精品解析：河北省石家庄二中2024-2025学年高二上学期期中数学试题

石家庄二中教育集团2024-2025学年度高二年级上学期期中考试 数学试卷 （时间：120分钟，分值150分，命题人 李延军 审题人 马燕） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据直线的一般方程求得相应斜率即可得出倾斜角. 【详解】易知直线的斜率为， 又倾斜角，可得倾斜角. 故选：D 2. “”是“方程表示椭圆”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】方程表示椭圆，可得，解出的范围即可判断出结论. 【详解】∵方程表示椭圆，∴解得或，故“”是“方程表示椭圆”的必要不充分条件. 故选：B． 3. 已知双曲线，则其渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用双曲线方程，求解渐近线方程即可． 【详解】由于双曲线为，所以其渐近线方程为. 故选：C. 4. 已知直线与平行，则实数（ ） A. 或1 B. 3或 C. D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行直线建立方程，验根，可得答案. 【详解】由题意可得，可得，，解得或， 当时，，符合题意；当时，，不符合题意. 故选：C. 5. 已知直线与圆相交于两点，若，则实数（ ） A. 或8 B. 2或 C. 或9 D. 1或 【答案】A 【解析】 【分析】由圆的方程可得圆心与半径，利用点到直线距离公式，结合弦长公式，可得答案. 【详解】由圆，则圆心，半径， 圆心到直线的距离， 由，则，整理可得， 化简可得，解得或. 故选：A. 6. 直线恒过定点，若是椭圆的一条弦的中点，则该弦所在的直线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分离参数可得定点，再利用点差法可得直线斜率与方程. 【详解】由直线，即， 令，解得， 即， 设弦的端点，， 则，，即，， 又，在椭圆上， 则，两式做差可得， 即， 可得，即， 所以直线，即， 故选：B. 7. 若第一象限内的点关于直线的对称点在直线上，则的最小值为（ ） A. 1 B. 4 C. 10 D. 16 【答案】A 【解析】 【分析】设对称点的坐标，由对称的定义建立等量关系，将求得的对称点坐标代入解析式，求得关系，由基本不等式求得最小值. 【详解】设点是点关于直线的对称点， 则两点的中点在对称直线上且两点的直线与对称直线垂直， 则，解得 点在直线上，∴，即， ∴，当且仅当，即时，取等号. 故选：A. 8. 已知的顶点分别为原点，圆C为的外接圆，M为圆C上一动点，若点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求出圆的方程，即是点的运动轨迹，构造相似三角形由几何性质对进行转换，从而找打最小值. 【详解】设圆的方程为， ∴，解得， ∴圆：，即， 如图： 取点，则，∴，∴， 即， 连接与圆的交点即为使得最小的点， 此时 故选：D 【点睛】方法点睛：在圆上找一个点使得值最小，需要进行转换，本题的系数和与半径的比值均为2，所以采用了构造相似三角形对进行转换，并使得两点在动点两侧，那么连续与动点运动轨迹的交点即是所求点. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法在确的是（ ） A. 若方程表示直线，则 B. 分别为直线与上任意一点，则的最小值为 C. 直线l过点且在两坐标轴上的截距相等，则直线l的方程为 D. 直线与相交于点，则过点，的直线方程为 【答案】BD 【解析】 【分析】A选项，当不同时为0时，方程表示直线；B选项，两平行线距离即为的最小值，利用两平行线距离公式求出答案；C选项，分截距为0和截距不为0两种情况，利用待定系数法进行求解；D选项，代入，得到，两点确定一条直线，得到答案. 【详解】A选项，当不同时为0时，方程表示直线， 例如，此时表示的是一条直线，故A错误； B选项，直线与平行，故两平行线距离即为的最小值， 即，故两平行线距离为，B正确； C选项，当截距为0时，设直线方程为，将代入得，故直线方程为， 当截距不为0时，设直线方程为，将代入得， 则直线l的方程为，即， 综上，直线l的方程为或，C错误； D选项，直线与相交于点， 故， 两点确定一条直线，则过点，的直线方程为，D正确. 故选：BD 10. 已知P是直线上一动点，Q是圆上一动点，过点P作圆O的两条切线，切点分别为、，则( ). A. 点Q到直线l的距离的取值范围为 B. 直线恒过定点 C. 四边形的面积的最小值为 D. 的最小值为3 【答案】BCD 【解析】 【分析】A：根据直线与圆的位置关系和点到直线的距离公式进行求解判断即可； B：根据圆的方程和相交弦方程的特征进行求解判断即可； C：根据圆的切线性质进行求解判断即可； D：根据圆的切线性质，结合对勾函数的单调性进行求解判断即可. 【详解】对于A选项，圆心到直线的距离为，所以点到直线的距离的取值范围为：，故A错误； 对于B选项，设，则以线段为直径的圆的方程为： ，即， 与圆O的方程作差得：， 即为直线的方程，整理得， 由，可知：，所以直线恒过定点， 故B正确； 对于C选项，因为，， 所以四边形的面积：， 当时，，所以四边形的面积，故C正确； 对于D选项，设，则，且， 因为， 所以 ， 因为，所以， 对勾函数在上单调递增，当时，有最小值3， 即的最小值为3，故D正确. 故选：BCD. 11. 已知，若平面内动点满足，则称点P的轨迹为双纽线，下列结论正确的是（ ） A. 双纽线是轴对称图形 B. 的面积的最大值为 C. D. 直线与双纽线有三个交点 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，利用两点的距离公式整理方程，将关于坐标轴对称的点代入，可得答案； 对于B，利用一元二次方程根的存在性，求得动点坐标的范围，结合三角形面积公式，可得答案； 对于C，根据三角形三边关系，可得答案； 对于D，联立方程，因式分解求方程的根，可得答案. 【详解】对于A，由， 则曲线方程为， 由关于轴的对称点为，显然当满足方程时，也满足方程， 则双纽线关于轴对称，故A正确； 对于B，由方程， 整理可得关于的方程， 由，解得， 由，则其最大值为，故B正确； 对于C，在中，，故C错误； 对于D，将代入方程， 整理可得，解得或，故D正确. 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知为椭圆的两个焦点，M为椭圆C上一点，若，则的面积为______． 【答案】1 【解析】 【分析】根据椭圆定义以及勾股定理可得即可得出的面积. 【详解】根据题意可知，即可得，即； 由椭圆定义可得， 又可知； 所以可得，即， 解得， 因此的面积为. 故答案为：1 13. 若直线与圆和圆都相切，则______． 【答案】 【解析】 【分析】利用两圆心到直线的距离等于半径联立解方程组可得结果. 【详解】易知圆的圆心为，半径， 圆的圆心为，半径； 显然两圆相离； 由直线与两圆都相切可得，联立解得，即或（舍）. 故答案为： 14. 已知，分别为双曲线的左、右焦点，过点的直线与双曲线的左支交于，两点，记的内切圆半径为，的内切圆半径为，若，则双曲线的离心率为_______． 【答案】## 【解析】 【分析】根据双曲线定义及内切圆性质可知轴于点，且为双曲线的左焦点，设，，根据直角三角形正切值可得，结合，可得离心率. 【详解】如图所示，设内切圆圆心为，内切圆圆心， 且圆与各边分别相切于，，， 则，，， 又点在双曲线左支， 则， 则，且轴， 即点在直线上， 同理点在直线上， 即轴于点，且， 设，则， 则，， 即， 又，则， 化简可得，即， 解得或（舍）， 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知的三个顶点分别为． （1）求边的中线和高所在直线的方程； （2）若直线l过顶点A，且原点到直线l的距离为2，求直线l的方程． 【答案】（1） （2）或． 【解析】 【分析】（1）中点坐标公式得到中点坐标，由两点求斜率用点斜式写出中线方程；由斜率得到高的斜率，点斜式写出直线方程； （2）谈论斜率是否存在，当斜率不存在时，符合题意；当斜率不存在时，设出直线方程，由点到直线距离求出斜率，写出直线方程. 【小问1详解】 ①边的中点为，又直线的斜率为， 边上的中线所在直线的方程为，即． ②直线的斜率为，边上的高所在直线的斜率为， 边上的高所在直线的方程为，即． 【小问2详解】 ①当直线的斜率不存在时，直线的方程为，符合题意； ②当直线的斜率存在时，直线的方程可设为，即， 由题意，原点到直线的距离为2，即，解得， 所求直线的方程为． 综上，所求直线的方程为或． 16. 已知双曲线过点，右焦点到渐近线的距离为． （1）求双曲线的标准方程； （2）若直线过双曲线的右焦点，与双曲线交于两点，满足，求直线的方程． 【答案】（1） （2），或 【解析】 【分析】（1）借助点到直线的距离公式计算可得，再代入点计算即可得，即可得； （2）分直线斜率不存在、斜率存在进行讨论，当斜率存在时，设出直线方程，借助韦达定理与弦长公式计算即可得. 【小问1详解】 由点到直线的距离公式可知： 右焦点到渐近线的距离为， 又双曲线C过点，所以，解得， 所以双曲线C的方程为； 【小问2详解】 由（1）可知：右焦点坐标为， 当直线的斜率不存在时，，，满足题意； 当直线的斜率存在时， 设，联立 消去y得， 所以， 设，则， 所以 ． 则，解得，即，满足； 所以直线的方程为 ，或． 17. 已知圆C的圆心为，且圆C与直线相切． （1）求圆C的标准方程； （2）圆，是否存在实数a，使得圆E与圆O公共弦的长度为4，若存在，求实数a的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）存在实数 【解析】 【分析】（1）根据圆上切线的性质，利用点到直线距离，求得半径，可得答案； （2）根据两圆的位置关系，求得参数的取值范围，利用勾股定理，建立方程，可得答案. 【小问1详解】 设圆C的半径为r，由题意，圆C与直线相切， 则圆心C到直线的距离是圆C的半径，即， 所以圆C的标准方程为． 【小问2详解】 圆的圆心为，半径为a， 两个圆有公共弦，则， 即，解得， 由得两圆公共弦所在直线方程为， 又两圆的公共弦长为4，则圆心C到公共弦所在直线的距离为 ，且，即，所以， 解得或，又，所以， 故存在实数，使得圆E与圆C公共弦的长度为4． 18. 已知为椭圆的右焦点，分别为椭圆C的左、右顶点，且椭圆C过点． （1）求椭圆C的标准方程； （2）过点F作直线l与椭圆C交于两点（不同于），设直线与直线交于点D，证明：点D在定直线上． 【答案】（1） （2） 若直线l的斜率为0，此时两点与重合，不合题意，舍去， ，设直线l的方程为， 由，得． 显然恒成立，设， 所以有① 直线的方程为，直线的方程为， 联立两方程可得，所以， ， 由①式可得， 代入上式可得， 即，解得，故点D在定直线上. 【解析】 【分析】（1）由椭圆定义求出，结合焦点坐标，得到，得到椭圆方程； （2）设直线l的方程为，联立椭圆方程，设，得到两根之和，两根之积，表达出直线和直线的方程，联立求出，解得，故点D在定直线上. 【小问1详解】 ，由椭圆定义知 ， 所以，又， 所以椭圆C的标准方程为； 【小问2详解】 略 19. 已知椭圆的长轴长为，该椭圆上的点与左焦点间的距离的最大值为. （1）求椭圆C的标准方程； （2）设直线l与椭圆C交于两点，M为线段的中点，O为原点，射线与椭圆C交于点N，且，记的面积分别为，求的取值范围. 【答案】（1） （2）. 【解析】 【分析】（1）根据椭圆几何性质可得，即可求出椭圆C的标准方程； （2）当直线的斜率不存在时，易知，当直线的斜率存在时，求得的表达式再根据单调性即可得出结果. 【小问1详解】 由题意， 又， 椭圆C的方程为. 【小问2详解】 为线段的中点，， ①当直线的斜率不存在时，由及椭圆的对称性， 不妨设所在直线的方程为，得， 则； ②当直线的斜率存在时，设直线， 如下图所示： 由，消去y，得， ，即， ， ， ， ， 化简得，经检验，成立， 线段的中点， 当时，，此时， 当时，射线所在直线方程为， 与椭圆联立，消去y得， ， ， ， 综上，的取值范围为. 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，注意的判断； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式； （5）代入韦达定理求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 石家庄二中教育集团2024-2025学年度高二年级上学期期中考试 数学试卷 （时间：120分钟，分值150分，命题人 李延军 审题人 马燕） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. “”是“方程表示椭圆”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知双曲线，则其渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 4. 已知直线与平行，则实数（ ） A. 或1 B. 3或 C. D. 1 5. 已知直线与圆相交于两点，若，则实数（ ） A. 或8 B. 2或 C. 或9 D. 1或 6. 直线恒过定点，若是椭圆的一条弦的中点，则该弦所在的直线方程为（ ） A. B. C. D. 7. 若第一象限内的点关于直线的对称点在直线上，则的最小值为（ ） A. 1 B. 4 C. 10 D. 16 8. 已知的顶点分别为原点，圆C为的外接圆，M为圆C上一动点，若点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法在确的是（ ） A. 若方程表示直线，则 B. 分别为直线与上任意一点，则的最小值为 C. 直线l过点且在两坐标轴上的截距相等，则直线l的方程为 D. 直线与相交于点，则过点，的直线方程为 10. 已知P是直线上一动点，Q是圆上一动点，过点P作圆O的两条切线，切点分别为、，则( ). A. 点Q到直线l的距离的取值范围为 B. 直线恒过定点 C. 四边形的面积的最小值为 D. 的最小值为3 11. 已知，若平面内动点满足，则称点P的轨迹为双纽线，下列结论正确的是（ ） A. 双纽线是轴对称图形 B. 的面积的最大值为 C. D. 直线与双纽线有三个交点 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知为椭圆的两个焦点，M为椭圆C上一点，若，则的面积为______． 13. 若直线与圆和圆都相切，则______． 14. 已知，分别为双曲线的左、右焦点，过点的直线与双曲线的左支交于，两点，记的内切圆半径为，的内切圆半径为，若，则双曲线的离心率为_______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知的三个顶点分别为． （1）求边的中线和高所在直线的方程； （2）若直线l过顶点A，且原点到直线l的距离为2，求直线l的方程． 16. 已知双曲线过点，右焦点到渐近线的距离为． （1）求双曲线的标准方程； （2）若直线过双曲线的右焦点，与双曲线交于两点，满足，求直线的方程． 17. 已知圆C的圆心为，且圆C与直线相切． （1）求圆C的标准方程； （2）圆，是否存在实数a，使得圆E与圆O公共弦的长度为4，若存在，求实数a的值；若不存在，请说明理由． 18. 已知为椭圆的右焦点，分别为椭圆C的左、右顶点，且椭圆C过点． （1）求椭圆C的标准方程； （2）过点F作直线l与椭圆C交于两点（不同于），设直线与直线交于点D，证明：点D在定直线上． 19. 已知椭圆的长轴长为，该椭圆上的点与左焦点间的距离的最大值为. （1）求椭圆C的标准方程； （2）设直线l与椭圆C交于两点，M为线段的中点，O为原点，射线与椭圆C交于点N，且，记的面积分别为，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $