精品解析：福建省福州市延安中学2024-2025学年八年级上学期期中数学试卷

福州延安中学2024-2025学年第一学期初二期中考 数学 满分：150分 时间：120分钟 一、选择题（每题只有一个正确选项，每小题4分，共40分） 1. 围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有四千多年的历史，下列由黑白棋子摆成的图案是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形，把一个图形沿某条直线折叠，直线两旁的部分可以完全重合，这个图形就是轴对称图形．解决本题的关键是根据轴对称图形的定义进行判断． 【详解】解：A选项：如下图所示，把图形沿虚线折叠，直线两旁的部分可以完全重合，这个图形是轴对称图形，故A选项符合题意； B选项：把该图形沿任何一条直线折叠直线两旁的部分都不能完全重合，这个图形不是轴对称图形，故B选项不符合题意； C选项：把该图形沿任何一条直线折叠直线两旁的部分都不能完全重合，这个图形不是轴对称图形，故C选项不符合题意； D选项：把该图形沿任何一条直线折叠直线两旁的部分都不能完全重合，这个图形不是轴对称图形，故D选项不符合题意； 故选：A． 2. 设等腰三角形的一边长为5，另一边长为10，则其周长为（ ） A. 25 B. 20 C. 15或25 D. 20或25 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的定义、三角形三边关系，熟练掌握三角形两边之和大于第三边是解此题的关键．分两种情况：当腰为5时，当腰为10时，利用三角形三边关系判断是否构成三角形，再根据三角形周长公式计算即可得到答案． 【详解】解：当腰为5时， ， 不能构成三角形， 当腰为10时， ， 能构成三角形，周长为：， 故选：A． 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查整式的运算，逐一验证各选项的运算是否正确，依据代数运算法则进行判断即可. 【详解】A、根据完全平方公式，，而选项A缺少项，故错误； B、单项式乘法：系数相乘，字母部分按同底数幂相乘法则计算； ，与选项B一致，故正确； C、与不是同类项，无法直接相减，故错误； D、同底数幂相除法则：，而选项D结果为，故错误； 故选B 4. 如图，在中，是高，是中线，若，，则的长为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】直接利用三角形面积公式求得，再根据中线的性质即可求解． 【详解】解：∵，，即， ∴ ∵是中线，即点是的中点， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查三角形面积和中线的性质，解题的关键是熟练掌握三角形面积公式求得． 5. 为了丰富学生的课外活动，在周一班会课中，班主任张老师设置抢凳子游戏，有A、B、C三名选手站在一个三角形的三个顶点位置上，要求在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平，则凳子应放的最适当的位置是在的（ ） A. 三边中线交点 B. 三条角平分线交点 C. 三边垂直平分线的交点 D. 三边上高的交点 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，根据垂直平分线上的点到线段的端点距离相等的性质进行分析，即可作答． 【详解】解：∵A、B、C三名选手站在一个三角形的三个顶点位置上，要求在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平， ∴凳子应放的最适当的位置是在的三边垂直平分线的交点， 故选：C 6. 在正方形网格中，的位置如图所示，到两边距离相等的点应是( ) A. 点 B. 点 C. 点 D. 点 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质，网格与勾股定理，全等三角形的性质与判定，证明平分是解题的关键．证明，则根据全等三角形的对应角相等得到，根据角平分线的性质即可求解． 【详解】解：如图，连接， 根据网格得出，， 在与中 ∴， ∴， 即平分 ∴到两边距离相等的格点应是点， 故选A 7. 若，则实数a、b的符号为（ ） A. a、b同为正 B. a、b同为负 C. a、b异号且绝对值大的为正 D. a、b异号且绝对值大的为负 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查多项式乘多项式法则，将左边，对比两边，相同项的系数相同，可得，，即可得到，，且，即可解答． 【详解】解：将左边式子展开可得，， ∴，， ∴，，且， ∴a、b异号且绝对值大的为负， 故选：D． 8. 在下面的正方形分割方案中，可以验证的图形是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了完全平方公式的几何应用，解题关键是能根据图形准确列出整式，根据图形进行列式表示图形的面积即可得出答案． 【详解】解：A 中不存在等量关系，故A不符合题意； 由B可得，故B不符合题意； 由C可得，故C不符合题意； 由D可得，故D符合题意； 故选：D． 9. 如图，课本上给出了小明一个画图的过程，这个画图过程说明的事实是（ ） A. 两个三角形的两条边和夹角对应相等，这两个三角形全等 B. 两个三角形的两个角和其中一角的对边对应相等，这两个三角形全等 C. 两个三角形的两条边和其中一边对角对应相等，这两个三角形不一定全等 D. 两个三角形的两个角和夹边对应相等，这两个三角形不一定全等 【答案】C 【解析】 【分析】根据全等三角形的判定进行判断即可． 【详解】解：根据作图可知：两个三角形的两条边和其中一边对角对应相等，其中角的对边不确定，可能有两种情况，故三角形不能确定， 所以两个三角形的两条边和其中一边对角对应相等，这两个三角形不一定全等， 故选：C． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定，熟知三角形全等的判定是解题的关键． 10. 如图，在中，于点，交于点．若，则与之间的数量关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定及性质及30°直角三角形性质、完全平方式因式分解；由等腰三角形性质知，结合，可得，，从而得出，，即可知，得，代入已知面积，再利用完全平方公式变形可得答案． 【详解】解：在中，，， ， ，， ， ∴ 又， ∴， ∴， ∴， ，， ∴， ∴ 又∵，， ∴， ∴， ∴ 故选：B． 二、填空题（每小题4分，共24分） 11. 点关于x轴对称点的坐标为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查求关于轴对称的点的坐标．根据关于轴对称的点的特征：横坐标相同，纵坐标互为相反数，即可得解． 【详解】解：点关于轴的对称点的坐标为， 故答案为：． 12. 若正多边形的每一个内角等于140°，则这个正多边形的边数是_______． 【答案】9 【解析】 【分析】此题主要考查了多边形的外角与内角，做此类题目，首先求出正多边形的外角度数，再利用外角和定理求出求边数．首先根据求出外角度数，再利用外角和定理求出边数． 【详解】∵正多边形的一个内角是140°， ∴它的一个外角是：180°-140°=40°， ∵多边形的外角和为360°， ∴这个正多边形的边数是：360°÷40°=9． 故答案为：9． 13. 如图，，，，，点E为的重心，则的长是_____． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了三角形重心的性质，直角三角形的性质，勾股定理，延长交于点D，先利用勾股定理求出，再根据三角形重心的性质得到，，即可求解． 【详解】解：延长交于点D， ∵，，， ∴， ∵点E为的重心， ∴是的中线， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 14. 已知，，则________． 【答案】27 【解析】 【分析】根据完全平方公式变形可得，代入求解即可． 【详解】，，， ， 故答案为：27． 【点睛】本题考查了完全平方公式的运用，代入求值，熟练掌握知识点是解题的关键． 15. 如图，是的高，的平分线交于点G，则的值为___________． 【答案】2 【解析】 【分析】在上取点，使，连接，证明，计算即可． 【详解】解：在上取点，使，连接， ， ， ，， 由三角形内角和定理得，， ， ， 是的平分线， ， ， 在中，， ， ， ，， ， ， ， ， ，即， 故答案为：2． 【点睛】本题考查了三角形内角和，角平分线，垂直平分线的性质，三线合一，等腰三角形的判定和性质，掌握相应定理，熟练转化角和边的关系是解题的关键． 16. 如图，中，平分，，，，，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意延长CE交AB于K，由 ，平分，由等腰三角形的性质，三线合一得，利用角平分线性质定理，分对边的比等于邻边的比，结合外角平分性质和二倍角关系可得． 【详解】如图，延长CE交AB于K， ，平分，等腰三角形三线合一的判定得 ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】考查了三线合一判定等腰三角形，等腰三角形的性质，角平分线定理，外角的性质，以及二倍角的角度关系代换，熟记几何图形的性质，定理，判定是解题的关键． 三、解答题（共96分） 17. 计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】本题考查了整式的乘法运算，实数的混合运算，涉及完全平方公式，平方差公式的运算，正确掌握相关性质是解题的关键． （1）先化简乘方、零次幂，利用乘法分配律计算，再运算加减，即可作答； （2）先计算积的乘方，单项式乘单项式，再合并即可作答； （3）运用平方差公式和完全平方公式展开运算，即可作答； （4）去括号合并同类项，即可作答． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ； 【小问3详解】 解：原式 ； 【小问4详解】 解：原式 ． 18. 因式分解： （1）； （2）． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键； （1）利用完全平方公式分解因式即可； （2）先提取公因式，再利用平方差公式分解因式即可． 【小问1详解】 【小问2详解】 19. 在中，，是的高，是的角平分线，求的度数． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查三角形的内角和定理，角平分线，直角三角形的两个锐角互余． 由三角形的内角和定理，结合已知可得的度数，从而可得和的度数，相减即可得的度数． 【详解】解：∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵是的高， ∴， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴， 20. 在平面直角坐标系中的位置如图所示，其中每个小正方形的边长为1个单位长度． （1）画出关于y轴对称的，并直接写出各顶点的坐标； （2）直接写出的面积是______； （3）在y轴上找一点P，使的和最小（标出点P即可，不用求点P坐标）． 【答案】（1）画图见解析，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为； （2） （3）画图见解析 【解析】 【分析】本题考查了作轴对称图形，坐标与图形，掌握轴对称的性质是解题的关键． （）根据轴对称的性质分别确定的对称点即可作出所求图形，根据图形即可写出各顶点的坐标即可； （）利用割补法计算即可求解； （）如图，连接，与轴交于点，则点即为所求． 【小问1详解】 解：如图，即为所求作的图形， ； 由图形可得，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为； 【小问2详解】 解：的面积是； 【小问3详解】 解：如图，连接，与轴交于点，则点即为所求． 理由如下：由轴对称的性质可得： ， ∴， 此时最小． 21. 根据下列命题画出图形，写出已知、求证，并完成证明过程． 命题：等腰三角形两腰的高相等． 已知：如图，______________________． 求证：____________． 证明： 【答案】 已知：如图，中，和是和边上的高． 求证：． 证明：∵如图，在中，，且． ∵， ∴ ∵ ∴ 在与中， ， ∴ ∴． 【解析】 【分析】本题考查了命题证明及全等三角形的判定及性质，等腰三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定及性质是解题的关键，根据命题证明的步骤，根据题意画出图形，写出已知，求证，进而根据等腰三角形性质和全等三角形的判定及性质证明即可。 【详解】略． 22. 如图，，O为内部的一点，连接． （1）作线段关于直线对称的线段，分别是；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）求证：M，C，N三点在同一条直线上． 【答案】（1） 解：图形如图所示： （2） 证明：∵关于对称， ， ∵关于对称， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∴共线． 【解析】 【分析】（1）根据要求作出图形， （2）证明即可， 本题考查轴对称，解题的关键是掌握轴对称变换的性质． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 23. 在有理数范围内定义一种新运算，规定（a为常数），若． （1）求； （2）设，，试比较M，N的大小； （3）无论m取何值，都成立，求此时t的值． 【答案】（1）2 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先确定定义中的a值，后代入计算即可． （2）先根据定义，化简M，N，再进行大小比较即可． （3）先根据定义，化简，再根据等式成立与m无关计算即可． 【小问1详解】 ∵，且， ∴， 解得， ∴， ∴． 【小问2详解】 ∵，且，， ∴，， ∴ ， ∵， ∴． 【小问3详解】 ，且， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵无论m取何值，都成立， ∴， 解得， ∴， 解得． 【点睛】本题考查了实数的新定义运算，正确理解新定义法则是解题的关键． 24. 在前面的学习中，我们通过对同一面积的不同表达和比较，利用图①和图②发现并验证了平方差公式和完全平方公式，不仅更清晰地“看到”公式的结构，同时感受到这样的抽象代数运算也有直观的背景．这种利用面积关系解决问题的方法，使抽象的数量关系因几何直观而形象化． 请你利用上述方法解决下列问题： （1）请写出图（1）、图（2）、图（3）所表示的代数恒等式． （2）试画出一个几何图形，使它的面积能表示． （3）提出问题：，……是一些十位数字相同，且个位数字之和是10的两个两位数相乘的算式，是否可以找到一种速算方法？ 几何建模：用矩形的面积表示两个正数的乘积，以为例： ①画长为47，宽为43的矩形，如图③，将这个的矩形从右边切下长40，宽3的一条，拼接到原矩形的上面． ②分析：几何建模步骤原矩形面积可以有两种不同的表达方式，的矩形面积或的矩形与右上角3×7的矩形面积之和，即，用文字表述的速算方法是：十位数字4加1的和与4相乘，再乘以100，加上个位数字3与7的积，构成运算结果． 请你参照上述几何建模步骤，计算，要求画出示意图，写出几何建模步骤（标注有关线段）． （4）归纳提炼：两个十位数字相同，并且个位数字之和是10的两位数相乘的速算方法是（用文字表述）： ，证明上述速算方法的正确性． 【答案】（1）图（1）：，图（2）：，图（3）： （2）见解析 （3）见解析 （4）十位数字加1的和与十位数字相乘，再乘以100，加上两个个位数字的积，构成运算结果，证明见解析 【解析】 【分析】本题考查了代数式、图形和数字规律的知识；解题的关键是熟练掌握代数式、图形和数字规律的性质，从而完成求解． （1）结合题意，根据长方形和正方形面积、代数式的性质分析，即可得到答案； （2）结合题意，根据长方形和正方形面积、代数式的性质分析，即可得到答案； （3）根据题意，根据图形和数字规律的性质分析，即可得到答案； （4）根据拓展运用的结论，根据数字规律的性质分析，根据题意与整式的运算法则即可验证． 【小问1详解】 解：根据题意，图（1）所表示的代数恒等式：， 图（2）所表示的代数恒等式： 图（3）所表示的代数恒等式：； 【小问2详解】 解：根据题意，几何图形如图所示： 【小问3详解】 解：示意图如下： 用文字表述的速算方法是：十位数字5加1的和与5相乘，再乘以100，加上个位数字3与7的积，构成运算结果，即； 【小问4详解】 解：十位数字加1的和与十位数字相乘，再乘以100，加上两个个位数字的积，构成运算结果； 故答案为：十位数字加1的和与十位数字相乘，再乘以100，加上两个个位数字的积，构成运算结果． 证明：设两个十位数字相同，并且个位数字之和是10的两位数的十位数为a，个位数分别是b和 则这两个数为分别为：， ∴这两个数的乘积为：； 即十位数字加1的和与十位数字相乘，再乘以100，加上两个个位数字的积， 故速算方法正确． 25. 如图所示，直线交轴正半轴于点，交轴负半轴于点，且是轴负半轴上一点，连接． （1）如图1，若于点，且交于点，求证：； （2）如图2，在（1）的基础上，连接，求证：； （3）若，点为的中点，点为轴上一动点，连接，过作交轴于点，当点在轴上运动的过程中，之间有何数量关系？为什么？ 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中， ， ∴； （2） 证明：如图所示，过点作，则， ∴四边形是矩形， 由（1）可得，且， ∴， ∴， ∴矩形是正方形， ∵是对角线， ∴； （3） 解：已知点， ，且， ∴， ∵， ∴，则， ∴， ∴， 第一种情况，如图所示，点在轴正半轴上，连接， ∵，，点是中点， ∴，即，， ∴， ∴，，即， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，即； 第二种情况，如图所示，点在上时， 同理可得，， ∴， ∴， ∴， ∴； 第三种情况，如图所示，点在点的下方， 同理可得，，， ∴， ∴； 综上所述，或或． 【解析】 【分析】（1）根据垂直的性质，对顶角相等的性质可得，运用“角边角”的证明方法即可求证； （2）如图所示，过点作，可证四边形是矩形，由（1）的全等可得，证明矩形是正方形，且是对角线，由正方形的性质即可求证； （3）根据题意可得，根据动点的运动，分类讨论：第一种情况，点在轴正半轴上，连接，可证明，得，由，即可求解；第二种情况，点在上时，可证，得，由∴，即可求证；第三种情况，点在点的下方，同理可证，，由，即可求解；图形结合分析即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【点睛】本题主要考查坐标与图形，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，几何图形面积的设计方法，掌握平面直角坐标系中点坐标的特点，全等三角形的判定和性质，图形结合分析思想是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 福州延安中学2024-2025学年第一学期初二期中考 数学 满分：150分 时间：120分钟 一、选择题（每题只有一个正确选项，每小题4分，共40分） 1. 围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有四千多年的历史，下列由黑白棋子摆成的图案是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 设等腰三角形的一边长为5，另一边长为10，则其周长为（ ） A. 25 B. 20 C. 15或25 D. 20或25 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在中，是高，是中线，若，，则的长为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 4 5. 为了丰富学生的课外活动，在周一班会课中，班主任张老师设置抢凳子游戏，有A、B、C三名选手站在一个三角形的三个顶点位置上，要求在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平，则凳子应放的最适当的位置是在的（ ） A. 三边中线交点 B. 三条角平分线交点 C. 三边垂直平分线的交点 D. 三边上高的交点 6. 在正方形网格中，的位置如图所示，到两边距离相等的点应是( ) A. 点 B. 点 C. 点 D. 点 7. 若，则实数a、b的符号为（ ） A. a、b同为正 B. a、b同为负 C. a、b异号且绝对值大的为正 D. a、b异号且绝对值大的为负 8. 在下面的正方形分割方案中，可以验证的图形是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，课本上给出了小明一个画图的过程，这个画图过程说明的事实是（ ） A. 两个三角形的两条边和夹角对应相等，这两个三角形全等 B. 两个三角形的两个角和其中一角的对边对应相等，这两个三角形全等 C. 两个三角形的两条边和其中一边对角对应相等，这两个三角形不一定全等 D. 两个三角形的两个角和夹边对应相等，这两个三角形不一定全等 10. 如图，在中，于点，交于点．若，则与之间的数量关系是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题4分，共24分） 11. 点关于x轴对称点的坐标为________． 12. 若正多边形的每一个内角等于140°，则这个正多边形的边数是_______． 13. 如图，，，，，点E为的重心，则的长是_____． 14. 已知，，则________． 15. 如图，是的高，的平分线交于点G，则的值为___________． 16. 如图，中，平分，，，，，则__________． 三、解答题（共96分） 17. 计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 18. 因式分解： （1）； （2）． 19. 在中，，是的高，是的角平分线，求的度数． 20. 在平面直角坐标系中的位置如图所示，其中每个小正方形的边长为1个单位长度． （1）画出关于y轴对称的，并直接写出各顶点的坐标； （2）直接写出的面积是______； （3）在y轴上找一点P，使的和最小（标出点P即可，不用求点P坐标）． 21. 根据下列命题画出图形，写出已知、求证，并完成证明过程． 命题：等腰三角形两腰的高相等． 已知：如图，______________________． 求证：____________． 证明： 22. 如图，，O为内部的一点，连接． （1）作线段关于直线对称的线段，分别是；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）求证：M，C，N三点在同一条直线上． 23. 在有理数范围内定义一种新运算，规定（a为常数），若． （1）求； （2）设，，试比较M，N的大小； （3）无论m取何值，都成立，求此时t的值． 24. 在前面的学习中，我们通过对同一面积的不同表达和比较，利用图①和图②发现并验证了平方差公式和完全平方公式，不仅更清晰地“看到”公式的结构，同时感受到这样的抽象代数运算也有直观的背景．这种利用面积关系解决问题的方法，使抽象的数量关系因几何直观而形象化． 请你利用上述方法解决下列问题： （1）请写出图（1）、图（2）、图（3）所表示的代数恒等式． （2）试画出一个几何图形，使它的面积能表示． （3）提出问题：，……是一些十位数字相同，且个位数字之和是10的两个两位数相乘的算式，是否可以找到一种速算方法？ 几何建模：用矩形的面积表示两个正数的乘积，以为例： ①画长为47，宽为43的矩形，如图③，将这个的矩形从右边切下长40，宽3的一条，拼接到原矩形的上面． ②分析：几何建模步骤原矩形面积可以有两种不同的表达方式，的矩形面积或的矩形与右上角3×7的矩形面积之和，即，用文字表述的速算方法是：十位数字4加1的和与4相乘，再乘以100，加上个位数字3与7的积，构成运算结果． 请你参照上述几何建模步骤，计算，要求画出示意图，写出几何建模步骤（标注有关线段）． （4）归纳提炼：两个十位数字相同，并且个位数字之和是10的两位数相乘的速算方法是（用文字表述）： ，证明上述速算方法的正确性． 25. 如图所示，直线交轴正半轴于点，交轴负半轴于点，且是轴负半轴上一点，连接． （1）如图1，若于点，且交于点，求证：； （2）如图2，在（1）的基础上，连接，求证：； （3）若，点为的中点，点为轴上一动点，连接，过作交轴于点，当点在轴上运动的过程中，之间有何数量关系？为什么？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $