精品解析：湖南省衡阳市衡阳县第一中学2025届高三上学期11月期中考试数学试题

衡阳县一中2025届高三上学期期中考试 数 学 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 已知集合，则（    ） A. B. C. D. 2. 已知复数，则表示的点所在象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 已知命题：，；：，.均为真命题，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 已知，且与垂直，则与的夹角为（ ） A. 60° B. 30° C. 135° D. 45° 5. 椭圆，若椭圆上存在不同的两点关于直线对称，则实数的取值范围（ ） A. B. C. D. 6. 某学校组织学生开展研学旅行，准备从4个甲省景区，3个乙省景区，2个丙省景区中任选4个景区进行研学旅行，则所选的4个景区中甲、乙、丙三个省的景区都有的概率是（ ） A. B. C. D. 7. 沙漏是古代的一种计时仪器，根据沙子从一个容器漏到另一容器的时间来计时．如图，沙漏可视为上下两个相同的圆锥构成的组合体，下方的容器中装有沙子，沙子堆积成一个圆台，若该沙漏高为6，沙子体积占该沙漏容积的，则沙子堆积成的圆台的高（ ） A. 1 B. C. D. 8. 已知函数在上有且仅有两个零点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分） 9. 造型可以做成美丽的丝带，将其看作图中的曲线C的一部分，已知C过坐标原点O，且C上的点满足横坐标大于，到点的距离与到定直线的距离之积为1，则（ ） A. B. 点在C上 C. C在第一象限点的纵坐标的可以为 D. 当点在C上时， 10. 如图，边长为1的正方形所在平面与正方形在平面互相垂直，动点分别在正方形对角线和上移动，且，则下列结论中正确的有（ ） A. ，使 B. 线段存在最小值，最小值为 C. 直线与平面所成的角恒为45° D. ，都存在过且与平面平行的平面 11. 设正项等比数列的公比为q，前n项和为，前n项积为，则下列选项正确的是（ ） A. B. 若，则 C. 若，则当取得最小值时， D. 若，则 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分） 12. 已知，则的最小值为______． 13. 已知某三棱台的高为，上、下底面分别为边长为和的正三角形，若该三棱台的各顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为__________． 14. 已知，若互不相等，且，则的范围是_______． 四、解答题（本题共5小题，共77分） 15. 已知数列和等比数列，，若的最大项和最小项分别是中的和的值． （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列的前n项和． 16. 如图，在四棱锥中，平面平面，，，，，，． （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）在棱上是否存在点，使得平面？若存在，求的值；若不存在，说明理由． 17. 在学校食堂就餐成为了很多学生的就餐选择.学校为了解学生食堂就餐情况，在校内随机抽取了100名学生，其中男生和女生人数之比为1∶1，现将一周内在食堂就餐超过3次的学生认定为“喜欢食堂就餐”，不超过3次的学生认定为“不喜欢食堂就餐”.“喜欢食堂就餐”的人数比“不喜欢食堂就餐”人数多20人，“不喜欢食堂就餐”的男生只有10人. 男生 女生 合计 喜欢食堂就餐 不喜欢食堂就餐 10 合计 100 （1）将上面的列联表补充完整，并依据小概率值的独立性检验，分析学生喜欢食堂就餐是否与性别有关； （2）该校甲同学逢星期二和星期四都在学校食堂就餐，且星期二会从①号、②号两个套餐中随机选择一个套餐，若星期二选择了①号套餐，则星期四选择①号套餐的概率为；若星期二选择了②号套餐，则星期四选择①号套餐的概率为，求甲同学星期四选择②号套餐的概率. 参考公式：，其中. 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 18. 如图，已知椭圆过点，焦距为；斜率为的直线与椭圆相交于异于点的，两点，且直线PM，PN均不与轴垂直. （1）求椭圆的方程； （2）若，求MN的方程； （3）记直线PM的斜率为，直线PN的斜率为，证明：为定值. 19. 已知函数. （1）当时，求在点处的切线方程； （2）讨论的单调性； （3）若有三个不相等的零点，且在点处切线的斜率为，求的取值范围及的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 衡阳县一中2025届高三上学期期中考试 数 学 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 已知集合，则（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】化简集合，根据交集运算得解. 【详解】由，可得，解得， ，又， 所以， 故选：D． 2. 已知复数，则表示的点所在象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【解析】 【分析】先利用复数的除法运算求出，从而得到判断其表示的点所在象限即可. 【详解】， 所以，所以表示的点所在象限是第一象限， 故选：A 3. 已知命题：，；：，.均为真命题，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】，分和，结合开口方向，根的判别式得到不等式，求出为真命题，需满足，再利用根的判别式得到为真命题，需满足，求交集得到答案. 【详解】恒成立， 当时，，满足要求， 当时，需满足，解得， 故为真命题，需满足， ，，则，解得， 故为真命题，需满足， 综上，的取值范围为 故选：D 4. 已知，且与垂直，则与的夹角为（ ） A. 60° B. 30° C. 135° D. 45° 【答案】D 【解析】 【分析】由向量垂直及数量积的运算律求得，根据向量的夹角公式求夹角的大小. 【详解】由题设， 所以，而， 所以. 故选：D 5. 椭圆，若椭圆上存在不同的两点关于直线对称，则实数的取值范围（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设，中点为，利用点差法结合条件可得点，根据在椭圆内部，进而即得． 【详解】椭圆，即：， 设椭圆上两点关于直线对称，中点为， 则，， 所以， 所以，所以， 代入直线方程得，即， 因为在椭圆内部，所以， 解得 ， 即的取值范围是． 故选：B． 6. 某学校组织学生开展研学旅行，准备从4个甲省景区，3个乙省景区，2个丙省景区中任选4个景区进行研学旅行，则所选的4个景区中甲、乙、丙三个省的景区都有的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设相应事件，利用组合数求，结合古典概型运算求解. 【详解】设样本空间为，则， 设所选的4个景区中甲、乙、丙三个省的景区都有为事件A， 则， 所以. 故选：B. 7. 沙漏是古代的一种计时仪器，根据沙子从一个容器漏到另一容器的时间来计时．如图，沙漏可视为上下两个相同的圆锥构成的组合体，下方的容器中装有沙子，沙子堆积成一个圆台，若该沙漏高为6，沙子体积占该沙漏容积的，则沙子堆积成的圆台的高（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意转化为圆锥的体积公式，以及高的关系，即可求解. 【详解】设沙漏下半部分的圆锥的容积为，沙子堆成的圆台体积为， 该圆锥内沙子上方的剩余空间体积为．由题意可知，即， 则，则下半部分圆锥剩余空间的高为圆锥高的一半，即沙子堆成的圆台的高为圆锥高的一半，即圆台的高为． 故选：B 8. 已知函数在上有且仅有两个零点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据条件，利用平方关系和倍角公式，得到，令，得到或，再结合条件，即可求出结果. 【详解】因为， 令，则，令，得到， 所以或，令，得到或，令，得到或， 又在上有且仅有两个零点，所以在上有且仅有两个零点， 所以，得到， 故选：B. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分） 9. 造型可以做成美丽的丝带，将其看作图中的曲线C的一部分，已知C过坐标原点O，且C上的点满足横坐标大于，到点的距离与到定直线的距离之积为1，则（ ） A. B. 点在C上 C. C在第一象限点的纵坐标的可以为 D. 当点在C上时， 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据可得即可判断A，将以及代入曲线方程即可判断BC，根据即可判断D. 【详解】对于A，因为在曲线上，所以到的距离为，而，所以有，故，故A正确， 对于B，因为曲线的方程为，代入知满足方程；故B正确， 对于C，由，将代入方程满足，故在曲线上，故C正确， 对于D，曲线的方程为，可化为， 即，因为，故D错误， 故选：ABC． 【点睛】关键点点睛：根据到的距离为，而，得，得曲线方程. 10. 如图，边长为1的正方形所在平面与正方形在平面互相垂直，动点分别在正方形对角线和上移动，且，则下列结论中正确的有（ ） A. ，使 B. 线段存在最小值，最小值为 C. 直线与平面所成的角恒为45° D. ，都存在过且与平面平行的平面 【答案】AD 【解析】 【分析】利用向量的线性运算可得，结合向量的模的计算可判断B的正误，结合向量夹角的计算可判断C的正误，结合共面向量可判断D的正误. 【详解】因为四边形正方形，故， 而平面平面，平面平面， 平面，故平面，而平面， 故. 设，则，其中， 由题设可得， ， 对于A，当即时，，故A正确； 对于B， ， 故，当且仅当即时等号成立，故，故B错误； 对于C，由B的分析可得， 而平面的法向量为且， 故，此值不是常数， 故直线与平面所成的角不恒为定值，故C错误； 对于D，由B的分析可得，故为共面向量， 而平面，故平面，故D正确； 故选：AD 11. 设正项等比数列的公比为q，前n项和为，前n项积为，则下列选项正确的是（ ） A. B. 若，则 C. 若，则当取得最小值时， D. 若，则 【答案】AB 【解析】 【分析】由前n项和的定义以及等比数列性质分析判断A；由题意结合等比数列性质分析判断B；根据题意结合基本不等式知：当且仅当时，取得最小值，进而可得结果判断C；举反例说明即可D. 【详解】由数列为正项等比数列，得， 对于A， ，即，A正确； 对于B，由，得，则，B正确； 对于C，由，得，当且仅当时取等号， 若取得最小值，则，即，解得，C错误； 对于D，例如，则，， 得， 而，，则，即，符合题意，但，D错误. 故选：AB 【点睛】关键点点睛：本题判断选项D的真假，构造符合条件的数列，计算判断是关键. 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分） 12. 已知，则的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据用1的活用，结合常值代换应用基本不等式计算即可. 【详解】， 当且仅当，即， 即当时等号成立. 故答案为： 13. 已知某三棱台的高为，上、下底面分别为边长为和的正三角形，若该三棱台的各顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为__________． 【答案】 【解析】 【分析】求出三棱台上下底面正三角形外接圆的半径，确定球心位置，结合球的截面圆性质求出球半径，再由球的表面积公式可得结果. 【详解】依题意，该三棱台为正三棱台，设为三棱台，如图， 上底面正外接圆的半径是，为正外接圆圆心， 下底面正外接圆的半径是，为正外接圆圆心， 由正三棱台的性质知，其外接球的球心在直线上，令该球半径为， 于是，或，解得， 所以球的表面积是． 故答案为： 14. 已知，若互不相等，且，则的范围是_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据函数的单调性得出的关系及范围，然后利用对勾函数的性质得出结论． 【详解】函数在，上单调递减，在上单调递增，，， 画出的图象，如图， 令，由，得，，， 由，得，即，由，得， 于是，由对勾函数性质知，在上递增，则， 所以的范围是． 故答案为： 四、解答题（本题共5小题，共77分） 15. 已知数列和等比数列，，若的最大项和最小项分别是中的和的值． （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列的前n项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）结合函数的单调性得到数列的最大项和最小项，解出，可得等比数列的通项公式； （2）用错位相减法求数列的前n项和 【小问1详解】 由题意，， 结合函数的单调性， 可知， 所以数列中的最大项为，最小项为， 所以，即， 所以等比数列的公比，所以 【小问2详解】 ， ， ， 两式相减得： ， 故. 16. 如图，在四棱锥中，平面平面，，，，，，． （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）在棱上是否存在点，使得平面？若存在，求的值；若不存在，说明理由． 【答案】（1）证明：因为平面平面，且平面平面， 因为，所以平面， 又因为平面，所以， 又因为，且，平面； 所以平面； （2）； （3）存在，． 【解析】 【分析】（1）由面面垂直性质定理知平面；根据线面垂直性质定理可知，再由线面垂直判定定理可知平面； （2）取的中点，连结，，以为坐标原点建立空间直角坐标系，利用向量法可求出直线与平面所成角的正弦值； （3）假设存在，根据三点共线，设，根据平面，即，求的值，即可求出的值． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 取的中点，连结，， 因为，所以； 又因为平面，平面平面， 所以平面； 因为平面，所以； 因为，所以； 如图建立空间直角坐标系，由题意得， ， 设平面的法向量为，则 即， 令，则； 所以； 又，所以， 所以直线与平面所成角的正弦值为． 【小问3详解】 设是棱上一点，则存在使得． 因此点，． 因为平面，所以平面当且仅当， 即，解得． 所以在棱上存在点使得平面，此时． 考点：1.空间垂直判定与性质；2.异面直线所成角的计算；3.空间向量的运用． 17. 在学校食堂就餐成为了很多学生的就餐选择.学校为了解学生食堂就餐情况，在校内随机抽取了100名学生，其中男生和女生人数之比为1∶1，现将一周内在食堂就餐超过3次的学生认定为“喜欢食堂就餐”，不超过3次的学生认定为“不喜欢食堂就餐”.“喜欢食堂就餐”的人数比“不喜欢食堂就餐”人数多20人，“不喜欢食堂就餐”的男生只有10人. 男生 女生 合计 喜欢食堂就餐 不喜欢食堂就餐 10 合计 100 （1）将上面的列联表补充完整，并依据小概率值的独立性检验，分析学生喜欢食堂就餐是否与性别有关； （2）该校甲同学逢星期二和星期四都在学校食堂就餐，且星期二会从①号、②号两个套餐中随机选择一个套餐，若星期二选择了①号套餐，则星期四选择①号套餐的概率为；若星期二选择了②号套餐，则星期四选择①号套餐的概率为，求甲同学星期四选择②号套餐的概率. 参考公式：，其中. 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】（1） 列联表见图， 男生 女生 合计 喜欢食堂就餐 40 20 60 不喜欢食堂就餐 10 30 40 合计 50 50 100 生喜欢食堂就餐与性别有关. （2） 【解析】 【分析】（1）补充完善列联表，进行独立性检验即可. （2）利用条件概率公式结合全概率公式求解即可. 【小问1详解】 喜欢食堂就餐的人数为，则不喜欢的人数为人， 则不喜欢食堂就餐的女生为人，因为男女生人数比为1∶1， 则男女生各50人，则喜欢堂食就餐的女生为人， 喜欢堂食就餐的男生为人， 则列联表见图， 男生 女生 合计 喜欢食堂就餐 40 20 60 不喜欢食堂就餐 10 30 40 合计 50 50 100 零假设:假设食堂就餐与性别无关， 由列联表可得， 根据小概率的独立性检验推断不成立， 即可以得到学生喜欢食堂就餐与性别有关. 【小问2详解】 记事件：小林同学星期二选择了①号套餐， 事件：小林同学星期四选择了②号套餐, 由全概率公式可得 18. 如图，已知椭圆过点，焦距为；斜率为的直线与椭圆相交于异于点的，两点，且直线PM，PN均不与轴垂直. （1）求椭圆的方程； （2）若，求MN的方程； （3）记直线PM的斜率为，直线PN的斜率为，证明：为定值. 【答案】（1） （2） （3）证明：直线，均不与轴垂直，所以，，则且， 所以 ， 所以为定值． 【解析】 【分析】（1）根据条件列方程组求解即可； （2）设直线的方程为，与椭圆联立，由弦长公式求得的方程； （3）将韦达定理代入中计算结果为定值． 【小问1详解】 由椭圆过点，焦距为， 得，解得， 故椭圆的方程为． 【小问2详解】 设直线的方程为，，， 联立，消去得， 由，得， 则． ， 解得或， 当时，直线的方程为； 当时，直线经过点，不符合题意，舍去． 所以当时，的方程为． 【小问3详解】 略 【点睛】方法点睛： 解答直线与圆锥曲线的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系，涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形，强化有关直线与圆锥曲线联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题． 19. 已知函数. （1）当时，求在点处的切线方程； （2）讨论的单调性； （3）若有三个不相等的零点，且在点处切线的斜率为，求的取值范围及的值. 【答案】（1） （2） 当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在，上单调递增. （3），0 【解析】 【分析】（1）利用导数求得，确定切点，可求切线方程； （2）求得，分和两种情况讨论，即可求得函数的单调区间； （3）由（2）知，函数的单调性，根据函数有三个零点，结合函数的单调性和极值，列出不等式组，可求的取值范围，由有三个不相等的零点，不妨设，求导可求的值. 【小问1详解】 当时，，， 切点为，切线斜率， 故切线方程为， 即切线方程为. 【小问2详解】 ， 当时，恒成立，所以在上单调递增； 当时，令，得， 令，得，令，得或， 所以在上单调递减，在，上单调递增. 【小问3详解】 由（2）知，有三个零点，则，且， 即，解得， 当时，，且， 所以在上有唯一一个零点， 同理，， 所以在上有唯一一个零点， 又在上有唯一一个零点，所以有三个零点， 综上可知的取值范围为， 由有三个不相等的零点， 不妨设，其中， 则， 则 . 【点睛】方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法： （1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用； （2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题； （3）参变量分离法：由分离变量得出，将问题等价转化为直线与函数的图象的交点问题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $