浙江省浙里特色联盟2024-2025学年高二上学期期中联考数学试卷

绝密★考试结束前 2024学年第一学期浙里特色联盟期中联考 高二数学学科试题 考生须知： 1.本试题卷共4页，满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号. 3.所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效. 4.考试结束后，只需上交答题卷. 选择题部分 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分.） 1.复数（为虚数单位）的虚部是（ ） A.2024 B.1 C. D. 2.已知圆的标准方程为，则圆心坐标为（ ） A. B. C. D. 3.过点且垂直于直线的直线方程为（ ） A. B. C. D. 4.已知，，且，则的值为（ ） A.1 B.2 C.3 D.4 5.在四面体OABC中，，，，点在OA上，且，为BC的点，且，则等于（ ） A. B. C. D. 6.古希腊数学家阿基米德利用“逼近法”得到粗圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.若粗圆的中心为原点，焦点，均在轴上，的面积为，过点的直线交于点，，且的周长为12.则的标准方程为（ ） A. B. C. D. 7.过点与圆相切的两条直线的夹角为，则（ ） A. B. C. D. 8.已知为椭圆的右焦点，为椭圆上一点，为圆上一点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.每小题列出的四个备选项中有多个是符合题目要求的，全部选对得6分，部分选对得部分分，不选、错选得0分.） 9.已知，分别是椭圆的左，右焦点，为椭圆上的一点，则下列说法正确的是（ ） A. B.椭圆的离心率为 C.直线被椭圆截得的弦长为 D.若，则的面积为4 10.在棱长为1的正方体中，点、分别在线段和上（含端点），则下列命题正确的是（ ） A.MN长的最小值为1 B.四棱锥的体积为定值 C.有且仅有一条直线MN与垂直 D.当点、为线段中点时，则为等腰三角形 11.已知直线，下列说法正确的是（ ） A.直线恒过定点 B.直线与直线垂直，则 C.当点到直线的距离取到最大时，此时 D.直线与圆所截得的最短弦长为1 非选择题部分 三、填空题（本大题共3小题，每个空5分，共15分.） 12.直线的倾斜角大小为___________. 13已知空间向量，，且与互相平行，则实数的值___________. 14.已知右焦点为的椭圆上的三点，，满足直线AB过坐标原点，若于点，且，则的离心率是___________. 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15.已知的顶点，边AB上的中线CM所在直线方程为，边AC上的高BH所在直线方程为，求： （1）顶点的坐标； （2）直线BC的方程. 16.在平面直角坐标系xOy中，圆经过点和点，且圆心在直线上. （1）求圆的标准方程； （2）若直线被圆截得弦长为，求实数的值. 17.如图，正四棱柱中，设，，点在线段上，且. （1）求三棱锥的体积； （2）直线与平面PBD所成角的正弦值. 18.已知为坐标原点，椭圆C：过点，且离心率为，斜率为的直线PQ交椭圆C于P，Q两点. （1）求椭圆C的方程； （2）记以OP，OQ为直径的圆的面积分别为，，的面积为，求的最大值. 19.人脸识别是基于人的脸部特征进行身份识别的一种生物识别技术.主要应用距离测试样本之间的相似度，常用测量距离的方式有3种.设，，则欧几里得距离；曼哈顿距离，余弦距离，其中（为坐标原点）. （1）若，，求，之间的曼哈顿距离和余弦距离； （2）若点，，求的最大值； （3）已知点，是直线上的两动点，问是否存在直线使得，若存在，求出所有满足条件的直线的方程，若不存在，请说明理由. 2024学年第一学期浙里特色联盟期中联考 高二数学参考答案 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1 2 3 4 5 6 7 8 C B C C D A D B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 BCD ABD BC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 13.2 14. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.（13分） 解：（1）因为边AC上的高BH所在直线方程为 ，且， 的顶点， 直线AC方程：，即. 与联立，，解得： 所以顶点的坐标为. （2）因为CM所在直线方程为，故设点的坐标为， 因为是AB中点，，所以， 因为在BH所在直线上， 所以，解得： 所以点坐标为，由第一问知：的坐标为， 故直线BC的方程为，整理得： 16.（15分） （1）由题意可得，，所以中垂线斜率为， MN中点为，所以MN的中垂线方程为，即， 由，所以圆心为，半径， 所以圆的标准方程为： （2）弦长， 所以圆心到直线的距离 ，解得或1. 17.（15分） （1） （2）建立如图所示的空间直角坐标系，，，， ，， 设平面PBD的法向量为 则，， 令，得，，则, 18.（17分） 解：（1）由题意可得：，，而 ，，椭圆方程为. （2）设直线PQ的方程为，，， 由，得， ，即， 则，， 所以， 点O到直线PQ的距离， 所以 又， 所以， 所以， 则当即时，取最大值为. 19.（17分） 解（1） （2）设，，即， 其表示的图形是如图所示的正方形ABCD，即点在正方形ABCD的边上运动 ，，， 当最小，即最大时，最大. 此时，点在点处，， . （3）易知， 设，则 当时，，则，，满足题意； 当时，， 由分段函数性质可知， 又且恒成立， 当且仅当时等号成立. 综上，满足条件的直线有且只有两条，和. 学科网（北京）股份有限公司 $$