安徽省安庆市迎江区安庆市石化第一中学2024-2025学年九年级上学期11月期中数学试题

2024-2025学年第一学期石化一中九年级期中数学试卷 一．选择题(共10小题，每小题4分，满分40分) 1．下列函数是二次函数的是（　　） A．y＝8x2+1 B．y＝2x﹣3 C．y＝3x2+ D．y＝ax2+bx+c 2．如果5a＝6b，则下列结论不正确的是（　　） A． B． C． D． 3．比值为（约0.618）的比例被公认为是最能引起美感的比例，因此被称为黄金分割比，我们中国的国旗宽与长之比就非常接近这个比例，如果某面国旗长为2米，则其宽约为（　　） A．1.5米 B．1.2米 C．1.0米 D．0.8米 4．如图，下列条件中不能判定△ACD和△ABC相似的是（　　） A．∠B＝∠ACD B．∠ACB＝∠ADC C．AB•CD＝AC•BC D．AC2＝AD•AB 5．已知抛物线y＝﹣（x+1）2上的两点A（x1，y1）和B（x2，y2），如果x1＜x2＜﹣1，那么下列结论一定成立的是（　　） A．y1＜y2＜0 B．0＜y1＜y2 C．0＜y2＜y1 D．y2＜y1＜0 6．已知反比例函数（k≠0）的图象如图所示，则二次函数y＝2kx2﹣x+k2的图象大致为（　　） 7．已知关于x的抛物线y＝x2﹣ax﹣4的对称轴为直线x＝2，则下列各点在这条抛物线上的是（　　） A．（3，4） B．（﹣2，﹣8） C．（4，4） D．（，） 8．已知直线y＝kx（k＞0）与双曲线交于点A（x1，y1），B（x2，y2）两点，则2x1y2﹣x2y1的值为（　　） A．﹣3 B．﹣6 C．0 D．3 9．如图所示，AD是△ABC的中线，E是AD上一点，AE：ED＝1：3，BE的延长线交AC于F，AF：AC＝（　　） A．1：4 B．1：5 C．1：6 D．1：7 10．如图，在等边△ABC中，BC＝4，在Rt△DEF中，∠EDF＝90°，∠F＝30°，DE＝4，点B，C，D，E在一条直线上，点C，D重合，△ABC沿射线DE方向运动，当点B与点E重合时停止运动．设△ABC运动的路程为x，△ABC与Rt△DEF重叠部分的面积为s，则能反映s与x之间函数关系的图象是（　　） 二．填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分) 11．已知＝＝，且3a﹣2b+c＝9，则2a+4b﹣3c＝　 　． 12．已知函数，当m＝　 　时，它是二次函数． 13．如图，点P是反比例函数y＝（k≠0）的图象上任意一点，过点P作PM⊥x轴，垂足为M，若△POM的面积等于5，则k的值等于　 　． 14．如图，矩形ABCD的边长AD＝3，AB＝2，E为AB的中点，F在边BC上，且BF＝2FC，AF分别与DE、DB相交于点M，N． ①∠AFB的度数是 　 　； ②线段MN的长为 　 　． 三．解答题(共9小题，15~18每题8分，19~20每题10分，21~22每题12分，23题14分，共计 90 分) 15．已知二次函数y＝x2+4x+k﹣1． （1）若抛物线与x轴有两个不同的交点，求k的取值范围； （2）若抛物线的顶点在x轴上，求k的值． 16．“今有井径五尺，不知其深，立五尺于井上，从木末望水岸，入径2尺，问井深几何？”这是我国古代数学著作《九章算术》中的“井深几何”问题，它的题意可以由图获得，请你求出井深BD． 17．如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△A1B1C1是关于点P为位似中心的位似图形．其中A的坐标（8，3），B的坐标（5，0），C的坐标（7，0）． （1）在图中标出位似中心点P的位置；并写出P的坐标； （2）以O（0，0）为位似中心，将△A1B1C1作位似变换缩小为△A2B2C2，位似比为2：1； （3）在（2）条件下，若点M（a，b）在△A1B1C1上直接写出M在△A2B2C2上的对应点M2的坐标． 18．△ABC中，∠BAC是直角，过斜边中点M而垂直于斜边BC的直线交CA的延长线于E，交AB于D，连AM． 求证：（1）△ABC∽△MEC； （2）AM2＝MD•ME． 19．明明看到一处喷水景观，喷出的水柱呈抛物线形状如图1，她对此展开研究：测得喷水头P距地面1m，水柱在距喷水头P水平距离5m处达到最高，最高点距地面3.5m；建立如图2所示的平面直角坐标系，并设抛物线的表达式为y＝a（x﹣h）2+k，其中x（m）是水柱距喷水头的水平距离，y（m）是水柱距地面的高度． （1）求抛物线的表达式； （2）明明站在水柱正下方且距喷水头P水平距离4m，身高1.9m的哥哥在水柱下方走动，当哥哥的头顶恰好接触到水柱时，求明明与哥哥的水平距离． 20．已知：如图，连接正方形ABCD的对角线BD，∠ADB的平分线DE交AB于点E，过点D作DF⊥DE，交BC延长线于点F，过点A作AH⊥DE于点P，交BD于点H． （1）求证：△ADE≌△CDF； （2）若EP＝2，，求DF的长． 21．如图，直线y＝2x+6与反比例函数y＝（k＞0）的图象交于点A（m，8），与x轴交于点B，平行于x轴的直线y＝n（0＜n＜6）交反比例函数的图象于点M，交AB于点N，连接BM． （1）求m的值和反比例函数的解析式； （2）观察图象，直接写出当x＞0时不等式2x+6﹣＞0的解集； （3）直线y＝n沿y轴方向平移，当n为何值时，△BMN的面积最大？最大值是多少？ 22．某款童装，每件售价60元，每星期可卖100件．为了促销，该店决定降价销售，市场调查反映：每降价1元，每星期可多卖10件．已知该款童装每件成本价30元． 设该款童装每件售价x元，每星期的销售量为y件． （1）根据题意，填写下表： （2）求y与x之间的函数解析式； （3）当每件售价定为多少元时，每星期的销售利润最大，最大利润是多少？ 23．在矩形ABCD的CD边上取一点E，将△BCE沿BE翻折，使点C恰好落在AD边上点F处． （1）如图1，若BC＝2BA，求∠CBE的度数； （2）如图2，当AB＝5，且AF•FD＝10时，求BC的长； （3）如图3，延长EF，与∠ABF的角平分线交于点M，BM交AD于点N，当NF＝AN+FD时，求的值． 参考答案与试题解析 一．选择题(共10小题，每小题4分，满分40分) 1．下列函数是二次函数的是（　　） A．y＝8x2+1 B．y＝2x﹣3 C．y＝3x2+ D．y＝ax2+bx+c 【解答】解：函数y＝8x2+1，它是二次函数． 故选：A． 2．如果5a＝6b，则下列结论不正确的是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：∵5a＝6b， ∴＝，＝＝1.2，＝， ∵＝， ∴＝＝． 故选：D． 3．比值为（约0.618）的比例被公认为是最能引起美感的比例，因此被称为黄金分割比，我们中国的国旗宽与长之比就非常接近这个比例，如果某面国旗长为2米，则其宽约为（　　） A．1.5米 B．1.2米 C．1.0米 D．0.8米 【解答】解：由题意得：国旗的宽约为×2≈1.2（米）， 故选：B． 4．如图，下列条件中不能判定△ACD和△ABC相似的是（　　） A．∠B＝∠ACD B．∠ACB＝∠ADC C．AB•CD＝AC•BC D．AC2＝AD•AB 【解答】解：A．∵∠ACD＝∠B，∠A＝∠A， ∴△ACD∽△ABD， 故此选项能判定△ACD和△ABC相似，不符合题意； B．∵∠ACB＝∠ADC，∠A＝∠A， ∴△ACD∽△ABD， 故此选项能判定△ACD和△ABC相似，不符合题意； C．由AB•CD＝AC•BC 不能判定△ACD和△ABC， 故此选项符合题意； D．∵AC2＝AD•AB， ∴， ∵∠A＝∠A， ∴△ACD∽△ABD， 故此选项能判定△ACD和△ABC相似，不符合题意； 故选：C． 5．已知抛物线y＝﹣（x+1）2上的两点A（x1，y1）和B（x2，y2），如果x1＜x2＜﹣1，那么下列结论一定成立的是（　　） A．y1＜y2＜0 B．0＜y1＜y2 C．0＜y2＜y1 D．y2＜y1＜0 【解答】解：∵y＝﹣（x+1）2， ∴a＝﹣1＜0，有最大值为0， ∴抛物线开口向下， ∵抛物线y＝﹣（x+1）2对称轴为直线x＝﹣1， 而x1＜x2＜﹣1， ∴y1＜y2＜0． 故选：A． 6．已知反比例函数（k≠0）的图象如图所示，则二次函数y＝2kx2﹣x+k2的图象大致为（　　） 【解答】解：∵函数y＝的图象经过二、四象限， ∴k＜0， ∴抛物线开口向下，对称轴x＝﹣＝＜0， 即对称轴在y轴的左边． 故选：D． 7．已知关于x的抛物线y＝x2﹣ax﹣4的对称轴为直线x＝2，则下列各点在这条抛物线上的是（　　） A．（3，4） B．（﹣2，﹣8） C．（4，4） D．（，） 【解答】解：∵抛物线y＝x2﹣ax﹣4的对称轴为直线x＝2， ∴﹣＝2， 解得a＝4， ∴y＝x2﹣4x﹣4， 当x＝3时，y＝﹣7，故选项A不符合题意； 当x＝﹣2时，y＝8，故选项B不符合题意； 当x＝4时，y＝﹣4，故选项C不符合题意； 当x＝﹣时，y＝，故选项D符合题意； 故选：D． 8．已知直线y＝kx（k＞0）与双曲线交于点A（x1，y1），B（x2，y2）两点，则2x1y2﹣x2y1的值为（　　） A．﹣3 B．﹣6 C．0 D．3 【解答】解：∵直线y＝kx（k＞0）与双曲线都是以原点为中心的中心对称图形， ∴它们的交点A、B关于原点成中心对称， ∴x2＝﹣x1，y2＝﹣y1． ∵A（x1，y1）在双曲线上， ∴x1•y1＝3， ∴2x1y2﹣x2y1＝2x1•（﹣y1）﹣（﹣x1）•y1＝﹣x1•y1＝﹣3． 故选：A． 9．如图所示，AD是△ABC的中线，E是AD上一点，AE：ED＝1：3，BE的延长线交AC于F，AF：AC＝（　　） A．1：4 B．1：5 C．1：6 D．1：7 【解答】解：作DH∥BF交AC于H ∵AD是△ABC的中线， ∴BD＝DC， ∴FH＝HC， ∵DH∥BF， ∴ ∴AF：FC＝1：6， ∴AF：AC＝1：7， 故选：D． 10．如图，在等边△ABC中，BC＝4，在Rt△DEF中，∠EDF＝90°，∠F＝30°，DE＝4，点B，C，D，E在一条直线上，点C，D重合，△ABC沿射线DE方向运动，当点B与点E重合时停止运动．设△ABC运动的路程为x，△ABC与Rt△DEF重叠部分的面积为s，则能反映s与x之间函数关系的图象是（　　） 【解答】解：过点A作AM⊥BC，交BC于点M， 在等边△ABC中，∠ACB＝60°， 在Rt△DEF中，∠F＝30°， ∴∠FED＝60°， ∴∠ACB＝∠FED， ∴AC∥EF， 在等边△ABC中，AM⊥BC， ∴BM＝CM＝BC＝2，AM＝BM＝2， ∴S△ABC＝BC•AM＝4， ①当0＜x≤2时，设AC与DF交于点G， 此时△ABC与Rt△DEF重叠部分为△CDG， 由题意可得CD＝x，DG＝x ∴S＝CD•DG＝x2； ②当2＜x≤4时，设AB与DF交于点G， 此时△ABC与Rt△DEF重叠部分为四边形AGDC， 由题意可得：CD＝x， 则BD＝4﹣x，DG＝（4﹣x）， ∴S＝S△ABC﹣S△BDG＝4﹣×（4﹣x）×（4﹣x）， ∴S＝﹣x2+4x﹣4＝﹣（x﹣4）2+4， ③当4＜x≤8时，设AB与EF交于点G， 过点G作GM⊥BC，交BC于点M， 此时△ABC与Rt△DEF重叠部分为△BEG， 由题意可得CD＝x， 则CE＝x﹣4，DB＝x﹣4， ∴BE＝x﹣（x﹣4）﹣（x﹣4）＝8﹣x， ∴BM＝4﹣x 在Rt△BGM中，GM＝（4﹣x）， ∴S＝BE•GM＝（8﹣x）×（4﹣x）， ∴S＝（x﹣8）2， 综上，选项C的图象符合题意， 故选：C． 二．填空题（共3小题） 11．已知＝＝，且3a﹣2b+c＝9，则2a+4b﹣3c＝　14　． 【解答】解：由于＝＝，3a﹣2b+c＝9， ∴， 解得：b＝7，a＝5，c＝8， 把a，b，c代入代数式得： 2a+4b﹣3c＝2×5+4×7﹣3×8＝14， 故本题答案为：14， 另解：设：＝＝＝x， 则：a＝5x，b＝7x，c＝8x 3a﹣2b+c＝9可以转化为：15x﹣14x+8x＝9，解得x＝1 那么 2a+4b﹣3c＝10x+28x﹣24x＝14x＝14． 故答案为：14． 12．已知函数，当m＝　﹣1　时，它是二次函数． 【解答】解：∵y＝（m﹣1）xm2+1是二次函数， ∴m2+1＝2， ∴m＝﹣1或m＝1（舍去此时m﹣1＝0）． 故答案为：﹣1． 13．如图，点P是反比例函数y＝（k≠0）的图象上任意一点，过点P作PM⊥x轴，垂足为M，若△POM的面积等于5，则k的值等于　 　． 【解答】解：∵PM⊥x轴，△POM的面积等于5， ∴|k|＝5， 而图象在第二象限，k＜0， ∴k＝﹣10， 故答案为：﹣10． 14．如图，矩形ABCD的边长AD＝3，AB＝2，E为AB的中点，F在边BC上，且BF＝2FC，AF分别与DE、DB相交于点M，N． ①∠AFB的度数是 　45°　； ②线段MN的长为 　　． 【解答】解：①∵矩形ABCD的边长AD＝3，AB＝2， ∴AD＝BC＝3，AD∥BC，∠ABF＝90°， ∵BF＝2FC， ∴BF＝2， ∴BF＝AB＝2， ∴△AFB是等腰直角三角形， ∴∠AFB＝45°， 故答案为：45°； ②延长DE和CB的延长线交于H，如图， 由①可得AF＝＝2， ∵AD∥BH， ∴， ∴BH＝AD＝3， ∵AD∥FH， ∴， ∴， ∵AD∥BF， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 三．解答题(共9小题，15~18每题8分，19~20每题10分，21~22每题12分，23题14分，共计 90 分) 15．已知二次函数y＝x2+4x+k﹣1． （1）若抛物线与x轴有两个不同的交点，求k的取值范围； （2）若抛物线的顶点在x轴上，求k的值． 【解答】解：（1）∵二次函数y＝x2+4x+k﹣1的图象与x轴有两个交点 ∴b2﹣4ac＝42﹣4×1×（k﹣1）＝20﹣4k＞0 ∴k＜5， 则k的取值范围为k＜5； （2）根据题意得： ＝＝0， 解得k＝5． 16．“今有井径五尺，不知其深，立五尺于井上，从木末望水岸，入径2尺，问井深几何？”这是我国古代数学著作《九章算术》中的“井深几何”问题，它的题意可以由图获得，请你求出井深BD． 【解答】解：依题意可得：△ABF∽△ADE， ∴AB：AD＝BF：DE， 即5：AD＝2：5， 解得：AD＝12.5， BD＝AD﹣AB＝12.5﹣5＝7.5尺． 所以井深BD为7.5尺． 17．如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△A1B1C1是关于点P为位似中心的位似图形．其中A的坐标（8，3），B的坐标（5，0），C的坐标（7，0）． （1）在图中标出位似中心点P的位置；并写出P的坐标； （2）以O（0，0）为位似中心，将△A1B1C1作位似变换缩小为△A2B2C2，位似比为2：1； （3）在（2）条件下，若点M（a，b）在△A1B1C1上直接写出M在△A2B2C2上的对应点M2的坐标． 【解答】解：（1）如图，点P为所作，P点坐标为（8，﹣2）； （2）如图，△A2B2C2为所作； （3）M2的坐标为（a，b）． 18．△ABC中，∠BAC是直角，过斜边中点M而垂直于斜边BC的直线交CA的延长线于E，交AB于D，连AM． 求证：（1）△ABC∽△MEC； （2）AM2＝MD•ME． 【解答】证明：（1）∵∠BAC是直角，ME⊥BC， ∴∠BAC＝∠EMC＝90°， ∵∠C＝∠C， ∴△ABC∽△MEC； （2）∵∠BAC是直角，ME⊥BC， ∴∠C+∠E＝∠C+∠B， ∴∠E＝∠B， ∵点M为直角△ABC斜边的中点， ∴MA＝MB，∠MAD＝∠B； 而∠AMD＝∠EMA， ∴△MAD∽△MEA． ∴， ∴AM2＝MD•ME． 19．明明看到一处喷水景观，喷出的水柱呈抛物线形状如图1，她对此展开研究：测得喷水头P距地面1m，水柱在距喷水头P水平距离5m处达到最高，最高点距地面3.5m；建立如图2所示的平面直角坐标系，并设抛物线的表达式为y＝a（x﹣h）2+k，其中x（m）是水柱距喷水头的水平距离，y（m）是水柱距地面的高度． （1）求抛物线的表达式； （2）明明站在水柱正下方且距喷水头P水平距离4m，身高1.9m的哥哥在水柱下方走动，当哥哥的头顶恰好接触到水柱时，求明明与哥哥的水平距离． 【解答】解：（1）由题意知，抛物线顶点为（5，3.5）， 设抛物线的表达式为y＝a（x﹣5）2+3.5，将（0，1）代入得： 1＝25a+3.5， 解得a＝﹣， ∴y＝﹣（x﹣5）2+3.5＝﹣x2+x+1， 答：抛物线的表达式为y＝﹣x2+x+1； （2）当y＝1.9时，﹣x2+x+1＝1.9， 解得x＝1或x＝9， ∴她与哥哥的水平距离为4﹣1＝3（m）或9﹣4＝5（m）， 答：当哥哥的头顶恰好接触到水柱时，小红与哥哥的水平距离是3m或5m． 20．已知：如图，连接正方形ABCD的对角线BD，∠ADB的平分线DE交AB于点E，过点D作DF⊥DE，交BC延长线于点F，过点A作AH⊥DE于点P，交BD于点H． （1）求证：△ADE≌△CDF； （2）若EP＝2，，求DF的长． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD为正方形， ∴AD＝CD，∠DAE＝∠ADC＝∠DCB＝90°， ∴∠DAE＝∠DCF＝90°， ∵DF⊥DE， ∴∠EDF＝90°， ∴∠CDF+∠CDE＝90°， ∵∠ADE+∠CDE＝90°， ∴∠ADE＝∠CDF， 在△ADE和△CDF中， ， ∴△ADE≌△CDF（ASA）； （2）解：四边形ABCD为正方形， ∴BD＝AB，即， ∵DE为∠ADB的平分线， ∴∠ADE＝∠BDE， ∵AH⊥DE， ∴∠APE＝90°， ∴∠EAP+∠AEP＝90°， ∵∠ADE+∠AEP＝90°， ∴∠EAP＝∠ADE＝∠BDE，即∠BAH＝∠BDE， ∵∠ABH＝∠DBE， ∴△ABH∽△DBE， ∴，即， ∴DE＝， 由（1）知，△ADE≌△CDF， ∴DF＝DE＝． 21．如图，直线y＝2x+6与反比例函数y＝（k＞0）的图象交于点A（m，8），与x轴交于点B，平行于x轴的直线y＝n（0＜n＜6）交反比例函数的图象于点M，交AB于点N，连接BM． （1）求m的值和反比例函数的解析式； （2）观察图象，直接写出当x＞0时不等式2x+6﹣＞0的解集； （3）直线y＝n沿y轴方向平移，当n为何值时，△BMN的面积最大？最大值是多少？ 【解答】解：（1）∵直线y＝2x+6经过点A（m，8）， ∴2×m+6＝8， 解得m＝1， ∴A（1，8）， ∴m＝2×1+6＝8， ∴反比例函数的解析式为y＝． （2）不等式2x+6﹣＞0的解集为x＞1． （3）由题意，点M，N的坐标为M（，n），N（，n）， ∵0＜n＜6， ∴＜0， ∴﹣＞0 ∴S△BMN＝|MN|×|yM|＝×（﹣）×n＝﹣（n﹣3）2+， ∴n＝3时，△BMN的面积最大，最大值为． 22．某款童装，每件售价60元，每星期可卖100件．为了促销，该店决定降价销售，市场调查反映：每降价1元，每星期可多卖10件．已知该款童装每件成本价30元． 设该款童装每件售价x元，每星期的销售量为y件． （1）根据题意，填写下表： （2）求y与x之间的函数解析式； （3）当每件售价定为多少元时，每星期的销售利润最大，最大利润是多少？ 【解答】解：（1）每件售价58元，可卖120件，每件利润为58﹣30＝28元，所以每星期售出商品的利润120×28＝3360元， 每件售价x元，可卖100+10（60﹣x）＝（700﹣10x）件，每件利润为（x﹣30）元，所以每星期售出商品的利润（700﹣10x）（x﹣30）元， 故答案为：120，3360，700﹣10x，（700﹣10x）（x﹣30）； （2）y＝100+10（60﹣x）＝﹣10x+700； （3）设每星期利润为W元， W＝（x﹣30）（﹣10x+700）＝﹣10（x﹣50）2+4000， ∴x＝50时，W最大值＝4000． 当每件售价为50元时，即降价了60﹣50＝10（元）， ∴每件降价定为10元时，每星期的销售利润最大，最大利润4000元． 23．在矩形ABCD的CD边上取一点E，将△BCE沿BE翻折，使点C恰好落在AD边上点F处． （1）如图1，若BC＝2BA，求∠CBE的度数； （2）如图2，当AB＝5，且AF•FD＝10时，求BC的长； （3）如图3，延长EF，与∠ABF的角平分线交于点M，BM交AD于点N，当NF＝AN+FD时，求的值． 【解答】解：（1）∵四边形ABCD是矩形， ∴∠C＝90°， ∵将△BCE沿BE翻折，使点C恰好落在AD边上点F处， ∴BC＝BF，∠FBE＝∠EBC，∠C＝∠BFE＝90°， ∵BC＝2AB， ∴BF＝2AB， ∴∠AFB＝30°， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AD∥BC， ∴∠AFB＝∠CBF＝30°， ∴∠CBE＝∠FBC＝15°； （2）∵将△BCE沿BE翻折，使点C恰好落在AD边上点F处， ∴∠BFE＝∠C＝90°，CE＝EF， 又∵矩形ABCD中，∠A＝∠D＝90°， ∴∠AFB+∠DFE＝90°，∠DEF+∠DFE＝90°， ∴∠AFB＝∠DEF， ∴△FAB∽△EDF， ∴， ∴AF•DF＝AB•DE， ∵AF•DF＝10，AB＝5， ∴DE＝2， ∴CE＝DC﹣DE＝5﹣2＝3， ∴EF＝3， ∴DF＝＝＝， ∴AF＝＝2， ∴BC＝AD＝AF+DF＝2＝3． （3）过点N作NG⊥BF于点G， ∵NF＝AN+FD， ∴NF＝AD＝BC， ∵BC＝BF， ∴NF＝BF， ∵∠NFG＝∠AFB，∠NGF＝∠BAF＝90°， ∴△NFG∽△BFA， ∴， 设AN＝x， ∵BN平分∠ABF，AN⊥AB，NG⊥BF， ∴AN＝NG＝x，AB＝BG＝2x， 设FG＝y，则AF＝2y， ∵AB2+AF2＝BF2， ∴（2x）2+（2y）2＝（2x+y）2， 解得y＝x． ∴BF＝BG+GF＝2x+x＝x． ∴＝. 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/11/14 19:37:18；用户：不知道取什么名字；邮箱：orFmNt_izzFoa-SZtKyPnXmrwsmM@weixin.jyeoo.com；学号：3947785 ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$