精品解析：重庆市第十八中学2024--2025学年上学期八年级数学期中考试卷

重庆市第十八中学2024-2025学年（上）中期学习能力摸底 八年级数学试题 说明：1.时间：120分钟2.试题总分：150分3.试卷页数：4页 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 的倒数是（　　） A. B. C. D. 以上都不是 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查倒数的定义．根据乘积为1的两个数互为倒数求解． 【详解】解：的倒数是． 故选：A． 2. 下列式子中，运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查合并同类项，幂的运算，根据合并同类项，同底数幂的乘法，除法，积的乘方，幂的乘方法则，进行判断即可． 【详解】A、，原式运算错误，不符合题意； B、，原式运算错误，不符合题意； C、，原式运算正确，符合题意； D、，原式运算错误，不符合题意； 故选C． 3. 下列多项式中，没有公因式的是（ ） A. 和 B. 和 C. 和 D. 和 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了公因式，掌握公因式是多项式中每项都有的因式是解题关键．根据公因式的定义可得答案． 【详解】解：A、和有公因式，不符合题意； B、和没有公因式，符合题意； C、和有公因式，不符合题意； D、和有公因式，不符合题意； 故选：B． 4. 如图，已知，下列条件中不能判定的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了三角形全等的判定定理，普通两个三角形全等共有四个定理，即，直角三角形可用定理，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题关键．根据三角形全等的判定定理：逐一判断即可． 【详解】解：A、， ，故A选项不符合题意； B、∵， ∴， ， ，故B选项不符合题意； C、∵ ， ∴，故C选项不符合题意； D、，，不能判断，故D选项符合题意， 故选：D． 5. 估计的值应在（ ） A. 7和8之间 B. 6和7之间 C. 5和6之间 D. 4和5之间 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了无理数的估算，先用夹逼法得出，即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：B． 6. 《九章算术》中记载了这样的问题：六鸡、七鸭共重24千克，鸡重鸭轻，互换其中一只，恰好一样重．问：每只鸡、鸭平均各重多少千克？设每只鸡平均重千克，每只鸭平均重千克，根据题意可列出方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：由题意可得方程． 7. 下列图形都是由●按照一定规律组成的，其中第①个图共有四个●，第②个图中共有8个●，第③个图中共有13个●，第④个图中共有19个●，…，照此规律排列下去，则第10个图形中●的个数为（　　）  A. 50 B. 53 C. 64 D. 76 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查图形的变化规律，解题的关键是找出规律． 根据已知图形得出图n中点的个数为，据此可得． 【详解】解：因为图①中点的个数为， 图②中点的个数为， 图③中点的个数为， 图④中点的个数为， 图n中点的个数为， 所以图10中点的个数为， 故选：D． 8. 如图，起重机在工作时，起吊物体前机械臂与操作台的夹角，支撑臂为的平分线．物体被吊起后，机械臂的位置不变，支撑臂绕点旋转一定的角度并缩短，此时，增大了，则的变化情况为（ ）    A. 增大 B. 减小 C. 增大 D. 减小 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查三角形三角形外角的性质及角平分线的定义，起吊物体前，设，根据题意可得，则，物体被吊起后，可得，增大了，由即可解答． 【详解】解：起吊物体前，设， ，支撑臂为的平分线， ， ； 物体被吊起后， 机械臂的位置不变，，， ， 增大了， ， ， ， 的变化情况为增大． 故选：C． 9. 如图，，点是线段的中点，，且交外角的平分线于点F，若，则一定等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的性质，角平分线的性质，全等三角形的判断与性质．关键是取的中点后证明． 取的中点，连接，过点作，．先证明得，得．，得，得，求出，从而求出． 【详解】解：取的中点，连接． 在和中 ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵点为的中点，点为的中点， ∴，， ∵， ∴，． ∴ ∵，， ∴， ∴． ∵平分， ∴， ∴． 在和中 ∴ ∴ ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选 10. 对于两个多项式，，若满足下列两种情形之一： （1），；（2），，则称多项式A为“较大”多项式，多项式B为“较小”多项式．对于两个多项式和，若将和中“较大”多项式和“较小”多项式的差记作，则称这样的操作为一次“优选作差”操作；再对和进行“优选作差”操作得到……以此类推，经过n次操作后得到的序列，，，……，称为“优选作差”序列． 现对和进行n次“优选作差”操作得到“优选作差”序列，则下列说法： ①；②； ③当时，“优选做差”序列中满足的整数k有1349个．其中正确的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查整式的加减运算，根据“优选作差”的定义求出，，，……，，找到规律后再逐个判断即可． 【详解】解：∵和，则“较大”多项式，“较小”多项式， ∴， ∴和中“较大”多项式，“较小”多项式， ∴， ∴和中“较大”多项式，“较小”多项式， ∴， 同理可得：，，，， ∴当时，， 当时，， 当时，， ∵ ∴， 故①正确； ， 故②正确； 当时，排除和两个以后，刚好有组，每一组有两个满足，共，即“优选做差”序列中满足的整数k有个， 故③错误， 综上所述，正确的是①②，共两个， 故选：C． 二、填空题（本大题8个小题，每小题4分，共32分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上. 11. 计算：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，先将绝对值，0次幂，立方根化简，再进行计算即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 12. 一个多边形的内角和与外角和的和为2160︒，则这个多边形的边数为_______. 【答案】12 【解析】 【分析】根据多边形的内角和公式（n-2）•180°与外角和定理列出方程求解即可． 【详解】解：设这个多边形的边数是n， （n-2）•180°+360°=2160°， 解得n=12． 故答案为12． 【点睛】本题考查了多边形的内角和公式与外角和定理，掌握公式与定理是解题的关键. 13. 若，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了完全平方公式．利用完全平方公式将整理成，再整体代入即可求解． 【详解】解：∵，， ∴ ， 故答案为：． 14. 若的值为6，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查已知式子的值，求代数式的值，利用整体思想，将进行降幂，计算即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴ ； 故答案为：． 15. 如图，在中，为中线，E为上一点，，连接与交于点O，若的面积为12，则的面积为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形中线的性质，面积与等积变换，等底等高的三角形面积相等，正确分析三角形各部分之间的关系是解题的关键． 首先根据三角形中线的性质和得到，，设，然后表示出，，然后根据列方程求解即可． 【详解】连接 ∵在中，为中线，的面积为12， ∴ ∵ ∴， 设，则，， ∴， ∵为中线， ∴ ∴ 解得 ∴． 故答案为：． 16. 若关于x的不等式组有解且最多有3个奇数解，关于y的方程的解为正整数，则所有满足条件的整数a的和为______． 【答案】7 【解析】 【分析】本题考查根据一元一次不等式组的解集情况求参数，根据一元一次方程的解的情况求参数，先求出不等式组的解集和一元一次方程的解，确定的范围，进而求出满足条件的整数的值，再求和即可． 【详解】解：解，得：， ∵不等式组有解且最多有3个奇数解， ∴，3个奇数解为：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵关于y的方程的解为正整数， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴所有满足条件的整数a的和为； 故答案为：7． 17. 如图，四边形中，与相交于点O，且，，点E是和平分线的交点，连接，，则 （1）______； （2）下列结论：①；②；③；④；；其中正确的是______． 【答案】 ①. ②. ②③④ 【解析】 【分析】根据角平分线的定义以及三角形内角和得到，即可得；证明，可得，故结论②正确；可得周角360度列式计算，即可判断③；先证明，再作辅助线过点A作的延长线，过点D作，证明，运用三角形的面积公式，即可判断④； 本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形内角和以及角平分线的运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【详解】解：（1）， ， ∴， ∵点E是和平分线的交点， ∴，， ， ， （2）是和平分线的交点， ∴ ∵， ， ，，，故结论②正确； ∴， ∴，故③是正确的； 则是等腰直角三角形， ∵点E是和平分线的交点，， ∴， ∵， ， ，， 过点A作的延长线，过点D作， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∵， ∴，故④是正确的； ∵， ∴的大小关系不知道，则无法证明和全等， ∴不一定成立，故①是错误的， 故答案为：（1），（2）②③④． 18. 若一个四位数的千位数字比百位数字大2，十位数字比个位数字大3，则称这个四位数为“霜降数”．若其千位数字比百位数字大3，十位数字比个位数字大5，则称这个四位数为“寒露数”，如4241是“霜降数”，6361是“寒露数”，最小的“寒露数”是______，若M、N分别是“霜降数”、“寒露数”，且它们的个位数字均为1，M、N各数位上的数字之和分别记为和，若能被11整除，则当取得最小值时M的值是______． 【答案】 ①. 3050 ②. 2041 【解析】 【分析】本题考查了对题干“霜降数”与“寒露数”概念的理解，以及用代数式表示数字，根据未知数的范围推算最小值，根据题意即可得出最小的“寒露数”；设，且，再结合a，b取值范围和能被11整除，即可得出a，b取值情况，分别计算不同情况下的值，再进行比较，即可解题． 【详解】解：根据题意可得：最小的“寒露数”千位数字要最小， ∵“寒露数”千位数字比百位数字大3，十位数字比个位数字大5，百位和个位最小为0， ∴千位最小为3，十位最小为5， ∴最小的“寒露数”为3050； ∵M、N分别是“霜降数”、“寒露数”，且它们的个位数字均为1， ∴可设，且， ∴，， 则 ， ∵能被11整除， ∴为整数， ∵， ∴为整数， ∴， 则， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， 设，则， ∴， 当取得最小值时，应最小，即， ∴或， 当时，， 当时，， ∵， ∴此时， ∴此时． 故答案为：3050，2041． 三、解答题：（本大题8个小题，第19题8分，20-26题每小题10分，共78分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 19. 因式分解： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法，是解题的关键： （1）利用平方差公式法进行因式分解即可； （2）先利用完全平方公式，再利用平方差公式法进行因式分解即可． 【小问1详解】 解：原式； 【小问2详解】 原式． 20. 如图，点D在线段上，，， （1）求作的角平分线，并交于点F（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法，不下结论）； （2）在（1）的条件下试证明：．请将以下推导过程补充完整． 证明：∵，∴___①___； 在和中， ∴ ∴___③___ ∵平分，∴___④___． 在和中， ∴， ∴（___⑤___）． 【答案】（1） 解：如图所示，即为所求， （2）①，②，③，④，⑤全等三角形对应边相等 【解析】 【分析】本题主要考查尺规作角平分线，全等三角形的判定和性质的运用， （1）以点为圆心，以任意长为半径画弧交于点，分别以点为圆心，以大于为半径画弧交于点，连接交于点，即可求解； （2）根据题意证明，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 21. 如图，点M、N分别是正五边形的边、上的点，且，交于点P． （1）求证：； （2）求的度数． 【答案】（1） 证明：由正五边形得：，， ∴在与中，． ∴； （2） 【解析】 【分析】（1）利用正五边形的性质得出，，再利用全等三角形的判定得出即可； （2）利用全等三角形的性质得出，进而得出，即可得出答案． 本题考查了全等三角形的判定与性质，多边形内角与外角，解题的关键是掌握多边形内角与外角之间的关系． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵（已证）， ∴， ∴， ∴，其中为正五边形的一个内角． ∵正五边形内角和为：， 每个内角为：， ∴． 22. 先化简，再求值，其中x，y满足． 【答案】，5 【解析】 【分析】本题考查整式的混合运算，化简求值，先根据整式的运算法则，乘法公式进行化简，根据，利用非负性求出的值，再代入化简后的整式中进行计算即可． 【详解】解：原式 ； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴原式． 23. 为提高学生学习数学的兴趣，培养学生的数学运算能力，某学校七年级举行了一次“数学运算能力大比拼”活动，随机抽取两个班（分别记作甲班、乙班），对某次数学成绩进行了统计．已知抽取的两个班的人数相同，把所得数据绘制成如下统计图表．根据图表提供的信息，解答下列问题． 甲、乙两班数学成绩统计表 组别 分数 人数 A 4 B 2 C m D 38 E 27 （1）样本中，乙班学生成绩在D组的人数是______人，乙班总人数是______人；在扇形统计图中，E组对应的圆心角的度数是______； （2）______，请补全频数分布直方图； （3）本次数学考试成绩得分在90分以上（含90）为合格，已知七年级共有720名学生，请估计七年级本次数学考试成绩合格的人数约有多少？· 【答案】（1） （2）19，补全直方图如图： （3）520名 【解析】 【分析】本题考查统计图表，从统计图表中有效的获取信息是解题的关键： （1）用组总人数减去甲班中组的人数，求出乙班中的组人数，再除以所占的比例求出乙班总人数，进而求出甲班中组人数，进一步求出乙班中组人数，再用360度乘以乙班中组所占的比例求出圆心角的度数即可； （2）乙班中组人数，再加上甲班中组人数，求出的值，根据甲班中组人数，补全直方图即可； （3）利用样本估计总体的思想进行求解即可． 【小问1详解】 解：乙班学生成绩在D组的人数是， 乙班总人数是：； 所以甲班人数也为：45， 甲班中成绩在组的人数为：， 所以E组对应的圆心角的度数是； 故答案为： 【小问2详解】 ，由（1）知：甲班中成绩在组的人数为12； 【小问3详解】 （名） 答：七年级本次数学考试成绩合格的人数约520名． 24. 为了更好地保护美丽如画的安居琼江河，安居区污水处理厂决定先购买A，B两型污水处理设备共20台，每台型污水处理设备12万元，每台B型污水处理设备10万元．已知1台A型污水处理设备和2台B型污水处理设备每周可以处理污水，2台A型污水处理设备和3台B型污水处理设备每周可以处理污水． （1）求A，B两种污水处理设备每周每台分别可以处理污水多少吨； （2）经预算，安居区污水处理厂购买设备的资金不超过230万元，每周处理污水的量不低于，购买方案有几种？并指出哪种方案所需资金最少，最少是多少？ 【答案】（1）每周每台A种污水设备处理污水240吨，B种污水设备处理污水200吨； （2）有三种购买方案，其中买13台，B买7台需要的资金最少，最小值为226万元． 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组和一元一次不等式组的综合，能根据题意列出二元一次方程组和不等式组是解决本题的关键． （1）根据题意列方程组，解方程组即可； （2）根据题意，列不等式组，求不等式组的解集，然后取正整数确定购买方案，再求出最小值． 【小问1详解】 解：设每周每台，两种污水处理设备分别可以处理污水吨和吨， 根据题意，得， 解得， 每周每台种污水设备处理污水240吨，种污水设备处理污水200吨； 【小问2详解】 解：设购买种污水设备台，则购买种污水设备台， 根据题意，得， 解不等式组，得， 因为a为正整数，所以有三种购买方案， 当时，买13台，买7台； 当时，买14台，买6台； 当时，买15台，买5台． 每台型污水处理设备12万元，每台型污水处理设备10万元， 买的越少，资金越少， 买13台，买7台需要的资金最少， 最小值为万元． 25. “数缺形时少直观，形少数时难入微”，在探究“因式分解”时，我们借助直观、形象的几何模型，转化成“几何”形式来求解运用到了“数形结合”的数学思想．下面，让我们一起来探索其中的规律． 【实践操作】如图，有足够多的边长为a的小正方形纸片（A类）、长为a宽为b的长方形纸片（B类）以及边长为b的大正方形纸片（C类）．我们知道对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积可以得到一个数学等式． 【拓展延伸】 （1）用若干个A类、B类、C类纸片拼成图1中的长方形，根据图形可以因式分解得______． 【知识迁移】类似地，我们还可以通过对立体图形的体积进行变换来得到一些代数恒等式． （2）如图2，在一个棱长为a的正方体中挖出一个棱长为b的正方体，再把剩余立体图形切割（如图3），得到三个长方体①、②、③（如图4）．易得长方体①的体积为．则长方体②的体积为______，长方体③的体积为______（结果不需要化简）．则因式分解______． （3）尝试因式分解：． （4）应用：已知，，求出的值． 【答案】（1）；（2）；；；（3）；（4） 【解析】 【分析】本题考查因式分解的几何应用、列代数式，根据题中给出的信息，结合数形结合思想是解答的关键． （1）直接根据长方形的长和宽、结合长方形的面积公式求解即可； （2）根据几何体各边关系，结合长方体和正方体的体积公式求解即可； （3）将（2）中的b换为，进而化简求解即可； （4）将化为，然后利用（3）中的结论和完全平方公式求解即可． 【详解】解：（1）根据图1，大长方形的长为，宽为， ∴长方形的面积为，又长方形是由1个A类、3个B类、2个C类纸片拼的， ∴， 故答案为：； （2）由图2知，长方体②的体积为，长方体③的体积为， ∴ ， 故答案为：；；； （3）将（2）中的b换成，则 ， ∵， ∴； （4） ， ∵，， ∴ ． 26. 在中，，点D在延长线上，以为边，在上方作任意，连接交于点G． （1）如图1，若G为中点，，，求的长度； （2）如图2，点F在的延长线上，连接，若，，试猜想线段和之间存在的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）6 （2） 解：线段和之间存在的数量关系为；理由如下： 在上截取，连接，如图2， 在中，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题关键， （1）先证明即可证明，从而求出结论； （2）在上截取，连接，先证明，证明，再证明从而证明结论． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴， ∵G为中点， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； 【小问2详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 重庆市第十八中学2024-2025学年（上）中期学习能力摸底 八年级数学试题 说明：1.时间：120分钟2.试题总分：150分3.试卷页数：4页 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 的倒数是（　　） A. B. C. D. 以上都不是 2. 下列式子中，运算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列多项式中，没有公因式的是（ ） A. 和 B. 和 C. 和 D. 和 4. 如图，已知，下列条件中不能判定的是（ ） A. B. C. D. 5. 估计的值应在（ ） A. 7和8之间 B. 6和7之间 C. 5和6之间 D. 4和5之间 6. 《九章算术》中记载了这样的问题：六鸡、七鸭共重24千克，鸡重鸭轻，互换其中一只，恰好一样重．问：每只鸡、鸭平均各重多少千克？设每只鸡平均重千克，每只鸭平均重千克，根据题意可列出方程组为（ ） A. B. C. D. 7. 下列图形都是由●按照一定规律组成的，其中第①个图共有四个●，第②个图中共有8个●，第③个图中共有13个●，第④个图中共有19个●，…，照此规律排列下去，则第10个图形中●的个数为（　　）  A. 50 B. 53 C. 64 D. 76 8. 如图，起重机在工作时，起吊物体前机械臂与操作台的夹角，支撑臂为的平分线．物体被吊起后，机械臂的位置不变，支撑臂绕点旋转一定的角度并缩短，此时，增大了，则的变化情况为（ ）    A. 增大 B. 减小 C. 增大 D. 减小 9. 如图，，点是线段的中点，，且交外角的平分线于点F，若，则一定等于（ ） A. B. C. D. 10. 对于两个多项式，，若满足下列两种情形之一： （1），；（2），，则称多项式A为“较大”多项式，多项式B为“较小”多项式．对于两个多项式和，若将和中“较大”多项式和“较小”多项式的差记作，则称这样的操作为一次“优选作差”操作；再对和进行“优选作差”操作得到……以此类推，经过n次操作后得到的序列，，，……，称为“优选作差”序列． 现对和进行n次“优选作差”操作得到“优选作差”序列，则下列说法： ①；②； ③当时，“优选做差”序列中满足的整数k有1349个．其中正确的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二、填空题（本大题8个小题，每小题4分，共32分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上. 11. 计算：______． 12. 一个多边形的内角和与外角和的和为2160︒，则这个多边形的边数为_______. 13. 若，，则______． 14. 若的值为6，则的值为______． 15. 如图，在中，为中线，E为上一点，，连接与交于点O，若的面积为12，则的面积为________． 16. 若关于x的不等式组有解且最多有3个奇数解，关于y的方程的解为正整数，则所有满足条件的整数a的和为______． 17. 如图，四边形中，与相交于点O，且，，点E是和平分线的交点，连接，，则 （1）______； （2）下列结论：①；②；③；④；；其中正确的是______． 18. 若一个四位数的千位数字比百位数字大2，十位数字比个位数字大3，则称这个四位数为“霜降数”．若其千位数字比百位数字大3，十位数字比个位数字大5，则称这个四位数为“寒露数”，如4241是“霜降数”，6361是“寒露数”，最小的“寒露数”是______，若M、N分别是“霜降数”、“寒露数”，且它们的个位数字均为1，M、N各数位上的数字之和分别记为和，若能被11整除，则当取得最小值时M的值是______． 三、解答题：（本大题8个小题，第19题8分，20-26题每小题10分，共78分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 19. 因式分解： （1） （2） 20. 如图，点D在线段上，，， （1）求作的角平分线，并交于点F（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法，不下结论）； （2）在（1）的条件下试证明：．请将以下推导过程补充完整． 证明：∵，∴___①___； 在和中， ∴ ∴___③___ ∵平分，∴___④___． 在和中， ∴， ∴（___⑤___）． 21. 如图，点M、N分别是正五边形的边、上的点，且，交于点P． （1）求证：； （2）求的度数． 22. 先化简，再求值，其中x，y满足． 23. 为提高学生学习数学的兴趣，培养学生的数学运算能力，某学校七年级举行了一次“数学运算能力大比拼”活动，随机抽取两个班（分别记作甲班、乙班），对某次数学成绩进行了统计．已知抽取的两个班的人数相同，把所得数据绘制成如下统计图表．根据图表提供的信息，解答下列问题． 甲、乙两班数学成绩统计表 组别 分数 人数 A 4 B 2 C m D 38 E 27 （1）样本中，乙班学生成绩在D组的人数是______人，乙班总人数是______人；在扇形统计图中，E组对应的圆心角的度数是______； （2）______，请补全频数分布直方图； （3）本次数学考试成绩得分在90分以上（含90）为合格，已知七年级共有720名学生，请估计七年级本次数学考试成绩合格的人数约有多少？· 24. 为了更好地保护美丽如画的安居琼江河，安居区污水处理厂决定先购买A，B两型污水处理设备共20台，每台型污水处理设备12万元，每台B型污水处理设备10万元．已知1台A型污水处理设备和2台B型污水处理设备每周可以处理污水，2台A型污水处理设备和3台B型污水处理设备每周可以处理污水． （1）求A，B两种污水处理设备每周每台分别可以处理污水多少吨； （2）经预算，安居区污水处理厂购买设备的资金不超过230万元，每周处理污水的量不低于，购买方案有几种？并指出哪种方案所需资金最少，最少是多少？ 25. “数缺形时少直观，形少数时难入微”，在探究“因式分解”时，我们借助直观、形象的几何模型，转化成“几何”形式来求解运用到了“数形结合”的数学思想．下面，让我们一起来探索其中的规律． 【实践操作】如图，有足够多的边长为a的小正方形纸片（A类）、长为a宽为b的长方形纸片（B类）以及边长为b的大正方形纸片（C类）．我们知道对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积可以得到一个数学等式． 【拓展延伸】 （1）用若干个A类、B类、C类纸片拼成图1中的长方形，根据图形可以因式分解得______． 【知识迁移】类似地，我们还可以通过对立体图形的体积进行变换来得到一些代数恒等式． （2）如图2，在一个棱长为a的正方体中挖出一个棱长为b的正方体，再把剩余立体图形切割（如图3），得到三个长方体①、②、③（如图4）．易得长方体①的体积为．则长方体②的体积为______，长方体③的体积为______（结果不需要化简）．则因式分解______． （3）尝试因式分解：． （4）应用：已知，，求出的值． 26. 在中，，点D在延长线上，以为边，在上方作任意，连接交于点G． （1）如图1，若G为中点，，，求的长度； （2）如图2，点F在的延长线上，连接，若，，试猜想线段和之间存在的数量关系，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $