可得，后续迭代计算即可得； （2）结合所给性质逐个计算即可得. 【解析】（1）由，则， 又，故， ，故， ，故， ，故， 当时，有， 即，， ，； （2）由，故， ， ， ， 由，故， ， ， ， ， 由，故， 即有 . 【点睛】关键点睛：第一小问关键在于能借助得到；第二小问关键在于能借助性质得到，并通过该性质不断计算化简. 5．（23-24高一上·上海·期末）对于定义在区间上的函数，若． (1)已知，，试写出、的表达式； (2)设且，函数，，如果与恰好为同一函数，求的取值范围； (3)若，存在最小正整数，使得对任意的成立，则称函数为上的“阶收缩函数”，已知函数，，试判断是否为上的“阶收缩函数”，如果是，求出对应的，如果不是，请说明理由． 【答案】(1)、 (2) (3)是， 【分析】（1）根据函数、在上的单调性可得出、的表达式； （2）若与恰好为同一函数，只须在上是单调递减，讨论的取值由复合函数的单调性即可求解； （3）根据函数在上的值域，写出、的解析式，再由求出的范围得到答案． 【解析】（1）解：因为函数在上单调递减， 则， 因为函数在上单调递增，则. （2）解：若与恰好为同一函数，只须在上是单调递增， 当时，令，则， 由，则，对称轴， 根据复合函数的单调性，函数显然在为单调递减，故成立． 当时，令，由，则，只需， 化简得，解得， 综上所述的取值范围为 （3）解：因为函数在上单调递减，在上单调递增， 则，， 所以，， 当时，，，； 当时，，， 因为函数在上单调递减，所以，； 当时，，， 因为函数在上单调递增， 所以，. 综上所述： 故是上的“阶收缩函数”，且小正整数. 【点睛】关键点点睛：本题考查函数新定义问题，解题的关键在于确定新函数的解析式，根据题意将其转化为函数不等式成立的问题，再结合恒成立思想求解. ( 8 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 指、幂、对函数（含第3章）（六大题型+优选提升题） 幂、指数与对数的运算 1．（23-24高一上·上海长宁·期末）根式的指数幂形式为 . 2．（23-24高一上·上海闵行·期末）用有理数指数幂的形式表示 .（其中） 3．（23-24高一上·上海嘉定·期末）已知，则的值(    ) A． B． C． D． 4．（23-24高一上·上海杨浦·期末）已知，，则用a、b表示 . 5．（23-24高一上·上海徐汇·期末）若，则 . 6．（23-24高一下·上海宝山·期末）若，则的值为 ． 7．（23-24高一上·上海闵行·期末）已知，则 .（用表示） 8．（20-21高一上·上海普陀·期末）已知，，则= . 9．（21-22高一上·上海徐汇·期末）若函数满足，则 ． 10．（18-19高一上·上海浦东新·期末）实数满足，则实数的取值集合为 . 11．（23-24高二下·上海·期末）已知且，则的最大值为 . 12．（23-24高一上·上海浦东新·期末）记，那么 ． 13．（20-21高一上·上海徐汇·期末）且，则的值为 ． 指数与对数的实际应用 14．（23-24高一上·上海闵行·期末）历史上数学计算方面的三大发明是阿拉伯数字､十进制和对数，其中对数的发明，大大缩短了计算时间，为人类研究科学和了解自然起了重大作用，对数运算对估算“天文数字”具有独特的优势.已知，则的估算值为（    ） A． B． C． D． 15．（22-23高一上·上海奉贤·期末）在有声世界里，声强级是表示声强度相对大小的指标，其值y[单位：dB（分贝）]定义为，其中I为声场中某点的声强度，其单位为（瓦/平方米），为基准值．则声强级为60dB时的声强度是声强级为50dB时的声强度的（    ）倍． A．10 B．100 C．1.2 D．12 16．（22-23高二下·上海杨浦·期末）二维码与生活息息相关，我们使用的二维码主要是大小的，即441个点，根据0和1的二进制编码，一共有种不同的码，假设我们1万年用掉个二维码，那么大约可以用（    ）（，） A．万年 B．117万年 C．万年 D．205万年 幂函数综合 17．（24-25高一上·上海·期末）若幂函数的图象经过点，则 . 18．（23-24高一上·上海·期末）已知幂函数在区间上是严格增函数，则 . 19．（23-24高一上·上海·期末）已知幂函数的图像过原点，则 . 20．（23-24高一上·上海·期末）已知幂函数为偶函数，且在上严格单调递减，则实数m的值为 ． 21．（23-24高三上·上海静安·期末）下列幂函数在区间上是严格增函数，且图象关于原点成中心对称的是 （请填入全部正确的序号）． ①；  ②；   ③ ；  ④ ． 22．（23-24高一上·上海闵行·期末）如图为三个幂函数在其定义域上的局部图像，则实数从小到大的排列顺序为 .（请用“”连接） 23．（22-23高二下·上海杨浦·期末）若关于的不等式的解集为，则实数的最小值为 . 指数函数综合 24．（22-23高一上·上海奉贤·期末）函数的定义域为 ．（用区间表示） 25．（23-24高一上·上海徐汇·期末）函数（且的图像过定点 . 26．（23-24高一上·上海虹口·期末）函数在区间上的最小值是 ． 27．（22-23高一上·上海浦东新·期末）函数的值域是 . 28．（22-23高一上·上海徐汇·期末）已知,则的值为 ． 29．（22-23高一上·上海徐汇·期末）不等式的与不等式是同解不等式，则 ， ． 30．（22-23高一上·上海静安·期末）若关于x的方程有负根，则实数a的取值范围 ． 31．（22-23高一下·上海黄浦·期末）已知定义在上的奇函数，当时，，则 ． 32．（23-24高一上·上海·阶段练习）给机器人输入一个指令（其中常数）后，该机器人在坐标平面上先面向轴正方向行走个单位距离，接着原地逆时针旋转后再面向轴正方向行走个单位距离，如此就完成一次操作.已知该机器人的安全活动区域满足，若开始时机器人在函数图象上的点处面向轴正方向，经过一次操作后该机器人落在安全区域内的一点处，且点恰好也在函数图象上，则 . 33．（23-24高一上·上海·期末）已知，若对任意，总存在一个三角形且其边长为，，，则实数的取值范围是 ． 34．（22-23高一上·上海松江·期末）设函数，若是函数的最大值，则实数的取值范围为 . 35．（23-24高一上·上海闵行·期末）已知，若对任意的，存在唯一的，使得，则的值为 . 36．（20-21高一上·上海闵行·期末）若实数、满足，则（    ） A． B． C． D． 37．（23-24高一上·上海宝山·期末）已知，，对于实数a、b，给出以下命题： 命题①：若，则. 命题②：若，则. 则以下判断正确的是（   ） A．①为真命题；②为真命题. B．①为真命题；②为假命题. C．①为假命题；②为真命题. D．①为假命题；②为假命题. 对数函数综合 38．（23-24高一上·上海·期末）不等式的解集是 . 39．（23-24高三上·上海普陀·期末）已知（且，函数的图象恒过定点，则点的坐标为 ． 40．（23-24高一上·上海松江·期末）设为常数且，在上是严格增函数，则实数的取值范围是 41．（23-24高一上·上海宝山·期末）已知函数的定义域为，则实数的取值范围是 . 42．（23-24高一上·上海·期末）已知，若，则 . 43．（22-23高一上·上海奉贤·期末）已知对数函数在区间上的最大值比最小值大1，则 ． 44．（22-23高一上·上海徐汇·期末）若时，对数函数的值总大于0，则实数的取值范围是 ． 45．（22-23高一上·上海松江·期末）若满足时，恒有，则不可能是（    ） A． B． C． D． 46．（21-22高一上·上海松江·期末）设平行于轴的直线分别与函数和的图像相交于点、，若在函数的图像上存在点，使得是以为斜边的等腰直角三角形，则点的横坐标为 . 47．（22-23高一上·上海徐汇·期末）已知函数是定义在上的偶函数，且在上是严格增函数，，则不等式的解集为 ． 48．（23-24高一上·上海·期末）已知函数（，且为实数），下列说法正确的是（ ） A．函数的单调性只与有关，与无关 B．函数的单调性只与有关，与无关 C．函数的单调性与都有关 D．函数的单调性与都无关 题型6 解答题 49．（22-23高一上·上海徐汇·期末）解答下列问题： (1)用表示； (2)已知，且，求M的值． 50．（23-24高一上·上海徐汇·期末）已知函数. (1)求方程的解； (2)若关于x的方程在上有实数解,求实数的取值范围. 51．（23-24高一上·上海·期末）已知函数，其中. (1)是否存在实数，使函数是奇函数?若存在，请写出证明. (2)当时，判断在上的单调性并证明. 52．（23-24高一上·上海浦东新·期末）诺贝尔奖的发放方式为：每年一次，把奖金总金额平均分成6份，奖励在6项（物理、化学、文学、经济学、生理学和医学、和平）为人类作出了最有益贡献的人，每年发放奖金的总金额是基金在该年度所获利息的一半，另一半利息用于增加基金总额，以便保证奖金数逐年递增，资料显示：1998年诺贝尔奖发奖后基金总额已达19516万美元，假设基金平均年利率为． (1)请计算：1999年诺贝尔奖发奖后基金总额为多少万美元？当年每项奖金发放多少万美元（结果精确到1万美元）？ (2)设表示为第x（x是正整数）年诺贝尔奖发奖后的基金总额（1998年记为），试求函数的表达式．并据此判断新民网一则新闻“2012年度诺贝尔文学奖获得者莫言奖金高达150万美元”是否与计算结果相符，并说明理由． 53．（20-21高一上·江苏南通·期末）已知函数. （1）当时，求不等式的解集； （2）当时，设，且，求（用表示）； （3）在（2）的条件下，是否存在正整数，使得不等式在区间上有解，若存在，求出的最大值，若不存在，请说明理由. 一、填空题 1．（23-24高一上·上海·期末）已知定义在的严格增函数与.若对任意实数，存在实数和，不等式恒成立，则实数的取值范围是 . 2．（22-23高一上·上海徐汇·期末）已知函数，，若存在常数，对任意，存在唯一的，使得，则称常数是函数在上的“倍几何平均数”.已知函数，，则在上的“倍几何平均数”是 . 二、单选题 3．（23-24高一上·上海闵行·期末）已知函数（）的值域是，有下列结论：①当时，；②当时，；③当时，.其中正确结论的个数为（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 三、解答题 4．（23-24高一上·上海·期末）（1）是定义在正整数集上的函数，并且满足 ①当为正整数时，； ②当为非负整数时，. 求的值. （2）函数定义在有序正整数对的集合上，且满足下列性质： ①；②；③. 求. 5．（23-24高一上·上海·期末）对于定义在区间上的函数，若． (1)已知，，试写出、的表达式； (2)设且，函数，，如果与恰好为同一函数，求的取值范围； (3)若，存在最小正整数，使得对任意的成立，则称函数为上的“阶收缩函数”，已知函数，，试判断是否为上的“阶收缩函数”，如果是，求出对应的，如果不是，请说明理由． ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$