精品解析：天津市第四十七中学2025届高三上学期11月期中数学试题

天津市第四十七中学2024-2025第一学期高三年级 期中考试数学试卷 第Ⅰ卷（共三部分；满分150分） 一、选择题（在每小题四个选项中，只有一项是符合题目要求的，本大题共9小题，每小题5分，满分45分） 1. 已知全集，集合，或，那么集合等于（ ） A. B. 或 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】解出集合，再根据集合交并补即可得到答案. 【详解】集合或. 或，则. . 故选：D. 2. 对于平面内两个非零向量和，，和的夹角为锐角，则是的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】求出命题的等价条件，再利用充分条件和必要条件的定义判断即可. 【详解】设非零向量和的夹角为，则. 由，得，则，即，， ，，因此，是的必要不充分条件. 故选：C. 【点睛】本题考查必要不充分条件的判断，同时也考查了向量夹角与数量积的关系，考查推理能力，属于基础题. 3. 下列说法错误的是（ ） A. 在回归直线方程中，y与x具有负线性相关关系 B. 两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数的绝对值就越接近于1 C. 在回归直线方程中，当解释变量x每增加1个单位时，预报变量平均增加个单位 D. 对分类变量与，随机变量的观测值越大，则判断“与有关系”的把握程度越小 【答案】D 【解析】 【分析】根据回归方程的性质，相关系数的性质判断A，B，C，再由独立性检验的知识判断D. 【详解】因为回归直线方程的斜率为负数，所以y与x具有负线性相关关系，A对， 由相关系数性质可得相关系数的绝对值就越接近于1，线性相关性越强，B对， 因为回归直线方程为，所以当解释变量x每增加1个单位时，预报变量平均增加个单位，C对， 对分类变量与，随机变量的观测值越大，则判断“与有关系”的把握程度越大，D错， 故选：D. 4. 函数的图象可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先判断出函数为奇函数，排除选项C；再利用特值排除选项AB，进而得到正确选项D. 【详解】函数定义域为， 则函数为奇函数，其图像关于原点中心对称，排除选项C； 又，排除选项AB； 故选：D 5. 已知偶函数f（x）在（﹣∞，0]上是增函数．若a＝f（log2），b＝f（3），c＝f（2﹣0.8），则a，b，c的大小关系为（ ） A. a＜b＜c B. b＜a＜c C. c＜b＜a D. c＜a＜b 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数奇偶性和单调性的性质，以及对数和指数幂的性质进行转化求解即可． 【详解】解：∵偶函数f（x）在（﹣∞，0]上是增函数， ∴函数f（x）在[0，+∞）上是减函数， a＝f（log2）＝f（﹣log25）＝f（log25）， b＝f（3）＝f（﹣log23）＝f（log23）， ∵0＜2﹣0.8＜1＜log23＜2＜log25， ∴f（2﹣0.8）＞f（log23）＞f（log25）， 即c＞b＞a， 故选：A． 【点睛】本题主要考查函数值的大小比较，结合函数奇偶性和单调性的性质进行转化是解决本题的关键． 6. 设等比数列的前n项和为，且，则（ ） A. 4 B. 6 C. 7 D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，求出等比数列公比即可计算得解. 【详解】等比数列的公比为，由，得， 即，而，则， 因此， 所以. 故选：C 7. 已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱垂直于底面，各顶点都在同一球面上，若该棱柱的体积为，AB＝2，AC＝1，∠BAC＝60°，则此球的表面积等于（ ） A. 8π B. 9π C. 10π D. 11π 【答案】A 【解析】 【分析】由AB＝2，AC＝1，∠BAC＝60°可得三角形ABC的面积及外接圆的半径，再由三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱垂直于底面，所以三棱柱的外接球的球心是过底面外接圆的圆心作垂直于底面的直线与中截面的交点，可得外接球的半径，进而求出外接球的表面积． 【详解】由AB＝2，AC＝1，∠BAC＝60°，由余弦定理可得： BC， ∴，∠ACB＝90°，∴底面外接圆的圆心在斜边AB的中点， 设三角形ABC的外接圆的半径为r，则r1， 又， 所以V柱＝S△ABC•AA1，所以可得AA1＝2， 因为三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱垂直于底面， 所以三棱柱的外接球的球心是过底面外接圆的圆心作垂直于底面的直线与中截面的交点， 设外接球的半径为R，则R2＝r2+（）2＝12+12＝2， 所以外接球的表面积S＝4πR2＝4π×2＝8π， 故选：A． 【点睛】本题考查三棱柱的体积及三棱柱的棱长与外接球的半径之间的关系，以及球的表面积公式，属于中档题． 8. 已知函数的部分图象如图所示，则下列选项不正确的是（ ） A. 函数的图象关于点中心对称 B. 函数的单调增区间为 C. 函数的图象可由的图象向左平移个单位长度得到 D. 函数在上有2个零点，则实数t的取值范围为 【答案】C 【解析】 【分析】利用辅助角公式及函数图象先化简计算得出函数式，结合三角函数的图象及性质逐一分析选项即可. 【详解】， 由图可知，，可得，， ，，故正确； ， 解得， 所以函数在单调递增，故正确； 函数的图象向左平移个单位长度得， ，故错误； ，， 当时，，此时有两个零点， 即，可得，故正确. 故选：. 9. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，点是双曲线上一点，点，且，，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】过点作，延长交于点，利用平行关系得出对应线段成比例，在直角三角形中，结合双曲线定义得出各边之间的关系，在三角形中，利用余弦定理求得结果. 【详解】如图，过点作，延长交于点， 因为，，，所以， 设，则，， 因为，所以，所以， 在直角三角形中，，所以，即， 所以. 在三角形中，由余弦定理得， 所以，整理得， 所以. 故选：A. 二、填空题：（本大题共6小题，每小题5分，共30分） 10. 已知复数在复平面内对应点是，为虚数单位，则_______. 【答案】 【解析】 【分析】写出对应的复数，利用复数的除法运算化简所求表达式，由此得出正确结论. 【详解】依题意，故原式. 【点睛】本小题主要考查复数除法运算，考查复数对应的点的坐标，属于基础题. 11. 已知直线过点且与直线垂直，则圆与直线相交所得的弦长为__ 【答案】 【解析】 【分析】 先求出直线的方程，再求出圆心与半径，计算圆心到直线的距离，由垂径定理求弦长． 【详解】解：由题意可得，的方程为， 可化为，圆心，半径， 圆心到的距离， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查直线与圆的方程的应用问题，考查两条直线垂直以及直线与圆相交所得弦长的计算问题，属于基础题． 12. 在的展开式中，的系数为________ 【答案】 【解析】 【分析】 利用二项展开式把展开，再求展开式中的系数． 【详解】解： 则含的项有与两项 展开式中的系数为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了二项式系数的性质与应用问题，属于基础题． 13. 在某次美术专业测试中，若甲、乙、丙三人获得优秀等级的概率分别是，和，且三人的测试结果相互独立，则测试结束后，在甲、乙、丙三人中恰有两人没达优秀等级的前提条件下，乙没有达优秀等级的概率为_________. 【答案】 【解析】 【分析】设甲、乙、丙三人获得优秀等级分别为事件、、，甲、乙、丙三人中恰有两人没达优秀等级为事件，乙没有达优秀等级为事件，由相互独立事件及条件概率公式计算可得. 【详解】设甲、乙、丙三人获得优秀等级分别为事件、、， 则，且，，相互独立， 设甲、乙、丙三人中恰有两人没达优秀等级为事件， 则， 设乙没有达优秀等级为事件，则， 所以. 故答案为：. 14. 如图，在平行四边形ABCD中，点E是CD的中点，点F为线段BD上的一动点，若，则的最大值为___________. 【答案】 【解析】 【分析】设BD与AE的交点为O，结合比例关系可求出，得出，则可代换为，结合三点共线性质得，原式代换为，再结合基本不等式即可求解 【详解】如图， 设BD与AE的交点为O，则由，得，所以，所以.由点O，F，B共线，得，所以，当且仅当时取等号，即的最大值为 故答案为： 【点睛】本题考查平面向量三点共线性质的应用，基本不等式求最值，属于中档题 15. 若方程有且仅有6个不相等的实数根，则实数的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】令，则方程有6解等价有6解,判断的单调性得出的根的分布情况，得出方程的根的分布情况，利用二次函数的性质列不等式组解出的范围. 【详解】， 令，则， 当或时，，当时，， 在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 当时，取得极大值， 又越来越小时，g（x）趋近0，g（2）=0，当x越来越大时，g（x）也越来越大， 作出的函数图像如图所示， 令，由图像可知，当时，方程有3解， 当或时，方程有1解， 当时，方程有2解，当时，方程无解， 方程有6个解， 即有6个解， 关于的方程在有2个解， ，解得. 故答案为：. 【点睛】已知函数零点(方程根)的个数，求参数取值范围的三种常用的方法：（1）直接法，直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法，先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；（3）数形结合法，先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图像，然后数形结合求解．一是转化为两个函数的图像的交点个数问题，画出两个函数的图像，其交点的个数就是函数零点的个数，二是转化为的交点个数的图像的交点个数问题 . 三、解答题（本大题5小题，共75分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤） 16. 在中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c.已知. （1）求的值； （2）求的值； （3）求的值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据余弦定理以及解方程组即可求出； （2）由（1）可求出，再根据正弦定理即可解出； （3）先根据二倍角公式求出，再根据两角差的正弦公式即可求出． 【小问1详解】 因为，即，而，代入得，解得：． 【小问2详解】 由（1）可求出，而，所以，又，所以． 【小问3详解】 因为，所以，故，又， 所以，，而，所以， 故． 17. 如图，在五面体中，四边形为正方形，平面，，，，，. （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）求平面与平面夹角的正弦值. 【答案】（1） 在△中，过点N作交CF于H，连接AH， 又，则，又，则 则四边形为平行四边形，则 又平面，平面，则平面； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用线面平行判定定理去证明平面； （2）建立空间直角坐标系，利用向量法去求直线与平面所成角的正弦值； （3）利用向量法去求平面与平面夹角的正弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 四边形为正方形，平面，则两两垂直 以F为原点，分别以所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系 则，，，，， 则，， 设平面的一个法向量为，则， 则，令，则，，则 设直线与平面所成角为 则 故直线与平面所成角的正弦值为； 【小问3详解】 由（2）可得， 设平面一个法向量为，则， 则，令，则，，则 又平面的一个法向量为 则 设平面与平面夹角为，则， 则平面与平面夹角的正弦值 18. 已知椭圆的离心率为，右焦点为． （1）求椭圆方程； （2）过点的直线与椭圆交于，两点，线段的垂直平分线与直线交于点，为等边三角形，求直线的方程． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）根据离心率和焦点坐标可求出，再根据，可求得，即可求解； （2）讨论直线的斜率存在还是不存在，当斜率存在且时，直线代入椭圆可得，，可求出的中点为，通过弦长公式和两点距离求出,利用即可求解 【小问1详解】 由题意可得，，解得， 由，∴，则椭圆的方程为 【小问2详解】 当直线为轴时，易得线段的垂直平分线与直线没有交点，故不满足题意； 当所在直线的斜率存在且不为轴时，设该直线方程为，，， ，解为， ， 所以， ， 设的中点为，则，设， 由为等边三角形，，， ， 所以，解得，所以， 当所在直线的斜率不存在时，将代入可得， 所以，，不满足题意， 综上所述，直线的方程为或 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式； （5）代入韦达定理求解. 19. 已知数列是数列的前项和，已知对于任意，都有，数列是等差数列，，且成等比数列. （1）求数列和的通项公式. （2）记，求数列的前项和. （3）求. 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）首先根据与的关系得到，再根据等比数列的性质即可得到. （2）首先根据题意得到，再分类讨论求解即可. （3）利用错位相减法求解即可. 【小问1详解】 当时，，解得. 当时，， 所以， 即是以首先，公比为的等比数列，即. 因为，成等比数列， 所以，即，解得. 所以. 【小问2详解】 由（1）知：. 当为偶数时， 当为奇数时， 所以. 【小问3详解】 ， 因为， 设，前项和为， 则， ， . 所以 20. 已知函数（）． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若在上有零点． ①求实数的取值范围； ②设函数，记在上的最小值为，求的最大值． 【答案】（1）；（2）①；②． 【解析】 【分析】（1）利用切点和斜率求得切线方程. （2）①先求得，对进行分类讨论，结合在上有零点求得的取值范围. ②首先利用导数求得在上的最小值，通过构造函数法，结合导数求得的最大值，也即的最大值. 【详解】（1）当，，， ∴，， ∴曲线在点处的切线方程为，即． （2）∵，∴． ①∵，∴，，， 当时，，无零点，舍去． 当时，，∴在上单调递增， 此时，由， 得． ∴实数的取值范围为． ②∵， ∴， ∵，，∴， ∴在上单调递增， 由①知，在上有唯一零点，且， ∴当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增， ∴在上的最小值为． ∵，∴， ∴． 设，， ， 所以单调递减，， 即的最大值为． 【点睛】当导函数含有参数时，要注意对参数进行分类讨论，分类讨论要不重不漏. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 天津市第四十七中学2024-2025第一学期高三年级 期中考试数学试卷 第Ⅰ卷（共三部分；满分150分） 一、选择题（在每小题四个选项中，只有一项是符合题目要求的，本大题共9小题，每小题5分，满分45分） 1. 已知全集，集合，或，那么集合等于（ ） A. B. 或 C. D. 2. 对于平面内两个非零向量和，，和的夹角为锐角，则是的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 下列说法错误的是（ ） A. 在回归直线方程中，y与x具有负线性相关关系 B. 两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数的绝对值就越接近于1 C. 在回归直线方程中，当解释变量x每增加1个单位时，预报变量平均增加个单位 D. 对分类变量与，随机变量的观测值越大，则判断“与有关系”的把握程度越小 4. 函数的图象可能为（ ） A. B. C. D. 5. 已知偶函数f（x）在（﹣∞，0]上是增函数．若a＝f（log2），b＝f（3），c＝f（2﹣0.8），则a，b，c的大小关系为（ ） A. a＜b＜c B. b＜a＜c C. c＜b＜a D. c＜a＜b 6. 设等比数列的前n项和为，且，则（ ） A. 4 B. 6 C. 7 D. 9 7. 已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱垂直于底面，各顶点都在同一球面上，若该棱柱的体积为，AB＝2，AC＝1，∠BAC＝60°，则此球的表面积等于（ ） A. 8π B. 9π C. 10π D. 11π 8. 已知函数的部分图象如图所示，则下列选项不正确的是（ ） A. 函数的图象关于点中心对称 B. 函数的单调增区间为 C. 函数的图象可由的图象向左平移个单位长度得到 D. 函数在上有2个零点，则实数t的取值范围为 9. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，点是双曲线上一点，点，且，，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 二、填空题：（本大题共6小题，每小题5分，共30分） 10. 已知复数在复平面内对应点是，为虚数单位，则_______. 11. 已知直线过点且与直线垂直，则圆与直线相交所得的弦长为__ 12. 在的展开式中，的系数为________ 13. 在某次美术专业测试中，若甲、乙、丙三人获得优秀等级的概率分别是，和，且三人的测试结果相互独立，则测试结束后，在甲、乙、丙三人中恰有两人没达优秀等级的前提条件下，乙没有达优秀等级的概率为_________. 14. 如图，在平行四边形ABCD中，点E是CD的中点，点F为线段BD上的一动点，若，则的最大值为___________. 15. 若方程有且仅有6个不相等的实数根，则实数的取值范围是______． 三、解答题（本大题5小题，共75分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤） 16. 在中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c.已知. （1）求的值； （2）求的值； （3）求的值. 17. 如图，在五面体中，四边形为正方形，平面，，，，，. （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）求平面与平面夹角的正弦值. 18. 已知椭圆的离心率为，右焦点为． （1）求椭圆方程； （2）过点的直线与椭圆交于，两点，线段的垂直平分线与直线交于点，为等边三角形，求直线的方程． 19. 已知数列是数列的前项和，已知对于任意，都有，数列是等差数列，，且成等比数列. （1）求数列和的通项公式. （2）记，求数列的前项和. （3）求. 20. 已知函数（）． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若在上有零点． ①求实数的取值范围； ②设函数，记在上的最小值为，求的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $