第三章 幂、指数与对数重难点检测卷 -2024-2025学年高一数学重难点专题提升精讲精练 （沪教版2020必修第一册）

第三章 幂、指数与对数重难点检测卷 学校：________姓名：________班级：________考号：________ 注意事项： 本试卷满分150分，试题共21题。答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置 1、 填空题（本大题共12题，满分54分，第1-6题每题4分，第 7~12题每题5分) 1．（24-25高一上·上海·期中）已知 (用表示) 2．（24-25高一上·上海·期中）已知，化简 . 3．（24-25高一上·上海·期中）关于的方程的解集为 ． 4．（24-25高一上·上海·期中）已知，则用有理数指数幂表示的结果是 5．（24-25高一上·上海·随堂练习）已知地球的质量约为吨，木星的质量约是地球的318倍，则木星的质量为 吨．（用科学记数法表示） 6．（24-25高一上·上海浦东新·期中）当时，化简 . 7．（23-24高一上·上海浦东新·期中）若方程的两个解为，，求的值为 ． 8．（23-24高一上·浙江杭州·期中）通过科学研究发现：地震时释放的能量（单位：焦耳）与地震里氏震级之间的关系为.已知2011年甲地发生里氏9级地震，2019年乙地发生里氏7级地震，若甲、乙两地地震释放能量分别为，，则 9．（24-25高一上·上海·期中）甲、 乙两人同时解关于的方程：.甲写错了常数，得两根为及；乙写错了常数，得两根及，则这个方程的真正的根为 10．（25-26高一上·上海·单元测试）若， ，，则 ． 11．（2024·上海闵行·三模）早在西元前6世纪，毕达哥拉斯学派已经知道算术中项，几何中项以及调和中项，毕达哥拉斯学派哲学家阿契塔在《论音乐》中定义了上述三类中项，其中算术中项，几何中项的定义与今天大致相同.若，则的最小值为 . 12．（24-25高一上·上海·随堂练习）2020年12月17日凌晨，嫦娥五号返回器携带月球样品在内蒙古四子王旗预定区域安全着陆．嫦娥五号返回舱之所以能达到如此高的再入精度，主要是因为它采用弹跳式返回弹道，实现了减速和再入阶段弹道调整，这与“打水漂”原理类似（如图所示）．现将石片扔向水面，假设石片第一次接触水面的速率为，这是第一次“打水漂”，然后石片在水面上多次“打水漂”，每次“打水漂”的速率为上一次的90%，若要使石片的速率低于，则至少需要“打水漂”的次数为 ．（参考数据：，） 二、单选题（本大题共4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每題5分） 13．（24-25高一上·上海·期中）已知，若，则（   ） A． B． C． D． 14．（23-24高一上·上海·期中）已知，将表示成有理指数幂，其结果是（    ） A． B． C． D． 15．（23-24高一上·上海闵行·期末）历史上数学计算方面的三大发明是阿拉伯数字､十进制和对数，其中对数的发明，大大缩短了计算时间，为人类研究科学和了解自然起了重大作用，对数运算对估算“天文数字”具有独特的优势.已知，则的估算值为（    ） A． B． C． D． 16．（23-24高一上·上海杨浦·期末）二维码与生活息息相关，我们使用的二维码主要是大小的，即441个点，根据0和1的二进制编码，一共有种不同的码，假设我们1万年用掉个二维码，那么大约可以用（    ）（，） A．万年 B．117万年 C．万年 D．205万年 三、解答题（本大题共5题，共14+14+14+18+18=78分) 17．（23-24高一上·上海浦东新·期中）计算： (1)计算． (2)若，求． 18．（24-25高一上·上海闵行·期中）（1）已知，求的值； （2）已知，，用表示. 19．（24-25高一上·上海·随堂练习）通常情况下，和的对数不等于对数的和，如，但是否存在实数对，使呢？若存在，请写出一对符合要求的；若不存在，请说明理由． 20．（23-24高一上·上海青浦·期中）在自由声场（开阔空间）条件下，点声源的声波遵循球面发散规律，在与声源距离为（单位：m）处，声音强度的衰减量 （单位:dB）. 若在位置的声源的强度为(单位: dB),与声源距离为(单位：m)的位置的声音强度为(单位: dB),则, (1)有两个距离某一声源分别为20m和50m的声音探测仪和，它们的读数相差多少分贝?（结果精确到1dB） (2)已知某单一声源、两个声音探测仪与，依次在同一条直线上，与间的距离为400m. 假设两个探测仪的读数分别为61.05dB和47.07dB，试求声源与探测仪的距离（结果精确到1m）以及声源处的声音强度（结果精确到1dB）.参考数据：， 21．（23-24高一上·上海闵行·期末）已知函数的定义域为，为大于的常数，对任意，都满足，则称函数在上具有“性质”． (1)试判断函数和函数是否具有“性质”（无需证明）； (2)若函数具有“性质”，且，求证：对任意，都有； (3)若函数的定义域为，且具有“性质”，试判断下列命题的真假，并说明理由， ①若在区间上是严格增函数，则此函数在上也是严格增函数； ②若在区间上是严格减函数，则此函数在上也是严格减函数． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第三章 幂、指数与对数重难点检测卷 学校：________姓名：________班级：________考号：________ 注意事项： 本试卷满分150分，试题共21题。答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置 1、 填空题（本大题共12题，满分54分，第1-6题每题4分，第 7~12题每题5分) 1．（24-25高一上·上海·期中）已知 (用表示) 【答案】/ 【分析】根据对数运算求得正确答案. 【详解】， . 故答案为： 2．（24-25高一上·上海·期中）已知，化简 . 【答案】 【分析】利用分数指数幂的运算法则计算即可. 【详解】. 故答案为：. 3．（24-25高一上·上海·期中）关于的方程的解集为 ． 【答案】 【分析】整理可得，结合对数解方程即可. 【详解】因为，可得， 所以方程的解集为. 故答案为：. 4．（24-25高一上·上海·期中）已知，则用有理数指数幂表示的结果是 【答案】 【分析】根据幂指数和根式之间的互化即可得答案. 【详解】因为， 所以. 故答案为： 5．（24-25高一上·上海·随堂练习）已知地球的质量约为吨，木星的质量约是地球的318倍，则木星的质量为 吨．（用科学记数法表示） 【答案】 【分析】结合题意求解并用科学计数法求解即可. 【详解】 故答案为： 6．（24-25高一上·上海浦东新·期中）当时，化简 . 【答案】4 【分析】将根式里面进行配方，结合的范围即可化简. 【详解】因为,所以, 所以, 故答案为：4. 7．（23-24高一上·上海浦东新·期中）若方程的两个解为，，求的值为 ． 【答案】 【分析】利用换底公式，得到，再结合韦达定理求值. 【详解】由题意：， 又． 故答案为：． 8．（23-24高一上·浙江杭州·期中）通过科学研究发现：地震时释放的能量（单位：焦耳）与地震里氏震级之间的关系为.已知2011年甲地发生里氏9级地震，2019年乙地发生里氏7级地震，若甲、乙两地地震释放能量分别为，，则 【答案】1000 【分析】首先根据题意得到，再作差即可得到答案. 【详解】由题知：. 故答案为：1000 9．（24-25高一上·上海·期中）甲、 乙两人同时解关于的方程：.甲写错了常数，得两根为及；乙写错了常数，得两根及，则这个方程的真正的根为 【答案】或 【分析】利用对数方程的解法进行分析即可求解. 【详解】原方程可变形为： 甲写错了，得到根为及，； 又乙写错了常数，得到根为及，； 原方程为，即， 或，或. 故答案为：或. 10．（25-26高一上·上海·单元测试）若， ，，则 ． 【答案】 【分析】由指数运算法则可得证. 【详解】， ， ， 所以，原式， 故答案为： 11．（2024·上海闵行·三模）早在西元前6世纪，毕达哥拉斯学派已经知道算术中项，几何中项以及调和中项，毕达哥拉斯学派哲学家阿契塔在《论音乐》中定义了上述三类中项，其中算术中项，几何中项的定义与今天大致相同.若，则的最小值为 . 【答案】 【分析】令，，结合基本不等式可得，可化为，求二次函数在区间上的最小值即可. 【详解】不妨设，，则，， 所以，当且仅当时取等号， 即，当且仅当时取等号， 所以 ，（） 所以当时，取得最小值. 故答案为： 12．（24-25高一上·上海·随堂练习）2020年12月17日凌晨，嫦娥五号返回器携带月球样品在内蒙古四子王旗预定区域安全着陆．嫦娥五号返回舱之所以能达到如此高的再入精度，主要是因为它采用弹跳式返回弹道，实现了减速和再入阶段弹道调整，这与“打水漂”原理类似（如图所示）．现将石片扔向水面，假设石片第一次接触水面的速率为，这是第一次“打水漂”，然后石片在水面上多次“打水漂”，每次“打水漂”的速率为上一次的90%，若要使石片的速率低于，则至少需要“打水漂”的次数为 ．（参考数据：，） 【答案】6 【分析】设第n次“打水漂”时的速率为，则，则可建立不等式求解. 【详解】设石片第n次“打水漂”时的速率为，则． 由，得，则， 即，则，故至少需要“打水漂”的次数为6． 故答案为：6. 二、单选题（本大题共4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每題5分） 13．（24-25高一上·上海·期中）已知，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合对数的运算，化简可得，得到并解出方程组即可. 【详解】由题可得：， 即， 所以，解得：. 所以. 故选：B. 14．（23-24高一上·上海·期中）已知，将表示成有理指数幂，其结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将根式化为分数指数幂形式，再进行指数运算. 【详解】由，则， 故选：C. 15．（23-24高一上·上海闵行·期末）历史上数学计算方面的三大发明是阿拉伯数字､十进制和对数，其中对数的发明，大大缩短了计算时间，为人类研究科学和了解自然起了重大作用，对数运算对估算“天文数字”具有独特的优势.已知，则的估算值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】现根据对数运算结合已知数据求出，根据指对互化，即可得出答案. 【详解】， 所以，. 故选：A. 16．（23-24高一上·上海杨浦·期末）二维码与生活息息相关，我们使用的二维码主要是大小的，即441个点，根据0和1的二进制编码，一共有种不同的码，假设我们1万年用掉个二维码，那么大约可以用（    ）（，） A．万年 B．117万年 C．万年 D．205万年 【答案】A 【分析】直接作商，然后利用取对数法进行化简求解即可． 【详解】万年用掉个二维码， 大约能用万年， 设，则， 即万年． 故选：A 三、解答题（本大题共5题，共14+14+14+18+18=78分) 17．（23-24高一上·上海浦东新·期中）计算： (1)计算． (2)若，求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意结合对数运算性质求解即可； （2）根据题意结合指数幂运算求解即可. 【详解】（1）由题意可知：. （2）因为，所以． 18．（24-25高一上·上海闵行·期中）（1）已知，求的值； （2）已知，，用表示. 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）对题设条件两边平方后可得的值. （2）利用换底公式可求（用表示）. 【详解】（1）由题设有可得，故. （2）因为，故，故. 19．（24-25高一上·上海·随堂练习）通常情况下，和的对数不等于对数的和，如，但是否存在实数对，使呢？若存在，请写出一对符合要求的；若不存在，请说明理由． 【答案】存在无数对，如（2，2），等． 【分析】利用对数的运算性质将对数式化成，即可判断. 【详解】由可得，即 ，即， 只要满足的都可以． 故存在无数实数对，如（2，2），等． 20．（23-24高一上·上海青浦·期中）在自由声场（开阔空间）条件下，点声源的声波遵循球面发散规律，在与声源距离为（单位：m）处，声音强度的衰减量 （单位:dB）. 若在位置的声源的强度为(单位: dB),与声源距离为(单位：m)的位置的声音强度为(单位: dB),则, (1)有两个距离某一声源分别为20m和50m的声音探测仪和，它们的读数相差多少分贝?（结果精确到1dB） (2)已知某单一声源、两个声音探测仪与，依次在同一条直线上，与间的距离为400m. 假设两个探测仪的读数分别为61.05dB和47.07dB，试求声源与探测仪的距离（结果精确到1m）以及声源处的声音强度（结果精确到1dB）.参考数据：， 【答案】(1)8dB (2)声源与探测仪的距离为100m, 声源处的声音强度为100dB 【分析】（1）根据所给公式即可代入求解， （2）根据，结合对数的运算即可求解距离，进而可求解声源处的声音强度. 【详解】（1）设对应的声音强度分别为，声音强度分别为， 所以， 则 （2）设声源与探测仪的距离为，声源强度为,声音强度衰减量为 则声源与探测仪的距离为，声源强度为，声音强度衰减量为, 所以， 所以，故，解得， 所以, 故声源处的声音强度为100dB. 21．（23-24高一上·上海闵行·期末）已知函数的定义域为，为大于的常数，对任意，都满足，则称函数在上具有“性质”． (1)试判断函数和函数是否具有“性质”（无需证明）； (2)若函数具有“性质”，且，求证：对任意，都有； (3)若函数的定义域为，且具有“性质”，试判断下列命题的真假，并说明理由， ①若在区间上是严格增函数，则此函数在上也是严格增函数； ②若在区间上是严格减函数，则此函数在上也是严格减函数． 【答案】(1)函数不具有“性质”，函数具有“性质” (2)证明见解析 (3)命题①为假命题，命题②为真命题，理由见解析 【分析】（1）利用作差法结合“性质”的定义判断可得出结论； （2）利用“性质”的定义结合不等式可推导出，，利用不等式的基本性质可证得结论成立； （3）取可判断命题①为假命题，对命题②，对任意的、且，取，根据“性质”的定义结合基本不等式的性质、单调性的定义证得，即可证得结论成立. 【详解】（1）解：函数不具有“性质”，函数具有“性质”，理由如下： 设，， 对任意的， ， 所以，，所以，函数不具有“性质”， 对任意的，， 所以，，所以，函数具有“性质”. （2）证明：因为函数具有“性质”，对任意的，， 所以，， 又因为，所以， ， 所以，，由不等式的可加性可得， 故对任意的，. （3）解：命题①是假命题，命题②是真命题，理由如下： 对于命题①，取函数，由（1）可知，函数具有“性质”， 函数在区间上是严格增函数，但该函数在上不单调； 对于命题②，对任意的，对任意的，， 所以，， 对任意的、且，取， 必存在且，满足， 因为函数在区间上是严格减函数， 所以，，即， 所以，， 故，即， 故函数在上是严格减函数. 所以，命题②为真命题. 【点睛】方法点睛:新定义题型的特点是：通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的:遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决. 学科网（北京）股份有限公司 $$