精品解析：上海市上海大学附属中学2024-2025学年高三上学期期中考试数学试卷

2024学年第一学期上大附中期中测试 高三年级 数学试卷 试卷满分150分 答题时间：120分钟 本卷为试题部分，考生应将试题答案写在答题纸上 一.填空题（本大题共12题，满分54分，第题每题4分，第题每题5分）考生应在答题纸的相应编号位置直接填写结果. 1. 幂函数的定义域为________________. 2. 已知直线1过点，且它的一个法向量，则该直线的一般式方程为__________ 3. 设，则__________ 4. 设等比数列满足a1 + a2 = –1, a1 – a3 = –3，则a4 = ___________． 5. 已知两个正数，的几何平均值为1，则的最小值为____________． 6. 已知、，设点、在平面上的投影分别为、，则向量的坐标为____________ 7. 已知，且与的终边关于原点对称，则的取值范围为__________. 8. 从0、1、2、3、4、5、6、7、8、9这10个数中任取5个不同的数，则这5个不同的数的中位数为4的概率为__________（用最简分数表示） 9. 已知函数，，若对任意的，总存在使得成立，则实数的取值范围是_______. 10. 对24小时内降水在平地上的积水厚度进行如下定义： 0~10 10~25 25~50 50~100 ①小雨 ②中雨 ③大雨 ④暴雨 小明用了一个圆锥形容器接了24小时的雨水，则这一天的雨水属于等级__________．（只填入雨水等级所对应的序号） 11. 平面直角坐标系中，动圆与轴交于，两点，与轴交于，两点，若与均为正常数，则的圆心轨迹在__________图形上（写出所有的正确序号）. （1）两条直线；（2）圆；（3）椭圆；（4）双曲线；（5）抛物线 12. 我们称（为正整数）元有序实数组为维向量，为该向量的范数.已知维向量，其中，记范数为奇数的的个数为，则___________________ 二.选择题（本大题共有4题，满分18分，第题每题4分，第题每题5分）每题有且仅有一个正确选项，考生应在答题纸的相应编号位置将代表正确选项的小方格涂黑. 13. 已知，，则“”是“等号成立”的（ ） A. 充分非必要条件； B. 必要非充分条件； C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件 14. 设，是两个平面，，，是三条直线，则下列命题为真命题的是（ ） A. 若，，，则 B. 若，，，则 C. 若，，，则 D. 若，，则 15. 对于一个古典概型的样本空间和事件、、、，其中，，，，，，，，则（ ）（注：表示集合的元素个数） A. 与不互斥 B. 与互斥但不对立 C. 与互斥 D. 与相互独立 16. 设，集合，集合，对于集合B有下列两个结论：①存在a和b，使得集合B中恰有5个元素；②存在a和b，使得集合B中恰有4个元素．则下列判断正确的是（ ） A. ①②都正确 B. ①②都错误 C. ①错误，②正确 D. ①正确，②错误 三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤. 17. 已知向量，.设. （1）求函数的最小正周期以及单调增区间； （2）在中，角、、所对的边分别为、、.若，，的面积为，求边的长. 18. 如图，在直三棱柱中，，，，是棱上的一点. （1）若，求异面直线与所成的角的大小； （2），求点到平面的距离. 19. 已知函数. （1）设是图象上的两点，直线斜率存在，求证：； （2）求函数在区间上的最大值. 20. 已知椭圆的下顶点为，右焦点为，离心率为，是椭圆上一动点，当直线经过点时，原点到直线的距离为. （1）求椭圆的标准方程； （2）设直线与圆相交于点（异于点），关于的对称点记为，直线与椭圆相交于点（异于点）. ①若，求的面积； ②设直线、的斜率分别为、，试探究是否为定值，并说明理由. 21. 已知，其中. （1）若曲线在点处的切线与直线垂直，求的值； （2）设，函数在时取到最小值，求关于的表达式，并求的最大值； （3）当时，设，数列满足，且，证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024学年第一学期上大附中期中测试 高三年级 数学试卷 试卷满分150分 答题时间：120分钟 本卷为试题部分，考生应将试题答案写在答题纸上 一.填空题（本大题共12题，满分54分，第题每题4分，第题每题5分）考生应在答题纸的相应编号位置直接填写结果. 1. 幂函数的定义域为________________. 【答案】 【解析】 【分析】 根据函数解析式，则被开方数大于等于零，即可求出函数的定义域； 【详解】解：因为，所以，所以函数的定义域为 故答案为： 2. 已知直线1过点，且它的一个法向量，则该直线的一般式方程为__________ 【答案】 【解析】 【分析】由直线的法向量可求得直线的斜率，再由点斜式方程可得解. 【详解】直线1的一个法向量，则该直线的斜率为，直线过， 由点斜式得到直线方程为,化简得到一般方程：. 故答案为：. 3. 设，则__________ 【答案】25 【解析】 【分析】根据复数的共轭概念和乘法运算即可； 【详解】， 故答案为：25. 4. 设等比数列满足a1 + a2 = –1, a1 – a3 = –3，则a4 = ___________． 【答案】-8 【解析】 【详解】设等比数列的公比为，很明显，结合等比数列的通项公式和题意可得方程组： ，由可得：，代入①可得， 由等比数列的通项公式可得. 【名师点睛】等比数列基本量的求解是等比数列中的一类基本问题，解决这类问题的关键在于熟练掌握等比数列的有关公式并能灵活运用，尤其需要注意的是，在使用等比数列的前n项和公式时，应该要分类讨论，有时还应善于运用整体代换思想简化运算过程. 5. 已知两个正数，的几何平均值为1，则的最小值为____________． 【答案】 【解析】 【分析】由几何平均值的定义得到，利用基本不等式求解即可. 【详解】由题意得，即，故，当且仅当时，等号成立， 故答案为：2 6. 已知、，设点、在平面上的投影分别为、，则向量的坐标为____________ 【答案】 【解析】 【分析】根据题设有，利用向量的坐标表示求结果. 【详解】由题设，故. 故答案为： 7. 已知，且与的终边关于原点对称，则的取值范围为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据与的终边关于原点对称求解出的终边对应的角度范围求解； 【详解】因为，与的终边关于原点对称， 所以的终边对应的角度范围为， 的取值范围为. 故答案为：. 8. 从0、1、2、3、4、5、6、7、8、9这10个数中任取5个不同的数，则这5个不同的数的中位数为4的概率为__________（用最简分数表示） 【答案】 【解析】 【分析】首先利用组合数求出基本事件总数以及这5个不同的数的中位数为4的基本事件数，然后利用古典概型的概率计算公式求解即可． 【详解】根据题意，从10个数中任取5个数，则基本事件总数为， 而这5个数的中位数是4的基本事件数为， 故这5个不同的数的中位数为4的概率为. 故答案为：. 9. 已知函数，，若对任意的，总存在使得成立，则实数的取值范围是_______. 【答案】 【解析】 【分析】将题中的已知条件转化为两个函数值域的关系求解即可. 【详解】函数在的值域为， 函数在的值域为， 因为对任意的，总存在使得成立， 所以，所以，解得. 故答案为： 10. 对24小时内降水在平地上的积水厚度进行如下定义： 0~10 10~25 25~50 50~100 ①小雨 ②中雨 ③大雨 ④暴雨 小明用了一个圆锥形容器接了24小时的雨水，则这一天的雨水属于等级__________．（只填入雨水等级所对应的序号） 【答案】中雨 【解析】 【分析】由圆锥的体积公式，求出雨水的体积，再除以圆的面积，即可求解. 【详解】设圆锥形容器中积水水面半径为，则，解得， 所以积水厚度为，所以. 所以一天的雨水属于中雨. 故答案为：中雨. 11. 平面直角坐标系中，动圆与轴交于，两点，与轴交于，两点，若与均为正常数，则的圆心轨迹在__________图形上（写出所有的正确序号）. （1）两条直线；（2）圆；（3）椭圆；（4）双曲线；（5）抛物线 【答案】（1）（4） 【解析】 【分析】令的圆心为，半径为，得到，，进而有，即可得轨迹. 【详解】令的圆心为，半径为，则，， 所以，，故， 当时，表示两条直线； 当时，与均为正常数，为双曲线； 综上，圆心轨迹可能为（1）（4）. 故答案为：（1）（4） 12. 我们称（为正整数）元有序实数组为维向量，为该向量的范数.已知维向量，其中，记范数为奇数的的个数为，则___________________ 【答案】 【解析】 【分析】考虑当为偶数时，的个数为奇数，当为奇数时，的个数为偶数，根据乘法原理和加法原理，以及和的展开式的加减，求得的通项公式. 【详解】当为偶数时，范数为奇数，则的个数为奇数，则的个数为 根据乘法原理和加法原理可得：， 因① ② 由，故； 当为奇数时，范数为奇数，则的个数为偶数，则的个数为 根据乘法原理和加法原理可得：， 因① ② 由，故. 综上，，故. 故答案为： . 【点睛】关键点点睛：本题考查了向量的新定义，乘法原理，加法原理，二项式定理，数列的通项公式，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中利用和的展开式求数列通项是解题的关键，需要灵活掌握. 二.选择题（本大题共有4题，满分18分，第题每题4分，第题每题5分）每题有且仅有一个正确选项，考生应在答题纸的相应编号位置将代表正确选项的小方格涂黑. 13. 已知，，则“”是“等号成立”的（ ） A. 充分非必要条件； B. 必要非充分条件； C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据充分条件和必要条件来判断. 【详解】当时，即成立， 当时，恒成立，时，满足，即推不出， 故“”是“等号成立”的充分不必要条件. 故选：A. 14. 设，是两个平面，，，是三条直线，则下列命题为真命题的是（ ） A. 若，，，则 B. 若，，，则 C. 若，，，则 D. 若，，则 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，结合线面位置关系的判定定理和性质定理，逐项判定，即可求解. 【详解】对于A中，若，，，则相交或平行，所以A错误； 对于B中，若，，由线面平行的性质可得，所以 B正确； 对于C中，若，，，当两两相交时，两两相交，所以C错误； 对于D中，若，，则或，所以D错误. 故选：B. 15. 对于一个古典概型的样本空间和事件、、、，其中，，，，，，，，则（ ）（注：表示集合的元素个数） A. 与不互斥 B. 与互斥但不对立 C. 与互斥 D. 与相互独立 【答案】D 【解析】 【分析】由已知条件结合事件的运算判断事件间的互斥、对立关系，根据的关系判断事件是否独立. 【详解】对于A，因为，，， 则，故A、B互斥，A错误； 对于B，因为，所以A、D互斥且对立，B错误； 对于C，因为，，A、D对立， 则，C与D不互斥，C错误； 对于D，由，，， 所以，即A与C相互独立，D正确. 故选：D. 16. 设，集合，集合，对于集合B有下列两个结论：①存在a和b，使得集合B中恰有5个元素；②存在a和b，使得集合B中恰有4个元素．则下列判断正确的是（ ） A. ①②都正确 B. ①②都错误 C. ①错误，②正确 D. ①正确，②错误 【答案】A 【解析】 【分析】由题意可知，对于①举例分析判断即可，对于②，若，则，然后构造函数，利用导数结合零点存性定理可确定出，从而可进行判断. 【详解】当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 因为，所以， 当时，， ，， 所以，有5个元素，所以①正确， 若，则，得， 令，则， 令，则， 所以在上递增，即在上递增， 所以当时，， 所以在上递增， 因为， 所以存在，使，即存在，成立， 此时， 所以存在a和b，使得集合B中恰有4个元素，所以②正确， 故选：A 【点睛】关键点点睛：判断结论②的关键是构造函数，利用导数和零点存在性定理分析判断. 三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤. 17. 已知向量，.设. （1）求函数的最小正周期以及单调增区间； （2）在中，角、、所对的边分别为、、.若，，的面积为，求边的长. 【答案】（1）最小正周期为，单调增区间为，； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用向量数量积的坐标表示及倍角、辅助角公式化简，根据正弦型函数性质求最小正周期和递增区间； （2）由已知可得，应用面积公式求得，最后由余弦定理求边的长. 【小问1详解】 由题设，易知其最小正周期为， 令，，则，， 所以单调增区间为，. 【小问2详解】 由题设，则，，即， 又，则， 所以. 18. 如图，在直三棱柱中，，，，是棱上的一点. （1）若，求异面直线与所成的角的大小； （2），求点到平面的距离. 【答案】（1）； （2）0或. 【解析】 【分析】（1）根据题设建立合适的空间直角坐标系，应用向量法求异面直线的夹角； （2）根据（1）所建立的坐标系，设且，从而得到，由结合空间向量垂直的坐标表示求参数，最后应用点面距离的向量求法求点面距. 【小问1详解】 由题设面，且，，， 所以，而， 建如下图示空间直角坐标系， 则， 所以，， 则， 所以异面直线与所成的角的大小为. 【小问2详解】 若且，则， 所以，故， 由，则，可得，所以或， 当，则与点重合，此时点到平面的距离为0； 当，则，则，，， 令面的一个法向量为，则， 若，则， 此时点到平面的距离为. 综上，点到平面的距离为0或. 19. 已知函数. （1）设是图象上的两点，直线斜率存在，求证：； （2）求函数在区间上的最大值. 【答案】（1）证明见解析；（2）当时，；当时，. 【解析】 【分析】（1）由解析式判断的单调性，进而判断k的符号，即可证结论. （2）由题设整理，令有，根据二次函数的性质可求区间最大值. 【详解】（1）∵单调递增，单调递减， ∴在定义域上是单调增函数，而， ∴恒成立，结论得证. （2）由题意，有且， 令，则，开口向上且对称轴为， ∴当，即时，，即； 当，即时，，即； 20. 已知椭圆的下顶点为，右焦点为，离心率为，是椭圆上一动点，当直线经过点时，原点到直线的距离为. （1）求椭圆的标准方程； （2）设直线与圆相交于点（异于点），关于的对称点记为，直线与椭圆相交于点（异于点）. ①若，求的面积； ②设直线、的斜率分别为、，试探究是否为定值，并说明理由. 【答案】（1） （2）①； ②证明：直线的斜率， 直线的斜率. 所以为定值，得证. AI 【解析】 【分析】（1）运用椭圆的离心率公式以及点到直线的距离公式，解方程可得，，，进而得到所求椭圆方程； （2）①设直线的斜率为，则直线的方程为，联立椭圆方程可得的坐标，联立圆方程可得的坐标，运用两直线垂直的条件：斜率之积为，求得的坐标，由可得，求得，坐标，以及，，由的面积为，计算可得；②运用两点的斜率公式，分别计算线的斜率为，直线的斜率为，即可得证. 【小问1详解】 据题意，椭圆的离心率为，即. 当直线经过点时，直线的方程为，即， 由原点到直线的距离为，可知，即. 联立可得，，，故. 所以椭圆的方程为. 【小问2详解】 ①据题意，直线的斜率存在，且不为0， 设直线的斜率为，则直线的方程为， 联立，整理可得， 所以或. 所以点的坐标为， 联立和， 整理可得，所以或. 所以点的坐标为. 显然，是圆的直径，故， 所以直线的方程为. 用代替，得点的坐标为， 即. ①由可得，， 即，解得. 根据图形的对称性，不妨取， 则点，的坐标分别为，， 故，. 所以的面积为. ②为定值,理由略. 【点睛】知识点点睛：本题主要考查椭圆的方程和性质，考查直线和椭圆方程联立，以及直线与圆的方程联立，解方程求交点，考查直线的斜率公式的运用以及“设而不求，整体代换的思想”，化简整理的运算能力，计算量较大，属于中档题． 21. 已知，其中. （1）若曲线在点处的切线与直线垂直，求的值； （2）设，函数在时取到最小值，求关于的表达式，并求的最大值； （3）当时，设，数列满足，且，证明：. 【答案】（1）2 （2），1 （3） 要证，即证， 由，则不等式等价于. 由，则， 令， 则，对任意恒成立， 故在为严格减函数， 要证，只需证明，即证明. 由，即证，即证， 而，在为严格减函数，即证. 由，则， 在上，为严格减函数；在上，为严格增函数. 所以，又，所以，同理. 所以. 【解析】 【分析】（1）根据导数与函数曲线切线的关系，结合直线垂直斜率的关系，可得答案； （2）根据导数与函数单调性的关系，利用换元法，建立新函数，可得答案； （3）利用综合法，整理不等式，构建新函数，利用导数研究函数单调性求最值. 【小问1详解】 由，则，由直线，则其斜率为， 由切线与上述直线垂直，则，解得. 【小问2详解】 解法一： 由，则， 当时，显然，则有两异号实根，设为其正根， 则在上，在上， 即在上为严格减函数，在上为严格增函数， 故，的最小值. 令，， 在上，为严格增函数；在上，为严格减函数； 的最大值在取到，故. 综上：，的最大值为1. 解法二： 由，则， 当时，显然，则有两异号实根，设为其正根， 满足在上，在上， 即在上为严格减函数，在上为严格增函数，且， 由求根公式，， 令， 由，则， 当时，，故，此时为严格减函数， 当时，，故，此时为严格增函数， 故. 综上：，的最大值为1. 【小问3详解】 略 【点睛】本题的解题关键在于导数研究函数的单调性，对于导数的化简一般有两种方法：1、对其进行分解因式；2、当导数为分式时，分子与分母分开研究；3、建立新函数，再次求导研究新函数的单调性和最值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $