精品解析：四川省达州市达州铁路中学2024-2025学年高一上学期期中检测数学试题

高 2024级 2024年秋季期中数学试卷 一、单选题 (共40 分，每题 5 分.每个小题有且只有一个选项符合题意) 1. 已知集合，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据元素与集合的关系以及集合与集合的关系，对选项进行判断. 【详解】集合，由元素与集合的关系和集合与集合的关系， 有，，，，ABC选项错误，D选项正确. 故选：D. 2. 命题“，使得 的否定形式为（ ） A. ，使得 B. ，使得 C. ，使得 D. ，使得 【答案】B 【解析】 【分析】运用特称命题的否定，否定结论，存在量词变全称量词即可 . 【详解】,使得的否定是“，使得”. 故选：B. 3. 如果集合 中只有一个元素，则实数m的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 0或2 D. 1或2 【答案】C 【解析】 【分析】分两种情况讨论集合中方程根的情况，从而确定实数m的值. 【详解】当时,方程变为，解得，满足集合有且只有一个元素. 当时，方程是一元二次方程. 因为集合有且只有一个元素， 所以.解得. 综上，实数的值为或. 故选：C. 4. “”是 的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】需要先求解不等式，然后判断两个条件之间的关系. 【详解】对于二次函数，令，则. 解得，.所以不等式的解集是. 因为当时，一定满足，所以由可以推出，即是的充分条件. 但是当，即时，不能必然推出，例如满足， 但不满足，所以不是的必要条件. 综上，是的充分不必要条件. 故选：A. 5. 已知a、b、c、d均为实数， 则下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，，则 C. 若，则 D. 若且， 则 【答案】D 【解析】 【分析】由不等式的性质及特例逐项判断即可． 【详解】选项A，当，时，满足，但，A选项错误； 选项B，取，，，，满足且，但，B选项错误； 选项C，当时，有，，， 则，有，C选项错误； 选项D，且，则，， 则，得，D选项正确． 故选：D． 6. 已知集合.若，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. 或 D. 【答案】A 【解析】 【分析】由已知得，结合数轴列式求解，注意要讨论是否是空集. 【详解】 由得，优先考虑为空集的情况： 当，即时，，符合题意； 当，即时，需解得. 综上得，则的取值范围为. 故选：A. 7. 命题是假命题，则的范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据已知条件，得出“”是真命题，对分类讨论，即可求解. 【详解】由题意得，命题的否定：. ∵命题是假命题， ∴命题的否定是真命题. 当时，，符合题意， 当时，，解得， 综上所述，的范围是. 故选：A. 8. 已知，，若不等式恒成立，则实数的最大值为（ ） A. 64 B. 25 C. 13 D. 12 【答案】B 【解析】 【分析】将不等式变形为，利用基本不等式即可得出答案． 【详解】，，则， 不等式 恒成立，即恒成立， ， 当且仅当，即时等号成立， 所以，即实数m的最大值为. 故选：B. 二、多项选择题 (共18 分，每题 6 分.每个题有多个选项符合题意，部分选对得部分分，有错得 0 分.) 9. 若集合满足，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】通过分析每个选项中集合之间的关系，利用已知的来判断其正确性. 【详解】对于A选项，因为，所以，A正确； 对于B选项，由于，所以，即，而不是，B错误； 对于C选项，因为，所以，C错误. 对于D选项，由C可得，，注意到，于是，D正确. 故选：AD. 10. 不等式的解集是，则下列选项正确的是（ ） A. 且 B. 不等式的解集是 C. D. 不等式的解集是 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据一元二次函数和一元二次不等式的关系，可以确定，且，1是方程的两个根，再利用根与系数的关系可得，，再分析选项，即可判断出它们的真假. 【详解】对于A，由不等式的解集是， 可得，且，1是方程的两个根， 由根与系数的关系可得：，解得，， 所以，，故A错误； 对于B，由，即，而，则，即， 所以不等式的解集是，故B正确； 对于C，，故C正确； 对于D，由，则， 而，则，解得， 即不等式的解集是，故D正确. 故选：BCD. 11. 已知，，，则（ ） A. 的最大值为 B. 的最小值为 C. 的最小值为4 D. 的最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】A选项，利用基本不等式得到；B选项，平方后得到，故，B错误；C选项，将3替换为，变形得到，利用基本不等式求出最小值；D选项，化简得到，由基本不等式“1”的代换得到最小值 【详解】A选项，，，，当且仅当时，等号成立，A正确； B选项，， 故，故B错误. C选项，， 当且仅当，即时，等号成立，C正确； D选项， ， 其中，，，故， 所以 ， 故， 当且仅当，即时，等号成立，D正确. 故选：ACD 三、填空题(共15 分， 每题 5 分) 12. 若 ，则集合 中所有元素之和为______ 【答案】3 【解析】 【分析】由题意知是方程的解，代入方程可求出a，从而可求出方程的解，即可得解. 【详解】，则有，解得， 方程即为，解得或， 所以，所有元素之和为3. 故答案为：3 13. 某社团有122名社员，他们至少参加了A，B，C三项活动中的一项，得知参加A活动的有51人，参加B活动的有60人，其余数据如图，则图中a=______ 【答案】9 【解析】 【分析】根据题意，利用韦恩图得到关于的方程组，解出的a值即可. 【详解】由题意得，则，解得. 故答案为：9. 14. 已知关于x的不等式 在R上有解，则a的取值范围为_______ 【答案】 【解析】 【分析】根据一元二次不等式的解法即可得． 【详解】关于x的不等式 在R上有解， 即在R上有解， 只需函数的图象与轴有公共点， 所以，即，即， 解得，所以实数的取值范围是． 故答案为：． 四、解答题 (共5 小题，共77 分.要求写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 15. 设，已知集合，． （1）当时，求和； （2）设；，若是的必要不充分条件，求实数的范围． 【答案】（1） ，或； （2） 【解析】 【分析】（1）求出，根据并集，补集和交集的概念求出答案； （2）由必要不充分条件得到是的真子集，分和两种情况，得到不等式，求出答案. 【小问1详解】 因为，所以， ， ， 故或； 【小问2详解】 由题可得是的真子集， 当，则；     当， 则或，解得， 综上，. 16. (1) 若， 试比较 与 的大小； (2) 设a， b， x， y为正实数， 证明不等式: 【答案】(1) 答案及解析； (2)证明见解析 【解析】 【分析】(1) 比较两个式子的大小，可通过作差法，若差大于0，则前者大；若差小于0，则后者大；若差等于0，则两者相等. (2) 对于证明不等式，可通过对不等式左边式子进行变形，然后利用基本不等式来证明. 【详解】(1) 作差：. 对差进行变形：. 因为，所以. 当时，，此时； 当时，，此时. (2) 对进行展开：. 根据基本不等式，对于，有. 所以. 因为为正实数，所以，两边同时除以，得到. 17. （1）已知 求 的最大值 （2）已知0<a<1， 求 的最小值. 【答案】（1）（2） 【解析】 【分析】（1）利用二次函数求最值的方法.对于二次函数（），当时，函数在处取得最大值. （2）采用构造法，根据均值不等式（，当且仅当时等号成立）来求最小值. 【详解】（1）首先将函数进行变形，，函数图象开口向下，对称轴为. 又因为，对称轴在这个区间内，所以当时，取得最大值，. （2）因为，设，，则. 对进行变形， 展开得. 根据均值不等式，（当且仅当时等号成立）. 所以，即最小值为. 18. 如图所示是某水产养殖大网箱的平面图，四周的实线为网衣，为避免混养，用筛网（图中虚线）把大网箱隔成大小一样的8个小网箱. （1）若大网箱的面积为108平方米，每个小网箱的长，宽设计为多少米时，才能使围成的网箱中筛网总长度最小； （2）若大网箱的面积为160平方米，网衣的造价为112元/米，筛网的造价为96元/米，且大网箱的长与宽都不超米，则小网箱两相邻边长分别为多少米时，可使网衣和筛网的合计造价最低？ 【答案】（1）长为米，宽为3米 （2）4米和5米 【解析】 【分析】（1）将实际问题转化成数学问题，得到是定值，利用基本不等式求最值； （2）法一，根据题意可得，列出总造价的关系式，消去利用基本不等式求解；法二，由题意得，列出总造价的关系式，利用基本不等式求解. 【小问1详解】 依题得， 设筛网总长度为米，则， ， 当且仅当即时，筛网总长度最小， 所以每个小网箱长为米，宽为3米时，围成的网箱中筛网总长度最小. 【小问2详解】 法一：依题得，即， 设总造价为元，则 . ， 由得，解得. 当且仅当即时，造价最低， 所以小网箱两条相邻边长为4米和5米时，可使网衣和筛网的合计造价最低. 法二：依题得， 设总造价为元，则 ， 由，得， 当且仅当且，即时，造价最低. 所以小网箱两条相邻边长为4米和5米时，可使网衣和筛网的合计造价最低. 19. （1）若不等式的解集为或，解关于的不等式：； （2）解关于的不等式. 【答案】（1）； （2）当时，，当时，， 当时，，当时，， 当时，. 【解析】 【分析】（1）利用给定条件结合韦达定理求出参数，再求解一元二次不等式即可. （2）依据二次项系数和一元二次不等式所对应的一元二次方程两个根的正负分类讨论，求解不等式即可. 【详解】（1）因为不等式的解集为或， 所以一元二次方程的两个根是或，且， 由韦达定理得，解得，又，解得， 故可化为， 故，解得， （2）当时，原不等式化为，解得， 当时，令，解得或， 故可化为， 当时，则或， 当时，解，解得， 当时，解，解得， 当时，则，解，解得， 当时，则，此时不等式化为，解得， 综上，当时，，当时，， 当时，，当时，， 当时，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高 2024级 2024年秋季期中数学试卷 一、单选题 (共40 分，每题 5 分.每个小题有且只有一个选项符合题意) 1. 已知集合，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 命题“，使得 的否定形式为（ ） A. ，使得 B. ，使得 C. ，使得 D. ，使得 3. 如果集合 中只有一个元素，则实数m的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 0或2 D. 1或2 4. “”是 的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 已知a、b、c、d均为实数， 则下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，，则 C. 若，则 D. 若且， 则 6. 已知集合.若，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. 或 D. 7. 命题是假命题，则的范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知，，若不等式恒成立，则实数的最大值为（ ） A. 64 B. 25 C. 13 D. 12 二、多项选择题 (共18 分，每题 6 分.每个题有多个选项符合题意，部分选对得部分分，有错得 0 分.) 9. 若集合满足，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 不等式的解集是，则下列选项正确的是（ ） A. 且 B. 不等式的解集是 C. D. 不等式的解集是 11. 已知，，，则（ ） A. 的最大值为 B. 的最小值为 C. 的最小值为4 D. 的最小值为 三、填空题(共15 分， 每题 5 分) 12. 若 ，则集合 中所有元素之和为______ 13. 某社团有122名社员，他们至少参加了A，B，C三项活动中的一项，得知参加A活动的有51人，参加B活动的有60人，其余数据如图，则图中a=______ 14. 已知关于x的不等式 在R上有解，则a的取值范围为_______ 四、解答题 (共5 小题，共77 分.要求写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 15. 设，已知集合，． （1）当时，求和； （2）设；，若是的必要不充分条件，求实数的范围． 16. (1) 若， 试比较 与 的大小； (2) 设a， b， x， y为正实数， 证明不等式: 17. （1）已知 求 的最大值 （2）已知0<a<1， 求 的最小值. 18. 如图所示是某水产养殖大网箱的平面图，四周的实线为网衣，为避免混养，用筛网（图中虚线）把大网箱隔成大小一样的8个小网箱. （1）若大网箱的面积为108平方米，每个小网箱的长，宽设计为多少米时，才能使围成的网箱中筛网总长度最小； （2）若大网箱的面积为160平方米，网衣的造价为112元/米，筛网的造价为96元/米，且大网箱的长与宽都不超米，则小网箱两相邻边长分别为多少米时，可使网衣和筛网的合计造价最低？ 19. （1）若不等式的解集为或，解关于的不等式：； （2）解关于的不等式. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $