精品解析：江西省景德镇市2025届高三第一次质检数学试题

景德镇市2025届高三第一次质检试题 数学 命题 景德镇一中 江宁 景德镇二中 马小宇 景德镇十六中 余倩 本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟. 第I卷（选择题） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将集合化简，再由交集的运算，即可得到结果. 【详解】因为，，所以． 故选：D． 2. 已知（为虚数单位），则在复平面内对应的点在第（ ）象限 A. 一 B. 二 C. 三 D. 四 【答案】D 【解析】 【分析】利用复数除法运算化简，进而求得，进而确定对应点所在象限. 【详解】， ∴对应的点为在第四象限. 故选:D 3. 已知，，则的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】直接利用平面向量的坐标运算求出，再求模. 【详解】因为，， 所以，则． 故选：B． 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将题干等式两边同时平方，再结合同角三角函数基本关系与二倍角公式即可得出答案. 【详解】因为， 所以. 故选：C. 5. 过点且与曲线相切的直线方程是（ ） A. B. C D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据导数几何意义以及斜率公式，计算可得切点坐标，即可求得切线方程. 【详解】，点不在曲线上， 设切点为，则， 解得：，得切点，则 切线方程为：， 故选：． 6. 函数的零点个数是（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】将问题转化为求与图象的交点个数，作出两函数的图象，结合图象求解即可. 【详解】令，则有， 要求函数的零点个数， 即求与图象的交点个数， 作出两函数的图象，如图所示： 由此可得函数与图象有6个交点， 所以函数的零点个数为6. 故选：B． 7. 函数的定义域为，是奇函数，当时，则的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数是奇函数可得关于成中心对称，先解出当时的解，即可利用对称性得不等式的解. 【详解】∵是奇函数， ∴，即关于点对称． 又函数的定义域为，故． 当时， 令，即，解得． 根据对称性可知当时，． 综上所述，的解集是． 故选：B． 8. 甲烷是最简单的有机化合物，其分子式为，它是由四个氢原子和一个碳原子构成，甲烷在自然界分布很广，是天然气、沼气、煤矿坑道气及可燃冰的主要成分之一.甲烷分子是正四面体空间构型，如图，四个氢原子分别位于正四面体的顶点处，碳原子位于正四面体的中心处.若正四面体的棱长为1，则平面和平面位于正四面体内部的交线长度为（ ） A. B. C. D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】取AB，CD的中点E，F，连结E，F两点，根据正四面体的性质可得EF即为平面和平面的交线，再由几何关系求出线段EF的长度即可. 【详解】如图所示， 分别取的中点，连结E，F， 则由正四面体的性质，EF过正四面体的中心O， 所以平面即平面，平面即平面， 又因为平面，平面， 所以平面和平面位于正四面体内部的交线为线段， 又因为正四面体的棱长为1， 则由勾股定理可得， 所以在等腰三角形FAB中： ． 故选：A． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 函数为偶函数,且最小正周期为4 B. 若,,则往方向上的投影长为 C. 是抛物线上一点,,则的最小值为1 D. 已知两直线与,则“”是“,互相平行”的充分不必要条件 【答案】BC 【解析】 【分析】对于A，先化简，再利用奇偶性的定义判断即可；对于B，往方向上的投影长为，据此求解即可；对于C，假设的坐标，运用两点间的距离公式求出，再利用不等式求解即可；对于D，先由，互相平行求出的值，再根据充分条件、必要条件判断即可. 【详解】对于A,∵,定义域为,, 显然是奇函数,故A错误； 对于B,往方向上的投影长为,故B正确； 对于C,设,其中,∴, 即的最小值为,故C正确； 对于D,∵互相平行,∴,解得或,经检验时两直线重合， ∴“”为“互相平行”的充要条件,故D错误． 故选:BC． 10. 在高三一次大型联考中，物理方向共有35万人参加，其中男生有20万人.现为了了解该次考试的数学成绩，用分层随机抽样的方法从中抽取350人，其中名男生的数学平均成绩为77分，名女生的数学平均成绩为70分.已知35万人的数学成绩，近似为样本均值，则下列正确的是（ ） 参考数据：若，则， ， A. B. 总体是35万人 C. 样本均值73.5 D. 估计该次联考中物理方向数学成绩低于66分的约有7980人 【答案】AD 【解析】 【分析】根据分层随机抽样的特征可判断A；根据总体的定义可判断B；根据分层随机抽样的均值可计算并判断C；根据正态分布的定义可判断D. 【详解】由分层随机抽样的特征可知：，故A正确； 总体是35万考生的数学成绩，故B错误； 根据分层随机抽样的均值知样本均值，故C错误； ∵，，， ∴小于66分的人数约为人，故D正确． 故选：AD． 11. 已知，分别为双曲线的左、右顶点，离心率为，为双曲线上位于第一象限内任意一点，设，，的面积为，则下列说法正确的是（ ） A. 的值随着的增大而减小 B. 是定值 C. D. 若，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】由正弦定理可得，即可判断A；根据即可判断B；推导出，又，即可判断C；由，，即可得到，从而得到，即可求出离心率的取值范围，从而判断D. 【详解】双曲线的左顶点为，右顶点为，渐近线为， 在中，由正弦定理可知， 显然均为锐角且随着的增大分别减小与增大，即随着的增大分别减小与增大且均为正数， ∴的值随着的增大而减小，故A正确； 因为， 由于，∴，∴为定值，故B正确； 因为，而， ∴，故C错误； 因为， ， ∴， 又，∴，解得，则， 又，∴，故D正确． 故选：ABD． 【点睛】方法点睛：双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法： ①求出，，代入公式； ②只需要根据一个条件得到关于，，的齐次式，结合转化为，的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以或转化为关于的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得 (的取值范围)． 第II卷（非选择题） 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知公比不为1的等比数列，且，，成等差，则________. 【答案】 【解析】 【分析】由等差中项求得等比数列公比，再结合等比数列通项公式即可求解. 【详解】由题知：∵成等差，∴，又是公比不为1的等比数列， ∴，∴，． 故答案为：． 13. 已知与，若存在实数的值使得两圆仅有一条公切线，则的最小值为________. 【答案】 【解析】 【分析】先确定两圆的圆心和半径，然后根据条件分析出两圆的位置关系，再由圆心距和半径的数量关系求解出结果. 【详解】因为， ∴，半径为， 因为， ∴，半径为， 若两圆仅有一条公切线，即两圆相内切， ∴， 由于，故， 解得，即的最小值为， 故答案为：. 14. 甲口袋装有1个黑球和2个白球，乙口袋装有2个黑球和1个白球，这些球除颜色外完全相同.第一步，从甲口袋中随机取一个球放入乙口袋；第二步，从乙口袋中随机取一个球放入甲口袋；第三步，从甲口袋中随机取出一个球并记录颜色.在第三步取出的是黑球的条件下，第一步从甲口袋中取的球是黑色的概率是________. 【答案】## 【解析】 【分析】列出第三次取的球是黑球的所有可能的概率，求相应的条件概率. 【详解】第一次给出黑球且第二次给出黑球且第三次给出黑球的概率为， 第一次给出黑球且第二次给出白球且第三次给出黑球的概率为， 第一次给出白球且第二次给出黑球且第三次给出黑球的概率为， 第一次给出白球且第二次给出白球且第三次给出黑球的概率为， ∴在第三步取出的是黑球的条件下，第一步从甲口袋中取的球是黑色的概率． 故答案为:． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数. （1）求函数的单调递减区间和对称中心； （2）在中，角，，所对的边分别是，，，若，且，求. 【答案】（1），，其中． （2）1 【解析】 【分析】（1）先将函数转化为含有一个三角函数的表达式，可求出单调区间和对称中心； （2）根据，得到，再根据向量的数量积可求得的结果，最后根据余弦定理可求得的值. 【小问1详解】 ， 令，解得：， 该函数的单调递减区间为：， 令，解得， ∴函数的对称中心坐标为，其中； 【小问2详解】 ∵，∴， ∵，∴，故， ∴， ∵， 且，， ∴，解得：， 由余弦定理可知，． 16. 如图四棱锥，底面是边长为1的正方形，平面平面，，. （1）求证：平面； （2）求二面角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）取中点，连接，得，由面面垂直性质定理得平面，坐得，然后线面垂直的判定定理证明出结论； （2）证明平面，再以为坐标原点，为轴建立空间直角坐标系，由空间向量法求二面角的余弦值． 【小问1详解】 取中点，连接，∵，故． ∵平面平面，平面， ∴平面，而平面，∴． 又∵，，平面． ∴平面． 【小问2详解】 由（1）可知，又，，平面， ∴平面． 如图以为坐标原点，为轴建立空间直角坐标系． ∴， , 设平面的法向量， 则，令，得． 设平面的法向量， 则，令，得， ∴ ∵二面角钝角， ∴二面角的余弦值为. 17. 已知为坐标原点，椭圆，是上一点，离心率. （1）求的方程； （2）斜率为的直线交于，两点，在以为直径的圆上，求的最大值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由点在椭圆上及离心率列出等式求解即可； （2）设直线方程，联立椭圆方程，结合韦达定理及弦长公式，再通过三角换元即可求解. 【小问1详解】 由题意，解得， ∴椭圆的方程为． 【小问2详解】 设直线为，设，设中点为， 联立， 根据韦达定理可知， 其中． ∴，． ∴， ∴， 令， ∴，等号当且仅当，即时取到，满足 ∴，即的最大值为． 18. 已知函数，其中. （1）已知,若在定义域内单调递增,求的最小值； （2）求证：存在常数使得,并求出的值； （3）在（2）的条件下,若方程存在三个根,,,且,求的取值范围. 【答案】（1） （2）证明见解析， （3） 【解析】 【分析】（1）依题意在上恒成立,只需即可； （2）由代入并化简可得,对照系数即可求解； （3）构造函数,则由,得,观察得到，由此判断,,∴必在上存在唯一零点,利用导数研究的单调性,进而可以研究函数的零点. 【小问1详解】 的定义域为,依题意可知当时,恒成立， 即,因为,当且仅当,即时等号成立, 故,解得,即的最小值为． 【小问2详解】 ， ∵，∴，解得． 所以存在常数使得，此时． 【小问3详解】 构造函数， 则方程存在三个根,即函数函数存在三个零点． ∵,∴． 令,得,于是为的一个零点． 若存在零点,且, 由可知必存在相应的零点，且． ∴必在上存在唯一零点． 若恒成立,即成立,解得， 此时在上单调递增，无零点； 若,则, 令,则, ∴在上单调递增,故在上存在零点, 当时,,单调递减,当时,,单调递增． ∵,即，解得， ∴，即． 综上所述，的取值范围是． 【点睛】关键点点睛：本题关键点在于由发现，进而判断必在上存在唯一零点，然后利用导数研究的单调性，进而可研究其零点. 19. 第一组数据，其中，第二组数据，这个数互不相等，，分别为其中最大与第二大的数.先从第二组数据中剔除一个数（剩余数相对位置保持不变）得到一组新数据，若将该组数据中相邻两数对换位置称为一次对换，经过至少次对换得到最终数据，简记.若用直线拟合点列，相关系数. （1）第一组数据，第二组数据，若剔除10，经过后得到拟合最佳；若剔除8，经过得到最佳.求的值； （2）在一组互不相等的数的排列中，定义在的右边比其小的数的个数称为的逆序数.已知，的逆序数分别为，，剩余各数按相对顺序从大到小排列.若经过后将这个数从小到大顺序排列，求的所有可能取值； （3）若剔除后经过至少次对换后得到拟合效果最佳，相关系数为.剔除后经过至少次对换后得到拟合效果最佳，相关系数为.若，求证：为定值，并求出该定值. 【答案】（1） （2）或．… （3）证明见解析， 【解析】 【分析】（1）根据要求进行对换，记数后可得； （2）根据是第二大还是第三大分类确定各项调整到相应位置的对换数，再求和可得； （3）先证排序不等式，利用此结论得证要使拟合效果最佳且，则应将按从小到大的顺序排列，要使得拟合效果最佳且，应将按从大到小的顺序排列，由此分别确定对换次数后可得结论． 小问1详解】 第一次对换：，∴． 第二次对换：，∴． 故． 【小问2详解】 ∵的逆序数为，∴必为这个数中的最大数．的逆序数为，则可能是这个数中第二大或者第三大的数． 若是第二大的数，先将对换到末位需要次对换，再将对换到倒数第二位需要 次对换，而后将其余各数对换到相应位置分别需要次对换，则 ； 若是第三大的数，则只能是第二大的数，同理需要对换次，需要对换次， 需要对换次，…，∴． 综上所述，或． 【小问3详解】 先证明排序不等式，不妨假设，是 的一个排列，，不妨假设，则 ，于是 成立的充要条件为，于是经过若干次对换后得：． 假设经过若干次对换后得到，其中， 则． ∵，其中与均为正常数，要使 得拟合效果最佳，则．∵，不妨假设，则． 设的所有逆序数之和为，反之，正序数之和为，由于这个数互不相等，则． ∵剔除后要使得拟合效果最佳且，即尽可能大，则应将按从小到大的顺序排列． 将中数按大数优先对换的原则，则将该组数按从小到大的顺序排列共需次对换，再将排最前面有次对换，故． ∵剔除后要使得拟合效果最佳且，即尽可能小，则应将按从大到小的顺序排列． 而中的数按小数优先对换的原则，则将该组数按从大到小的顺序排列共需要次对换，位置不变，故． ∴． 若，同理可得． 综上所述，为定值． 【点睛】难点点睛：本题考查学生的创新意识，数学抽象及 逻辑推理的数学素养．在前面（1）（2）小题中只要正确理解题意，问题只要确定各元素的对换次数即可求解，而第（3）小题首先需要确定如何调整？为此可先证明排序不等式，利用排序不等式得出满足题意的调整是分别将调整成按从大到小的从小到大排列，从而再根据调整后的结果确定对换次数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 景德镇市2025届高三第一次质检试题 数学 命题 景德镇一中 江宁 景德镇二中 马小宇 景德镇十六中 余倩 本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟. 第I卷（选择题） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知（为虚数单位），则在复平面内对应的点在第（ ）象限 A. 一 B. 二 C. 三 D. 四 3. 已知，，则的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 5. 过点且与曲线相切的直线方程是（ ） A. B. C. D. 6. 函数的零点个数是（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 7. 函数的定义域为，是奇函数，当时，则的解集是（ ） A. B. C. D. 8. 甲烷是最简单的有机化合物，其分子式为，它是由四个氢原子和一个碳原子构成，甲烷在自然界分布很广，是天然气、沼气、煤矿坑道气及可燃冰的主要成分之一.甲烷分子是正四面体空间构型，如图，四个氢原子分别位于正四面体的顶点处，碳原子位于正四面体的中心处.若正四面体的棱长为1，则平面和平面位于正四面体内部的交线长度为（ ） A. B. C. D. 1 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 函数为偶函数,且最小正周期为4 B. 若,,则往方向上投影长为 C. 是抛物线上一点,,则最小值为1 D. 已知两直线与,则“”是“,互相平行”的充分不必要条件 10. 在高三一次大型联考中，物理方向共有35万人参加，其中男生有20万人.现为了了解该次考试的数学成绩，用分层随机抽样的方法从中抽取350人，其中名男生的数学平均成绩为77分，名女生的数学平均成绩为70分.已知35万人的数学成绩，近似为样本均值，则下列正确的是（ ） 参考数据：若，则， ， A. B. 总体是35万人 C. 样本均值为73.5 D. 估计该次联考中物理方向数学成绩低于66分的约有7980人 11. 已知，分别为双曲线的左、右顶点，离心率为，为双曲线上位于第一象限内任意一点，设，，的面积为，则下列说法正确的是（ ） A. 的值随着的增大而减小 B. 是定值 C. D. 若，则 第II卷（非选择题） 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知公比不为1的等比数列，且，，成等差，则________. 13. 已知与，若存在实数值使得两圆仅有一条公切线，则的最小值为________. 14. 甲口袋装有1个黑球和2个白球，乙口袋装有2个黑球和1个白球，这些球除颜色外完全相同.第一步，从甲口袋中随机取一个球放入乙口袋；第二步，从乙口袋中随机取一个球放入甲口袋；第三步，从甲口袋中随机取出一个球并记录颜色.在第三步取出的是黑球的条件下，第一步从甲口袋中取的球是黑色的概率是________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15 已知函数. （1）求函数的单调递减区间和对称中心； （2）在中，角，，所对的边分别是，，，若，且，求. 16. 如图四棱锥，底面是边长为1的正方形，平面平面，，. （1）求证：平面； （2）求二面角的余弦值. 17. 已知为坐标原点，椭圆，是上一点，离心率. （1）求的方程； （2）斜率为的直线交于，两点，在以为直径的圆上，求的最大值. 18. 已知函数，其中. （1）已知,若在定义域内单调递增,求最小值； （2）求证：存在常数使得,并求出的值； （3）在（2）的条件下,若方程存在三个根,,,且,求的取值范围. 19. 第一组数据，其中，第二组数据，这个数互不相等，，分别为其中最大与第二大的数.先从第二组数据中剔除一个数（剩余数相对位置保持不变）得到一组新数据，若将该组数据中相邻两数对换位置称为一次对换，经过至少次对换得到最终数据，简记.若用直线拟合点列，相关系数. （1）第一组数据，第二组数据，若剔除10，经过后得到拟合最佳；若剔除8，经过得到最佳.求的值； （2）在一组互不相等的数的排列中，定义在的右边比其小的数的个数称为的逆序数.已知，的逆序数分别为，，剩余各数按相对顺序从大到小排列.若经过后将这个数从小到大顺序排列，求的所有可能取值； （3）若剔除后经过至少次对换后得到拟合效果最佳，相关系数为.剔除后经过至少次对换后得到拟合效果最佳，相关系数为.若，求证：为定值，并求出该定值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$