精品解析：黑龙江省牡丹江市第二高级中学2024-2025学年高二上学期期中考试（11月）数学试题

牡丹江二中2024-2025学年度第一学期高二学年期中考试 数学 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必将密封线内项目填写清楚.考生作答时，请将答案答在答题卡上.必须在题号所指示的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 3.本试卷主要命题范围：选择性必修第一册（第二章第三章）. 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的. 1. 在平面直角坐标系中，原点到直线的距离为（ ） A. B. C. 2 D. 3 2. 抛物线的准线方程为（ ） A. B. C. D. 3. 若直线与圆交于A、B两点，则（ ） A. B. 12 C. D. 4. 已知双曲线的左，右焦点分别为、，焦距为．若以线段为直径的圆与直线有交点，则双曲线C的离心率取值范围为（ ） A. B. C. D. 5. 已知椭圆，，是椭圆的左、右焦点，焦距为，是椭圆上一点，是的外角平分线，过作的垂线，垂足为，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知圆与圆相切，则的最小值为（ ） A. 5 B. 3 C. 2 D. 7. 若直线与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 法国数学家、化学家和物理学家加斯帕尔·蒙日被称为“画法几何之父”，他创立的画法几何学推动了空间解析几何的发展，被广泛应用于工程制图当中．过椭圆外的一点作椭圆的两条切线，若两条切线互相垂直，则该点的轨迹是以椭圆的中心为圆心、以为半径的圆，这个圆叫做椭圆的蒙日圆．若椭圆的蒙日圆为，过圆E上的动点M作椭圆C的两条切线，分别与圆E交于P，Q两点，直线PQ与椭圆C交于A，B两点，则下列结论不正确的是（ ） A. 椭圆C的离心率为 B. M到C的右焦点的距离的最大值为 C. 若动点N在C上，记直线AN，BN的斜率分别为，，则 D. 面积的最大值为 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 点，为椭圆的两个焦点，点为椭圆内部的动点，则周长的取值可以为（ ） A. 4 B. C. D. 6 10. 设有一组圆，下列命题正确的是（　　） A. 不论k如何变化，圆心始终在一条直线上 B. 所有圆均不经过点 C. 经过点的圆有且只有一个 D. 所有圆的面积均为4 11. 在平面直角坐标系xoy中，凸四边形ABCD的4个顶点均在抛物线E：y2=2x上，则（ ） A. 四边形ABCD不可能为平行四边形 B. 存在四边形ABCD，满足∠A=∠C C. 若AB过抛物线E的焦点F，则直线OA，OB斜率之积恒为─2 D. 若为正三角形，则该三角形的面积为 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 过点且与直线平行的直线方程为________． 13. 曲线：与：恰有四条公切线，则实数的取值范围为_____________． 14. 椭圆的一个焦点是，O为坐标原点，过F的直线l交椭圆于A，B两点．若恒有，则椭圆离心率的取值范围为________． 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 15. 已知直线，直线． （1）若，求实数的值； （2）若，求实数的值． 16. （1）已知双曲线的顶点在轴上，两顶点间的距离是8，离心率，求双曲线的标准方程； （2）斜率为1的直线经过抛物线的焦点，且与抛物线相交于，两点.求线段的长. 17. 已知圆：与圆的公共弦所在的直线是：，且圆的圆心在轴上． （1）求圆的方程； （2）若直线与圆相切，且在两条坐标轴上的截距相等，求直线的方程． 18. 已知抛物线的焦点为，抛物线上一点横坐标为3，且点到焦点的距离为4. （1）求抛物线的方程； （2）过点作直线交抛物线于点，求面积的最小值（其中为坐标原点）. 19. 已知椭圆的一个顶点为，且离心率为. （1）求椭圆C的方程； （2）直线与椭圆C交于A、B两点，且，求m的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 牡丹江二中2024-2025学年度第一学期高二学年期中考试 数学 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必将密封线内项目填写清楚.考生作答时，请将答案答在答题卡上.必须在题号所指示的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 3.本试卷主要命题范围：选择性必修第一册（第二章第三章）. 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的. 1. 在平面直角坐标系中，原点到直线的距离为（ ） A. B. C. 2 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】利用点到直线的距离公式求解. 【详解】原点到直线的距离为, 故选：. 2. 抛物线的准线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据抛物线的标准方程可得出该抛物线的准线方程. 【详解】由化得，故物物线的标准方程为，所以，则， 所以抛物线的准线方程为. 故选：B. 3. 若直线与圆交于A、B两点，则（ ） A. B. 12 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由圆的方程可得圆心为，半径，可求得圆心到直线的距离，再由圆的弦长公式即可得. 【详解】由圆的方程为可知圆心为，半径； 则圆心到直线的距离， 根据圆的弦长公式可得. 故选：C 4. 已知双曲线的左，右焦点分别为、，焦距为．若以线段为直径的圆与直线有交点，则双曲线C的离心率取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先求圆的方程，利用圆心到直线的距离，列式求解. 【详解】以线段为直径的圆的方程是，与直线有交点，则圆心到直线的距离，则双曲线的离心率. 故选：D 5. 已知椭圆，，是椭圆的左、右焦点，焦距为，是椭圆上一点，是的外角平分线，过作的垂线，垂足为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】延长交的延长线于点，结合图象，可知为等腰三角形，，且为的中点，再结合椭圆定义可知，结合中位线可得. 【详解】解：延长交的延长线于点，如图所示： 平分，且， 为等腰三角形，，且为的中点， 又， ， 为的中点，为的中点， . 故选：D. 6. 已知圆与圆相切，则的最小值为（ ） A. 5 B. 3 C. 2 D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出圆心和半径，按两圆外切和内切分类讨论求出最小值. 【详解】圆的圆心为，半径为3，圆的圆心为，半径为1， 若圆与圆外切，则，即， 则，当且仅当时取等号； 若圆与圆内切，则，即， 则，当且仅当时取等号， 所以的最小值为2. 故选：C 7. 若直线与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据直线与半圆的位置关系可求的取值范围. 【详解】曲线即为半圆：，其图象如图所示， 曲线与轴的交点为， 而直线为过的动直线， 当直线与半圆相切时，有，解得， 当直线过时，有， 因为直线与半圆有两个不同的交点，故， 故选：D. 8. 法国数学家、化学家和物理学家加斯帕尔·蒙日被称为“画法几何之父”，他创立的画法几何学推动了空间解析几何的发展，被广泛应用于工程制图当中．过椭圆外的一点作椭圆的两条切线，若两条切线互相垂直，则该点的轨迹是以椭圆的中心为圆心、以为半径的圆，这个圆叫做椭圆的蒙日圆．若椭圆的蒙日圆为，过圆E上的动点M作椭圆C的两条切线，分别与圆E交于P，Q两点，直线PQ与椭圆C交于A，B两点，则下列结论不正确的是（ ） A. 椭圆C的离心率为 B. M到C的右焦点的距离的最大值为 C. 若动点N在C上，记直线AN，BN的斜率分别为，，则 D. 面积的最大值为 【答案】D 【解析】 【分析】A.根据蒙日圆的定义，可求椭圆方程，即可判断； B.根据椭圆方程和圆的方程，结合几何意义，即可判断； C.根据为圆的直径，则点关于原点对称，利用点在椭圆上，证明； D.利用圆的几何性质，确定面积的最大值. 【详解】A.因为椭圆的蒙日圆为，根据蒙日圆的定义，，得，所以椭圆，，，则，所以椭圆的离心率，故A正确； B.点是圆上的动点，椭圆的右焦点，则的最大值是，故B正确； C.根据蒙日圆的定义可知，则为圆的直径,与椭圆交于两点，点关于原点对称，设，，， ，故C正确； D.因为为圆的直径，，当点到直线的距离为时，的面积最大，此时最大值是，故D错误. 故选：D 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 点，为椭圆的两个焦点，点为椭圆内部的动点，则周长的取值可以为（ ） A. 4 B. C. D. 6 【答案】BC 【解析】 【分析】根据焦点三角形的周长取值范围即可得到答案. 【详解】由椭圆，得：，， 当点在椭圆上时，周长最大，为； 当点位于（包括端点）之间时，取极限值，为. 又因点为椭圆内部的动点， 所以周长的取值范围为， 故选：BC. 10. 设有一组圆，下列命题正确的是（　　） A. 不论k如何变化，圆心始终在一条直线上 B. 所有圆均不经过点 C. 经过点的圆有且只有一个 D. 所有圆的面积均为4 【答案】AB 【解析】 【分析】对于AD：由题意可知：圆，的圆心，半径，进而分析判断；对于CD：分别将点，代入方程，通过解的个数分析判断. 【详解】由题意可知：圆的圆心，半径. 对于选项A：不论k如何变化，圆心始终在直线上，故A正确； 对于选项B：令，整理得， 因为，可知方程无解， 所以所有圆均不经过点，故B正确； 对于选项C：令，整理得， 因为，可知方程有两个不同的解， 所以经过点的圆有且只有两个，故C错误； 对于选项D：因为半径，所以所有圆的面积均为，故D错误； 故答案为：AB. 11. 在平面直角坐标系xoy中，凸四边形ABCD的4个顶点均在抛物线E：y2=2x上，则（ ） A. 四边形ABCD不可能为平行四边形 B. 存在四边形ABCD，满足∠A=∠C C. 若AB过抛物线E的焦点F，则直线OA，OB斜率之积恒为─2 D. 若为正三角形，则该三角形的面积为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质可判断A；利用对应边成比例，三角形相似可判断B；由两点求斜率可判断C；利用三角形的面积公式可判断D. 【详解】A，构成平行四边形的条件是对边平行且相等，而水平直线与y2=2x至多只有一个交点， 因此，四边形ABCD不可能为平行四边形，故A正确； B，如图所示，连接， 则当，， 则，则∠A=∠C，故B正确； C，设，，， ，解得，所以，故C错误； D，设若为正三角形，如图： 由抛物线的对称性可知，， 则直线：， 则 ，解得，， ， ，故D正确. 故选：ABD 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 过点且与直线平行的直线方程为________． 【答案】 【解析】 【分析】 设出与已知直线平行的直线方程，把点A的坐标代入直线方程，即可求得所求直线方程． 【详解】设与直线2x﹣y+1＝0平行的直线方程为2x﹣y+m＝0，把点的坐标代入直线方程，求得m＝﹣2×3+4＝﹣2，所以所求直线方程为2x﹣y﹣2＝0． 故答案为：. 【点睛】方法点睛：与已知直线平行的直线方程求法，通常用待定系数法. 13. 曲线：与：恰有四条公切线，则实数的取值范围为_____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据圆与圆的位置关系以及成圆的充要条件，即可求得实数的取值范围. 【详解】解：圆:，即，其圆心，半径 圆:，即，其圆心， 半径，则必有，即 两圆圆心的距离 若两圆有4条公切线，则两圆外离，必有，解得： 则的取值范围为. 故答案为：. 14. 椭圆的一个焦点是，O为坐标原点，过F的直线l交椭圆于A，B两点．若恒有，则椭圆离心率的取值范围为________． 【答案】 【解析】 【分析】首先设直线方程，与椭圆方程联立，利用韦达定理表示，利用不等关系，转化求离心率的取值范围. 【详解】设过点F的直线l的直线方程为与椭圆交于A，B两点， 设点，，联立方程得， 整理为：， ，， 若恒有，则， 所以是钝角，即， ，， ，整理为恒成立， 所以，即，整理为， 解得：或（舍） 所以，离心率， 故答案为： 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 15. 已知直线，直线． （1）若，求实数的值； （2）若，求实数的值． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）利用直线平行的判定列方程求参数值，需要验证所得参数是否符合要求. （2）利用直线垂直的判定列方程求参数值即可. 【小问1详解】 由，则，即， 所以或， 当，，，两线重合，不合题意； 当，，，符合题意； 综上，. 【小问2详解】 由，则，即， 所以，即或. 16. （1）已知双曲线的顶点在轴上，两顶点间的距离是8，离心率，求双曲线的标准方程； （2）斜率为1的直线经过抛物线的焦点，且与抛物线相交于，两点.求线段的长. 【答案】（1）；（2）8 【解析】 【分析】（1）利用顶点的距离以及离心率求出和的值，再利用求出的值即可求出双曲线的标准方程； （2）利用抛物线的定义求弦长. 【详解】（1）由题意可知，解得，，则， 所以双曲线的标准方程为. （2）由题意，抛物线的焦点，准线为， 设，，则， 由已知得直线的方程为，联立得，所以， 所以. 17. 已知圆：与圆的公共弦所在的直线是：，且圆的圆心在轴上． （1）求圆的方程； （2）若直线与圆相切，且在两条坐标轴上的截距相等，求直线的方程． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）设圆的一般式方程，两圆方程相减，即可得出圆的方程； （2）设出直线方程，由圆心到直线的距离等于半径得出直线的方程． 【小问1详解】 由已知可设圆的方程为：，…① 圆： …② ①②可得：，即为的方程， 所以有，，， 所以圆的方程为. 【小问2详解】 因为圆心的坐标为，半径为2，由已知当直线m不过原点时可设的方程为， 因为直线与圆相切，所以有， 所以直线的方程为. 又因为过原点的直线若与圆相切，截距相等且为0， 所以又可设直线的方程为，所以有， 所以直线的方程为. 综上直线m的方程为或 18. 已知抛物线的焦点为，抛物线上一点横坐标为3，且点到焦点的距离为4. （1）求抛物线的方程； （2）过点作直线交抛物线于点，求面积的最小值（其中为坐标原点）. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由抛物线的焦半径公式，结合抛物线定义即可求解， （2）联立直线与抛物线方程可得，进而根据面积求解，结合基本不等式即可求解最值. 【小问1详解】 由题意知, 所以. 【小问2详解】 由 (1) 知, 抛物线, 直线过, 可设直线的方程为, 联立 设,不妨设， ∴， 当且仅当，即时取等号， ∴面积最小值为. 19. 已知椭圆的一个顶点为，且离心率为. （1）求椭圆C的方程； （2）直线与椭圆C交于A、B两点，且，求m的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题意得求出，从而可求得椭圆的方程， （2）设，，将直线方程与椭圆方程联立方程组，消去，整理后利用根与系数的关系求出，由可得，代入进而可求出的值. 【小问1详解】 设椭圆的半焦距为. 由题意得 解得. 所以椭圆的方程为. 【小问2详解】 由得. 由，解得. 设，，则， 所以， ， 因为，所以， 则，则， 则， 解得：或. 当时，直线过点，则不满足. 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $