精品解析：安徽省芜湖市无为市2024--2025学年上学期九年级期中考试数学试卷

2024-2025学年第一学期九年级期中学情调研 数学试题卷 时间：120分钟 满分：150分 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个是符合要求的． 1. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 一元二次方程，配方后可变形为（ ） A. B. C. D. 3. 已知点和点关于原点对称，则 （    ） A. 1 B. C. 3 D. 4. 若α，β是方程的两个实数根，则的值为（　　） A. 2026 B. 2022 C. D. 4048 5. 关于二次函数的图象，下列说法错误的是（ ） A. 对称轴是直线 B. 当时，随的增大而减小 C. 图象与轴没有交点 D. 顶点坐标为 6. 在平面直角坐标系中，将二次函数的图象向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得拋物线对应的函数表达式为（ ） A. B. C. D. 7. 抛物线与x轴交于A，B两点，若点A的坐标为，则点B的坐标是（ ） A. B. C. D. 8. 如图是二次函数的部分图象，由图象可知不等式的解集是（ ） A. B. C. 且 D. 或 9. 下列命题中不正确的是（　　） A. 圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是圆的对称轴 B. 圆是中心对称图形，圆心是它的对称中心 C. 图形经过旋转所得的对应点到旋转中心的距离相等 D. 平分弦的直径一定垂直于这条弦 10. 如图，CD是圆O的弦，直径AB⊥CD，垂足为E，若AB＝12，BE＝3，则四边形ACBD的面积为( ) A. 36 B. 24 C. 18 D. 72 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 若方程的两个不相等的实数根，恰好是一个直角三角形的两条边长，则此直角三角形的第三条边长是______． 12. 根据下列表格中的自变量x与函数值y的部分对应值，判断方程（，a，b，c为常数）的一个根x的取值范围是___________． x 0.4 0.5 0.6 0.7 13. 某商店以元的价格购进了一批服装，若按每件元出售时，一周内可销售件；当售价每提高元时，其周售量就会减少件．若设每件售价为元，总利润是元，则关于的函数解析式为________． 14. 如图，抛物线与直线交于两点，则不等式的解集是______． 三．解答题（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 用适当的方法解下列一元二次方程： （1）； （2） 16. 已知点，解答下列问题： （1）若点与关于原点对称，求点的值； （2）若点，且直线平行于轴，求点的坐标． 四．（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 如图，三个顶点的坐标分别为，，． （1）请画出关于原点对称的； （2）请画出绕O顺时针旋转后的并写出点的坐标． 18. 在平面直角坐标系中，抛物线经过点，两点． （1）求该抛物线的解析式； （2）当时，直接写出的取值范围． 五．（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了“筒车”（见图1，一种水利灌溉工具）的工作原理．如图2，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆．已知圆心O在水面上方，且被水面截得弦长为8米，半径长为6米，若点C为运行轨道的最低点，则点C到弦所在直线的距离是多少？ 20. 在平面直角坐标系中，已知点在抛物线上． （1）求该抛物线的对称轴． （2）若点，也在抛物线上，请通过计算比较，的大小． 六．（本大题满分12分） 21. 如图，有长为的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为）围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，设花圃边长为x米，面积为y平方米． （1）求y与x的函数关系式，并写出x的取值范围； （2）如果要围成面积为的花圃，求的长度； （3）如果要使围成的花圃面积最大，求最大面积是多少． 七．（本大题满分12分） 22. 如图1是某石拱桥，每个拱形都是相同形状的抛物线，且抛物线的顶点与水平面距离都相同．在其中一个桥洞中，水面宽度为米，如图2，拱顶距离水面米，并建立平面直角坐标系． （1）求该抛物线对应的函数表达式； （2）若水位上涨米，则每个拱桥内水面的宽度是多少？ 八．（本大题满分14分） 23. 已知，，． （1）如图1，连接、，求证：． （2）若将绕点逆时针旋转，如图2，当点恰好在边上时，请写出之间关系，并说明理由． （3）若绕点O旋转，当时，直线与直线交于点，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年第一学期九年级期中学情调研 数学试题卷 时间：120分钟 满分：150分 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个是符合要求的． 1. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的判断，根据定义逐项判断即可．将一个图形沿某直线折叠，直线两旁的部分能够重合，这样的图形称为轴对称图形；将一个图形绕某点旋转，能与本身重合的图形，这样的图形称为中心对称图形． 【详解】因为图A既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，所以A不符合题意； 因为图B是中心对称图形，但不是轴对称图形，所以B不符合题意； 因为图C既是中心对称图形，又是轴对称图形，所以C符合题意； 因为图D是中心对称图形，但不是轴对称图形，所以D不符合题意． 故选：C． 2. 一元二次方程，配方后可变形为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的配方方法，关键是一次项系数一半的平方． 通过移项和配方，将方程转化为完全平方形式． 【详解】解： 移项得：， 配方：两边加上一次项系数一半的平方，即， ∴， 即， 故选 D． 3. 已知点和点关于原点对称，则 （    ） A. 1 B. C. 3 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了关于原点对称的点的特征，代数式求值．关于原点对称的点的横纵坐标互为相反数． 根据点和点关于原点对称求出和，再代入中进行求解． 【详解】解：点和点关于原点对称， ，， ． 故选：B． 4. 若α，β是方程的两个实数根，则的值为（　　） A. 2026 B. 2022 C. D. 4048 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是一元二次方程的定义和根与系数的关系，即只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．根据一元二次方程解的概念得到，利用根与系数的关系得到，然后整体代入求解即可． 【详解】解：，是方程的两个实数根， ，即，且， ∴． 故选：B． 5. 关于二次函数的图象，下列说法错误的是（ ） A. 对称轴是直线 B. 当时，随的增大而减小 C. 图象与轴没有交点 D. 顶点坐标为 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，先将解析式化为顶点式，求出抛物线的对称轴和顶点坐标，结合抛物线的开口方向和顶点坐标可得出抛物线的增减性以及抛物线与轴的交点情况，即可求出答案． 【详解】解：∵， ∴二次函数的对称轴为直线，顶点坐标为，故A选项和D选项不符合题意； ∵， ∴抛物线开口向下， ∵顶点坐标为， ∴图象与轴有交点，故C选项符合题意； ∵抛物线开口向下，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而减小，故B选项不符合题意． 故选：C． 6. 在平面直角坐标系中，将二次函数的图象向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得拋物线对应的函数表达式为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次函数图象的平移“左加右减，上加下减”可进行求解． 【详解】解：由二次函数的图象向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得拋物线对应的函数表达式为； 故选B． 【点睛】本题主要考查二次函数图象的平移，熟练掌握二次函数图象的平移是解题的关键． 7. 抛物线与x轴交于A，B两点，若点A的坐标为，则点B的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查抛物线与x轴的交点问题，求抛物线与x轴的交点只需令解方程即可． 将点A的坐标为代入得：，然后代入解析式，求出时x的值即可得． 【详解】解：将点A的坐标为代入得： ∴， 令，则有：，即 解得，，， ∴点B的坐标是， 故选：D． 8. 如图是二次函数的部分图象，由图象可知不等式的解集是（ ） A. B. C. 且 D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数与不等式、二次函数的对称性，先利用抛物线的对称性求出与x轴的另一个交点坐标，然后写出抛物线在x轴上方部分的x的取值范围即可． 【详解】解：由图可知，抛物线的对称轴为直线，与x轴的一个交点为， ∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为， ∴不等式的解集是． 故选：A． 9. 下列命题中不正确的是（　　） A. 圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是圆的对称轴 B. 圆是中心对称图形，圆心是它的对称中心 C. 图形经过旋转所得的对应点到旋转中心的距离相等 D. 平分弦的直径一定垂直于这条弦 【答案】D 【解析】 【分析】利用圆的对称性、圆周角定理及垂径定理分别判断后即可确定正确的选项． 【详解】解：、圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是圆的对称轴，正确，不符合题意； 、圆是中心对称图形，圆心是它的对称中心，正确，不符合题意； 、同弧或等弧所对的圆心角相等，正确，不符合题意； 、平分弦（不是直径）的直径一定垂直于这条弦，错误，符合题意， 故选：D． 【点睛】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解圆的对称性、旋转变换的性质及垂径定理． 10. 如图，CD是圆O的弦，直径AB⊥CD，垂足为E，若AB＝12，BE＝3，则四边形ACBD的面积为( ) A. 36 B. 24 C. 18 D. 72 【答案】A 【解析】 【分析】连接OC，首先根据题意可求得OC=6，OE=3，根据勾股定理即可求得CE的长，再根据垂径定理即可求得CD的长，据此即可求得四边形ACBD的面积． 【详解】解：如图，连接OC， ∵AB＝12，BE＝3， ∴OB＝OC＝6，OE＝3， ∵AB⊥CD， ∴在Rt△COE中，， ∴CD＝2CE＝6， ∴四边形ACBD的面积＝． 故选：A． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，垂径定理，熟练掌握和运用垂径定理是解决本题的关键． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 若方程的两个不相等的实数根，恰好是一个直角三角形的两条边长，则此直角三角形的第三条边长是______． 【答案】13或 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程和勾股定理，能求出符合的所有情况是解此题的关键． 先求出方程的解，再分为两种情况，根据勾股定理求出第三边即可． 【详解】解方程得：或5， 即直角三角形的两边为12或5， 当12为直角边时，第三边为：； 当12为斜边时，第三边为：； 故答案为：13或． 12. 根据下列表格中的自变量x与函数值y的部分对应值，判断方程（，a，b，c为常数）的一个根x的取值范围是___________． x 0.4 0.5 0.6 0.7 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了用函数图象法求一元二次方程的近似根，根据函的图象与x轴交点的横坐标就是方程的根，再根据二次函数y的正负即可判断方程一个解的范围． 【详解】解：∵函数的图象与x轴交点的横坐标就是方程的根，x轴上的点的纵坐标为0，由表中数据可知：在与之间， ∴对应的x的值在与之间， 即． 故答案为：． 13. 某商店以元的价格购进了一批服装，若按每件元出售时，一周内可销售件；当售价每提高元时，其周售量就会减少件．若设每件售价为元，总利润是元，则关于的函数解析式为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了根据实际问题列二次函数关系式，表示出每件利润以及其销量是解题关键． 根据每月售出衬衫的利润每件的利润每周的销售量得到，整理即可． 【详解】解：根据题意得出： ． 故答案为：． 14. 如图，抛物线与直线交于两点，则不等式的解集是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数与不等式的关系，解题的关键是理解函数图象；因此此题可根据函数图象直接进行求解． 【详解】解：根据不等式可知：一次函数的图象需在二次函数的图象上方， ∴由图象可知：当时，满足； 故答案为． 三．解答题（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 用适当的方法解下列一元二次方程： （1）； （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程； （1）根据配方法化为，进而根据开平方法解一元二次方程，即可求解； （2）根据因式分解法化为，进而解方程，即可求解． 【小问1详解】 解：， ∴， ∴， ∴， 解得：； 【小问2详解】 解：， ∴， ∴或， 解得：． 16. 已知点，解答下列问题： （1）若点与关于原点对称，求点的值； （2）若点，且直线平行于轴，求点的坐标． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查直角坐标系中点的特征，关于原点对称的点坐标特征； （1）根据原点对称的两点横纵坐标都互为相反数求解即可； （2）根据直线平行于轴可得、两点纵坐标相等列方程计算即可． 【小问1详解】 ∵点与关于原点对称， ∴， 解得； 【小问2详解】 ∵点，且直线平行于轴， ∴点纵坐标为9， ∴，解得， ∴． 四．（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 如图，三个顶点的坐标分别为，，． （1）请画出关于原点对称的； （2）请画出绕O顺时针旋转后的并写出点的坐标． 【答案】（1）如图所示：，即为所求； （2） 如图所示：，即为所求； 【解析】 【分析】本题考查的是中心对称的作图，旋转的作图，坐标与图形，利用旋转的性质作图是解本题的关键． （1）分别确定关于原点的对称点，再顺次连接，可得答案； （2）分别确定绕原点顺时针旋转后的对应点，再顺次连接，再根据的位置可得答案； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 18. 在平面直角坐标系中，抛物线经过点，两点． （1）求该抛物线的解析式； （2）当时，直接写出的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数关系式，二次函数图像和性质， （1）将两个点的坐标代入关系式得出方程组，求出解即可得出答案； （2）先求出抛物线的对称轴，再结合自变量的取值范围求出函数值，进而得出答案． 【小问1详解】 ∵抛物线的图像经过点， ∴， 解得， ∴抛物线得关系式为； 【小问2详解】 ∵抛物线中，， ∴抛物线开口向上，对称轴是直线， 将代入函数关系式，得． 当时，离对称轴越远函数值越大， 令，， ∴． 五．（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了“筒车”（见图1，一种水利灌溉工具）的工作原理．如图2，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆．已知圆心O在水面上方，且被水面截得弦长为8米，半径长为6米，若点C为运行轨道的最低点，则点C到弦所在直线的距离是多少？ 【答案】米 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理的应用和勾股定理的应用，熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键． 连接，交于点D，再由勾股定理得，然后计算即可求解． 【详解】解：连接，交于点D，如图， 即， ∵点C为运行轨道的最低点，， ∴，， 由勾股定理，得， 即， ∴， 故点C到弦所在直线的距离是米． 20. 在平面直角坐标系中，已知点在抛物线上． （1）求该抛物线的对称轴． （2）若点，也在抛物线上，请通过计算比较，的大小． 【答案】（1）直线 （2）当时，；当时，；当时， 【解析】 【分析】本题考查二次函九图像与性质， （1）将点代入得出的关系与的关系，即可得出结论； （2）分，，三种情况讨论即可； 掌握二次函数的增减性及分类讨论思想的运用是解题的关键． 【小问1详解】 解：∵点在抛物线上， ∴， ∴， ∴， ∴该抛物线的对称轴为直线； 【小问2详解】 ∵， ∴抛物线的图像开口向上， ∴抛物线上的点离对称轴越近其函数值越小， 当时，， 此时点与点关于直线对称， ∴； 当时，点离直线更近，则； 当时，点离直线更近，则； 综上所述，当时，；当时，；当时，． 六．（本大题满分12分） 21. 如图，有长为的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为）围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，设花圃边长为x米，面积为y平方米． （1）求y与x的函数关系式，并写出x的取值范围； （2）如果要围成面积为的花圃，求的长度； （3）如果要使围成的花圃面积最大，求最大面积是多少． 【答案】（1）（） （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的应用， 由宽为x米，则花圃的长为，利用面积公式求解即可； 由条件列出，求解并结合取值范围即可判定； 根据将二次函数解析式化为顶点式，结合x的取值范围求其最大值即可． 【小问1详解】 解：由题可知，花圃的宽为x米，则花圃的长为， 那么，， ∵，解得：， ∴（）； 【小问2详解】 由条件， 化简得，解得， ∴不合题意，舍去， 即的长度为5米； 【小问3详解】 （）， ∵，开口向下， ∴当时，y有最大值， 故最大面积为． 七．（本大题满分12分） 22. 如图1是某石拱桥，每个拱形都是相同形状的抛物线，且抛物线的顶点与水平面距离都相同．在其中一个桥洞中，水面宽度为米，如图2，拱顶距离水面米，并建立平面直角坐标系． （1）求该抛物线对应的函数表达式； （2）若水位上涨米，则每个拱桥内水面的宽度是多少？ 【答案】（1） （2）水位上涨米，则每个拱桥内水面的宽度是米 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的运用， （1）根据图2建立平面直角坐标系可得，可得顶点坐标为，设二次函数解析式为，代入原点即可求解； （2）根据水位上涨米可得，由此求出对应的的值即可求解． 【小问1详解】 解：根据图2可得，二次函数图象经过，此时拱顶距离水面米， ∴二次函数图象的顶点坐标为， 设二次函数图象的解析式为，把代入得，， 解得，， ∴二次函数图象的解析式为； 【小问2详解】 解：若水位上涨米，则， ∴， 解得，， ∴（米）， ∴水位上涨米，则每个拱桥内水面的宽度是米． 八．（本大题满分14分） 23. 已知，，． （1）如图1，连接、，求证：． （2）若将绕点逆时针旋转，如图2，当点恰好在边上时，请写出之间关系，并说明理由． （3）若绕点O旋转，当时，直线与直线交于点，求的长． 【答案】（1） 结论：． 理由：． ． 在和中． ， ， ； （2）， 理由：连接． ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ； （3）或 【解析】 【分析】本题是几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，旋转的性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质等知识； （1）由“”可证，可得，； （2）连接，由“”可证，可得，，由勾股定理可得结论； （3）分两种情况讨论，由等腰直角三角形的性质和勾股定理求的长，进而即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 如图中，当点在的上方时，过点作于． ，， ， ， ， ， ，， ， ， ， ． 如图中，当点在的下方时，， ， ， ， ， ， ， ， 综上所述，满足条件的的长为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $