专题03 有理数的运算（十二大题型）-【帮课堂】2024-2025学年七年级数学上册同步学与练（华东师大版2024）

专题03有理数的运算 知识要点精讲 知识点01 有理数加法法则： ①同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加． ②绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值． ③互为相反数的两个数相加得0； ④一个数同0相加，仍得这个数． 知识点02 有理数减法法则： 减去一个数，等于加这个数的相反数．即a-b=a+(-b) ． 知识点03 有理数的乘法法则： ①两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘． ②任何数同0相乘，都得0． 知识点04有理数的除法法则： 法则一：两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除． 法则二：除以一个不等于0的数，等于乘以这个数的倒数．即a÷b=a·(b≠0) ． 知识点05 乘方运算的符号法则： ①负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数； ②正数的任何次幂都是正数； ③0的任何（整数）次幂都是0． 备注：乘方的计算一般转化为乘法计算. 知识点06 有理数的混合运算顺序： ①先乘方，再乘除，最后加减； ②同级运算，从左到右依次进行； ③如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行． 知识点07 运算律： （1）交换律： ① 加法交换律：a+b=b+a； ②乘法交换律：ab=ba； （2）结合律： ①加法结合律： (a+b)+c=a+(b+c)； ②乘法结合律：（ab）c=a(bc) （3）分配律：a(b+c)=ab+ac 重难点题型训练 题型一：有理数的加法 1．（2024上·全国·七年级专题练习）计算下列各题： (1)； (2)； (3)； (4)；(5)； (6)； 【答案】(1)；(2)；(3)；(4)18.96；(5)；(6) 【分析】本题考查了有理数的加法运算，同号两数相加，取与加数相同的符号，并把绝对值相加；绝对值不等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；互为相反数相加得0；任何数与0相加仍得原数． （1）至（6）根据加法法则计算即可． 【详解】（1） （2） （3） （4） （5） （6） 题型二：有理数的减法 2．（2024七年级上·全国·专题练习）计算： (1)． (2)． (3)． (4)． (5) (6)． 【答案】(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6) 【分析】(1)～(6)根据有理数的减法运算法则，减去一个数等于加上这个数的相反数进行计算即可得解． 本题考查了有理数的减法运算，是基础题，熟记减去一个数等于加上这个数的相反数是解题的关键． 【详解】（1）解： （2）， （3）， ； （4）， ； （5）， ； （6）． 题型三：有理数的乘法 3．（24-25七年级上·全国·随堂练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 【答案】(1)；(2)12；(3)0；(4)；(5) 【分析】本题考查有理数的乘法，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 利用有理数的乘法法则计算各题即可． 【详解】（1）； （2）； （3）； （4）； （5）． 题型四：有理数的除法 4．（24-25七年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)3；(2)0；(3)；(4)0.11 【分析】本题主要考查了有理数的除法运算，掌握有理数除法运算法则成为解题的关键． （1）直接运用有理数除法运算法则计算即可； （2）根据零除以任何数都为零即可解答； （3）先把带分数化为假分数，然后运用分数除法运算法则计算即可； （4）直接运用分数除法运算法则计算即可． 【详解】（1）解：． （2）解：． （3）解： ． （4）解： ． 题型五：有理数的乘方 5．（2024七年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1)；(2)；(3)；(4)；(5)100000；(6)0 【分析】本题主要考查了有理数乘方运算，熟练掌握乘方定义是解题的关键．分别根据有理数的乘方的定义进行计算即可． （1）～根据有理数乘方运算法则计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ； （5）解： ； （6）解： ． 题型六：有理数的加减混合运算 6．（24-25七年级上·河南驻马店·阶段练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)；(2)5；(3)0；(4) 【分析】（1）去绝对值后，按照有理数加减混合运算法则运算即可； （2）将互为相反数组合一起计算即可； （3）去绝对值后，分母相同的结合一起计算，再利用有理数减法运算法则计算即可； （4）先通分，再按照有理数加减运算法则计算即可． 本题考查了有理数的加减混合运算、绝对值，熟练掌握以上知识点是关键． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 题型七：有理数的乘除混合运算 7．（24-25七年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)；(2)；(3)；(4) 【分析】（）～（）根据有理数的乘除运算法则进行计算即可； 本题考查了有理数的乘除混合运算，掌握有理数的乘除运算法则是解题的关键． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式； （4）解：原式． 题型八：有理数的四则混合运算 8．（2024七年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)；(2) 【分析】本题主要考查了有理数的四则混合运算，熟练掌握运算法则及运算顺序是解决本题的关键． （1）根据有理数四则运算法则，先乘除，后加减，有括号先计算括号计算即可得出答案； （2）根据有理数四则运算法则，先乘除，后加减，有括号先计算括号，结合乘法分配律计算即可得出答案． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 题型九：含乘方的有理数混合运算 9．（2024七年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)15；(2)；(3) 【分析】本题考查了含乘方的有理数的混合运算，绝对值等知识，熟练掌握有理数的运算法则和绝对值的意义是解题的关键． （1）先分别计算乘方、绝对值，然后进行乘除运算，最后进行加减运算即可； （2）根据有理数的混合运算顺序和运算法则进行计算即可； （3）先分别计算乘方、绝对值，然后进行乘除运算，最后进行加减运算即可． 【详解】（1）解：原式 ． （2）原式 ． （3）原式 ． 题型十：有理数加减混合运算的简便计算 10．（24-25七年级上·山西太原·阶段练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)1；(2)16；(3)17；(4) 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算，熟练掌握运算法则和运算律是解答本题的关键． （1）（2）（3）（4）先把减法转化为加法，再利用加法交换律和结合律计算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 题型十一：有理数的乘法运算的简便计算 11．（2024七年级上·全国·专题练习）计算． (1)； (2)； (3)； (4) 【答案】(1)；(2)；(3)；(4) 【分析】本题考查有理数的乘法和有理数的加减运算，解题的关键是掌握有理数的乘法运算，有理数的加减运算，学会运用乘法结合律和乘法交换律，进行计算，即可． （1）根据有理数的乘法，先计算可以约分的部分，再根据有理数的乘法，计算，即可； （2）先确定正负，再将分成，然后和结合，和结合，最后再根据有理数的乘法，进行计算，即可； （3）先根据有理数的乘法运算，将分别和括号里的每一项分别相乘，再根据有理数的加减运算，即可得出答案； （4）先确定符号，再提取，然后计算异分母分式的减法，最后计算乘法即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． （3）解： ． （4）解： ． 题型十二：与有理数运算有关的阅读问题 12．（2022上·贵州黔南·七年级统考期中）阅读下面的解题过程，并用解题过程中的解题方法解决问题． 示例：计算：． 解：原式 以上解题方法叫做拆项法． 请你利用拆项法计算下面式子的值． 【答案】 【分析】利用题目提供的方法计算即可． 【详解】解： 【点睛】本题考查了有理数的加减混合运算，正确理解题干提供的计算方法是解答本题的关键． 13．（24-25七年级上·北京·阶段练习）综合与探究： 【概念学习】 现规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的商的运算叫做除方，比如，等，类比有理数的乘方，我们把写作，读作“2的圈3次方”，写作，读作“的圈4次方”，一般地把写作，读作“的圈次方”． 【初步探究】 （1）直接写出计算结果：__________；__________． 【深入思考】 我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，那么有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ 除方乘方幂的形式 （2）试一试：仿照上面的算式，把下列除方运算直接写成幂的形式： __________，__________． （3）算一算：． 【答案】（1），；（2），；（3） 【分析】本题考查了有理数的混合运算，理解题意，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）根据题目中的例子计算即可得解； （2）根据题目中的例子计算即可得解； （3）先求出、、，在结合有理数的运算法则计算即可得解． 【详解】解：（1）；； （2）， ； （3）， ， ， ． 14．（24-25七年级上·福建三明·期中）在有些情况下，不需要计算出结果也能把绝对值符号去掉，例如：；；；． (1)根据上面的规律，把下列各式写成去掉绝对值符号的形式： _________； _________． (2)用简单的方法计算：． (3)根据以上计算结果猜想： ______________． 【答案】(1)①，②；(2)；(3) 【分析】本题主要考查了绝对值、有理数的加减．解决本题的关键是根据例题中的规律去绝对值符号． （1）根据例题可知：同号两数的和的绝对值等于这两个数的绝对值的和，异号两数的和的绝对值等于大数的绝对值减去小数的绝对值，根据规律把绝对值符号去掉即可； （2）根据（1）中的规律把算式中的绝对值符号去掉可得，把互为相反数的两数相加可得结果，然后通分相减可得结果； （3）根据（1）中的规律把算式中的绝对值符号去掉可得，把互为相反数的两数相加可得结果，然后通分相减可得结果． 【详解】（1）解：； ； （2）解： ； （3）解： ． 15．（24-25七年级上·陕西西安·期中）对于有理数a、b，定义新运算“#”，规定，如：． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1)；(2) 【分析】本题考查了含有理数的乘方的混合运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据，计算，即可作答． （2）先算，得出，然后再计算，即可作答． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）解：∵， ∴， 则 ． 16．（23-24六年级上·上海虹口·期中）请阅读下题的解法，再计算． 例题  计算： 解：设， 则 = 所以，即 按照例题解法，请计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数的除法，看懂例题的解法是解决问题的关键． 首先看懂例题的做法，先计算出的倒数的结果，再算出原式结果即可． 【详解】解：设， 则 = ， 所以，即． 17．（24-25七年级上·山西临汾·阶段练习）阅读与思考 下面是博学小组研究性学习的部分内容．阅读下列材料，完成后面任务． 关于“用拆分法计算”的研究报告 博学小组 研究对象：计算． 研究思路：直接运算太麻烦了！观察算式，可得原式可分为，再利用乘法分配律运算能简单很多． 研究方法：先利用拆分法，再利用乘法分配律． 研究步骤：解：原式（依据1） （依据2） ▲ ． 任务： (1)上述研究报告中的依据1是指_________，依据2是指________． (2)研究报告中，“▲”处空缺的内容是________． (3)请用拆分法，计算：． 【答案】(1)拆分；乘法分配律；(2)；(3) 【分析】本题主要查了有理数乘法分配律： （1）根据乘法分配律解答，即可； （2）根据乘法分配律解答，即可； （3）根据有理数乘法分配律解答，即可． 【详解】（1）解：上述研究报告中的依据1是指拆分；依据2是指乘法分配律； 故答案为：拆分；乘法分配律 （2）解：原式 故研究报告中，“▲”处空缺的内容是；故答案为： （3）解：原式 ． 18．（24-25七年级上·江苏无锡·阶段练习）阅读下面的材料：高斯上小学时，有一次数学老师让同学们计算“从1到100这100个正整数的和”．许多同学都采用了依次累加的计算方法，计算起来非常繁琐，且易出错．聪明的小高斯经过探索后，给出了下面漂亮的解答过程． 解：设，① 则，② 得． 所以，， 所以 后来人们将小高斯的这种解答方法概括为“倒序相加法”． 请类比以上做法，解答下列问题： (1)计算：； (2)计算：． (3)计算： 【答案】(1)500500；(2)15000；(3)2500 【分析】本题主要考查有理数的运算，熟练掌握有理数的加法及乘法运算是解题的关键；因此（1）（2）（3）可根据题中所给方法进行求解即可． 【详解】（1）解：设，① 则，② 得． 所以，则， 所以； （2）解：设，① 则，② 得． 所以，则， 所以； （3）解：设，① 则，② 得． 所以，则， 所以． 19．（24-25七年级上·河南周口·阶段练习）阅读与思考 下面是嘉嘉同学的数学小论文，请仔细阅读并完成相应的计算． 逆用乘法分配律解题 我们知道，乘法分配律是，反过来．这就是说，当中有相同的时，我们可以逆用乘法分配律得到，进而可使运算简便．例如：计算，若利用先乘后减显然很繁琐，注意到两项都有，因此逆用乘法分配律可得，这样计算就简便得多． 计算： (1)； (2) 【答案】(1)；(2) 【分析】本题主要考查了有理数乘法分配律的逆运算： （1）把原式变形为，再计算求解即可； （2）把原式变形为，再计算求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 20．（24-25七年级上·河南新乡·阶段练习）学科素养·运算能力 观察下列各式： … ． 阅读以上解题过程，解答下列问题： (1)计算：； (2)计算：． 【答案】(1)；(2) 【分析】本题考查了有理数的混合运算； （1）仿照例题，将分数裂项为两个分数的差的形式，进行计算即可求解； （2）仿照例题，将分数裂项为两个分数的差的形式，原式化为，进行计算即可求解． 【详解】（1）解： ． （2）解： ( 16 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03有理数的运算 知识要点精讲 知识点01 有理数加法法则： ①同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加． ②绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值． ③互为相反数的两个数相加得0； ④一个数同0相加，仍得这个数． 知识点02 有理数减法法则： 减去一个数，等于加这个数的相反数．即a-b=a+(-b) ． 知识点03 有理数的乘法法则： ①两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘． ②任何数同0相乘，都得0． 知识点04有理数的除法法则： 法则一：两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除． 法则二：除以一个不等于0的数，等于乘以这个数的倒数．即a÷b=a·(b≠0) ． 知识点05 乘方运算的符号法则： ①负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数； ②正数的任何次幂都是正数； ③0的任何（整数）次幂都是0． 备注：乘方的计算一般转化为乘法计算. 知识点06 有理数的混合运算顺序： ①先乘方，再乘除，最后加减； ②同级运算，从左到右依次进行； ③如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行． 知识点07 运算律： （1）交换律： ① 加法交换律：a+b=b+a； ②乘法交换律：ab=ba； （2）结合律： ①加法结合律： (a+b)+c=a+(b+c)； ②乘法结合律：（ab）c=a(bc) （3）分配律：a(b+c)=ab+ac 重难点题型训练 题型一：有理数的加法 1．（2024上·全国·七年级专题练习）计算下列各题： (1)； (2)； (3)； (4)；(5)； (6)； 题型二：有理数的减法 2．（2024七年级上·全国·专题练习）计算： (1)． (2)． (3)． (4)． (5) (6)． 题型三：有理数的乘法 3．（24-25七年级上·全国·随堂练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 题型四：有理数的除法 4．（24-25七年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型五：有理数的乘方 5．（2024七年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 题型六：有理数的加减混合运算 6．（24-25七年级上·河南驻马店·阶段练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型七：有理数的乘除混合运算 7．（24-25七年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型八：有理数的四则混合运算 8．（2024七年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)． 题型九：含乘方的有理数混合运算 9．（2024七年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)． 题型十：有理数加减混合运算的简便计算 10．（24-25七年级上·山西太原·阶段练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型十一：有理数的乘法运算的简便计算 11．（2024七年级上·全国·专题练习）计算． (1)； (2)； (3)； (4) 题型十二：与有理数运算有关的阅读问题 12．（2022上·贵州黔南·七年级统考期中）阅读下面的解题过程，并用解题过程中的解题方法解决问题． 示例：计算：． 解：原式 以上解题方法叫做拆项法． 请你利用拆项法计算下面式子的值． 13．（24-25七年级上·北京·阶段练习）综合与探究： 【概念学习】 现规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的商的运算叫做除方，比如，等，类比有理数的乘方，我们把写作，读作“2的圈3次方”，写作，读作“的圈4次方”，一般地把写作，读作“的圈次方”． 【初步探究】 （1）直接写出计算结果：__________；__________． 【深入思考】 我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，那么有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ 除方乘方幂的形式 （2）试一试：仿照上面的算式，把下列除方运算直接写成幂的形式： __________，__________． （3）算一算：． 14．（24-25七年级上·福建三明·期中）在有些情况下，不需要计算出结果也能把绝对值符号去掉，例如：；；；． (1)根据上面的规律，把下列各式写成去掉绝对值符号的形式： _________； _________． (2)用简单的方法计算：． (3)根据以上计算结果猜想： ______________． 15．（24-25七年级上·陕西西安·期中）对于有理数a、b，定义新运算“#”，规定，如：． (1)求的值； (2)求的值． 16．（23-24六年级上·上海虹口·期中）请阅读下题的解法，再计算． 例题  计算： 解：设， 则 = 所以，即 按照例题解法，请计算：． 17．（24-25七年级上·山西临汾·阶段练习）阅读与思考 下面是博学小组研究性学习的部分内容．阅读下列材料，完成后面任务． 关于“用拆分法计算”的研究报告 博学小组 研究对象：计算． 研究思路：直接运算太麻烦了！观察算式，可得原式可分为，再利用乘法分配律运算能简单很多． 研究方法：先利用拆分法，再利用乘法分配律． 研究步骤：解：原式（依据1） （依据2） ▲ ． 任务： (1)上述研究报告中的依据1是指_________，依据2是指________． (2)研究报告中，“▲”处空缺的内容是________． (3)请用拆分法，计算：． 18．（24-25七年级上·江苏无锡·阶段练习）阅读下面的材料：高斯上小学时，有一次数学老师让同学们计算“从1到100这100个正整数的和”．许多同学都采用了依次累加的计算方法，计算起来非常繁琐，且易出错．聪明的小高斯经过探索后，给出了下面漂亮的解答过程． 解：设，① 则，② 得． 所以，， 所以 后来人们将小高斯的这种解答方法概括为“倒序相加法”． 请类比以上做法，解答下列问题： (1)计算：； (2)计算：． (3)计算： 19．（24-25七年级上·河南周口·阶段练习）阅读与思考 下面是嘉嘉同学的数学小论文，请仔细阅读并完成相应的计算． 逆用乘法分配律解题 我们知道，乘法分配律是，反过来．这就是说，当中有相同的时，我们可以逆用乘法分配律得到，进而可使运算简便．例如：计算，若利用先乘后减显然很繁琐，注意到两项都有，因此逆用乘法分配律可得，这样计算就简便得多． 计算： (1)； (2) 20．（24-25七年级上·河南新乡·阶段练习）学科素养·运算能力 观察下列各式： … ． 阅读以上解题过程，解答下列问题： (1)计算：； (2)计算：． ( 10 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$