海南省海口市龙华区华侨中学2024-2025学年九年级上学期期中数学试卷

2024-2025学年海南省海口市龙华区华侨中学九年级（上）期中数学试卷 一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。 1．（3分）如果收入200元记作+200元，那么支出50元记作（　　） A．+150元 B．﹣150元 C．+50元 D．﹣50元 2．（3分）若代数式x+7的值为1，则x的值为（　　） A．6 B．﹣6 C．8 D．﹣8 3．（3分）下列运算正确的是（　　） A． B．3a2﹣2a2＝a2 C．（a2）3＝a5 D．2a2•3a＝6a2 4．（3分）2014年超强台风“威马逊”给海南省的文昌和海口以重创，估算造成直接经济损失达43700000000元人民币．这笔款额用科学记数法表示正确的是（　　） A．0.473×1011 B．4.4×1010 C．4.37×1010 D．43.7×109 5．（3分）分式方程的解是（　　） A．x＝1 B．x＝﹣1 C．x＝2 D．x＝﹣2 6．（3分）抛物线y＝x2+1先向左平移2个单位，再向下平移1个单位，所得的抛物线解析式为（　　） A．y＝x2+4x+4 B．y＝x2﹣4x+4 C．y＝x2﹣4x+3 D．y＝x2+4x+5 7．（3分）如图，直线l∥m，将含有45°角的三角板ABC的直角顶点C放在直线m上，若∠1＝25°，则∠2的度数为（　　） A．20° B．25° C．30° D．35° 8．（3分）如图，在△ABC中，D，E，F分别是边AB，AC，BC上的点，DE∥BC且EF∥AB，AD：DB＝2：3，那么BF：FC的值为（　　） A．2：3 B．2：5 C．3：5 D．5：7 9．（3分）如图，菱形ABCD的边长为4，∠A＝45°，分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点，直线MN交AD于点E，连接CE，则CE的长是（　　） A． B． C． D． 10．（3分）如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴相交于A（﹣1，0），B两点，对称轴是直线x＝1，下列说法正确的是（　　） A．a＞0 B．当x＞﹣1时，y的值随x值的增大而增大 C．点B的坐标为（4，0） D．4a+2b+c＞0 11．（3分）如图，矩形纸片ABCD中，AB＝4，BC＝6，将△ABC沿AC折叠，使点B落在点E处，CE交AD于点F，则DF的长等于（　　） A． B． C． D． 12．（3分）如图1，在矩形ABCD中，动点P从点B出发，沿矩形的边由B→C→D→A运动，设点P运动的路程为x，△ABP的面积为y，把y看作x的函数，函数的图象如图2所示，则△ABC的面积为（　　） A．15 B．16 C．20 D．30 二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。 13．（3分）因式分解：a3﹣4a＝　 　． 14．（3分）已知一元二次方程x2﹣6x+c＝0的一个根为x1＝2，另一根x2＝ 　 　． 15．（3分）函数y＝x2﹣6x+8（0≤x≤4）的最大值为 　 　． 16．（3分）如图，在正方形ABCD中，AF⊥BG，BG⊥CH，CH⊥DE，DE⊥AF垂足分别是F，G，H，E，∠ABF＞∠BAF． （1）若点F为GB的中点，则＝ 　 　； （2）连接BE，若，正方形EFGH与正方形ABCD的面积之比为1：n，则n＝ 　 　． 三、解答题：本题共6小题，共72分。 17．（12分）（1）计算：； （2）解不等式组． 18．（10分）如图，在长为100m，宽为50m的矩形空地上修筑四条宽度相等的小路（阴影部分），若余下的部分全部种上花卉，且花圃的面积是3600m2，求小路的宽是多少？ 19．（10分）如图，已知△ABC中，AB＝AC，BC＝5，D为AB上一点，CD＝4，BD＝3． （1）求证：∠BDC＝90°； （2）求AC的长． 20．（10分）某广场的声控喷泉是由若干个垂直于地面的柱形喷泉装置组成的．每个柱形喷泉装置上都有上下两个喷头，这两个喷头朝向一致，喷出的水流均呈抛物线型．当围观游人喊声较小时，下喷头喷水；当围观游人喊声较大时，上下两个喷头都喷水．如图所示，点A和点B是一个柱形喷泉装置OB上的两个喷头，A喷头喷出的水流的落地点为C．以O为原点，以OC所在直线为x轴，OB所在直线为y轴，建立平面直角坐标系．（柱形喷泉装置的粗细忽略不计） 已知：OA＝1m，OB＝2m，OC＝3m，从A喷头和B喷头各喷出的水流的高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系式分别是y＝﹣x2+bx+c和y＝﹣x2+bx+c'； （1）求A喷头喷出的水流的最大高度； （2）一名游人站在点D处，OD＝4m．当围观游人喊声较大时，B喷头喷出的水流是否会落在该游人所站的点D处？ 21．（16分）已知：二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，其中A点坐标为（﹣3，0），与y轴交于点C，点D（﹣2，﹣3）在抛物线上． （1）求抛物线的解析式； （2）抛物线的对称轴上有一点P，使△PAD周长最小，求P点坐标； （3）Q为直线BD下方抛物线上一点，求△BDQ面积的最大值； （4）抛物线的对称轴上有一动点M，当△MAD是以AD边为腰的等腰三角形时，直接写出M点坐标． 22．（14分）在平面内，把一个图形绕着一个定点旋转一定的角度，可以将这个图形转换到另一个位置，从而易于解题．请你阅读学习这种旋转变换方法，并运用其解答问题： （1）如图1，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝∠BCD＝90°，AE⊥BC于E，求证：AE＝EC； 证明：∵AB＝AD，可将图1中的△ABE绕点A逆时针旋转90°，得到△ADE′，如图2，请你利用图2完成第（1）题； （2）根据第（1）题的数学活动经验，尝试用旋转变换解答下面的问题； ①如图3，在直角△ABC中，D为斜边AB上一点，AD＝2，BD＝1，四边形DECF是正方形，设△ADE和△BDF的面积分别为S1，S2，求S1+S2的值； ②如图4，已知：∠ACB＝90°，∠BAC＝60°，AC＝1，∠APB＝∠BPC＝∠APC，求PA+PB+PC的值． 2024-2025学年海南省海口市龙华区华侨中学九年级（上）期中数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。 1．（3分）如果收入200元记作+200元，那么支出50元记作（　　） A．+150元 B．﹣150元 C．+50元 D．﹣50元 【答案】D 【分析】在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．“正”和“负”相对，所以，如果收入200元记作+200元，那么支出50元记作﹣50元． 【解答】解：因为正”和“负”相对，所以，如果收入200元记作+200元，那么支出50元记作﹣50元． 故选：D． 2．（3分）若代数式x+7的值为1，则x的值为（　　） A．6 B．﹣6 C．8 D．﹣8 【答案】B 【分析】根据题意列出方程解出x的值即可求出答案． 【解答】解：由题意可知：x+7＝1， ∴x＝﹣6， 故选：B． 3．（3分）下列运算正确的是（　　） A． B．3a2﹣2a2＝a2 C．（a2）3＝a5 D．2a2•3a＝6a2 【答案】B 【分析】根据合并同类二次根式的方法可以判断A；根据合并同类项的方法可以判断B；根据幂的乘方可以判断C；根据单项式乘单项式的方法可以判断D． 【解答】解：2﹣＝，故选项A不符合题意； 3a2﹣2a2＝a2，故选项B正确，符合题意； （a2）3＝a6，故选项C错误，不符合题意； 2a2•3a＝6a3，故选项D错误，不符合题意； 故选：B． 4．（3分）2014年超强台风“威马逊”给海南省的文昌和海口以重创，估算造成直接经济损失达43700000000元人民币．这笔款额用科学记数法表示正确的是（　　） A．0.473×1011 B．4.4×1010 C．4.37×1010 D．43.7×109 【答案】C． 【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数． 【解答】解：43700000000＝4.37×1010． 故选：C． 5．（3分）分式方程的解是（　　） A．x＝1 B．x＝﹣1 C．x＝2 D．x＝﹣2 【答案】A 【分析】观察式子可得最简公分母为2（x+1）．方程两边同乘最简公分母，转化为整式方程求解．结果要检验． 【解答】解：方程两边乘2（x+1），得：2x＝x+1， 解得x＝1．将x＝1代入2（x+1）＝4≠0． ∴方程的解为x＝1．故选A． 6．（3分）抛物线y＝x2+1先向左平移2个单位，再向下平移1个单位，所得的抛物线解析式为（　　） A．y＝x2+4x+4 B．y＝x2﹣4x+4 C．y＝x2﹣4x+3 D．y＝x2+4x+5 【答案】A 【分析】直接利用二次函数图象的平移规律“左加右减，上加下减”解题即可． 【解答】解：∵左加右减，上加下减， ∴抛物线y＝x2+1先向左平移2个单位，再向下平移1个单位，所得的抛物线解析式为y＝（x+2）2+1﹣1＝x2+4x+4，即y＝x2+4x+4， 故选：A． 7．（3分）如图，直线l∥m，将含有45°角的三角板ABC的直角顶点C放在直线m上，若∠1＝25°，则∠2的度数为（　　） A．20° B．25° C．30° D．35° 【答案】A 【分析】首先过点B作BD∥l，由直线l∥m，可得BD∥l∥m，由两直线平行，内错角相等，即可求得答案∠4的度数，又由△ABC是含有45°角的三角板，即可求得∠3的度数，继而求得∠2的度数． 【解答】解：过点B作BD∥l， ∵直线l∥m， ∴BD∥l∥m， ∴∠4＝∠1＝25°， ∵∠ABC＝45°， ∴∠3＝∠ABC﹣∠4＝45°﹣25°＝20°， ∴∠2＝∠3＝20°． 故选：A． 8．（3分）如图，在△ABC中，D，E，F分别是边AB，AC，BC上的点，DE∥BC且EF∥AB，AD：DB＝2：3，那么BF：FC的值为（　　） A．2：3 B．2：5 C．3：5 D．5：7 【答案】A 【分析】由EF∥AB，得BF：FC＝AE：EC，由DE∥BC，AE：EC＝AD：DB，所以BF：FC＝AD：DB＝2：3，于是得到问题的答案． 【解答】解：∵EF∥AB， ∴BF：FC＝AE：EC， ∵DE∥BC， ∴AE：EC＝AD：DB， ∴BF：FC＝AD：DB＝2：3， ∴BF：FC的值为2：3， 故选：A． 9．（3分）如图，菱形ABCD的边长为4，∠A＝45°，分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点，直线MN交AD于点E，连接CE，则CE的长是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接BE，如图，利用基本作图得到MN垂直平分AB，则根据线段垂直平分线的性质得到EA＝EB，再证明△AEB为等腰直角三角形，则BE＝2，接着根据菱形的性质得到AB＝BC＝4，AD∥BC，所以∠EBC＝∠AEB＝90°，然后利用勾股定理可计算出CE的长． 【解答】解：连接BE，如图， 由作法得MN垂直平分AB， ∴EA＝EB， ∴∠EBA＝∠A＝45°， ∴∠AEB＝90°， ∴△AEB为等腰直角三角形， ∴BE＝AB＝2， ∵四边形ABCD为菱形， ∴AB＝BC＝4，AD∥BC， ∴∠EBC＝∠AEB＝90°， 在Rt△BCE中，CE＝＝＝2． 故选：C． 10．（3分）如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴相交于A（﹣1，0），B两点，对称轴是直线x＝1，下列说法正确的是（　　） A．a＞0 B．当x＞﹣1时，y的值随x值的增大而增大 C．点B的坐标为（4，0） D．4a+2b+c＞0 【答案】D 【分析】由抛物线开口方向可判断A，根据抛物线对称轴可判断B，由抛物线的轴对称性可得点B的坐标，从而判断C，由（2，4a+2b+c）所在象限可判断D． 【解答】解：A、由图可知：抛物线开口向下，a＜0，故选项A错误，不符合题意； B、∵抛物线对称轴是直线x＝1，开口向下， ∴当x＞1时y随x的增大而减小，x＜1时y随x的增大而增大，故选项B错误，不符合题意； C、由A（﹣1，0），抛物线对称轴是直线x＝1可知，B坐标为（3，0），故选项C错误，不符合题意； D、抛物线y＝ax2+bx+c过点（2，4a+2b+c），由B（3，0）可知：抛物线上横坐标为2的点在第一象限， ∴4a+2b+c＞0，故选项D正确，符合题意； 故选：D． 11．（3分）如图，矩形纸片ABCD中，AB＝4，BC＝6，将△ABC沿AC折叠，使点B落在点E处，CE交AD于点F，则DF的长等于（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据折叠的性质得到AE＝AB，∠E＝∠B＝90°，易证Rt△AEF≌Rt△CDF，即可得到结论EF＝DF；易得FC＝FA，设FA＝x，则FC＝x，FD＝6﹣x，在Rt△CDF中利用勾股定理得到关于x的方程x2＝42+（6﹣x）2，解方程求出x． 【解答】解：∵矩形ABCD沿对角线AC对折，使△ABC落在△ACE的位置， ∴AE＝AB，∠E＝∠B＝90°， 又∵四边形ABCD为矩形， ∴AB＝CD， ∴AE＝DC， 而∠AFE＝∠DFC， ∵在△AEF与△CDF中， ， ∴△AEF≌△CDF（AAS）， ∴EF＝DF； ∵四边形ABCD为矩形， ∴AD＝BC＝6，CD＝AB＝4， ∵Rt△AEF≌Rt△CDF， ∴FC＝FA， 设FA＝x，则FC＝x，FD＝6﹣x， 在Rt△CDF中，CF2＝CD2+DF2，即x2＝42+（6﹣x）2，解得x＝， 则FD＝6﹣x＝． 故选：B． 12．（3分）如图1，在矩形ABCD中，动点P从点B出发，沿矩形的边由B→C→D→A运动，设点P运动的路程为x，△ABP的面积为y，把y看作x的函数，函数的图象如图2所示，则△ABC的面积为（　　） A．15 B．16 C．20 D．30 【答案】A 【分析】解本题需注意一定的面积值相对应的距离可以有2个．找到对应的点，找出准确反映y与x之间对应关系的图象，需分析在不同阶段中y随x变化的情况． 【解答】解：由图2知： 当动点P由B→C时，点P运动的路程为5， ∴BC＝5， 当x＝5和x＝11时，△ABP的面积相等， ∴CD＝6， ∴S△ABC＝CD×BC＝15， 故选：A． 二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。 13．（3分）因式分解：a3﹣4a＝　a（a+2）（a﹣2）　． 【答案】见试题解答内容 【分析】首先提取公因式a，进而利用平方差公式分解因式得出即可． 【解答】解：a3﹣4a＝a（a2﹣4）＝a（a+2）（a﹣2）． 故答案为：a（a+2）（a﹣2）． 14．（3分）已知一元二次方程x2﹣6x+c＝0的一个根为x1＝2，另一根x2＝ 　4　． 【答案】4． 【分析】根据x1+x2＝6且x1＝2可得答案． 【解答】解：由题意知x1+x2＝6， ∵x1＝2， ∴x2＝4， 故答案为：4． 15．（3分）函数y＝x2﹣6x+8（0≤x≤4）的最大值为 　8　． 【答案】8． 【分析】把函数化为顶点式求出对称轴，根据二次函数的性质即可求出函数的最大值． 【解答】解：y＝x2﹣6x+8＝（x﹣3）2﹣1， ∵|0﹣3|＞|3﹣4|，1＞0， ∴在0≤x≤4，x＝0时，函数值最大，最大值为8． 故答案为：8． 16．（3分）如图，在正方形ABCD中，AF⊥BG，BG⊥CH，CH⊥DE，DE⊥AF垂足分别是F，G，H，E，∠ABF＞∠BAF． （1）若点F为GB的中点，则＝ 　　； （2）连接BE，若，正方形EFGH与正方形ABCD的面积之比为1：n，则n＝ 　3　． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）利用正方形的性质和全等三角形的判定与性质得到BF＝GC，然后利用已知条件即可求解； （2）利用（1）可以得到BF＝GC，设BF＝GC＝a，GF＝b，则BG＝a+b，EF＝b，利用已知条件化简得到a2+ab＝b2；利用勾股定理求得正方形ABCD的边长，再利用正方形的面积公式解答即可得出结论． 【解答】解：（1）∵四边形ABCD，EFGH都为正方形， ∴AB＝BC，∠AFB＝∠CGB＝90°，∠ABC＝90°． ∴∠ABF+∠GBC＝90°，∠GBC+∠GCB＝90°， ∴∠ABF＝∠BCG． 在△ABF和△BCG中， ， ∴△ABF≌△BCG（AAS）， ∴BF＝GC， ∵点F为GB的中点， ∴BF＝GF， ∴＝； 故答案为：； （2）∵BF＝CG， ∴设BF＝GC＝a，GF＝b，则BG＝a+b，EF＝b， ∵， ∴＝（）2， ∴a2+ab＝b2． ∵BG2+GC2＝BC2， ∴BC2＝a2+（a+b）2＝2a2+2ab+b2＝3b2， ∴正方形EFGH与正方形ABCD的面积之比为＝＝， ∴n＝3． 故答案为：3． 三、解答题：本题共6小题，共72分。 17．（12分）（1）计算：； （2）解不等式组． 【答案】（1）2； （2）x＜﹣． 【分析】（1）直接利用有理数的乘方运算法则、负整数指数幂的性质、二次根式的乘法运算法则，零指数幂分别化简，进而合并得出答案； （2）分别解不等式，进而得出不等式组的解集． 【解答】解：（1）原式＝1+5﹣3﹣1． ＝2； （2）解不等式①得：x＜3， 解不等式②得：x＜﹣， ∴不等式组的解集是x＜﹣． 18．（10分）如图，在长为100m，宽为50m的矩形空地上修筑四条宽度相等的小路（阴影部分），若余下的部分全部种上花卉，且花圃的面积是3600m2，求小路的宽是多少？ 【答案】见试题解答内容 【分析】设小路的宽是x m，则余下的部分可合成长为（100﹣2x）m，宽为（50﹣2x）m的矩形，根据花圃的面积是3600m2，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【解答】解：设小路的宽是x m，则余下的部分可合成长为（100﹣2x）m，宽为（50﹣2x）m的矩形， 根据题意得：（100﹣2x）（50﹣2x）＝3600， 整理得：x2﹣75x+350＝0， 解得：x1＝5，x2＝70（不符合题意，舍去）， ∴小路的宽是5m． 故答案为：5． 19．（10分）如图，已知△ABC中，AB＝AC，BC＝5，D为AB上一点，CD＝4，BD＝3． （1）求证：∠BDC＝90°； （2）求AC的长． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）根据勾股定理的逆定理判断即可； （2）根据勾股定理求出AC即可． 【解答】（1）证明：∵BC＝5，CD＝4，BD＝3， ∴42+32＝52， ∴∠BDC＝90°； （2）解：在Rt△ADC中，∠ADC＝180°﹣90°＝90°， 依题意有AC2＝（AB﹣3）2+CD2，即AC2＝（AC﹣3）2+42， 解得AC＝． 故AC的长为． 20．（10分）某广场的声控喷泉是由若干个垂直于地面的柱形喷泉装置组成的．每个柱形喷泉装置上都有上下两个喷头，这两个喷头朝向一致，喷出的水流均呈抛物线型．当围观游人喊声较小时，下喷头喷水；当围观游人喊声较大时，上下两个喷头都喷水．如图所示，点A和点B是一个柱形喷泉装置OB上的两个喷头，A喷头喷出的水流的落地点为C．以O为原点，以OC所在直线为x轴，OB所在直线为y轴，建立平面直角坐标系．（柱形喷泉装置的粗细忽略不计） 已知：OA＝1m，OB＝2m，OC＝3m，从A喷头和B喷头各喷出的水流的高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系式分别是y＝﹣x2+bx+c和y＝﹣x2+bx+c'； （1）求A喷头喷出的水流的最大高度； （2）一名游人站在点D处，OD＝4m．当围观游人喊声较大时，B喷头喷出的水流是否会落在该游人所站的点D处？ 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）根据A喷头喷出的水流高度与水平距离的函数关系式，求出y的最大值即可； （2）根据B喷头喷出的水流高度与水平距离的函数关系式，令x＝4，通过计算y的值即可判断． 【解答】解：根据题意，令x＝0，易得c＝1，c'＝2； 令x＝3，y＝﹣x2+bx+c＝﹣3+3b+1＝0，可求得b＝； 因此，A喷头和B喷头各喷出的水流的高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系式分别是y＝﹣x2+x+1和y＝﹣x2+x+2； （1）函数y＝﹣x2+x+1的对称轴为x＝1，此时y＝， 因此，A喷头喷出的水流的最大高度为m； （2）函数y＝﹣x2+x+2，令x＝4，y＝﹣×42+×4+2＝﹣， 因此，B喷头喷出的水流不会落在该游人所站的点D处． 21．（16分）已知：二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，其中A点坐标为（﹣3，0），与y轴交于点C，点D（﹣2，﹣3）在抛物线上． （1）求抛物线的解析式； （2）抛物线的对称轴上有一点P，使△PAD周长最小，求P点坐标； （3）Q为直线BD下方抛物线上一点，求△BDQ面积的最大值； （4）抛物线的对称轴上有一动点M，当△MAD是以AD边为腰的等腰三角形时，直接写出M点坐标． 【答案】（1）y＝x2+2x﹣3； （2）点P（﹣1，﹣2）； （3）； （4）M（﹣1，）或（﹣1，﹣）或（﹣1，﹣6）． 【分析】（1）由待定系数法即可求解； （2）点D关于抛物线的对称轴的对称点为点C，连接AC交抛物线对称轴于点P，则点P为所求点，即可求解； （3）由△BDQ面积＝HQ×（xB﹣xD）＝×（﹣x2﹣x+2）＝﹣（x+）2+≤，即可求解； （4）当AD＝AM时，则10＝m2+4，则m＝±，即可求解；当AD＝MD时，同理可解． 【解答】解：（1）由点C、D的坐标知，C、D关于抛物线对称轴对称， 则抛物线的对称轴为直线x＝（﹣2+0）＝﹣1，则点B（1，0）， 则抛物线的表达式为：y＝（x+3）（x﹣1）＝x2+2x﹣3； （2）点D关于抛物线的对称轴的对称点为点C，连接AC交抛物线对称轴于点P，则点P为所求点， 理由：△PAD周长＝AD+PA+PD＝AD+PA+PC＝AD+AC为最小， 由点A、C的坐标得，直线AC的表达式为：y＝﹣x﹣3， 当x＝﹣1时，y＝﹣2，即点P（﹣1，﹣2）； （3）过点Q作QH∥y轴交BD于点H， 由点B、D的坐标得，直线BD的表达式为：y＝x﹣1， 设点H（x，x﹣1），则点Q（x，x2+2x﹣3）， 则HQ＝﹣x2﹣x+2， 则△BDQ面积＝HQ×（xB﹣xD）＝×（﹣x2﹣x+2）＝﹣（x+）2+≤， 即△BDQ面积的最大值为； （4）设点M（﹣1，m）， 由点A、M、D的坐标得，AD2＝10，AM2＝m2+4，MD2＝1+（m+3）2， 当AD＝AM时，则10＝m2+4，则m＝±， 即点M（﹣1，）或（﹣1，﹣）； 当AD＝MD时， 同理可得：m2+4＝1+（m+3）2， 解得：m＝﹣6， 即点M（﹣1，﹣6）， 综上，M（﹣1，）或（﹣1，﹣）或（﹣1，﹣6）． 22．（14分）在平面内，把一个图形绕着一个定点旋转一定的角度，可以将这个图形转换到另一个位置，从而易于解题．请你阅读学习这种旋转变换方法，并运用其解答问题： （1）如图1，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝∠BCD＝90°，AE⊥BC于E，求证：AE＝EC； 证明：∵AB＝AD，可将图1中的△ABE绕点A逆时针旋转90°，得到△ADE′，如图2，请你利用图2完成第（1）题； （2）根据第（1）题的数学活动经验，尝试用旋转变换解答下面的问题； ①如图3，在直角△ABC中，D为斜边AB上一点，AD＝2，BD＝1，四边形DECF是正方形，设△ADE和△BDF的面积分别为S1，S2，求S1+S2的值； ②如图4，已知：∠ACB＝90°，∠BAC＝60°，AC＝1，∠APB＝∠BPC＝∠APC，求PA+PB+PC的值． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）如图2，易得△ABE≌△ADE'，证明∠ADE'+∠ADC＝180°，即C，D，E'在同一条直线上，根据有三个角相等的四边形是矩形，有一组邻边相等的矩形是正方形得：四边形AECE'为正方形，则AE＝EC； （2）①如图3，将△BDF绕点D逆时针旋转90°，得△DEF'全等后面积相等，得S1+S2＝S△ADF'，根据面积公式可得S△ADF'＝1，从而得结论； ②以点A为旋转中心，将△ABP顺时针旋转60度，得到△ANM，连接BN，PM，易得△ABP≌△ANM，△APM，△ABN均为等边三角形，则C，P，M，N在一条直线上，根据勾股定理求得CN的长，则CP+PB+PA＝CN． 【解答】（1）证明：如图2，易得△ABE≌△ADE'， ∴∠E'＝∠AEB＝90°，∠ADE'＝∠B，∠E'AD＝∠BAE， ∵∠BAD＝∠BCD＝90°， ∴∠B+∠ADC＝180°， ∴∠ADE'+∠ADC＝180°，即C，D，E'在同一条直线上， ∵∠AEC＝∠C＝∠E'＝90°，AE'＝AE， ∴四边形AECE'为正方形， ∴AE＝EC； （2）解：①如图3，将△BDF绕点D逆时针旋转90°，得△DEF'， 易得△DEF'≌△DFB， ∴S1+S2＝S△ADF'， ∵DF'＝BD＝1，S△ADF'＝AD•DF'＝×2×1＝1， ∴S1+S2＝1； ②如图4，以点A为旋转中心，将△ABP顺时针旋转60度，得到△ANM，连接BN，PM，易得△ABP≌△ANM， ∴△APM，△ABN均为等边三角形， ∵∠BAC＝60°，AC＝1， ∴PA＝PM，AN＝AB＝BN＝2，BC＝， ∵∠ABN＝60°， ∴∠CBN＝90°， ∵∠APB＝∠BPC＝∠APC， ∴∠APB＝∠BPC＝∠APC＝120°， ∠APM＝∠AMP＝60°， ∴C，P，M，N在一条直线上， ∵PA＝PM，PB＝MN，CP+PB+PA＝CN， 在直角△BCN中，CN＝＝， ∴PA+PB+PC的值为． 第1页（共1页） 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