精品解析：山西省吕梁市交城县2024-2025学年九年级上学期期中考试数学试题

2024—2025学年第一学期期中质量监测试题 九年级数学 (满分120分，考试时间120分钟) 第Ⅰ卷 选择题(共30分) 一、选择题(本大题共10个小题，每小题3分，共30分) 1. 下列标志图中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是 （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形和轴对称图形的定义，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可． 【详解】解：A．不是轴对称图形，是中心对称图形，故A错误； B．既是轴对称图形，又是中心对称图形，故B正确； C．是轴对称图形，不是中心对称图形，故C错误； D．不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故D错误． 故选：B． 2. 二次函数的图象与x轴的交点个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数与一元二次方程，令，根据一元二次方程根的判别式判断即可． 【详解】当时，， ∴， ∴该方程有两个相等的实数根， ∴二次函数的图像与x轴有一个交点． 故选：B． 3. 配方法是解一元二次方程的一种基本方法，其本质是将一元二次方程由一般化为的形式，然后利用开方求一元二次方程的解的过程，这个过程体现的数学思想是(　　) A. 数形结合思想 B. 函数思想 C. 转化思想 D. 公理化思想 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程配方法：用配方法解一元二次方程的过程实际上把一元二次方程转化为一元一次方程的过程．先将一元二次方程由一般化为的形式，然后利用开方求一元二次方程的解． 【详解】解：先将一元二次方程由一般化为的形式，然后利用开方求一元二次方程的解，这个过程体现的数学思想是转化思想． 故选C． 4. 如图，将绕点按顺时针旋转一定角度得到，点的对应点恰好落在边上．若，，则的长为（ ） A. B. C. D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】本题综合考查了含30度角的直角三角形与等边三角形的性质与判定．由旋转的性质可知，又因为，可得为等边三角形，推出，又因为中有，所以，据此计算即可求解． 【详解】解：，， 为等边三角形， ， 又在中，，则， ， ， 故选：B． 5. 已知二次函数的与的部分对应值如下表 … 0 1 2 … … 2 2 7 … 则下列判断正确的是（ ） A. 抛物线与轴交于负半轴 B. 抛物线开口向下 C. 顶点坐标为 D. 抛物线与轴只有一个交点 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，主要利用了增减性，对称性，以及二次函数与x轴的交点坐标的求解，熟记性质是解题的关键．根据表格信息，利用数形结合的方法逐一分析判断即可． 【详解】解：∵，， ∴ 抛物线与轴交于负半轴，故A符合题意； ∵与时的函数值相等， ∴抛物线的对称轴为直线，当时，随x的增大而减小； 抛物线开口向上，故B不符合题意； ∴顶点坐标为：，故C不符合题意； ∵抛物线的顶点在第三象限，而抛物线的开口向上， ∴抛物线与x轴有两个交点，故D不符合题意； 故选：A． 6. 将抛物线向左平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度，平移后的抛物线顶点坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了把二次函数的一般式化为顶点式以及二次函数的平移性质，先整理，再结合向左平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度，得出，即可作答． 【详解】解：依题意，， ∵向左平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度， ∴， ∴平移后的抛物线顶点坐标为， 故选：B． 7. 如图，在以AB为直径的半圆O中，，，BD交AC于点E，则∠AED的度数是（ ） A. 45° B. 50° C. 55° D. 60° 【答案】C 【解析】 【分析】连接OC、OD，然后由圆周角定理求出，得到，从而得到，再由三角形的外角定义，即可得到答案 【详解】解：连接OC、OD，如图： ∵，AB是直径， ∴， .∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 故选：C 【点睛】本题考查了圆周角定理，三角形的外角性质，弦、弧、圆心角的关系，解题的关键是掌握所学的知识，正确的求出角的度数 8. 如图，在宽为，长为的矩形耕地上，修筑同样宽的三条道路(互相垂直)，把耕地分成大小不等的六块试验田，要使试验田的面积为，设道路宽应为x米，则可列正确的方程为（     ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的图形问题，结合图形特征以及宽为，长为的矩形，得出试验田的总长和总宽为和，再根据矩形面积进行列式，即可作答． 【详解】解：∵在宽为，长为的矩形耕地上，设道路宽应为x米， ∴结合图形，得出试验田的总长和总宽为和， ∵试验田的面积为， ∴， 故选：D 9. 在同一平面直角坐标系中，二次函数与一次函数的图象如图所示，则二次函数的图象可能是(　　) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象和性质及一次函数的图象和性质．由已知二次函数的图象可知的正负，由一次函数的图象可知、的正负，进而可得出答案． 【详解】解：二次函数的开口向下 一次函数图象中随的增大而增大，与轴的交点在轴的负半轴 ， ∴， 二次函数的图象开口向下，对称轴为直线在轴左侧，与轴的交点在轴的正半轴． 故选：A． 10. 如图，已知正方形的边长为3，E、F分别是边上的点，且，将绕点D逆时针旋转，得到．若，则的长为__． A. B. 2 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由旋转可得为直角可得出由得到为可得出再由利用可得出三角形与三角形全等由全等三角形的对应边相等可得出则可得到正方形的边长为用求出的长再由求出的长设可得出在直角三角形中利用勾股定理列出关于的方程求出方程的解得到的值即为的长 【详解】解：逆时针旋转得到 ， ， 三点共线 ， ， ， 在和中， ， ， 设 且 ， ， ， 在中由勾股定理得， ， 解得：． 故选：C． 【点睛】此题考查了正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，以及勾股定理．此题难度适中，注意掌握旋转前后图形的对应关系，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用． 第Ⅱ卷 非选择题(共90分) 二、填空题(本大题共5个小题，每小题3分，共15分) 11. 写出一个以和2为根的一元二次方程：______． 【答案】x2+x-6=0（答案不唯一） 【解析】 【详解】∵2+（-3）=-1，2×（-3）=-6 ∴方程为：x2+x-6=0 12. 若方程有一根是a，则___________． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，代数式求值．由方程有一个根是a，可得，根据，整体代值求解即可． 【详解】解：∵方程有一个根是a， ∴，即， ∴， 故答案为：6． 13. 如图，是的弦，半径于点，且，，则的长为________． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理．连接，根据垂径定理得出，设的半径为，在中，根据勾股定理建立方程，解方程即可求解． 【详解】解；如图，连接， ∵， ∴， 设的半径为，则， 在中，由勾股定理得，， ∴， 解得， ∴． 故答案为：4． 14. 二次函数的图象过三个点，则的大小关系为 __________________________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的图像和性质，熟练掌握二次函数的图像和性质是解题的关键．根据二次函数解析式求出对称轴以及函数的增减性，根据函数增减性进行判断即可． 【详解】解：二次函数对称轴为：， ，故函数开口向下， 当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小， 与函数值对应的点为， 故三个点，则的大小关系为． 故答案为：． 15. 如图，抛物线与x轴交于点，其对称轴为直线，结合图象分析下列结论： ①；②；③当时，y随x的增大而增大；④一元二次方程的两根分别为；⑤若m，n为方程的两个根，则且．其中正确的结论为________________．（填写序号） 【答案】①④⑤ 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系，二次函数与一元二次方程的关系．根据抛物线开口方向及对称轴可判断①；将代入解析式，可判断②；根据图象增减性可判断③；根据一元二次方程根与系数的关系可判断④；根据二次函数与一元二次方程的关系可判断⑤． 【详解】解：抛物线开口向下，与y轴的交点位于正半轴， ，， 抛物线对称轴为直线， ， ， ， 故①正确； 抛物线与x轴交于点， ， ， ， ， 故②错误； 由图可知，当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小， 故③错误； 抛物线与x轴交于点，对称轴为直线， 与x轴另一个交点的坐标为，即， 的两个根为，， ，， ，， 即为，解得，， 的两根分别为， 故④正确； 抛物线与x轴交于点，， ， m，n为方程的两个根， m，n为方程的两个根， m，n为函数与直线的两个交点的横坐标， 结合图象可得且． 故⑤正确； 综上可得，正确的结论为①④⑤， 故答案为：①④⑤． 三、解答题(本大题共8个小题，共75分) 16. 按要求解下列方程： （1）（公式法） （2）（因式分解法） 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，熟悉并掌握方程的解法步骤是解题的关键． （1）利用公式法运算求解即可； （2）利用因式分解法运算求解即可． 【小问1详解】 解： ∵，， ∴ ∴方程有两个不相等的实数根 ∴ ∴，； 【小问2详解】 解： ∴，． 17. 已知关于x的一元二次方程．请完成下列各题． （1）若方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围为________________； （2）若该方程有两个不相等的实数根为，且满足，求m的值． 【答案】（1）且 （2） 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，解分式方程，一元二次方程的根与系数关系以及求判别式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）因为方程有两个不相等的实数根，所以，把数值代入计算，即可作答． （2）结合根与系数关系得，，因为，所以，解出的值，然后验根，即可作答． 【小问1详解】 解：∵方程有两个不相等的实数根， ∴ 解得 ∵， ∴且； 【小问2详解】 解：∵该方程有两个不相等的实数根为， ∴， ∵ ∴ 解得： 经检验：是原分式方程的解，且 ∴． 18. 正方形网格中（网格中的每个小正方形边长是1），的顶点均在格点上，请在如图所示的直角坐标系中解答下列问题： （1）作出绕着点A逆时针旋转的； （2）作出关于原点O成中心对称的； （3）请直接写出以为顶点的平行四边形的第四个顶点D的坐标． 【答案】（1） 如图，即为所求作的图形； （2） 如图，即为所求作的图形； （3）或或 【解析】 【分析】本题考查作图旋转变换、平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识． （1）作出、、的对应点、、即可解决问题； （2）作出、、的对应点、、即可解决问题； （3）画出点的位置，写出坐标即可； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图，四边形，，都是平行四边形，则或或． 点D的坐标为：或或． 19. 如图，的直径的长为10，弦的长为6，的平分线交于点D，求弦的长． 【答案】 【解析】 【分析】过点作交于点，连接，．由是的直径，结合是的平分线，得，，则、的长度可求，进而可得的长度，根据，可求出的长． 【详解】解：过点作交于点，连接，． 是的直径， ． 是的平分线， ，， ，， ，， ， ． 【点睛】本题考查了圆周角定理，等腰直角三角形的判定与性质以及勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题． 20. 综合与实践 问题情境 小莹妈妈的花卉超市以15元/盆的价格新购进了某种盆栽花卉，为了确定售价，小莹帮妈妈调查了附近A，B，C，D，E五家花卉店近期该种盆栽花卉的售价与日销售量情况，记录如下： 售价（元/盆） 日销售量（盆） A 20 50 B 30 30 C 18 54 D 22 46 E 26 38 数据整理 （1）请将以上调查数据按照一定顺序重新整理，填写在下表中： 售价（元/盆） 日销售量（盆） 模型建立 （2）分析数据的变化规律，找出日销售量与售价间的关系； 拓广应用 （3）根据以上信息，小莹妈妈在销售该种花卉中， ①要想每天获得400元的利润，应如何定价？ ②售价定为多少时，每天能够获得最大利润？ 【答案】（1） 售价（元/盆） 18 20 22 26 30 日销售量（盆） 54 50 46 38 30 （2）售价每涨价2元，日销售量少卖4盆 （3）①定价为每盆元或每盆元时，每天获得400元的利润；②售价定为元时，每天能够获得最大利润 【解析】 【分析】（1）按照从小到大的顺序进行排列即可； （2）根据表格数据，进行求解即可； （3）①设定价应为元，根据题意，列出一元二次方程，进行求解即可； ②设每天的利润为，列出二次函数表示式，利用二次函数的性质，进行求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由表格可知，售价每涨价2元，日销售量少卖4盆； 【小问3详解】 ①设：定价应为元，由题意，得： ， 整理得：， 解得：， ∴定价为每盆元或每盆元时，每天获得400元的利润； ②设每天的利润为，由题意，得： ， ∴， ∵， ∴当时，有最大值为元． 答：售价定为元时，每天能够获得最大利润． 【点睛】本题考查一元二次方程和二次函数的实际应用．从表格中有效的获取信息，正确的列出方程和二次函数，是解题的关键． 21. 掷实心球是河南高中阶段学校招生体育考试的选考项目.如图1所示的是一名女生在投实心球，实心球行进路线可近似地看作一条抛物线，行进高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数关系如图2所示，掷出时起点处高度为，当水平距离为时，实心球行进至最高点处. （1）求y关于x的函数表达式. （2）根据河南高中阶段学校招生体育考试评分标准（女生），投掷过程中，当实心球从起点到落地点的水平距离大于等于m时，此项考试得分为满分分.该女生在此项考试中是否得满分？请说明理由.（） 【答案】（1） （2） 解：该女生在此项考试中是得满分，理由如下∶ ∵对于二次函数，当时，有 ∴， 解得∶， (舍去)， ∵， ∴该女生在此项考试中是得满分． 【解析】 【分析】（1）根据题意设出y关于x的函数表达式，再用待定系数法求函数解析式即可； （2）根据该同学此次投掷实心球的成绩就是实心球落地时的水平距离，令，解方程然后做出判断即可． 【小问1详解】 解∶∵当水平距离为时，实心球行进至最高点处， ∴设， ∵经过点， ∴， 解得∶ ∴， ∴y关于x的函数表达式为； 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查二次函数的应用和一元二次方程的解法，利用待定系数法求出二次函数的解析式是解题的关键． 22. 如图，已知抛物线交轴于点A，点B，交轴于点C．点P抛物线上一点． （1）当时，求y的取值范围; （2）试说明点P运动到哪个位置时，满足，求此时点P的坐标． （3）如果点P在第四象限的抛物线上运动，连接，过点P作y轴的平行线交直线于点E，交x轴于点D．当点E是的中点时，直接写出点P的坐标． 【答案】（1）当时， （2）或或 （3） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的几何综合，二次函数与坐标轴的交点，二次函数的图象性质，待定系数法解一次函数的解析式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先把二次函数化为顶点式，得出抛物线的对称轴，顶点坐标，再结合，分别求出当时和当时，的值，再比较即可作答． （2）设P的纵坐标的绝对值为，根据，得，再求出，则，故解出，再分别代入解析式，进行计算，即可作答． （3）先求出直线的解析式为；再分别表示出，因为点E是的中点，得，再结合点P在第四象限的抛物线上运动，，进行计算，即可作答． 【小问1详解】 解：∵ ∴抛物线的对称轴，顶点坐标， 当时，则， 当时，则； ∴当时，； 【小问2详解】 解：设P的纵坐标的绝对值为， ∵， ∴， ∵抛物线交轴于点A，点B， ∴令，则， 解得，， 结合图象得； ∵， ∴ ∴； 把代入解析式得， 解得，； 把代入解析式得， 解得； ∴点在该抛物线上滑动到或或时，满足； 【小问3详解】 解：依题意，如图： ∵抛物线交轴于点C．点P抛物线上一点． ∴令则，则， 设点的坐标为， 设直线的解析式为， 把分别代入， 得， 解得， ∴直线的解析式为； ∵过点P作y轴的平行线交直线于点E，交x轴于点D． ∴， 则， ∵点E是的中点， ∴ ∵点P在第四象限的抛物线上运动， ∴ 解得或， 当时，则，点不在第四象限，故舍去； ∴， ∴； 23. [提出问题]如图，在中，，，点是边上一点(不与重合)，将线段绕点逆时针旋转得到，连接，则线段与的数量关系为__________． [类比探究]如图，在与中，，，，将绕点旋转，使点落在边上，试探索线段之间的数量关系，并证明你的结论． [迁移应用]如图，在四边形中，，若，，求的长． 【答案】提出问题：； 类比探究：． 证明：如图， 由（）得， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， ， ∴， ∴； 迁移应用： 【解析】 【分析】提出问题：证明，得到，进而得，即可求解； 类比探究：由可得，， 进而得，得到，又由勾股定理得，即得； 迁移应用：作，使，连接，如图，可证，得到，又由可得，即得，进而由即可求解； 本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：提出问题：由旋转得，， ∴， 即， ∵ ∴， ∴， ∴， 故答案为：； 类比探究：略 迁移应用：作，使，连接，如图， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， ， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年第一学期期中质量监测试题 九年级数学 (满分120分，考试时间120分钟) 第Ⅰ卷 选择题(共30分) 一、选择题(本大题共10个小题，每小题3分，共30分) 1. 下列标志图中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是 （ ） A. B. C. D. 2. 二次函数的图象与x轴的交点个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 3. 配方法是解一元二次方程的一种基本方法，其本质是将一元二次方程由一般化为的形式，然后利用开方求一元二次方程的解的过程，这个过程体现的数学思想是(　　) A. 数形结合思想 B. 函数思想 C. 转化思想 D. 公理化思想 4. 如图，将绕点按顺时针旋转一定角度得到，点的对应点恰好落在边上．若，，则的长为（ ） A. B. C. D. 1 5. 已知二次函数的与的部分对应值如下表 … 0 1 2 … … 2 2 7 … 则下列判断正确的是（ ） A. 抛物线与轴交于负半轴 B. 抛物线开口向下 C. 顶点坐标为 D. 抛物线与轴只有一个交点 6. 将抛物线向左平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度，平移后的抛物线顶点坐标为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在以AB为直径的半圆O中，，，BD交AC于点E，则∠AED的度数是（ ） A. 45° B. 50° C. 55° D. 60° 8. 如图，在宽为，长为的矩形耕地上，修筑同样宽的三条道路(互相垂直)，把耕地分成大小不等的六块试验田，要使试验田的面积为，设道路宽应为x米，则可列正确的方程为（     ） A. B. C. D. 9. 在同一平面直角坐标系中，二次函数与一次函数的图象如图所示，则二次函数的图象可能是(　　) A. B. C. D. 10. 如图，已知正方形的边长为3，E、F分别是边上的点，且，将绕点D逆时针旋转，得到．若，则的长为__． A. B. 2 C. D. 第Ⅱ卷 非选择题(共90分) 二、填空题(本大题共5个小题，每小题3分，共15分) 11. 写出一个以和2为根的一元二次方程：______． 12. 若方程有一根是a，则___________． 13. 如图，是的弦，半径于点，且，，则的长为________． 14. 二次函数的图象过三个点，则的大小关系为 __________________________． 15. 如图，抛物线与x轴交于点，其对称轴为直线，结合图象分析下列结论： ①；②；③当时，y随x的增大而增大；④一元二次方程的两根分别为；⑤若m，n为方程的两个根，则且．其中正确的结论为________________．（填写序号） 三、解答题(本大题共8个小题，共75分) 16. 按要求解下列方程： （1）（公式法） （2）（因式分解法） 17. 已知关于x的一元二次方程．请完成下列各题． （1）若方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围为________________； （2）若该方程有两个不相等的实数根为，且满足，求m的值． 18. 正方形网格中（网格中的每个小正方形边长是1），的顶点均在格点上，请在如图所示的直角坐标系中解答下列问题： （1）作出绕着点A逆时针旋转的； （2）作出关于原点O成中心对称的； （3）请直接写出以为顶点的平行四边形的第四个顶点D的坐标． 19. 如图，的直径的长为10，弦的长为6，的平分线交于点D，求弦的长． 20. 综合与实践 问题情境 小莹妈妈的花卉超市以15元/盆的价格新购进了某种盆栽花卉，为了确定售价，小莹帮妈妈调查了附近A，B，C，D，E五家花卉店近期该种盆栽花卉的售价与日销售量情况，记录如下： 售价（元/盆） 日销售量（盆） A 20 50 B 30 30 C 18 54 D 22 46 E 26 38 数据整理 （1）请将以上调查数据按照一定顺序重新整理，填写在下表中： 售价（元/盆） 日销售量（盆） 模型建立 （2）分析数据的变化规律，找出日销售量与售价间的关系； 拓广应用 （3）根据以上信息，小莹妈妈在销售该种花卉中， ①要想每天获得400元的利润，应如何定价？ ②售价定为多少时，每天能够获得最大利润？ 21. 掷实心球是河南高中阶段学校招生体育考试的选考项目.如图1所示的是一名女生在投实心球，实心球行进路线可近似地看作一条抛物线，行进高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数关系如图2所示，掷出时起点处高度为，当水平距离为时，实心球行进至最高点处. （1）求y关于x的函数表达式. （2）根据河南高中阶段学校招生体育考试评分标准（女生），投掷过程中，当实心球从起点到落地点的水平距离大于等于m时，此项考试得分为满分分.该女生在此项考试中是否得满分？请说明理由.（） 22. 如图，已知抛物线交轴于点A，点B，交轴于点C．点P抛物线上一点． （1）当时，求y的取值范围; （2）试说明点P运动到哪个位置时，满足，求此时点P的坐标． （3）如果点P在第四象限的抛物线上运动，连接，过点P作y轴的平行线交直线于点E，交x轴于点D．当点E是的中点时，直接写出点P的坐标． 23. [提出问题]如图，在中，，，点是边上一点(不与重合)，将线段绕点逆时针旋转得到，连接，则线段与的数量关系为__________． [类比探究]如图，在与中，，，，将绕点旋转，使点落在边上，试探索线段之间的数量关系，并证明你的结论． [迁移应用]如图，在四边形中，，若，，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $