2.2导数的概念及其几何意义 课件-2024-2025学年高二下学期北师大版（2019）选择性必修第二册

导数的概念及其几何意义 说一说函数从到的平均变化率公式． 平均变化率 ． 如果用与增量表示平均变化率的公式是怎样的？ 平均变化率 ． 我们如何得到函数在处的瞬时变化率？ 当趋于0时，平均变化率趋于某个值，那么这个值就是在点的瞬时变 化率． 设函数，当自变量从变到时，函数值y从变到，函数值y关于x的平均变化率为 当趋于，即趋于0时，如果平均变化率趋于一个固定的值，我们称这个值为平均变化率的极限，记作或，那么这个值就是函数在点的瞬时变化率，在数学中，称瞬时变化率为函数在点处的导数，通常用符号表示，记作． 极限与导数： 若，则的值为( ) A. B. C. D. 解析：∵， ∴ ． 典例剖析： 利用导数定义解题时，要充分体会导数定义的实质，虽然表达式不同， 但表达的实质可能相同． 解：当x从2变到2+时，函数值从3×2变到，函数值y关于x的平均变化率为 ． 　　当x趋于2，即趋于0时，平均变化率总是3，所以． 　 导数表示当2s时水量的瞬时变化率，即水流的瞬时速度，也就是说，如果水管中 的水保持以2s时的瞬时速度流动的话，每经过1s，水管中流过的水量为3． 一条水管中流过的水量y(单位：)与时间x(单位：s)的函数关系为．求函数在处的导数，并解释它的实际意义． 解： 4表示该工人上班后工作的时候，其生产速度(即工作效率)为4kg/h．也就是说，如果保持这一生产速度，那么他每时可以生产4kg的食品． 表示该工人上班后工作的时候，其生产速度(即工作效率)为kg/h．也就是说，如果保持这一生产速度，那么他每时可以生产kg的食品． 一名食品加工厂的工人上班后开始连续工作，生产的食品量y(单位：kg)与其工作时间x(单位：h)的函数关系为．假设函数在和处的导数分别为4和，试解释它们的实际意义． 解 1.5表示服药后10 min时，血液中药物的质量浓度上升的速度为1.5 μg/． 也就是说，如果保持这一速度，每经过1 min，血液中药物的质量浓度将上升1.5 μg/mL． 0.6表示服药后100 min时，血液中药物的质量浓度下降的速度为0.6 μg/． 也就是说，如果保持这一速度，每经过1 min，血液中药物的质量浓度将下降0.6 μg/mL． 服药后，人体血液中药物的质量浓度c(单位：g/mL)是时间t(单位：min)的函数cc(t)．假设函数cc(t)在t和t处的导数分别为1.5和0.6，试解释它们的实际意义． 设 求. 设 求. 解 ==1. (1)若函数y＝f (x)在x＝x0处可导，则 等于(　　) A．f ′(x0)　 B．2f ′(x0) C．－2f ′(x0) D．0 (2)求函数y＝3x2在x＝1处的导数． (1)B　解析：∵Δx＝(x0＋h)－(x0－h)＝2h. ∴ ＝2 ＝2f ′(x0)．故选B. (2)解：∵Δy＝f (1＋Δx)－f (1)＝3(1＋Δx)2－3＝6Δx＋3(Δx)2， ∴＝6＋3Δx， ∴f ′(1)＝＝ (6＋3Δx)＝6. 1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)导函数f′(x)的定义域与函数f(x)的定义域相同．(　　) (2)在导数的定义中，Δx，Δy都不可能为零．(　　) (3)直线与曲线相切，则直线与已知曲线只有一个公共点．(　　) (4)函数f(x)＝0没有导函数．(　　) × × × × 课堂检测 课堂检测 2.已知函数f(x)的图象如图所示，的导函数， 则下列结论正确的是（ ） 3.如图，函数y=f(x)的图象在点P处的 切线方程是y=-x+8,则 A. 1 B. 3 C. -3 D. -1 A. B. C. D. (1) (2) 4.下面对函数上的说法正确的是:( ) A．f(x)的递减速度越来越慢，g(x)的递减速度越来越快，h(x)的递减速度越来越慢 B．f(x)的递减速度越来越快，g(x)的递减速度越来越慢，h(x)的递减速度越来越快 C．f(x)的递减速度越来越慢，g(x)的递减速度越来越慢，h(x)的递增速度越来越慢 D．f(x)的递减速度越来越快，g(x)的递减速度越来越快，h(x)的递减速度越来越快 5．已知函数y＝f(x)的图象如图，则f′(xA)与f′(xB)的大小关系是(　　) A．0>f′(xA)>f′(xB) B．f′(xA)<f′(xB)<0 C．f′(xA)＝f′(xB) D．f′(xA)>f′(xB)>0 答案：B 解析：f′(xA)和f′(xB)分别表示函数图象在点A，B处的切线斜率，故f′(xA)<f′(xB)<0. 故选B. 1.导数的概念：设函数，当自变量从变到时，函数值y从变到，函数值y关于x的平均变化率为 当趋于，即趋于0时，如果平均变化率趋于一个固定的值，那么这个值就是函数在点的瞬时变化率，在数学中，称瞬时变化率为函数在点处的导数，通常用符号表示，记作 ． 2.求导数的一般步骤： ①求函数的改变量； ②求平均变化率； ③取极限，得导数． 3.导数在实际问题中的意义． （环节六）分层作业 A组 感受 理解 1.（1）求曲线处的切线方程. (2)求曲线点（）处切线的倾斜角. （3）课本71页第10题 B组 思考 运用 2.(1)课本71页第11，12题 （2）阅读•理解：收集有关微积分创立的时代背景和牛顿、莱布尼兹的资料. 谢谢观看！ $$