精品解析：湖南省永州市京华中学2024-2025学年八年级上学期入学检测数学试题

京华中学2024年秋季八年级入学检测数学试题卷 时间：120分钟 满分：120分 一、单选题（每小题3分，共30分） 1. 下列食品标识中，不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列运算正确的是（　　） A. （3x2）2＝6x4 B. （x3）2＝x9 C. 3x2﹣x＝2x D. x2•x3＝x5 3. 下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 4. 若二元一次方程组的解同时也是方程2x-my=-1的解，那么m的值为（ ） A. B. C. 3 D. 4 5. 下列叙述中，正确的是（　　） A. 两条直线被第三条直线所截，内错角相等 B. 过一点有且只有一条直线与已知直线平行 C. 垂直于同一条直线的两直线平行 D. 从直线外一点到这条直线上的各点连结的所有线段中，垂线段最短 6. 在抗击“新型冠状病毒肺炎”疫情中，某社区志愿者小分队年龄如表： 年龄(岁) 18 22 30 35 43 人数 2 3 2 2 1 则这10名队员年龄的中位数、众数分别是(　　　) A. 20岁，35岁 B. 22岁，22岁 C. 26岁、22岁 D. 30岁，30岁 7. 将一把直尺和一块含30°和60°角的三角板ABC按如图所示的位置放置，如果∠CDE=40°，那么∠BAF的大小为（　　） A. 10° B. 15° C. 20° D. 25° 8. 已知二次三项式分解因式，则的值为（ ） A. 1 B. -1 C. -5 D. 5 9. 如图，下列条件中，不能判断直线的是（ ） A. B. C. D. 10. 如图（1）所示为长方形纸带，将纸带沿EF折叠成图（2）；再沿BF折叠成图（3）；继续沿EF折叠成图（4）按此操作，最后一次折叠后恰好完全盖住∠EFG，整个过程共折叠了9次，问图（1）中∠DEF的度数是（　　） A. 20° B. 19° C. 18° D. 15° 二、填空题（每小题3分，共24分） 11. (-3xy2)3=________ 12. 如果是完全平方式，则__________． 13. 一组数据2，4，x，2，4，7的众数是2，则这组数据的平均数是______． 14. 如图，在△ABC中，∠BAC＝33°，将△ABC绕点A按顺时针方向旋转50°，对应得到△AB′C′，则∠B′AC的度数为____． 15. 已知，则的值为___． 16. 若x+y＝7，xy＝﹣5，则x2+y2的值是_____． 17. 如图，将ABC沿BC方向向右平移2个单位得到DEF，若四边形ABFD的周长为14，则DEF的周长为_____． 18. 如图，已知ACBD，BC平分∠ABD，CE平分∠DCM，且BC⊥CE．则下列结论：①CB平分∠ACD，②ABCD，③∠A＝∠BDC，④点P是线段BE上任意一点，则∠APM＝∠BAP+∠PCD．正确的是______． 三、解答题（写出必要的解答过程，共66分） 19. 解方程组 （1）； （2）． 20. 分解因式： （1）； （2）． 21. 先化简，再求值：（3x+2）（3x﹣2）﹣5x（x﹣1）﹣（2x+1）2，其中x=﹣3． 22. 甲、乙两位同学5次数学选拔赛的成绩统计如表，他们5次考试的总成绩相同，请同学们完成下列问题： 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 甲成绩 80 40 70 50 60 乙成绩 70 50 70 a 70 （1）统计表中，_________，；甲同学成绩的中位数是_________乙同学成绩的众数是_________ （2）小颖计算了甲同学的成绩平均数为60，方差是，请你求出乙同学成绩的平均数和方差． （3）从平均数和方差的角度分析，甲、乙两位同学谁的成绩更稳定． 23. 对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积，可以得到一个数学等式． （1）对于等式，可以由图1进行解释：这个大长方形的长为_________，宽为_________，用长乘以宽可求得其面积．同时，大长方形的面积也等于3个长方形和3个正方形的面积之和． （2）如图2，试用两种不同的方法求它的面积， 方法1：_________ 方法2：_________ 数学等式：_________ （3）利用（2）中得到的数学等式，解决以下问题：已知，，求的值． 24. 已知：用2辆A型车和1辆B型车装满货物一次可运货10吨；用1辆A型车和2辆B型车装满货物一次可运货11吨．某物流公司现有36吨货物，计划同时租用A型车a辆，B型车b辆，一次运完，且恰好每辆车都装满货物．根据以上信息，解答下列问题： （1）1辆A型车和1辆B型车都装满货物一次可分别运货多少吨？ （2）请你帮该物流公司设计租车方案． 25. 如图，在长方形中，，点在边上运动，连接，点关于直线的对称点为． （1）点落在边上，求线段的长； （2）点落在线段上，求线段的长； （3）当点运动到点时，连接．请问是否与平行？若平行，请加以证明，若不平行，请说明理由． 26. 如图1，已知两条直线被直线所截，分别交于点E，点F，平分交于点M，且． （1）判断直线与直线是否平行，并说明理由； （2）如图2，点G是射线上一动点（不与点M，F重合），平分交于点H，过点H作于点N，设． ①当点G在点F的右侧时，若，求的度数； ②当点G在运动过程中，和之间有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并加以证明． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 京华中学2024年秋季八年级入学检测数学试题卷 时间：120分钟 满分：120分 一、单选题（每小题3分，共30分） 1. 下列食品标识中，不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形“如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形叫做轴对称图形”，熟记轴对称图形的定义是解题关键．根据轴对称图形的定义逐项判断即可得． 【详解】解：A、不是轴对称图形，则此项符合题意； B、是轴对称图形，则此项不符合题意； C、不是轴对称图形，则此项符合题意； D、是轴对称图形，则此项不符合题意； 故选：AC． 2. 下列运算正确的是（　　） A. （3x2）2＝6x4 B. （x3）2＝x9 C. 3x2﹣x＝2x D. x2•x3＝x5 【答案】D 【解析】 【分析】根据整式的乘法以及乘方等运算，对选项逐个判断即可． 【详解】解：A．（3x2）2＝9x4，故本选项不合题意； B．（x3）2＝x6，故本选项不合题意； C．3x2与﹣x不是同类项，所以不能合并，故本选项不合题意； D．x2•x3＝x5，故本选项符合题意； 故选：D． 【点睛】此题主要考查了整式的乘法和乘方等运算，熟练掌握整式的性质及相关运算是解题的关键． 3. 下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据多项式因式分解的定义，逐项判断即可． 【详解】解：A、，是整式的乘法，故本选项不符合题意； B、应该是，故本选项不符合题意； C、，是因式分解，故本选项符合题意； D、，右边不是几个整式的乘积的形式，故本选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题主要考查了多项式的因式分解，熟练掌握多项式因式分解的方法，并会根据多项式的特征选用合适的方法是解题的关键． 4. 若二元一次方程组的解同时也是方程2x-my=-1的解，那么m的值为（ ） A. B. C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】先解方程组，求出x，y的值，然后代入方程2x-my=-1，求出m的值即可． 【详解】， ①+②得：5x=5， 解得：x=1， 把x=1代入①得，2+y=3， 解得：y=1， 把x=1，y=1代入2x-my=-1得，2-m=-1， 解得：m=3． 故选C. 【点睛】此题主要考查了二元一次方程组解的定义及二元一次方程组的解法，解二元一次方程组的基本思想是“消元”，主要有代入消元法和加减消元法，熟练掌握解二元一次方程组的基本方法是解题的关键． 5. 下列叙述中，正确的是（　　） A. 两条直线被第三条直线所截，内错角相等 B. 过一点有且只有一条直线与已知直线平行 C. 垂直于同一条直线的两直线平行 D. 从直线外一点到这条直线上的各点连结的所有线段中，垂线段最短 【答案】D 【解析】 【分析】分别根据平行线的判定与性质及垂线段最短的知识对各选项进行逐一分析即可． 【详解】解：A、两条平行线被第三条直线所截，内错角相等，故本选项错误； B、过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故本选项错误； C、同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行，故本选项错误； D、从直线外一点到这条直线上的各点连接的所有线段中，垂线段最短，故本选项正确． 故选：D． 【点睛】本题考查的是平行线的判定与性质，点到直线的距离的定义，垂线段最短的性质，熟记教材中的定义以及性质是解题的关键． 6. 在抗击“新型冠状病毒肺炎”疫情中，某社区志愿者小分队年龄如表： 年龄(岁) 18 22 30 35 43 人数 2 3 2 2 1 则这10名队员年龄的中位数、众数分别是(　　　) A. 20岁，35岁 B. 22岁，22岁 C. 26岁、22岁 D. 30岁，30岁 【答案】C 【解析】 【分析】分别根据中位数和众数的概念计算即可． 【详解】中位数：将一组数据按照从小到大(或从大到小)的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．这10个数据处于中间位置的是22，30，所以中位数是； 众数：一组数据中出现次数最多的数据为这组数据的众数．10个数据中22出现了3次，次数最多，所以众数是22， 故选：C． 【点睛】本题主要考查中位数和众数，掌握中位数和众数的概念是关键． 7. 将一把直尺和一块含30°和60°角的三角板ABC按如图所示的位置放置，如果∠CDE=40°，那么∠BAF的大小为（　　） A. 10° B. 15° C. 20° D. 25° 【答案】A 【解析】 【分析】先根据∠CDE=40°，得出∠CED=50°，再根据DE∥AF，即可得到∠CAF=50°，最后根据∠BAC=60°，即可得出∠BAF的大小． 【详解】由图可得,∠CDE=40° ,∠C=90°， ∴∠CED=50°， 又∵DE∥AF， ∴∠CAF=50°， ∵∠BAC=60°， ∴∠BAF=60°−50°=10°， 故选A. 【点睛】本题考查了平行线的性质，熟练掌握这一点是解题的关键. 8. 已知二次三项式分解因式，则的值为（ ） A. 1 B. -1 C. -5 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】直接利用多项式乘法计算得出c，b的值，进而得出答案． 【详解】解：∵二次三项式x2+bx+c分解因式（x-3）（x+1）， ∴x2+bx+c=（x-3）（x+1）， ∴x2+bx+c=（x-3）（x+1） =x2-2x-3， 则b=-2，c=-3， 故b+c=-5． 故选C． 【点睛】本题考查多项式乘法，正确计算得出b，c的值是解题关键． 9. 如图，下列条件中，不能判断直线的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：A．，根据“内错角相等，两直线平行”可判断； B．，无法判断； C．，根据“同位角相等，两直线平行”可判断； D．，根据“同旁内角互补，两直线平行”可判断． 10. 如图（1）所示为长方形纸带，将纸带沿EF折叠成图（2）；再沿BF折叠成图（3）；继续沿EF折叠成图（4）按此操作，最后一次折叠后恰好完全盖住∠EFG，整个过程共折叠了9次，问图（1）中∠DEF的度数是（　　） A. 20° B. 19° C. 18° D. 15° 【答案】C 【解析】 【分析】根据最后一次折叠后恰好完全盖住∠EFG；整个过程共折叠了9次，可得CF与GF重合，依据平行线的性质，即可得到∠DEF的度数． 【详解】解：设∠DEF＝α，则∠EFG＝α， ∵折叠9次后CF与GF重合， ∴∠CFE＝9∠EFG＝9α， 如图（2），∵CFDE， ∴∠DEF+∠CFE＝180°， ∴α+9α＝180°， ∴α＝18°， 即∠DEF＝18°． 故选：C． 【点睛】本题考查了翻折变换以及矩形的性质，解题的关键是找出∠DEF+∠CFE＝180°．解决该题型题目时，根据翻折变换找出相等的边角关系是关键． 二、填空题（每小题3分，共24分） 11. (-3xy2)3=________ 【答案】. 【解析】 【分析】根据积的乘方法则计算，得到答案． 【详解】解:. 故答案为. 【点睛】本题考查的是幂的乘方与积的乘方，掌握积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘是解题的关键． 12. 如果是完全平方式，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查完全平方公式．根据题意利用完全平方公式即可得到本题答案． 【详解】解：∵是完全平方式， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 13. 一组数据2，4，x，2，4，7的众数是2，则这组数据的平均数是______． 【答案】3.5 【解析】 【分析】根据众数的概念可得x=2，然后根据平均数的计算公式进行求解即可． 【详解】解：∵2，4，x，2，4，7的众数是2， ∴x=2， ∴该组数据的平均数为(2+4+2+2+4+7)÷6=3.5； 故答案为3.5． 【点睛】本题考查了众数和平均数，一组数据中出现次数最多的数据叫做众数；平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数． 14. 如图，在△ABC中，∠BAC＝33°，将△ABC绕点A按顺时针方向旋转50°，对应得到△AB′C′，则∠B′AC的度数为____． 【答案】17° 【解析】 【详解】解：∵∠BAC=33°，将△ABC绕点A按顺时针方向旋转50°，对应得到△AB′C′， ∴∠B′AC′=33°，∠BAB′=50°， ∴∠B′AC的度数=50°−33°=17°. 故答案为17°. 15. 已知，则的值为___． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂的乘法的逆应用，幂的乘方，熟练掌握公式是解题的关键． 【详解】∵， ∴， ∴， 故答案为：． 16. 若x+y＝7，xy＝﹣5，则x2+y2的值是_____． 【答案】59 【解析】 【分析】根据x2+y2=（x+y）22xy将其代入即可求出答案． 【详解】解：x2+y2＝（x+y）2﹣2xy， 把x+y＝7，xy＝﹣5代入上式得， 原式＝72﹣2×（﹣5） ＝59． 故答案为：59． 【点睛】本题主要考查的是完全平方公式的转化，属于中等难度的题型．明确公式之间的关系是解决这个问题的关键． 17. 如图，将ABC沿BC方向向右平移2个单位得到DEF，若四边形ABFD的周长为14，则DEF的周长为_____． 【答案】10 【解析】 【分析】由平移的性质可知BE＝CF＝AD＝2，AB＝DE，AC＝DF，由于四边形ABFD的周长为14，也就是AB+BF+DF+AD＝14，即ED+BE+EF+DF+AD＝14，又BE＝AD＝2，可得ED+EF+DF＝10，进而求出答案． 【详解】解：由平移的性质可知，BE＝CF＝AD＝2，AB＝DE，AC＝DF， ∵四边形ABFD的周长为14， ∴AB+BF+DF+AD＝14， 即ED+BE+EF+DF+AD＝14， ∴ED+2+EF+DF+2＝14， ∴ED+EF+DF＝10， 即△DEF的周长为10， 故答案为：10． 【点睛】本题考查平移性质，掌握平移前后对应线段平行且相等是解决问题的关键． 18. 如图，已知ACBD，BC平分∠ABD，CE平分∠DCM，且BC⊥CE．则下列结论：①CB平分∠ACD，②ABCD，③∠A＝∠BDC，④点P是线段BE上任意一点，则∠APM＝∠BAP+∠PCD．正确的是______． 【答案】①②③ 【解析】 【分析】根据平行线的判定与性质和角平分线的定义逐一进行判断即可． 【详解】解：如图， ∵ACBD， ∵∠2＝∠3 ∵BC平分∠ABD， ∴∠1＝∠2， ∴∠1＝∠3， ∵CE平分∠DCM， ∴∠4＝∠5， ∵BC⊥CE． ∴∠4+∠6＝90°， ∴∠5+∠6＝90°， ∵∠3+∠5＝90°， ∴∠3＝∠6， ∴CB平分∠ACD，故①正确； ∴∠1＝∠6， ABCD，故②正确； ∴四边形ABCD是平行四边形， ∴∠A＝∠BDC，故③正确； 如图，点P是线段BE上任意一点， ∵AB与PC不平行，CD与PM不平行， ∴∠BAP≠∠APC，∠PCD≠∠CPM， ∴∠APM≠∠BAP+∠PCD．故④不正确． 所以正确的是①②③． 故答案为：①②③． 【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，解决本题的关键是掌握平行线的判定与性质． 三、解答题（写出必要的解答过程，共66分） 19. 解方程组 （1）； （2）． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）根据加减消元法，两式相加消去，求得，再代入求得，即可求解； （2）根据加减消元法，消去，求得，再代入求得，即可求解． 【详解】解：（1）， ①+②，得4x＝24， 解得：x＝6， 把x＝6代入①，得6+y＝7， 解得：y＝1， 所以方程组的解是； （2）， ①×2﹣②，得7x＝70， 解得：x＝10， 把x＝10代入②，得10﹣2y＝﹣10， 解得：y＝10， 所以方程组的解是． 【点睛】此题主要考查了加减消元法求解二元一次方程组，熟练掌握二元一次方程租的求解方法是解题的关键． 20. 分解因式： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止． （1）先提公因式，再根据完全平方公式继续分解即可； （2）先提公因式，再根据平方差公式继续分解即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 21. 先化简，再求值：（3x+2）（3x﹣2）﹣5x（x﹣1）﹣（2x+1）2，其中x=﹣3． 【答案】x﹣5，﹣8． 【解析】 【分析】根据平方差公式、单项式乘多项式和完全平方公式可以化简题目中的式子，然后将x＝−3代入化简后的式子即可解答本题． 【详解】解：（3x+2）（3x﹣2）﹣5x（x﹣1）﹣（2x+1）2 =9x2﹣4﹣5x2+5x﹣4x2﹣4x﹣1 =x﹣5， 当x=﹣3时，原式=﹣3﹣5=﹣8． 【点睛】本题考查整式的混合运算——化简求值，解答本题的关键是明确整式化简求值的方法． 22. 甲、乙两位同学5次数学选拔赛的成绩统计如表，他们5次考试的总成绩相同，请同学们完成下列问题： 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 甲成绩 80 40 70 50 60 乙成绩 70 50 70 a 70 （1）统计表中，_________，；甲同学成绩的中位数是_________乙同学成绩的众数是_________ （2）小颖计算了甲同学的成绩平均数为60，方差是，请你求出乙同学成绩的平均数和方差． （3）从平均数和方差的角度分析，甲、乙两位同学谁的成绩更稳定． 【答案】（1）40，60，70 （2）乙同学成绩的平均数是60，方差是160 （3）乙同学的成绩更稳定 【解析】 【分析】本题考查了中位数和和众数、平均数和方差，熟练掌握各定义和计算公式是解题关键． （1）根据甲、乙同学5次考试的总成绩相同可求出的值，再根据中位数和和众数的定义求解即可得； （2）根据平均数和方差的计算公式求解即可得； （3）根据平均数和方差的意义求解即可得． 【小问1详解】 解：由题意得：， 解得， 将甲同学成绩从小到大进行排序为， 则甲同学成绩的中位数是60， 乙同学成绩中，70出现的次数最多， 所以乙同学成绩的众数是70， 故答案为：40，60，70． 【小问2详解】 解：乙同学成绩的平均数是， 乙同学成绩的方差是． 【小问3详解】 解：因为甲、乙同学成绩的平均数相同，乙同学成绩的方差小于甲同学成绩的方差， 所以乙同学的成绩更稳定． 23. 对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积，可以得到一个数学等式． （1）对于等式，可以由图1进行解释：这个大长方形的长为_________，宽为_________，用长乘以宽可求得其面积．同时，大长方形的面积也等于3个长方形和3个正方形的面积之和． （2）如图2，试用两种不同的方法求它的面积， 方法1：_________ 方法2：_________ 数学等式：_________ （3）利用（2）中得到的数学等式，解决以下问题：已知，，求的值． 【答案】（1）， （2），， （3）19 【解析】 【分析】本题考查了多项式的乘法与图形面积，熟练掌握多项式的乘法法则是解题关键． （1）根据图1即可求出这个大长方形的长与宽； （2）方法1：先求出这个大正方形的边长，再利用正方形的面积公式求解即可得；方法2：根据这个大正方形的面积等于6个长方形和3个正方形的面积之和求解即可得；根据两种方法求出的面积相等即可得出数学等式； （3）将，代入（2）中的数学等式求解即可得． 【小问1详解】 解：由图1可知，这个大长方形的长为，宽为， 故答案为：，． 【小问2详解】 解：方法1：由图2可知，这个大正方形的边长为， 则这个大正方形的面积为． 方法2：因为这个大正方形的面积等于6个长方形和3个正方形的面积之和， 所以这个大正方形的面积为 ． 数学等式为． 故答案为：，，． 【小问3详解】 解：将，代入得：， 即， 解得． 24. 已知：用2辆A型车和1辆B型车装满货物一次可运货10吨；用1辆A型车和2辆B型车装满货物一次可运货11吨．某物流公司现有36吨货物，计划同时租用A型车a辆，B型车b辆，一次运完，且恰好每辆车都装满货物．根据以上信息，解答下列问题： （1）1辆A型车和1辆B型车都装满货物一次可分别运货多少吨？ （2）请你帮该物流公司设计租车方案． 【答案】（1）1辆A型车和1辆B型车都装满货物一次可分别运货3吨，4吨；（2）故共有四种租车方案，分别为：①A型车0辆，B型车9辆；②A型车4辆，B型车6辆；③A型车8辆，B型车3辆；④A型车12辆，B型车0辆． 【解析】 【分析】（1）设1辆A型车和1辆B型车都装满货物一次可分别运货x吨，y吨，根据“用2辆A型车和1辆B型车装满货物一次可运货10吨；用1辆A型车和2辆B型车装满货物一次可运货11吨”，即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）由（1）的结论结合某物流公司现有36吨货物，即可得出3a+4b=36，即，由a、b均为整数即可得出租车方案． 【详解】解：（1）设1辆A型车和1辆B型车都装满货物一次可分别运货x吨，y吨， 根据题意得：， 解得：， 答：1辆A型车和1辆B型车都装满货物一次可分别运货3吨，4吨； （2）由题意可得：3a+4b=36， ∴， ∵a，b均为整数， ∴有、、和四种情况， 故共有四种租车方案，分别为： ①A型车0辆，B型车9辆 ②A型车4辆，B型车6辆； ③A型车8辆，B型车3辆； ④A型车12辆，B型车0辆． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）根据等量关系，列出关于x、y的二元一次方程组；（2）由（1）的结论结合共运货36吨，找出3a+4b=36． 25. 如图，在长方形中，，点在边上运动，连接，点关于直线的对称点为． （1）点落在边上，求线段的长； （2）点落在线段上，求线段的长； （3）当点运动到点时，连接．请问是否与平行？若平行，请加以证明，若不平行，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3） 平行，理由： 如图3，方法1：长方形， ， 又三角形沿对折， ，即， 与共底， 所以上的高相等，故过点的高等于过点的高， 即点与点到直线的距离相等， 又点与点在的同一侧， 故； 方法2：三角形沿对折， ， 又长方形， ， 为等腰三角形， ， 又， ， ， 在和中， ， 又 ， 【解析】 【分析】（1）由长方形的性质可得，由折叠的性质可得，因此可得，由此得为等腰直角三角形，于是可得的长. （2）根据折叠性质可得，，利用面积法可证得，则可得的长. （3）方法1：由长方形的性质和折叠的性质可得，由于两个三角形同底，因此它们的高相等，根据“平行线间的距离处处相等”，可得. 方法2：由长方形的性质和折叠的性质可得，再证，由三角形内角和定理和对顶角相等可得，则可得. 【小问1详解】 解：如图1中， ∵四边形是长方形， 点落在边上， 为等腰直角三角形， ． 【小问2详解】 如图2中，点落在线段上， ，即点到的距离为2， ， ， ， ， 的高等于， ， ， . 【小问3详解】 略 【点睛】本题考查了折叠的性质和长方形的性质，等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理等，综合性较强.解题的关键是利用折叠不变性解决问题. 26. 如图1，已知两条直线被直线所截，分别交于点E，点F，平分交于点M，且． （1）判断直线与直线是否平行，并说明理由； （2）如图2，点G是射线上一动点（不与点M，F重合），平分交于点H，过点H作于点N，设． ①当点G在点F的右侧时，若，求的度数； ②当点G在运动过程中，和之间有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并加以证明． 【答案】（1） 解：结论：． 理由：如图1中， ∵平分交于点M， ∴， ∵． ∴， ∴． （2）①80°； ②猜想：或 理由：（1）当点G在F的右侧时， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，∴， ∴． （2）当点G在F的左侧时， ∵， ∴， ∵平分，平分， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 综上所述，或． 【解析】 【分析】（1）根据角平分线的性质及等量代换证明即可． （2）①根据三角形内角和定理得出，根据角平分线的定义，利用平角的定义求出的度数，根据平行线的性质求，即可解决问题．②根据平行线的性质求，利用平角的定义表示的度数，根据角平分线的定义表示即可解决问题． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：①如图2中， ∵， ∴， ∵， ∴． ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴，则， ∵， ∴； ②略 【点睛】本题考查三角形的内角和定理，平行线的性质，角平分线的定义等知识，掌握角平分线的定义以及平行线的性质解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $