精品解析：天津市第四十七中学2024-2025学年高一上学期11月期中考试数学试题

天津市第四十七中学2024-2025第一学期高一年级 期中考试 数学试卷 一、选择题：共9小题，每小题5分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 设集合，集合，那么“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 若函数为幂函数，且在区间上单调递增，则（ ） A. B. 3 C. 或3 D. 2或 4. 下列命题中正确的是（ ） A. 对于命题，使得，则，均有 B. 在其定义域内既是奇函数又是增函数 C. 任意，不等式恒成立，则的范围是 D. 函数且的图象恒过定点 5. 已知函数，其中为奇函数，若，则（ ） A. 2017 B. 2018 C. 2023 D. 2022 6. 已知函数是定义域为R的偶函数，且对任意，,，当时总有，则满足的的范围是（　　） A. B. C. D. 7. 已知正数a，b满足，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 8. 若定义运算，，则函数的值域为（ ） A. B. R C. D. 9. 已知函数，若方程有且仅有三个不等实根，则实数k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 10. 函数的定义域为__________. 11. 求的值是____. 12. 函数的值域是______. 13. 已知函数，满足对任意的实数，都有成立，则实数的取值范围为______. 14. 若正数，满足，则的最小值为______；当且仅当______时取得最小值． 15. 定义在上的函数满足，且当时，，若对任意的，不等式恒成立，则实数的最大值为_____. 三、解答题：本大题共5个小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. 已知集合. （1）当时，求； （2）若集合为非空集合且，求实数的取值范围； （3）若，求实数的取值范围. 17. 函数， （1）若的解集是或，求实数，的值； （2）当时，若，求实数的值； （3），若，求的解集. 18. 已知函数是定义在上的奇函数，且 （1）求、的值及的解析式； （2）用定义法证明函数在上单调递增； （3）若不等式恒成立，求实数的取值范围． 19. 已知是二次函数，且满足． （1）求函数的解析式； （2）设函数，求在区间上的最小值的表达式． （3）在（2）的条件下，对任意的，存在，使得成立，求的取值范围． 20. 已知函数． （1）当，，时，求函数的值域； （2）若，存在，使，求的取值范围； （3）若存在，使，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 天津市第四十七中学2024-2025第一学期高一年级 期中考试 数学试卷 一、选择题：共9小题，每小题5分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先由不等式解出集合，再求交集即可； 【详解】由， 又因为，所以， 得. 故选：D. 2. 设集合，集合，那么“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】D 【解析】 【分析】首先解分式不等式与绝对值不等式分别求出集合、，再根据充分条件、必要条件的定义判断即可； 【详解】解：由等价于，解得，即，由，即，解得，所以，所以推不出，由也推不出，故“”是“”的既不充分也不必要条件； 故选：D 3. 若函数为幂函数，且在区间上单调递增，则（ ） A. B. 3 C. 或3 D. 2或 【答案】A 【解析】 【分析】由幂函数及单调性列出满足的条件求解即可. 【详解】函数为幂函数，且在区间上单调递增， 所以，解得， 故选：A 4. 下列命题中正确的是（ ） A. 对于命题，使得，则，均有 B. 在其定义域内既是奇函数又是增函数 C. 任意，不等式恒成立，则的范围是 D. 函数且的图象恒过定点 【答案】D 【解析】 【分析】根据全称量词命题的否定可判断A，利用幂函数的性质可判断B，分和两种情况，结合二次函数分析求解可判断C，根据指数函数性质可判断D. 【详解】对A，因为全称量词命题的否定为存在量词命题知： 命题，使得，则，均有，错误； 对B，因为，其定义域为，其不关于原点对称， 故函数不具有奇偶性，错误； 对C，若关于x的不等式在恒成立， 当即时，则不等式恒成立，符合题意； 当即时，则，解得； 综上所述：的取值范围为，错误； 对D，因为函数且，令，可得， 即函数图象恒过定点，正确； 故选：D. 5. 已知函数，其中为奇函数，若，则（ ） A. 2017 B. 2018 C. 2023 D. 2022 【答案】A 【解析】 【分析】构造，应用奇偶性定义判断奇偶性，再应用奇偶性求. 【详解】令，则，又为奇函数， 所以，即为奇函数，则， 所以，又， 所以. 故选：A 6. 已知函数是定义域为R的偶函数，且对任意，,，当时总有，则满足的的范围是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据条件判断函数的单调性，结合函数奇偶性和单调性的关系将不等式进行转化求解即可． 【详解】任意，,，当时总有， 在,上是增函数， 又是定义域为的偶函数， 故在,上是减函数． 由可得． 所以，解得， 即不等式的解集为,， 故选：A． 7. 已知正数a，b满足，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由，得到，再利用“1”的代换求解. 【详解】解：因为， 所以， 所以， 当且仅当，即，时，等号成立． 故选：C 8. 若定义运算，，则函数的值域为（ ） A. B. R C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据定义表示出，然后求取分段函数的值域； 【详解】，即， 当， 当或时，， 所以函数的值域为. 故选：A. 9. 已知函数，若方程有且仅有三个不等实根，则实数k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用指数函数图像及反比例函数图象，通过数形结合可得出参数范围. 【详解】在同一平面直角坐标系中画出的图象及直线，如图所示， 由图可知，要使方程有且仅有三个不等实根， 即的图象与直线有三个不同的公共点， 则只需. 故选：B 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 10. 函数的定义域为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据分母不为零和偶次根号下非负可得函数的定义域. 【详解】由题意得： ，   ． 故答案为： 11. 求的值是____. 【答案】2 【解析】 【分析】根据根式及分数指数幂化简求解即可. 【详解】+1+ 1+2 =2． 故答案为：2. 12. 函数的值域是______. 【答案】 【解析】 【分析】利用二次函数性质、指数函数性质求出值域即得. 【详解】依题意，，当且仅当时取等号，而函数在R上单调递减， 因此， 所以函数的值域是. 故答案为： 13. 已知函数，满足对任意的实数，都有成立，则实数的取值范围为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据分段函数的单调性列式求解. 【详解】对任意的实数，都有成立， 所以函数在R上为减函数，可得，解得， 所以实数a的取值范围为. 故答案为： 14. 若正数，满足，则的最小值为______；当且仅当______时取得最小值． 【答案】 ①. 4 ②. 2 【解析】 【分析】基本不等式的使用条件“一正二定三相等”把 当成一个整体，把转化成，解出关于的不等式，利用基本步不等式成立的条件，可以得b的值. 【详解】把 当成一个整体,利用基本不等式 ， 所以，原式得 化简得， 解出关于的一元二次方程（舍掉）或所以最小值为4 当且仅当时取等号， 解得（舍掉）或， 所以 故答案为：4；2. 15. 定义在上的函数满足，且当时，，若对任意的，不等式恒成立，则实数的最大值为_____. 【答案】 【解析】 【分析】 由已知条件可知，当时，为减函数，再由偶函数的性质将，可化为，进而可得，化简得，从而得，可求出的范围，从而可得其最大值 【详解】解：因为在上的函数满足， 所以为偶函数， 因为当时，， 所以在上为减函数， 因为，为偶函数， 所以，所以， 两边平方化简得，， 因为对任意的，不等式恒成立， 所以，解得， 所以实数的最大值为， 故答案为： 【点睛】关键点点睛：此题考查偶函数性质的应用，解题的关键是利用偶函数的性质将对任意的，不等式恒成立，转化为，从而可得结果 三、解答题：本大题共5个小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. 已知集合. （1）当时，求； （2）若集合为非空集合且，求实数的取值范围； （3）若，求实数的取值范围. 【答案】（1）； （2） （3）. 【解析】 【分析】（1）当时，得到，结合集合交集，并集和补集的运算，即可求解； （2）根据题意，得到，列出不等式组，即可求解； （3）由，分和，两种情况讨论，列出不等式组，即可求解. 【小问1详解】 解：当时，可得集合，因为， 所以，或， 则. 【小问2详解】 解：由集合为非空集合且，可得， 则满足，解得，即实数的取值范围为. 【小问3详解】 解：由集合，且， 当时，则满足，解得，此时满足； 当时，则满足或，解得或， 综上可得，实数的取值范围为. 17. 函数， （1）若的解集是或，求实数，的值； （2）当时，若，求实数的值； （3），若，求的解集. 【答案】（1）， （2） （3）当时，不等式的解集为或； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为或； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 【解析】 【分析】（1）根据三个二次的关系可求参数的值. （2）先求出，再根据代数式恒相等可求的值. （3）原不等式即为，就不同情形分类讨论后可得不等式的解. 【小问1详解】 不等式的解集为或， ，且的两根为，， ，，，. 【小问2详解】 ， 得，. 【小问3详解】 ，， 即， （1）当时， （2）当时，则， ①当时，； ②当时，若，即时，或 ， 若，即时， ； 若，即时，或 ； 综上所述：当时，不等式的解集为或； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为或； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 18. 已知函数是定义在上的奇函数，且 （1）求、的值及的解析式； （2）用定义法证明函数在上单调递增； （3）若不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）；； （2） 且， 所以 ， 因为，所以，，， 所以，即， 所以函数在上单调递增. （3）. 【解析】 【分析】（1）由由题意可得，解方程即可求出、的值及的解析式； （2）由增函数的定义证明即可； （3）由题意可得，再结合的单调性和定义域列出关于的不等式，解不等式即可得出答案. 【小问1详解】 由题意可得：，则，解得：， 所以，经检验满足题设. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 不等式恒成立，即， 因为函数是定义在上的奇函数， 所以， 又因为函数在上单调递增， 所以，解得：， 所以实数的取值范围为：. 19. 已知是二次函数，且满足． （1）求函数的解析式； （2）设函数，求在区间上的最小值的表达式． （3）在（2）的条件下，对任意的，存在，使得成立，求的取值范围． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解； （2）求出的对称轴为，然后进行分类讨论求解； （3）将问题转化为，求出，然后得到不等式，对进行分类讨论求解． 【小问1详解】 设， 又 即， ， 解得， 即， 【小问2详解】 由题意得，， 则二次函数的对称轴为， 若时，，当时，的最小值为； 若时，，当时，的最小值为； 若时，，当时，的最小值为； 所以； 【小问3详解】 在（2）的条件下，对任意的，存在， 使得成立， 即， 作如下图形： 故是单调递减函数， ，当时，， 当时，， ， ， ， 因为 所以时取最大值， 所以不等式， 解得：或； 综上所述：或． 【点睛】本题考查了求解二次函数的解析式，分段函数的解析式及最值问题、不等式中恒成立问题，利用分类讨论的思想及转化思想求解是关键． 20. 已知函数． （1）当，，时，求函数的值域； （2）若，存在，使，求的取值范围； （3）若存在，使，求的最小值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用换元令，将函数转化为二次函数，根据二次函数求最值，即可得函数的值域； （2）存在，使，转化为含参方程有解，参变分离后得，根据函数单调性求函数的取值范围，即得的取值范围； （3）若存在，使，则得，将转化为关于的二次函数，根据二次函数求最小值为，再根据其单调性得最小值. 【小问1详解】 解：，，则，， 令，则，则在上单调递增 所以，故函数的值域为； 【小问2详解】 解：由有 即， 所以 令，，，则单调递增 所以， 【小问3详解】 解：令，， 所以 令，则在上递增，所以. 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $