精品解析：吉林省长春市2024-2025学年高三上学期质量监测(一)数学试卷

吉林省长春市2024-2025学年高三上学期质量监测（一） 数学试卷 本试卷共4页.考试结束后，将答题卡交回. 注意事项：1.答卷前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区. 2.答题时请按要求用笔. 3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效. 4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑. 5.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 一组数据1，1，3，4，5，5，6，7的第25百分位数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】根据百分位数的概念计算即可求解. 【详解】由题意知，该组数据共有8个，则 所以第25百分位数为. 故选：B 2. 已知向量，若，则（ ） A. 2 B. 3 C. 6 D. 15 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量垂直的判断条件列方程，求解即得. 【详解】由，可得，解得. 故选：B. 3. 已知，，则的值为（ ） A. －2 B. 2 C. －3 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】根据两角和与差的正弦公式、同角三角函数的基本关系式来求得正确答案. 【详解】①， ②， 由①②得， 两式相除得. 故选：A 4. 某学校科技创新小组准备模拟东风31弹道导弹的发射过程，假设该小组采用的飞行器的飞行高度（单位：米）与飞行时间（单位：秒）之间的关系可以近似用函数来表示.已知飞行器发射后经过2秒时的高度为10米，经过6秒时的高度为30米，欲达到50米的高度，需要（ ）秒. A. 15 B. 16 C. 18 D. 20 【答案】C 【解析】 【分析】由题意列出等式求得，即可求解. 【详解】由题意可得：， 解得：， 设达到50米的高度需要秒. ， 解得：， 所以达到50米的高度需要秒. 故选：C 5. 正四面体中，，则异面直线与所成角的正弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据向量法求得异面直线所成角的正弦值，在正方体中截取正四面体，根据坐标得到向量，即可求解. 【详解】从正方体中可截取一个正四面体，设正方体的边长为，根据正方体的性质建立空间直角坐标系如图所示： ， ， 所以， 则， 因为， 所以，则，， 根据， 则， 所以异面直线PQ与BD所成角的正弦值为. 故选：D. 6. 直线与直线所成角是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，求得两条直线的斜率，然后由两直线的夹角公式代入计算，即可得到结果. 【详解】直线斜率，直线斜率， 设两直线的夹角为，则， 且，所以. 故选：B 7. 为了解小学生每天的户外运动时间，某校对小学生进行平均每天户外运动时间（单位：小时）的调查，采用样本量按比例分配的分层随机抽样.如果不知道样本数据，只知道抽取了三年级及以下学生40人，其平均数和方差分别为2.5和1.65，抽取了四年级及以上学生60人，其平均数和方差分别为1.5和3.5，则估计该校学生平均每天户外运动时间的总体方差为（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】根据平均数和方差的公式计算. 【详解】抽取了三年级及以下学生40人，其平均数和方差分别为，， 抽取了四年级及以上学生60人，其平均数和方差分别为，， 设抽取的总体样本的平均数为和方差为， 则， . 故选：C. 8. 已知定义在上的函数是的导函数，满足，且，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】构造函数，由导数确定单调性，将已知不等式转化为关于不等式，然后利用单调性即可求解． 【详解】设，则 ， 因为，，所以，可得在上单调递减， 不等式，即，即，所以， 因为在上单调递减，所以，解得：， 所以不等式的解集为：， 故选：D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 函数的最小正周期为，则（ ） A. 是的一条对称轴 B. 与函数相等 C. 在区间上单调递减 D. 在区间上的取值范围是 【答案】AD 【解析】 【分析】先根据正弦函数的周期公式求出的值确定函数的解析式，然后根据结合正弦函数的对称性、单调性、最值及诱导公式结合选项一一判断即可. 【详解】因为函数的最小正周期为, 由周期公式， 可得，则. 对于A选项，因为，所以是的一条对称轴，故选项A正确； 对于B选项，因为, 与不相等，故选项B错误； 对于C选项，当时，， 而在上单调递增，所以函数在区间上单调递增，故选项C错误； 对于D选项，当时，，而，，所以在区间上的取值范围是，故选项D正确； 故选：AD. 10. 已知等比数列的公比为，且，设该等比数列的前项和为，前项积为，下列选项正确的是（ ） A. B. 当时，为递增数列 C. 单调递增的充要条件为 D. 当时，满足的的最小值为9 【答案】ABC 【解析】 【分析】分析可知.对于A：利用基本不等式分析判断；对于C：分析可知单调递增，等价于，结合等比数列通项公式分析判断；对于BD：结合等比数列通项公式判断B；分析可知当时，；当时，；结合等比数列性质判断D. 【详解】因为，可知， 对于选项A：因为，且， 则，当且仅当，即时，等号成立， 所以，故A正确； 对于选项C：若单调递增，等价于， 又因为数列为等比数列，则， 即对任意恒成立，等价于， 即单调递增，等价于，所以单调递增的充要条件为，故C正确； 对于选项BD：若，则，且，即， 所以数列为递增数列，故B正确； 当时，；当时，； 当时，为递减数列，且； 当时，为递增数列，且； 综上所述：当时，；当时，； 所以满足的的最小值为10，故D错误； 故选：ABC. 11. 2022年卡塔尔世界杯赛徽近似“伯努利双纽线”.伯努利双纽线最早于1694年被瑞士数学家雅各布伯努利用来描述他所发现的曲线.定义在平面直角坐标系xOy中，把到定点距离之积等于定值的点的轨迹称为双纽线，已知点是双纽线上一点，下列关于双纽线的说法正确的是（ ） A. 的最大值为 B. 双纽线是中心对称图形 C. D. 到距离之和的最小值为2c 【答案】BCD 【解析】 【分析】B选项，求出双纽线的轨迹方程为，将换成，把换成，方程不变，故B正确；C选项，由三角形面积公式得到，得到；D选项，由基本不等式得到D正确；A选项，当不重合时，，两边平方后，结合余弦定理得到，求出. 【详解】B选项，由题意得双纽线的轨迹方程为， 将换成，把换成得， 即，故双纽线关于原点中心对称，B正确； C选项，，其中， 又在双纽线上，故， 故，所以， 当且仅当时，等号成立，所以，C正确； D选项，，当且仅当时，等号成立， 故D正确； A选项，当重合时，， 当不重合时，， 两边平方得， 在中，由余弦定理得①， 即②， 式子①②联立得，， 当落在轴上（除原点）时，等号成立， 故，的最大值为，A错误. 故选：BCD 【点睛】方法点睛：研究动点轨迹的性质时，若需研究其对称性，一般要写出轨迹方程，换成，或换成，或两者一起交换，进行推导，其他性质常常用到一些工具，比如平面向量，正余弦定理，基本不等式等知识 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知公差不为0的等差数列的前项和为，若，则______. 【答案】9 【解析】 【分析】设公差为，利用等差数列的通项公式和求和公式化简计算即得. 【详解】设等差数列的公差为， 由可得， 化简得，因，解得. 故答案为：9. 13. 已知椭圆的上、下顶点分别为A、B，右焦点为F，B关于点的对称点为.若过三点的圆的半径为，则的离心率为______. 【答案】## 【解析】 【分析】根据题设求、的中垂线方程并求交点坐标，结合已知条件列方程求椭圆参数数量关系，即可求离心率. 【详解】由题设，则的中点为，而， 所以中垂线的斜率为，故的中垂线方程为①， 由B关于点的对称点为，则，故中垂线为②， 联立①②，可得，故过三点的圆的圆心为， 由题意有，可得. 故答案为： 14. 若，则______. 【答案】 【解析】 【分析】利用复数的运算法则求解. 【详解】由于， 则 所以，，即. 故答案为：. 【点睛】方法点睛：复数运算的常用技巧在解题中的运用，若，则； 若，则，，. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数在处的切线平行于轴. （1）求与的关系； （2）若函数在上单调递增，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用导数的几何意义列出方程即得； （2）由题意得到在上恒成立，通过变量分离，推得在上恒成立，即可求出的取值范围. 【小问1详解】 由，可得，， 依题意，，即得， 此时切线方程为，该直线与x轴平行，所以， 所以； 【小问2详解】 函数在上单调递增等价于在上恒成立， 即在上恒成立，也即在上恒成立， 故得且，即的取值范围是. 16. 在中，内角A，B，C的对边分别是的面积记为，已知. （1）求； （2）若BC边上的中线长为1，AD为角的平分线，求CD的长. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据三角形面积公式、正弦边角关系化简题设条件可得，即可求角的大小； （2）是的中线，利用向量数量积的运算律及已知可得，应用等面积法求得，再应用余弦定理求CD的长. 【小问1详解】 由题设， 而，所以，， 所以. 【小问2详解】 如下示意图，是的中线，则， 所以， 由，则， 又，则， 即，则， 所以. 17. 如图，在平行六面体中，，. （1）求证：直线平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】（1）证明：设，，， 则为空间的一个基底，且，，， 因为，， 则，， 可得，， 即，且，平面， 所以平面. （2） 【解析】 【分析】（1）取为空间的一个基底，用空间向量证明线线垂直，再由线面垂直的判定定理证明线面垂直即可; （2）先证明是平面的一个法向量，再利用空间向量计算面面角的余弦值即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知，，， 所以， 则； 又， 所以， 则； 又，平面，所以平面； 故，分别是平面和平面的法向量， 设平面与平面夹角为， 所以； 所以平面与平面夹角的余弦值为. 18. 某医学研究团队经过研究初步得出检测某种疾病的患病与否和某项医学指标有关，利用该指标制定一个检测标准，需要确定临界值，将该指标大于的人判定为阳性（患病），小于或等于的人判定为阴性（未患病）.此检测标准的漏诊率是将患病者判定为阴性的概率；误诊率是将未患病者判定为阳性的概率. （1）随机抽取男女各500人进行检验，采用临界值进行判定时，误判共10人（漏诊与误诊之和），其中2男8女，写出列联表，依据小概率值的独立性检验，能否认为误判与性别有关？ （2）经过大量调查，得到如下的患病者和未患病者该指标的频率分布表： 指标 [95，100] （100，105] （105，110] （110，115] （115，120] （120，125] （125，130] 患病者频率 0.01 0.06 0.17 0.18 0.2 0.2 0.18 指标 [70，75] 未患病者频率 0.19 0.2 0.2 0.18 0.17 0.05 0.01 假设数据在组内均匀分布，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率.若漏诊率和误诊率同时控制在以内（小于等于），求临界值的范围； （3）在（2）条件下，求出误判率（漏诊率与误诊率之和）最小时的临界值及对应的误诊率和漏诊率. 附： 0.100 0.050 0.010 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828 【答案】（1） 误判人数 未误判人数 总计 男性人数 2 498 500 女性人数 8 492 500 总计 10 990 1000 无关 （2） （3）；误诊率为，漏诊率为 【解析】 【分析】（1）依题意列出列联表，将数据代入卡方公式，根据卡方值与对应的小概率值比较即可判断误判与性别的相关程度； （2）分别根据漏诊率和误诊率都小于，结合频率分布表，先判断临界值所在组别，再利用百分位数的定义，建立满足的不等式，继而得到临界值的范围； （3）结合频率分布表分段写出误判率的表达式，即可求解. 【小问1详解】 依题意，列出列联表为： 误判人数 未误判人数 总计 男性人数 2 498 500 女性人数 8 492 500 总计 10 990 1000 由上表，， 故可以认为，依据小概率值的独立性检验，没有充分的证据证明零假设不成立，即认为误判与性别无关； 【小问2详解】 因漏诊率小于等于，由频率分布表可知，临界值应在内， 依题意，有； 又因误诊率小于等于，由频率分布表可知，临界值应在内， 依题意，有. 综上，临界值的范围为； 【小问3详解】 由（2）已得，设误判率为， 当时，， 当时， ， 所以当时，误判率最小， 相应的误诊率为，漏诊率为：. 【点睛】关键点点睛：本题证据要考查独立性检验、百分位数的应用，属于较难题. 解决通过统计图表求百分位数的问题，需要正确理解相关概念的具体含义，结合统计表或分布图表，列出相应的方程或不等式求解. 19. 已知为抛物线的焦点，为坐标原点，过焦点作一条直线交于A，B两点，点在的准线上，且直线MF的斜率为的面积为1. （1）求抛物线的方程； （2）试问在上是否存在定点，使得直线NA与NB的斜率之和等于直线NF斜率的平方？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由； （3）过焦点且与轴垂直的直线与抛物线交于P，Q两点，求证：直线AP与BQ的交点在一条定直线上. 【答案】（1） （2）或 （3）证明：由题意，， 则直线，直线， 两直线方程相减得到：， 由（2）知，，于是， 即， 即， 即， 于是， 解得， 即直线AP与BQ的交点在一条定直线上 【解析】 【分析】（1）根据，结合的坐标即可求解； （2）设的方程为，，联立直线和抛物线方程，将题干斜率条件用坐标表达，结合韦达定理求解； （3）表示出直线AP与BQ的方程，得到交点坐标，结合（2）中的韦达定理求解. 【小问1详解】 由题意得，直线方程为：， 令，则，故， 于是，解得（负值舍去）， 故抛物线方程为. 【小问2详解】 设的方程为，，， 由题意得，，即， 可得，通分可得， 联立和抛物线，得到，， 由，代入可得， 整理可得，解得或， 故，满足题意. 【小问3详解】 略 【点睛】关键点睛：解析几何大多数定值问题，会采取设而不求，联立方程后，结合韦达定理整体代入求解，从而简化运算. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 吉林省长春市2024-2025学年高三上学期质量监测（一） 数学试卷 本试卷共4页.考试结束后，将答题卡交回. 注意事项：1.答卷前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区. 2.答题时请按要求用笔. 3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效. 4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑. 5.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 一组数据1，1，3，4，5，5，6，7的第25百分位数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 6 2. 已知向量，若，则（ ） A. 2 B. 3 C. 6 D. 15 3. 已知，，则的值为（ ） A. －2 B. 2 C. －3 D. 3 4. 某学校科技创新小组准备模拟东风31弹道导弹的发射过程，假设该小组采用的飞行器的飞行高度（单位：米）与飞行时间（单位：秒）之间的关系可以近似用函数来表示.已知飞行器发射后经过2秒时的高度为10米，经过6秒时的高度为30米，欲达到50米的高度，需要（ ）秒. A. 15 B. 16 C. 18 D. 20 5. 正四面体中，，则异面直线与所成角的正弦值为（ ） A. B. C. D. 6. 直线与直线所成角是（ ） A. B. C. D. 7. 为了解小学生每天的户外运动时间，某校对小学生进行平均每天户外运动时间（单位：小时）的调查，采用样本量按比例分配的分层随机抽样.如果不知道样本数据，只知道抽取了三年级及以下学生40人，其平均数和方差分别为2.5和1.65，抽取了四年级及以上学生60人，其平均数和方差分别为1.5和3.5，则估计该校学生平均每天户外运动时间的总体方差为（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 8. 已知定义在上的函数是的导函数，满足，且，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 函数的最小正周期为，则（ ） A. 是的一条对称轴 B. 与函数相等 C. 在区间上单调递减 D. 在区间上的取值范围是 10. 已知等比数列的公比为，且，设该等比数列的前项和为，前项积为，下列选项正确的是（ ） A. B. 当时，为递增数列 C. 单调递增的充要条件为 D. 当时，满足的的最小值为9 11. 2022年卡塔尔世界杯赛徽近似“伯努利双纽线”.伯努利双纽线最早于1694年被瑞士数学家雅各布伯努利用来描述他所发现的曲线.定义在平面直角坐标系xOy中，把到定点距离之积等于定值的点的轨迹称为双纽线，已知点是双纽线上一点，下列关于双纽线的说法正确的是（ ） A. 的最大值为 B. 双纽线是中心对称图形 C. D. 到距离之和的最小值为2c 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知公差不为0的等差数列的前项和为，若，则______. 13. 已知椭圆的上、下顶点分别为A、B，右焦点为F，B关于点的对称点为.若过三点的圆的半径为，则的离心率为______. 14. 若，则______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数在处的切线平行于轴. （1）求与的关系； （2）若函数在上单调递增，求的取值范围. 16. 在中，内角A，B，C的对边分别是的面积记为，已知. （1）求； （2）若BC边上的中线长为1，AD为角的平分线，求CD的长. 17. 如图，在平行六面体中，，. （1）求证：直线平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值. 18. 某医学研究团队经过研究初步得出检测某种疾病的患病与否和某项医学指标有关，利用该指标制定一个检测标准，需要确定临界值，将该指标大于的人判定为阳性（患病），小于或等于的人判定为阴性（未患病）.此检测标准的漏诊率是将患病者判定为阴性的概率；误诊率是将未患病者判定为阳性的概率. （1）随机抽取男女各500人进行检验，采用临界值进行判定时，误判共10人（漏诊与误诊之和），其中2男8女，写出列联表，依据小概率值的独立性检验，能否认为误判与性别有关？ （2）经过大量调查，得到如下的患病者和未患病者该指标的频率分布表： 指标 [95，100] （100，105] （105，110] （110，115] （115，120] （120，125] （125，130] 患病者频率 0.01 0.06 0.17 0.18 0.2 0.2 0.18 指标 [70，75] 未患病者频率 0.19 0.2 0.2 0.18 0.17 0.05 0.01 假设数据在组内均匀分布，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率.若漏诊率和误诊率同时控制在以内（小于等于），求临界值的范围； （3）在（2）条件下，求出误判率（漏诊率与误诊率之和）最小时的临界值及对应的误诊率和漏诊率. 附： 0.100 0.050 0.010 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828 19. 已知为抛物线的焦点，为坐标原点，过焦点作一条直线交于A，B两点，点在的准线上，且直线MF的斜率为的面积为1. （1）求抛物线的方程； （2）试问在上是否存在定点，使得直线NA与NB的斜率之和等于直线NF斜率的平方？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由； （3）过焦点且与轴垂直的直线与抛物线交于P，Q两点，求证：直线AP与BQ的交点在一条定直线上. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $