精品解析：山西省吕梁市交城县2024-2025学年八年级上学期期中考试数学试题

2024—2025学年第一学期期中质量监测试题（卷） 八年级数学 (满分120分，考试时间120分钟) 第Ⅰ卷 选择题(共30分) 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 1. 在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形．下面4个汉字中，可以看做是轴对称图形的是（ ） A. 感 B. 动 C. 中 D. 国 【答案】C 【解析】 【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，判断即可． 【详解】解：选项C的美术字能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形， 选项A、B、D的美术字均不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形， 故选：C． 【点睛】本题主要考查轴对称图形的识别，熟练掌握轴对称图形的概念是解题的关键． 2. 已知一个三角形的两边长分别为4和7，则此三角形的第三边不能是（ ） A. 4 B. 5 C. 7 D. 12 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查三角形的三边关系，根据三角形的三边关系求出第三边的范围，进行判断即可． 【详解】解：由题意，第三边， ∴第三边 ∴第三边不能是12； 故选D． 3. 下列图形中AD是三角形ABC的高线的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据三角形某一边上高的概念，逐一判断选项，即可得到答案． 【详解】∵过三角形ABC的顶点A作AD⊥BC于点D，点A与点D之间的线段叫做三角形的高线， ∴D符合题意， 故选D． 【点睛】本题主要考查三角形的高的概念，掌握“从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点到垂足之间的线段叫作三角形的高”，是解题的关键． 4. 已知钝角三角形中，有一个锐角等于，则另一个锐角的度数可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了三角形内角和定理． 由钝角三角形的两锐角度数小于，即可得到答案． 【详解】解：∵三角形内角和为，钝角大于， ∴三角形的两锐角度数小于， ∴另一个锐角的度数小于． 故选：A． 5. 如图，是外角，若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了三角形外角的性质定理．根据三角形外角的性质得到，再由即可得到答案． 【详解】解：∵是的外角， ∴, ∵， ∴， 解得， 故选：C． 6. 如图，，则的长为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了全等三角形性质．根据全等三角形的性质得到，再根据线段的和差即可得到的长． 【详解】解：∵， ∴， ∵ ∴， 故选：C 7. 在探索多边形内角和公式的过程中，多数同学采用如下表格中分割多边形的方法，并从四边形，五边形等特殊多边形的内角和计算，得到边形的内角和公式． 多边形 四边形 五边形 六边形 七边形 … 边形 图 例 … 内角和 … 以上表格中：由，，，，…，得到的结论，体现的数学思想是：（ ） A. 数形结合 B. 类比 C. 由特殊到一般 D. 公理化 【答案】C 【解析】 【分析】根据表格中的数据即可得出答案． 【详解】解：表格中的数据是由四边形、五边形、六边形、七变形…特殊的内角和，得出一般的n变形的内角和的过程， 故选C． 【点睛】本题考查了数学思想，根据数据得出规律是解题的关键． 8. 如图，与关于直线对称，交于点O，则下列结论不一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了轴对称性质，解题的关键是熟练掌握轴对称的性质∶成轴对称的两个图形的对应边相等，对应角相等，对称轴垂直平分对应点连接的线段． 根据轴对称的性质逐项判断即可得． 【详解】解∶与关于直线对称，交于点O， A．，则此项正确，不符合题意； B．则此项正确，不符合题意； C．，则此项不一定正确，符合题意； D．正确，则此项正确，不符合题意； 故选∶C． 9. 如图，点C是的平分线上一点，，，垂足分别为点D，E，连接交于点F，则下列结论中正确的个数为（ ） ①；②；③；④；⑤ A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质、线段垂直平分线的判定，三角形全等的判定与性质，熟练掌握角平分线的性质以及三角形全等的判定与性质是解此题的关键． 由角平分线的性质可得，即可判断①，证明，得到，垂直平分，即可判断②③④⑤，得到答案． 【详解】解∶平分，， ，，故①正确， 在和中， ， ， ， , 垂直平分，故②③④正确， 不能证明 ， 结论正确的个数是4个， 故选∶C． 10. 如图，在中，的垂直平分线分别交于点D，F．若是等边三角形，，则的长度为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了垂直平分线的性质、等边三角形的性质、角的直角三角形的性质等知识． 根据垂直平分线的性质得到，，再利用等边三角形的性质得到，，再利用三角形外角的性质得到，利用角的直角三角形的性质即可得到答案． 【详解】解：∵的垂直平分线分别交于点D，F． ∴，， ∴， ∵为等边三角形，， ∴，， ∵， ∴. ∴ 故选：B 第Ⅱ卷 非选择题(共90分) 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 如果一个正多边形的内角和为，那么这个正多边形的一个外角的度数为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了正多边形的内角和与外角和，解决本题的关键是要熟练掌握多边形内角和公式和正多边形的性质． 首先设此正多边形为n边形，根据题意得：，即可求得，再由多边形的内角和除以11，根据多边形外角和为即可求得答案． 【详解】解：设此多边形为n边形， 根据题意得：， 解得：， ∵多边形外角和为，正多边形的每个外角相等， ∴这个正多边形的一个外角的度数为：． 故答案为：． 12. A，B两点的坐标分别是和，并且A，B两点关于轴对称．则的值为_______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了关于y轴对称的点的坐标特征、求算术平方根等知识．根据“A、B两点关于y轴对称”得到，，然后代入，即可求解． 【详解】解：∵A，B两点的坐标分别是和，并且A，B两点关于轴对称， ∴，， ∴． 故答案为：2． 13. 如图，点B，F，C，E在一条直线上，，，请添加一个条件________，使（填一个即可）． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，关键是掌握判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．根据可得，由，根据等式的性质可得，再加上条件可利用定理证明． 【详解】 ， ， 即 在和中 故答案为： 14. 已知点P是射线上一动点，，当______时，是等腰三角形． 【答案】或或 【解析】 【分析】若为等腰三角形则有、、三种情况，分别利用等腰三角形的两底角相等可求得的值．本题主要考查等腰三角形的判定，掌握等腰三角形的两底角相等是解题的关键． 【详解】若为等腰三角形则有、、三种情况: ①当时， 即， ； ②当时， 即， ； ③当时， ， 综上可知答案为或或． 故答案为：或或 15. 如图，是的中线，在上取一点F，连接并延长交于点E，使．若，，则的长为__________． 【答案】8 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定等知识点，延长至H，使得，连接，根据全等三角形的判定得出，再由其性质确定，，根据等量代换及等角对等边即可证明出，进而代入求值即可得解，熟练掌握其性质，合理添加辅助线是解决此题的关键． 【详解】如图，延长至H，使得，连接， ∵是的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， 故答案为：8． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. 如图，已知，请过点A作一条直线，将分成面积相等的两部分．（尺规作图，不写已知、求作、作法，只保留作图痕迹） 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查作中点，三角形中线与面积，作出线段的中点D，作直线，根据等底等高即可得到面积相等． 【详解】如图，D为的中点，连接直线，即为所求作． 17. 在如图所示的正方形网格中，以格点为顶点的三角形称为格点三角形，请按要求画出一个与关于某条直线对称的格点三角形．作图要求：①在四幅网格图中各画一个三角形；②所作三角形不能重复． 【答案】见详解 【解析】 【分析】本题考查了轴对称性质以及作轴对称图形，根据按要求画出一个与关于某条直线对称的格点三角形这个条件以及结合网格特征，分别作图，即可作答． 【详解】解：图分别以所在的直线为对称轴所作出来的图，图4是以正方形网格的对角线为对称轴所作出来的图，如图所示： 18. 如图，在，，垂足为，平分，交于点，若，时，求的度数． 【答案】115° 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，三角形外角和定理，角平分线和垂直的定义． 根据三角形内角和定理得到，再根据角平分线定义得到，再根据垂直的定义及三角形外角和定理得到． 【详解】解：∵， ， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴． 19. 如图，D，E是边上两点，若，．求证：． 【答案】证明见解析 【解析】 【分析】本题考查了三角形全等的判定和性质． 根据，得出，则，进而推出，即可求证． 【详解】证明：∵， ∴， ∴，即， ∴， 在与中， ， ∴， ∴． 20. 如图，在中，是中点，，垂足分别是、，，求证：是的角平分线 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题主要考查学生对角平分线的判定，全等三角形的判定与性质等知识点的灵活运用，关键是证明．先证明，再根据全等三角形的性质可得，证明，得到，最后根据角平分线的判定即可求解． 【详解】证明：是中点， ， ， ， 在和中 ， ， 即是的角平分线． 21. 如图，点E是的平分线上一点，的两边分别与的两边交于点M，N，且，于点C，若和的面积分别为50和30．请求出的面积． 【答案】10 【解析】 【分析】本题主要考查角平分线的性质，全等三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 过点E作于点D，证明，利用证明，进而解决问题． 【详解】解：过点E作于点D， ， ，平分， ， ， ， ， ， ， ， 即， 在和中 ， ， ∴， 在和， ， ， ∴， 设， ∵， ∴， ∴ ， ∵， ∴， ∴ ， ∴ 22. 如图，在等边中，D是的中点，E是延长线上的一点，且，，垂足为M． （1）求证：M是的中点； （2）若，求的长度． 【答案】（1）见解析 （2）12 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形顶角平分线、底边上的中线和高三线合一的性质以及等边三角形的性质． （1）先证明为等腰三角形，利用等腰三角形高和中线向重合即可得证； （2）根据含的直角三角形的性质得到，然后根据即可得到结果． 【小问1详解】 证明：连接， ∵在等边，且D是的中点， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴M是的中点； 【小问2详解】 解：由（1）可知：，M是的中点， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴， ∵M是的中点 ∴． 23. 综合探究:探索等腰三角形中相等的线段 问题情境： 数学活动课上，老师提出了一个问题：等腰三角形底边中点到两腰的距离相等吗？同学们就这个问题展开探究． 问题初探： （1）希望小组的同学们根据题意画出了相应的图形，如图1．在△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为点E，F．经过合作，该小组的同学得出的结论是DE=DF．并且展示了他们的证法如下： 证明：如图1， ∵DE⊥AB，DF⊥AC ∴∠DEB=∠DFC=90° ∵AB=AC ∴∠B=∠C（依据1） ∵D是BC的中点 ∴BD=CD 在△BDE和△CDF中 ∴△BDE≌△CDF（依据2） ∴DE=DF ①请写出依据1和依据2的内容 依据1： ． 依据2： ． ②请你应用图2写出一种不同于希望小组的证法． 问题再探： （2）未来小组的同学经过探究又有新的发现，如果在等腰三角形ABC中，作腰AB上的高CG，如图3．则CG与DE有确定的数量关系．请你直接写出这个数量关系为 ． 类比探究： （3）奋斗小组的同学认真研究过后，发现了以下两个正确结论：①在图4中，若DE，DF分别为△ABD和△ACD的中线，那么DE=DF仍然成立；②在图5中，若DE，DF分别为△ABD和△ACD的角平分线，那么DE=DF仍然成立．请你选择其中一个结论，写出证明过程． 【答案】（1）①等腰三角形的两个底角相等或等边对等角；两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等或角角边或AAS；②见解析；（2）CG=2DE；（3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）①根据等腰三角形的性质和全等三角形的判定即可得出答案； ②连接AD，根据等腰三角形的三线合一及角平分线的性质即可得证； (2)根据三角形中位线的判定及性质即可得证； (3)选择①证明：根据三角形中线的性质利用SAS即可证明△BDE≌△CDF，再根据全等三角形的性质即可得证； 选择②证明：根据等腰三角形的性质及角平分线的性质，利用ASA即可证明△BDE≌△CDF，再根据全等三角形的性质即可得证． 【详解】（1）①依据1：等腰三角形的两个底角相等或等边对等角 依据2：两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等或角角边或AAS ②答案不唯一，如 连接AD ∵AB=AC，D是BC的中点 ∴AD是∠BAC的平分线 ∵DE⊥AB，DF⊥AC ∴DE=DF (2)CG=2DE ∵DE⊥AB，CG⊥AB， ∴ ∵D是BC的中点， ∴DE是△BCG的中位线， ∴CG=2DE． (3)选择①证明：∵DE，DF是△ABD和△ACD的中线 ∴BE=AB，CF=AC ∵AB=AC ∴BE=CF，∠B=∠C 又∵D是BC的中点 ∴BD=CD 在△BDE与△CDF中 ∴△BDE≌△CDF(SAS) ∴DE=DF 选择②证明：∵AB=AC，D是BC的中点 ∴∠B=∠C，BD=CD，AD⊥BC ∴∠ADB=∠ADC=90° 又∵DE，DF分别是△ABD和△ACD的平分线 ∴∠BDE=∠CDF=45° 在△BDE与△CDF中 ∴△BDE≌△CDF(ASA) ∴DE=DF． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定及性质、角平分线的性质，熟练掌握性质定理是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024—2025学年第一学期期中质量监测试题（卷） 八年级数学 (满分120分，考试时间120分钟) 第Ⅰ卷 选择题(共30分) 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 1. 在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形．下面4个汉字中，可以看做是轴对称图形的是（ ） A. 感 B. 动 C. 中 D. 国 2. 已知一个三角形的两边长分别为4和7，则此三角形的第三边不能是（ ） A. 4 B. 5 C. 7 D. 12 3. 下列图形中AD是三角形ABC的高线的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知钝角三角形中，有一个锐角等于，则另一个锐角的度数可能是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，是的外角，若，，则的度数为（ ） A B. C. D. 6. 如图，，则的长为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 3 7. 在探索多边形内角和公式的过程中，多数同学采用如下表格中分割多边形的方法，并从四边形，五边形等特殊多边形的内角和计算，得到边形的内角和公式． 多边形 四边形 五边形 六边形 七边形 … 边形 图 例 … 内角和 … 以上表格中：由，，，，…，得到的结论，体现的数学思想是：（ ） A. 数形结合 B. 类比 C. 由特殊到一般 D. 公理化 8. 如图，与关于直线对称，交于点O，则下列结论不一定正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，点C是的平分线上一点，，，垂足分别为点D，E，连接交于点F，则下列结论中正确的个数为（ ） ①；②；③；④；⑤ A 2 B. 3 C. 4 D. 5 10. 如图，在中，的垂直平分线分别交于点D，F．若是等边三角形，，则的长度为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 第Ⅱ卷 非选择题(共90分) 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 如果一个正多边形的内角和为，那么这个正多边形的一个外角的度数为_______． 12. A，B两点的坐标分别是和，并且A，B两点关于轴对称．则的值为_______． 13. 如图，点B，F，C，E在一条直线上，，，请添加一个条件________，使（填一个即可）． 14. 已知点P是射线上一动点，，当______时，是等腰三角形． 15. 如图，是的中线，在上取一点F，连接并延长交于点E，使．若，，则的长为__________． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. 如图，已知，请过点A作一条直线，将分成面积相等的两部分．（尺规作图，不写已知、求作、作法，只保留作图痕迹） 17. 在如图所示正方形网格中，以格点为顶点的三角形称为格点三角形，请按要求画出一个与关于某条直线对称的格点三角形．作图要求：①在四幅网格图中各画一个三角形；②所作三角形不能重复． 18. 如图，在，，垂足为，平分，交于点，若，时，求的度数． 19. 如图，D，E是的边上两点，若，．求证：． 20. 如图，在中，是中点，，垂足分别是、，，求证：是的角平分线 21. 如图，点E是的平分线上一点，的两边分别与的两边交于点M，N，且，于点C，若和的面积分别为50和30．请求出的面积． 22. 如图，在等边中，D是的中点，E是延长线上的一点，且，，垂足为M． （1）求证：M是中点； （2）若，求的长度． 23. 综合探究:探索等腰三角形中相等的线段 问题情境： 数学活动课上，老师提出了一个问题：等腰三角形底边中点到两腰的距离相等吗？同学们就这个问题展开探究． 问题初探： （1）希望小组的同学们根据题意画出了相应的图形，如图1．在△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为点E，F．经过合作，该小组的同学得出的结论是DE=DF．并且展示了他们的证法如下： 证明：如图1， ∵DE⊥AB，DF⊥AC ∴∠DEB=∠DFC=90° ∵AB=AC ∴∠B=∠C（依据1） ∵D是BC的中点 ∴BD=CD △BDE和△CDF中 ∴△BDE≌△CDF（依据2） ∴DE=DF ①请写出依据1和依据2的内容 依据1： ． 依据2： ． ②请你应用图2写出一种不同于希望小组的证法． 问题再探： （2）未来小组的同学经过探究又有新的发现，如果在等腰三角形ABC中，作腰AB上的高CG，如图3．则CG与DE有确定的数量关系．请你直接写出这个数量关系为 ． 类比探究： （3）奋斗小组的同学认真研究过后，发现了以下两个正确结论：①在图4中，若DE，DF分别为△ABD和△ACD的中线，那么DE=DF仍然成立；②在图5中，若DE，DF分别为△ABD和△ACD的角平分线，那么DE=DF仍然成立．请你选择其中一个结论，写出证明过程． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$