精品解析：广东省阳江市高新区2024-2025学年高二上学期11月期中测试数学试题

2024-2025学年度第一学期高二期中测试 数学试题 本试卷共4页，22小题，满分150分.考试用时120分钟. 注意事项： 1．答题前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上.用2B铅笔将试卷类型填涂在答题卡相应位置上.将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”. 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上. 3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效. 4．考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若复数满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设出复数，利用复数的乘方运算求出复数，再求出共轭复数，再计算除法即可. 【详解】设，则 又，得到， 所以，所以或，得到， 所以. 故选：B. 2. 已知平面上的两个非零向量，满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】借助向量数量积公式计算可得，再利用向量夹角公式计算即可得. 【详解】由，故， 则，又，故. 故选：B. 3. 函数在区间单调递减，则实数取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】时，代入可知满足题意；时，求出二次函数的对称轴结合函数在右半部分单调递减得出开口方向，列出不等式组，求解即可得出答案． 【详解】当时，在上单调递减，满足题意； 当时，的对称轴为直线，由在上单调递减， 知，解得． 综上，a的取值范围为． 故选：D 4. （ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用诱导公式以及逆用两角和的正弦公式求解. 【详解】 . 故选:D 5. 已知四棱锥的底面是正方形，顶点在底面的射影是底面的中心，高为.若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，且该圆柱的体积为，则四棱锥的底面的边长为（ ） A. B. 6 C. D. 9 【答案】A 【解析】 【分析】作出组合体的截面，确定圆柱的高，利用圆柱的体积求得圆柱底面的半径，进而得到底面正方形的边长. 【详解】 如图四棱锥的底面四边形为正方形，高， 作截面（如下图）点，点分别为，的中点，点为是正方形的中心也是圆柱底面圆的圆心. 依题意可知， 所以 所以， 所以， 所以. 故选：A. 6. 已知向量，，且，则（ ） A. B. 4 C. D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】先求出的坐标，利用模长公式求出参数，再求. 【详解】，，， ∵，∴，， 所以， 故选：A． 7. 已知，且，则的最大值为（ ） A. 9 B. 12 C. 36 D. 48 【答案】C 【解析】 【分析】设与，为的中点，可证明点在以为圆心，2为半径的圆上，由，结合两点距离的几何意义即可求解. 【详解】设与为圆上一点， 则，得，， 即为等腰直角三角形，设为的中点， 则，得， 即点在以为圆心，2为半径的圆上， 故， 因为点到定点D的距离的最大值为， 因此的最大值为36. 故选：C 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是将原问题化为，根据两点距离的几何意义求解即可. 8. 已知圆D：与x轴相交于A、B两点，且圆C：，点．若圆C与圆D相外切，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据圆与圆相外切，可得，再根据圆的对称性不妨令，再分，和三种情况讨论即可. 【详解】圆D：的圆心，半径为， 圆C：的圆心，半径为， 因为圆与圆相外切，所以，所以， 且圆与轴交于，不妨记， 因为圆关于轴对称，点与点关于轴对称，点在轴上， 由对称性不妨令， 当时，则，解得， 故 ， 当时，则，解得， 此时， 故， 当时，则，解得， 故 ， 综上所述，的最大值为. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：将表示的坐标重新表示为线段长度从而方便正切公式的计算，是解决本题的关键. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 在正方体中，为的中点，是正方形内部及边界上一点，则下列说法正确的是（ ） A. 平面平面 B. 当时，点的轨迹长度为 C. 平面内存在一条直线与直线成角 D. 将以边所在的直线为轴旋转一周，则在旋转过程中，到平面的距离的取值范围是 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，先证明平面，再利用面面垂直的判定定理即可判断；对于B，确定点F在以H为圆心，半径为2的圆上运动，结合弧长公式即可判断；对于C，求出EF与平面所成角的最小值，即可判断；对于D，判断出点的运动轨迹，进而结合圆的几何性质进行求解. 【详解】对于A，连接，则, 又平面平面，故, 平面，故平面， 平面，故，同理， 平面，故平面， 平面，故平面平面，A正确； 对于B，取的中点为H，连接， 则平面，平面，故， 由于，故， 即点F在以H为圆心，半径为2的圆上运动， 结合题意知F轨迹为该圆在平面内的圆弧，如图圆弧， 则，则， 故F轨迹长度为，B正确； 对于C，从正方体中分离出四棱锥，的中点为H， 平面，则， ， 则EF与平面所成角的最小值为，, 即，故平面内不存在一条直线与直线成角，C错误； 对于D，连接交于N，取的中点为M， 连接，则点的轨迹为平面内以N为圆心，为半径的圆， 又正方体性质知，由知， 而平面，故平面， 平面，故平面平面; 又平面平面，故， 结合，平面， 故平面，平面， 故，则， 设与圆的交点分别为， 当点位于处时，到平面的距离分别取到最大值和最小值， 最大值为， 最大值为， 故到平面的距离的取值范围是，D正确 故选：ABD. 【点睛】难点点睛：解答本题的难点在于选项D的判断，解答时要注意判断出点的运动轨迹，进而结合圆的几何性质进行求解. 10. 如图，四边形为正方形，平面平面，且为正三角形，为的中点，则下列命题中正确的是（ ） A. 平面 B. C. 直线与所成角的余弦值为 D. 点到平面的距离为 【答案】BD 【解析】 【分析】根据已知条件建立空间直角坐标系，根据向量法证明线面平行，可判断A，根据面面垂直的性质定理可得到选项B，根据向量法可得到两直线所成角的余弦值，即可得到C，再根据空间中点面距离公式得到选项D. 【详解】取的中点，连接， 因为为正三角形，为的中点，则， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 又因为四边形为正方形，以点为原点，的方向为轴的正方向， 建立空间直角坐标系，如图所示， ，， 对于A，，由图易知平面的一个法向量为， 因为，故与平面不平行，故A错误； 对于B，因为四边形为正方形，所以， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面，又平面，所以，故B正确； 对于C，，， ， 所以直线与所成角的余弦值为，故C错误； 对于D，， 设平面的法向量为，则， 令，则，所以， 点到平面的距离，故选项D正确； 故选：BD. 11. 点A，B为圆上的两点，点为直线上的一个动点，则下列说法正确的是（ ） A. 当，且AB为圆的直径时，面积的最大值为3 B. 从点P向圆M引两条切线，切点分别为A，B，的最小值为 C. A，B为圆M上的任意两点，在直线l上存在一点P，使得 D. 当时，的最大值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，确定，当AB垂直于x轴时，面积最大，即可判断，对于B，设，求出，结合余弦函数性质即可判断，对于C，结合正弦函数性质判断出，即可判断；对于D，设D为AB的中点，则，判断点D在以M为圆心，为半径的圆上，结合的最大值为即可判断. 【详解】对于A，当，且AB为圆的直径时， 此时，当AB垂直于x轴时，面积最大， 不妨取，则，A正确； 对于B，设，设交于N， 由圆的切线性质知∽，则， 故，当最大时，最小， 当位于时，最大，此时， 则，即的最小值为，B正确； 对于C，由B的分析可知当位于时，最大，此时， 即，则，故在直线l上不存在一点P，使得，C错误； 对于D，设D为AB的中点，则， 连接MD，则，则， 故点D在以M为圆心，为半径的圆上，结合， 可得的最大值为, 故的最大值为，D正确， 故选：ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 在中，角，，所对的边分别为，，，满足则角_____. 【答案】## 【解析】 【分析】由正弦定理可得，再由余弦定理可得，即可求角. 【详解】因为， 由正弦定理可得， 整理得， 由余弦定理可得， 因为， 所以. 故答案为： 13. 已知正四面体的边长为2，点M，N为棱BC，AD的中点，点E，F分别为线段AM，CN上的动点，且满足，则线段EF长度的最小值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，取定空间的基底，利用空间向量的线性运算表示向量，再利用向量数量积的运算律，结合二次函数求出最小值. 【详解】在棱长为2的正四面体中，由点M，N为棱BC，AD的中点，得， 由点E，F分别在线段AM，CN上，，令，则， 所以 ，又， ，， 故 ， 当时，，所以线段EF长度的最小值为. 故答案为： 【点睛】思路点睛：取定空间的一个基底，表示向量，再利用向量运算求解. 14. 已知曲线与直线有且仅有一个公共点，那么实数的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】根据方程可知直线恒过定点，曲线为半圆，画出图象，数形结合可得到的取值范围． 【详解】直线恒过点. 由得，表示以为圆心，为半径的半圆，该半圆在直线的上方. 当直线与半圆相切于点时，直线方程可化为： ， 根据圆心到直线的距离等于半径得：，解得， 当直线过点时，，此时直线与曲线有两个公共点， 当直线过点时，直线斜率不存在，此时直线与曲线有一个公共点， 综上得，实数的取值范围是. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 的内角的对边分别为，已知． （1）求角； （2）若，的面积为，求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理边化角，即可求得答案； （2）由三角形面积求出c，再利用余弦定理即可求得答案. 【小问1详解】 由题意知，即， 由于， 故，即，结合，则； 【小问2详解】 ，，的面积为，则，则， 故， 故. 16. 如图，四棱锥的底面是正方形，侧棱底面，，E是的中点. （1）证明：平面； （2）求二面角的平面角的余弦值. 【答案】（1） 连接，交于点， 由底面是正方形，可知为的中点， 又是的中点，是的中位线， ， 又平面，平面， 平面. （2） 【解析】 【分析】（1）连接，交于点，根据中位线定理和线面平行的判定定理进行证明. （2）利用线面垂直的判定定理和性质定理及平面几何的知识，证明得到是二面角的平面角，从而计算得到结果. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 设，， 底面，底面，， 即是直角三角形，， 又E是的中点，， 同理可得，且，，平面， 平面，， 在直角中，， ，， 又，二面角的平面角为， . 二面角的平面角的余弦值为. 17. 文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，作为普通市民，既是文明城市的最大受益者，更是文明城市的主要创造者，某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：，，得到如图所示的频率分布直方图． （1）求频率分布直方图中的值； （2）求样本成绩的第75百分位数； 【答案】（1）0.030 （2）84． 【解析】 【分析】（1）利用频率分布直方图各小矩形面积和为1求出即得. （2）利用第75百分位数的定义，结合频率分布直方图列式计算即得. 【小问1详解】 由频率分布直方图中各小矩形的面积之和为1， 得， 所以. 【小问2详解】 成绩落在内的频率为， 落在内的频率为， 则样本成绩的第75百分位数为，由，得， 所以样本成绩的第75百分位数为84. 18. 如图，在四棱锥中，底面为菱形，是边长为的正三角形，，平面平面. （1）求证：； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）证明：如图，取的中点，连接， 因为是边长为的正三角形，所以， 在菱形中，，则为等边三角形，所以， 又平面，所以平面， 又平面，所以. （2） 【解析】 【分析】（1）取的中点，连接，根据条件得到，，由线面垂直的判定理得平面，再由线面垂直的性质定理，即可证明结果； （2）根据条件，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量和，利用线面角的向量法，即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）得， 因为平面平面，平面平面平面， 所以平面， 如图，以点为原点，分别以为轴正方向建立空间直角坐标系. 因，则. 设平面的法向量为，则有， 令，则，所以， 因为，记直线与平面所成角为， 则 所以直线与平面所成角的正弦值为. 【点睛】 19. 已知直线的方程为：. （1）求证：不论为何值，直线必过定点； （2）过（1）中的点引直线交坐标轴正半轴于，两点，求面积的最小值. 【答案】（1）证明：由，可得， 令，所以直线过定点. （2）4 【解析】 【分析】（1）把直线方程写成，由可得定点坐标. （2）设过点直线方程的点斜式，求出与坐标轴交点坐标，利用基本（均值）不等式求三角形面积的最小值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知，直线恒过定点，由题意可设直线的方程为， 设直线与轴，轴正半轴交点为，，令，得；令，得， 所以面积， 当且仅当，即时，面积最小值为4. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度第一学期高二期中测试 数学试题 本试卷共4页，22小题，满分150分.考试用时120分钟. 注意事项： 1．答题前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上.用2B铅笔将试卷类型填涂在答题卡相应位置上.将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”. 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上. 3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效. 4．考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若复数满足，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知平面上的两个非零向量，满足，则（ ） A. B. C. D. 3. 函数在区间单调递减，则实数取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. （ ） A. B. C. D. 5. 已知四棱锥的底面是正方形，顶点在底面的射影是底面的中心，高为.若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，且该圆柱的体积为，则四棱锥的底面的边长为（ ） A. B. 6 C. D. 9 6. 已知向量，，且，则（ ） A. B. 4 C. D. 8 7. 已知，且，则的最大值为（ ） A. 9 B. 12 C. 36 D. 48 8. 已知圆D：与x轴相交于A、B两点，且圆C：，点．若圆C与圆D相外切，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 在正方体中，为的中点，是正方形内部及边界上一点，则下列说法正确的是（ ） A. 平面平面 B. 当时，点的轨迹长度为 C. 平面内存在一条直线与直线成角 D. 将以边所在的直线为轴旋转一周，则在旋转过程中，到平面的距离的取值范围是 10. 如图，四边形为正方形，平面平面，且为正三角形，为的中点，则下列命题中正确的是（ ） A. 平面 B. C. 直线与所成角的余弦值为 D. 点到平面的距离为 11. 点A，B为圆上的两点，点为直线上的一个动点，则下列说法正确的是（ ） A. 当，且AB为圆的直径时，面积的最大值为3 B. 从点P向圆M引两条切线，切点分别为A，B，的最小值为 C. A，B为圆M上的任意两点，在直线l上存在一点P，使得 D. 当时，的最大值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 在中，角，，所对的边分别为，，，满足则角_____. 13. 已知正四面体的边长为2，点M，N为棱BC，AD的中点，点E，F分别为线段AM，CN上的动点，且满足，则线段EF长度的最小值为__________. 14. 已知曲线与直线有且仅有一个公共点，那么实数的取值范围是______. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 的内角的对边分别为，已知． （1）求角； （2）若，的面积为，求． 16. 如图，四棱锥的底面是正方形，侧棱底面，，E是的中点. （1）证明：平面； （2）求二面角的平面角的余弦值. 17. 文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，作为普通市民，既是文明城市的最大受益者，更是文明城市的主要创造者，某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：，，得到如图所示的频率分布直方图． （1）求频率分布直方图中的值； （2）求样本成绩的第75百分位数； 18. 如图，在四棱锥中，底面为菱形，是边长为的正三角形，，平面平面. （1）求证：； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 19. 已知直线的方程为：. （1）求证：不论为何值，直线必过定点； （2）过（1）中的点引直线交坐标轴正半轴于，两点，求面积的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $