精品解析：福建省泉州市鲤城区外国语学校2024-2025学年九年级上学期11月期中数学试题

2024年秋季初三年数学科期中质量监测 考试时间120分钟，满分150分． 命题人：王思远 审核人：陈芳 一、单选题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的． 1. 下列各式中，与是同类二次根式的是（　　） A. B. C. D. 2. 方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（　　） A. B. C. D. 3. 两个相似等腰直角三角形的面积比是，则它们的周长比是（ ） A. B. C. D. 4. 下列运算错误的是（ ） A. B. C. D. 5. 已知为锐角，且，则等于（ ） A. B. C. D. 6. 在中，、，则的长是（ ） A. B. C. D. 或 7. 若关于x的一元二次方程有两个实数根，则k的值可以取（ ） A. B. C. 2 D. 0 8. 如图，随机闭合4个开关，，，中的两个开关，能使小灯泡L发光的概率是（　　） A. B. C. D. 9. 如图，已知和，点在上，交于点，且．若与的面积相等，且，，则等于（ ） A. B. C. 8 D. 10 10. 如图，正方形ABCD的边长为6，点E是BC的中点，连接AE与对角线BD交于点G，连接CG并延长，交AB于点F，连接DE交CF于点H，连接AH．以下结论：①∠DEC＝∠AEB；②CF⊥DE；③AF＝BF；④，其中正确结论的个数是（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分 11. 请写出一个大于2且小于3的二次根式：______． 12. 已知是一元二次方程的一个解，则m的值是___． 13. 若，则______． 14. 已知在中，，，，那么的值是______． 15. 如图，在中，，，为边上的一个动点（不与、重合），连接，则的最小值是______． 16. _____ 三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 计算：． 18. 解方程：． 19. 如图，与交于B，且． （1）求证：； （2）若，，，求的长． 20. 随着《黑神话：悟空》这款融合了中国传统文化精髓与现代游戏技术的力作横空出世，不仅激发了玩家对神话故事的无限遐想，更意外地点燃了公众对山西这片古老土地的热情．游戏中精心选取的27处山西实景，如同一幅幅生动的历史画卷，引领我们穿越时空，感受五千年文明的深厚底蕴．某旅游公司推出“跟着悟空游山西”二日游路线．小明家、小米家利用双休日出去旅游．每次出游只能选一条路线． （1）小米家这周想选A路线，小明家选不到A路线的概率是多少？ （2）如果小明家相约小米家一起出去旅游，两个家庭都从上面四条路线中选一条路线去游玩，请用树状图或列表的方法求出两家选取同一条路线的概率． 21. 如图，在四边形中，，是对角线的中点，连接，，，求证：． 22. 受益于国家支持新能源汽车发展和“一带一路”发展战略等多重利好因素，我市某汽车零部件生产企业的利润逐年提高，据统计，2016年利润为3亿元，2018年利润为4.32亿元． （1）求该企业从2016年到2018年利润的年平均增长率； （2）若2019年保持前两年利润的年平均增长率不变，该企业2019年的利润能否超过5亿元？ 23. 某数学小组在刘老师的指导下测量一建筑物高度，活动报告如下： 活动报告 活动目的 测量建筑物的高度 活动过程 步骤一：设计测量方案（小组讨论后，画出如图的测量示意图） 步骤二：准备测量工具 皮尺、测倾器 步骤三：实地测量并记录数据（，，，在同一平面上，于点） ①建筑物前有一段斜坡，斜坡的坡度； ②在斜坡的底部测得建筑物顶点的仰角为； ③斜坡长52米； ④在点测得建筑物顶点的仰角为． 步骤四：计算建筑物的高度 请结合以上信息完成步骤四：计算建筑物的高度． （参考数据：，，，，）． 24. 定义：我们把关于x的一元二次方程与称为一对“友好方程”．如的“友好方程”是． （1）写出一元二次方程的“友好方程”______． （2）已知一元二次方程的两根为，它的友好方程的两根为、______．根据以上结论，猜想的两根与其“友好方程”的两根之间存在的一种特殊关系为______． （3）已知关于x的方程的两根，请利用（2）中的结论，求出关于x的方程的两根． 25. 【课本再现】 （1）如图1，在中，，，D，E分别是，的中点．求证：，． 【操作发现】 （2）如图2，将图1的先沿着直线翻折得到，再将绕着点F顺时针旋转得到，连接，分别作，的中点D，E，连接．猜想与的关系，并进行证明； 【拓展延伸】 （3）如图3，将（2）中的“旋转”改成“旋转任意角度”，其他条件不变，问DE与的关系是否发生改变？并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年秋季初三年数学科期中质量监测 考试时间120分钟，满分150分． 命题人：王思远 审核人：陈芳 一、单选题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的． 1. 下列各式中，与是同类二次根式的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：A、与被开方数不同，不是同类二次根式； B、与被开方数相同，是同类二次根式； C、与被开方数不同，不是同类二次根式； D、与被开方数不同，不是同类二次根式． 故选B． 2. 方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据一元二次方程的一般形式：，其中分别为：二次项系数、一次项系数、常数项，进行作答即可． 【详解】解：∵， ∴二次项系数、一次项系数和常数项分别是， 故选：C． 3. 两个相似等腰直角三角形的面积比是，则它们的周长比是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的性质：相似三角形周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方．据此即可解答． 【详解】解：∵两个等腰直角三角形相似， ∴两个等腰直角三角形面积的比等于相似比的平方， ∴两个等腰直角三角形相似比为， ∴两个相似三角形周长的比等于相似比，即周长比为2：1， 故选：B． 4. 下列运算错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用二次根式的运算性质分别运算后即可确定错误的选项，从而确定正确的答案． 【详解】解：、，正确，不符合题意； 、，正确，不符合题意； 、，正确，不符合题意； 、，故原式错误，符合题意， 故选：． 【点睛】本题考查了二次根式的运算，解题的关键是了解二次根式的有关的运算性质，难度不大． 5. 已知为锐角，且，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据特殊角的三角函数值即可得出答案. 【详解】∵ ∴ 故选B 【点睛】本题主要考查特殊角的三角函数值，掌握特殊角的三角函数值是解题的关键. 6. 在中，、，则的长是（ ） A. B. C. D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】本题利用勾股定理直角边的平方之和等于斜边平方，分别讨论∠C是否是直角的情况下列式解答即可. 【详解】当∠C=90°时，则，所以C=5；若∠C≠90°时，则，所以C=，故答案选D. 【点睛】本题的关键是掌握勾股定理，技巧是利用勾股定理分类讨论∠C是否为直角的情况列方程解答. 7. 若关于x的一元二次方程有两个实数根，则k的值可以取（ ） A. B. C. 2 D. 0 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式和一元二次方程的定义，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根，据此根据判别式结合二次项系数不为0进行求解即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个实数根， ∴， ∴且， ∴四个选项中只有C选项中的数符合题意， 故选：C． 8. 如图，随机闭合4个开关，，，中的两个开关，能使小灯泡L发光的概率是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用画树状图或列表的方法，得出所有可能出现的结果总数，从中找到符合条件的结果数，进而求出概率即可． 【详解】解：画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中能使小灯泡L发光的结果有：，共8种， ∴能使小灯泡L发光的概率为． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了用树状图或列表法求等可能事件的概率，方法是用树状图或列表法列举出所有可能出现的结果总数，找出符合条件的结果数，用分数表示即可，注意每种情况发生的可能性相等． 9. 如图，已知和，点在上，交于点，且．若与的面积相等，且，，则等于（ ） A. B. C. 8 D. 10 【答案】B 【解析】 【分析】根据已知条件知与四边形的面积相等，再根据，设的面积为，从而求出的面积为，再根据与同高从而求得的长． 【详解】解：∵与的面积相等， ∴与四边形的面积相等， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴面积比， 设的面积为，则四边形的面积， ∵与四边形的面积相等， ∴， ∵与是同高不同底的三角形， ∴面积比等于底之比， ∴， ∴， 故选：B． 【点睛】此题主要考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是利用面积相等来得出线段的长度． 10. 如图，正方形ABCD的边长为6，点E是BC的中点，连接AE与对角线BD交于点G，连接CG并延长，交AB于点F，连接DE交CF于点H，连接AH．以下结论：①∠DEC＝∠AEB；②CF⊥DE；③AF＝BF；④，其中正确结论的个数是（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】证明△ABE≌△DCE，可得结论①正确，由正方形的性质可得AB＝AD＝BC＝CD＝6，BE＝CE＝3，∠DCE＝∠ABE＝90°，∠ABD＝∠CBD＝45°，可证△ABE≌△DCE，△ABG≌△CBG，可得∠BCF＝∠CDE，由余角的性质可得结论②，证明△DCE≌△CBF可得结论③，由勾股定理可求DE的长，由面积法可求CH，由相似三角形的性质可求CF，可得HF的长，即可判断④． 【详解】解：∵四边形ABCD是边长为6的正方形，点E是BC的中点， ∴AB＝AD＝BC＝CD＝6，BE＝CE＝3，∠DCE＝∠ABE＝90°，∠ABD＝∠CBD＝45°， ∴△ABE≌△DCE（SAS） ∴∠DEC＝∠AEB，∠BAE＝∠CDE，DE＝AE，故①正确， ∵AB＝BC，∠ABG＝∠CBG，BG＝BG， ∴△ABG≌△CBG（SAS） ∴∠BAE＝∠BCF， ∴∠BCF＝∠CDE，且∠CDE+∠CED＝90°， ∴∠BCF+∠CED＝90°， ∴∠CHE＝90°， ∴CF⊥DE，故②正确， ∵∠CDE＝∠BCF，DC＝BC，∠DCE＝∠CBF＝90°， ∴△DCE≌△CBF（ASA）， ∴CE＝BF， ∵CE＝BC＝AB， ∴BF＝AB， ∴AF＝FB，故③正确， ∵DC＝6，CE＝3， ∴DE＝， ∵S△DCE＝×CD×CE＝×DE×CH， ∴CH＝， ∵∠CHE＝∠CBF，∠BCF＝∠ECH， ∴△ECH∽△FCB， ∴， ∴CF＝， ∴HF＝CF﹣CH＝， ∴，故④正确， 故选：D． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理等知识，熟练运用这些性质进行推理是本题的关键． 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分 11. 请写出一个大于2且小于3的二次根式：______． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】根据题意得出，，然后取根式即可． 【详解】解：∵，， ∴大于2且小于3的二次根式为（答案不唯一）， 故答案为：（答案不唯一）． 【点睛】题目主要考查二次根式的比较大小，熟练掌握比较大小的方法是解题关键． 12. 已知是一元二次方程的一个解，则m的值是___． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，解决本题的关键是将的值准确代入方程进行计算． 根据一元二次方程的解即可求出的值． 【详解】解：因为是一元二次方程的一个解， 所以， 解得：． 故答案为：2． 13. 若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】由，根据比例的性质，即可求得的值． 【详解】解：， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了比例的性质．此题比较简单，解题的关键是熟练掌握比例的性质与比例变形． 14. 已知在中，，，，那么的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】画出图形，直接利用正弦函数值的定义进行求解即可． 【详解】    在中，，， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角函数值的定义，解题的关键是熟练掌握正弦函数值的定义．正弦函数值等于对边比斜边． 15. 如图，在中，，，为边上的一个动点（不与、重合），连接，则的最小值是______． 【答案】 【解析】 【分析】以A为顶点，为一边，在下方作，过B作于D，交于P，由是等腰直角三角形的，即，故取最小值即是取最小值，此时B、P、D共线，且，的最小值即是的长，根据，，可得，即可得答案． 【详解】解：以A为顶点，为一边，在下方作，过B作于D，交于P，如图： 由作图可知：是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴取最小值即是取最小值，此时B、P、D共线，且，的最小值即是的长， ∵，， ∴， ∴，， ∴的最小值是． 故答案为：． 【点睛】本题考查三角形中的最小路径，解题的关键是作辅助线，把的最小值转化为求的最小值． 16. _____ 【答案】 【解析】 【分析】画出等腰，使，，过点B作的平分线交于点D．易求出，，，从而可证，即得出，设，，则，代入中，再整理，即得出，过点B作于点E．由等腰三角形的性质结合正弦的定义即可求解． 【详解】解：如图，，，过点B作的平分线交于点D． ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． 设，，则． 在和中，， ∴， ∴，即， 整理，得：， 配方，得：， ∴（舍去负值）， ∴， 如图，过点B作于点E． ∵， ∴，， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查等腰三角形的判定和性质，角平分线的定义，三角形外角的性质，三角形相似的判定和性质，求角的正弦值等知识．正确画出图形并作出辅助线是解题关键． 三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】直接利用有理数的乘方，零指数幂的性质、特殊角的三角函数值、二次根式的性质分别化简得出答案． 【详解】解： 【点睛】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键． 18. 解方程：． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程配方法．先把原方程进行化简整理可得：，然后根据解一元二次方程配方法进行计算，即可解答． 【详解】解：， 整理得：， 移项得， 配方得，即， 开方得， 解得，． 19. 如图，与交于B，且． （1）求证：； （2）若，，，求的长． 【答案】（1） 解：证明：，， ； （2）4 【解析】 【分析】（1）根据两组边对应成比例，且夹角相等即可证明； （2）根据相似三角形的性质解答即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ， ， ，，， ， ． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的性质是本题的关键． 20. 随着《黑神话：悟空》这款融合了中国传统文化精髓与现代游戏技术的力作横空出世，不仅激发了玩家对神话故事的无限遐想，更意外地点燃了公众对山西这片古老土地的热情．游戏中精心选取的27处山西实景，如同一幅幅生动的历史画卷，引领我们穿越时空，感受五千年文明的深厚底蕴．某旅游公司推出“跟着悟空游山西”二日游路线．小明家、小米家利用双休日出去旅游．每次出游只能选一条路线． （1）小米家这周想选A路线，小明家选不到A路线的概率是多少？ （2）如果小明家相约小米家一起出去旅游，两个家庭都从上面四条路线中选一条路线去游玩，请用树状图或列表的方法求出两家选取同一条路线的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查简单概率的计算，树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件．注意概率所求情况数与总情况数之比． （1）根据总的有4条路线，小明家选不到A路线的情况有三种可能，利用概率公式计算即可； （2）画树状图，共有16种等可能性结果，其中两家选取同一条路线的可能结果有4种，再由概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：根据题意：小明家选不到A路线的概率是； 【小问2详解】 解：画树状图如下： 共有16种等可能性结果，其中小明家和小米家恰好选择同一条路线的可能结果有4种， ∴小明家和小米家恰好选择同一条路线的概率为． 21. 如图，在四边形中，，是对角线的中点，连接，，，求证：． 【答案】 证明：∵，是的中点， ∴，， ∴． 【解析】 【分析】由直角三角形斜边中线等于斜边一半可得，再根据等边对等角即可得出结论． 【详解】略 【点睛】本题主要考查的是直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，掌握这个性质是解题的关键． 22. 受益于国家支持新能源汽车发展和“一带一路”发展战略等多重利好因素，我市某汽车零部件生产企业的利润逐年提高，据统计，2016年利润为3亿元，2018年利润为4.32亿元． （1）求该企业从2016年到2018年利润的年平均增长率； （2）若2019年保持前两年利润的年平均增长率不变，该企业2019年的利润能否超过5亿元？ 【答案】（1）20％；（2）2019年利润超过5亿元 【解析】 【分析】（1）设年平均增长率为x．根据题意得，解方程即可； （2）根据该企业从2016年到2018年利润的年平均增长率来解答． 【详解】解：（1）设年平均增长率为， 则， ∴，（舍） 答：2016年到2018年利润的年平均增长率为20％； （2）如果2019年仍保持相同的年平均增长率，那么2019年该企业年利润为： ∴2019年利润超过5亿元. 【点睛】此题考查一元二次方程的应用，根据题意寻找相等关系列方程是关键，难度不大． 23. 某数学小组在刘老师的指导下测量一建筑物高度，活动报告如下： 活动报告 活动目的 测量建筑物的高度 活动过程 步骤一：设计测量方案（小组讨论后，画出如图的测量示意图） 步骤二：准备测量工具 皮尺、测倾器 步骤三：实地测量并记录数据（，，，在同一平面上，于点） ①建筑物前有一段斜坡，斜坡的坡度； ②在斜坡的底部测得建筑物顶点的仰角为； ③斜坡长52米； ④在点测得建筑物顶点的仰角为． 步骤四：计算建筑物的高度 请结合以上信息完成步骤四：计算建筑物的高度． （参考数据：，，，，）． 【答案】的高度约为． 【解析】 【分析】此题考查了解直角三角形的应用，矩形的性质与判定，过点B作于点E，过点B作于点F，由斜坡的坡度得到的比值，设，则，求出的长，设，得到，的长，由列方程求出y的值，即可得到答案． 【详解】解：如图所示，过点B作于点E，过点B作于点F，则四边形是矩形， ∴， ∵斜坡的坡度； ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得， ∵， ∴， 解得， ∴， 设， ∴， 在中，， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴建筑物的高度约为． 24. 定义：我们把关于x的一元二次方程与称为一对“友好方程”．如的“友好方程”是． （1）写出一元二次方程的“友好方程”______． （2）已知一元二次方程的两根为，它的友好方程的两根为、______．根据以上结论，猜想的两根与其“友好方程”的两根之间存在的一种特殊关系为______． （3）已知关于x的方程的两根，请利用（2）中的结论，求出关于x的方程的两根． 【答案】（1） （2）；互为倒数 （3）和 【解析】 【分析】本题主要考查了新定义问题，一元二次方程的一般形式，一元二次方程的解，用因式分解法和公式法解一元二次方程，掌握并灵活运用新定义是解题的关键． （1）根据“友好方程”的定义，即得答案； （2）求出方程的解，即得猜想，分别求方程和的根，可验证； （3）利用（2）中的结论，可得方程的“友好方程”的两根为，因此方程的两根，即，整理方程得，即得答案． 【小问1详解】 解：一元二次方程的“友好方程”为：； 故答案为：； 【小问2详解】 解：对于方程， ， 解得：， 根据以上结论，猜想的两根与其“友好方程”的两根之间存在的一种特殊关系为互为倒数； 证明如下： ∵一元二次方程的两根为， “友好方程”的两根， ， ， 即原方程的两根与“友好方程”的两根互为倒数； 故答案为：；互为倒数； 【小问3详解】 解：∵方程的两根是， ∴该方程的“友好方程”的两根为， 则方程的两根， 即， 整理方程得， ∴关于的方程的两根为和． 25. 【课本再现】 （1）如图1，在中，，，D，E分别是，的中点．求证：，． 【操作发现】 （2）如图2，将图1的先沿着直线翻折得到，再将绕着点F顺时针旋转得到，连接，分别作，的中点D，E，连接．猜想与的关系，并进行证明； 【拓展延伸】 （3）如图3，将（2）中的“旋转”改成“旋转任意角度”，其他条件不变，问DE与的关系是否发生改变？并说明理由． 【答案】 （1）证明：∵D，E分别是，的中点， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， 又， ∴， ∴， ∴，； （2）解：， 理由如下： 延长交于M，连接，， ， ∵A，D分别是，中点， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∵沿着直线翻折得到， ∴， ∵绕着点F顺时针旋转得到， ∴，， ∴， 又， ∴点D在上， ∵， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 设，则，， ∴， ∴，， ∴， 又E是中点， ∴，， 又，， ∴由（1）知：，； （3）解：不变，理由如下： 由（2）知：，， 当旋转角小于时， 连接，，，过作于H， ， 设旋转角为，则， ∴， 又， ∴， ∵，， ∴， 又， ∴， ∵，， ∴，即， ∴， 又 ∴， ∴，，即， ∴， ∵， ∴， ∴D、H是同一个点， ∴是等腰直角三角形， ∴， 又E是中点， ∴，． 当旋转角大于时， 如图，连接，，，过作于H， ， 设旋转角为，则， ∴， 又， ∴， 同理可证， ∴，，即， ∴， ∵， ∴， ∴D、H是同一个点， ∴是等腰直角三角形， ∴， 又E是中点， ∴，； 当旋转角等于时， 由（2）知：，． 综上，，． 【解析】 【分析】（1）利用三角形中位线定理得出，，结合可得，然后利用平行线的性质可证； （2）延长交于M，连接，，先证明点D在上，再证明得出，证明是等腰直角三角形，得出，设设，则，，进而求出，，得出D是的中点，然后利用（1）的结论即可得证； （3）分旋转角小于，旋转角等于，旋转角大于讨论即可 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 【点睛】本题考查了三角形的中位线定理，旋转的性质，翻折的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，解直角三角形等知识，明确题意，添加合适辅助线，找出所求问题需要的条件是解题的关键． 第1页/共1页 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