专题17 中点模型之平行线夹中点模型、中垂线模型、三线合一模型-2024-2025学年八年级数学上册常见几何模型全归纳之模型解读与提分精练（苏科版）

专题17 中点模型之平行线夹中点模型、中垂线模型、三线合一模型 中点模型是初中数学中一类重要模型，它在不同的环境中起到的作用也不同，主要是结合三角形、四边形、圆的运用，在各类考试中都会出现中点问题，有时甚至会出现在压轴题当中，我们不妨称之为“中点模型”，它往往涉及到平分、平行、垂直等问题，因此探寻这类问题的解题规律对初中几何的学习有着十分重要的意义。 常见的中点模型：①垂直平分线模型；②等腰三角形“三线合一”模型；③“平行线+中点”构造全等或相似模型（与倍长中线法类似）；④直角三角形斜边中点模型；⑤中位线模型；⑥中点四边形模型。本专题就中点模型的前三类模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 2 模型1.垂直平分线模型 2 模型2.等腰三角形的“三线合一”模型 20 模型3.“平行线+中点+对顶角”构造全等模型 39 62 模型1.垂直平分线模型 定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等。 条件：如图，在三角形ABC中，DE⊥BC，且D为BC中点，结论：BE=EC。 证明：∵DE⊥BC，∴∠BDE=∠CDE=90°，∵D为BC中点，∴BD=CD， ∵DE=DE，∴，∴BE=CE. 模型运用条件：当遇到三角形一边垂线过这边中点时，可以考虑用垂直平分线的性质。 例1．（24-25八年级上·湖南衡阳·期中）如图，中，平分，垂直平分交于点E，交于点F，连接，若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 例2．（24-25八年级上·江苏宿迁·期中）如图，在中，边的垂直平分线分别交，于点D，E，，的周长为，则的周长是（ ） A． B． C． D． 例3．（24-25八年级上·辽宁抚顺·期中）如图，等腰的底边长为6，面积是36，腰的垂直平分线分别交边于，点．若点D为边的中点，点M为线段上一动点，则周长的最小值为（   ） A．6 B．10 C．15 D．16 例4．（24-25八年级上·江苏南京·阶段练习）如图，在中，边的垂直平分线交于D，边的垂直平分线交于E，与相交于点O，的周长为． (1)求的长；(2)若， 　　°，若， 　　．° 例5．（24-25八年级上·江苏南京·阶段练习）如图，的角平分线与的垂直平分线相交于点D，，，垂足分别为E、F．(1)求证：；(2)若，求的周长． 模型2.等腰三角形的“三线合一”模型 定理：等腰三角形底边上的中线、高线、顶角的角平分线“三线合一”。 条件：如图，等腰三角形ABC中，AB=AC，结论：①AD为BC边上的中线（即BD=CD）；②AD为∠BAC 的角平分线（即∠BAD =∠CAD）；③AD为BC边上的高线（即AD⊥BC）。 证明：我们不妨以①为结论证明，其他情况证明也是类似的证明全等即可。 由题意知：AB=AC，BD=CD，∵AD=AD，∴，∴∠BAD =∠CAD，AD⊥BC。 注意：其中三个结论已知其一便可证明其他两个结论。 模型运用条件：等腰三角形中有底边上的中点时，常作底边的中线。 例1．（2023上·河北邢台·八年级校考阶段练习）下面是老师在投影屏上展示的一道证明题，需要补充横线上符号代表的内容，则下列答案错误的是（    ） 已知：如图，在中，，在，，上分别取，，三点，，． 求证：． 证明：如图，连接．∵，，∴ ． 又∵，，∴ ≌（ ）∴． ∵，∴（等腰三角形的顶角平分线与 重合）． A．代表 B．代表 C．代表SAS D．代表底边上的中线 例2．（24-25八年级上·江苏南通·阶段练习）如图，等边中，点是延长线上一点，点是上一点，且．若，，则的长为 ． 例3．（2023上·重庆渝中·八年级校考期中）如图，在等腰中，，延长至点，使得．，过点作，垂足为，延长至点，连接，若，则 ． 例4．（2023上·湖南长沙·八年级校联考阶段练习）如图，与均为等边三角形，点在边上，，连接．(1)求证：；(2)求的度数；(3)若，求的长． 模型3.“平行线+中点+对顶角”构造全等模型 我们把这种情况叫做平行线间夹中点.处理这种情况的一般方法是：延长过中点的线段和平行线相交，即“延长中线交平行”构造全等；当然有时候也需要自己构造平行线的辅助线求解。 条件：如图，AB//CD，点E是BC的中点，可延长DE交AB于点F。结论：。 证明：∵AB//CD，∴∠C=∠FBE，∠D=∠BFE， ∵点E是BC的中点，∴BE=CE，∴（AAS）。 模型运用条件：构造8字型全等（平行线夹中点）。 例1．（2023上·天津西青·八年级统考期末）如图，已知等边，过边上一点P作于点E，点Q为延长线上一点，取，连接，交于M，已知的长为2，则等边三角形的边长为 ． 例2．（23-24八年级上·内蒙古呼和浩特·阶段练习）如图，已知，点是的中点，且，求证：． 例3．（23-24八年级上·广东深圳·期末）如图，于点A，于点B，点E是的中点，连按，已知知，，，则 的长为 ． 例4．（2023下·辽宁沈阳·七年级校考期中）在数学综合实践课上，老师给出了下列问题． (1)探究结论：在图1中，，点P是两平行线之间的一点，则，，之间的关系是_______． (2)应用结论在图2中，，PB平分，，若为等腰三角形，求的度数_． (3)拓展延伸：在图3中，，点P是的中点，．试判断AB，AC，BD之间有什么关系，并说明理由． 1．（23-24八年级上·北京海淀·期中）如图，在中，，，点是的中点，过点作交于点E，，则的长度为（　　） A．7 B．8 C．9 D．10 2．（24-25八年级上·广东·期中）如图，在中，，，点D为的中点，于点E，则与的比值等于（ ） A． B． C． D． 3．（23-24八年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，，，则的值为（    ） A．12 B．10 C．8 D．6 4．（2023上·辽宁大连·八年级统考阶段练习）如图，中，，，、的中垂线、分别交、、于、、、．若，则的长度是(     ) A．4 B．6 C．7 D．8 5．（2023上·江苏·八年级专题练习）如图，中，是边上的中线，M是上的一个动点，作交于N，则的最小值为（　　） A．10 B．12 C． D． 6．（24-25八年级上·上海·期中）如图，已知，平分，点E为中点，如果，，那么 ． 7．（24-25八年级上·山东临沂·阶段练习）如图，，点E是边上的点，平分平分有下列结论：①，②E为中点，③，④，其中正确的有 ． 8．（23-24八年级下·陕西西安·期中）如图，在中，，，为的中点，于点，，则 . 9．（2023上·江苏盐城·八年级校联考期中）如图，在中，，，是边上的中线，M为上一点，且，则 ． 10．（2023上·黑龙江哈尔滨·九年级校考期中）如图，在四边形中，，，对角线，则线段的长为 ．    11．（2023上·辽宁营口·八年级校联考阶段练习）如图，在中，，，，平分，点分别是，边上的动点，则的最小值是 ． 12．（24-25八年级上·重庆长寿·阶段练习）如图，已知，，与的面积和为10， 则的平方 ． 13．（22-23九年级上·上海·开学考试）如图，D在的边上，，，，， 则的面积为 ．    14．（2023上·江苏苏州·八年级统考期中）在中，，，点为边上一动点，连接．(1)边上的高的长度为 ；(2)如图1，若点从点出发，以每秒2个单位的速度向点运动，设运动时间为秒．是否存在值，使得为等腰三角形？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．(3)如图2，把沿着直线翻折，点的对应点为点，交边于点，当时，求的长度．    15．（24-25八年级上·湖北武汉·期中）如图，在中，边的垂直平分线交边于点，交于点F，过点作于点，且为线段的中点．(1)求证：；(2)若，求的度数． 16．（23-24八年级上·江苏徐州·期中）中，，边的垂直平分线交于、于，边的垂直平分线交于、于、的垂直平分线于，求和的度数． 17．（23-24八年级上·江苏镇江·期中）如图，中，是高，是中线，，且F是的中点．(1)求证：；(2)若，求的面积． 18．（23-24八年级上·上海·期中）如图，在中，D是的中点，过D的直线交于E，交的延长线于F，且．求证：． 19．（24-25八年级上·湖北武汉·阶段练习）四边形中，点为线段的中点． (1)，平分．①如图1，若，，则_______； ②如图2，若，求证：平分； (2)和不平行时，，求证：． 20．（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题： (1)【模型呈现】如图，AD为的中线，交AD的延长线于点E，求证：． (2)【模型应用】如图，在四边形ABCD中，，E是BC中点，连接AE，DE，AE平分，求证：DE平分． (3)【拓展探索】如图，在中，，于点D，过点B作交的平分线于点E，过点E作交BC于点F，若，求证：． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题17 中点模型之平行线夹中点模型、中垂线模型、三线合一模型 中点模型是初中数学中一类重要模型，它在不同的环境中起到的作用也不同，主要是结合三角形、四边形、圆的运用，在各类考试中都会出现中点问题，有时甚至会出现在压轴题当中，我们不妨称之为“中点模型”，它往往涉及到平分、平行、垂直等问题，因此探寻这类问题的解题规律对初中几何的学习有着十分重要的意义。 常见的中点模型：①垂直平分线模型；②等腰三角形“三线合一”模型；③“平行线+中点”构造全等或相似模型（与倍长中线法类似）；④直角三角形斜边中点模型；⑤中位线模型；⑥中点四边形模型。本专题就中点模型的前三类模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 2 模型1.垂直平分线模型 2 模型2.等腰三角形的“三线合一”模型 20 模型3.“平行线+中点+对顶角”构造全等模型 39 62 模型1.垂直平分线模型 定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等。 条件：如图，在三角形ABC中，DE⊥BC，且D为BC中点，结论：BE=EC。 证明：∵DE⊥BC，∴∠BDE=∠CDE=90°，∵D为BC中点，∴BD=CD， ∵DE=DE，∴，∴BE=CE. 模型运用条件：当遇到三角形一边垂线过这边中点时，可以考虑用垂直平分线的性质。 例1．（24-25八年级上·湖南衡阳·期中）如图，中，平分，垂直平分交于点E，交于点F，连接，若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识，先根据角平分线定义和三角形内角和定理求出的度数，然后根据线段垂直平分线的性质和等边对等角求出的度数，即可求解． 【详解】解：∵平分，，∴，， 又，∴， ∵垂直平分，∴，∴， ∴，故选：A． 例2．（24-25八年级上·江苏宿迁·期中）如图，在中，边的垂直平分线分别交，于点D，E，，的周长为，则的周长是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质．先根据线段垂直平分线的性质“线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等”可得，，再根据三角形的周长公式即可得． 【详解】解：垂直平分，且，，， 的周长为，， ，即， 则的周长是，故选：C． 例3．（24-25八年级上·辽宁抚顺·期中）如图，等腰的底边长为6，面积是36，腰的垂直平分线分别交边于，点．若点D为边的中点，点M为线段上一动点，则周长的最小值为（   ） A．6 B．10 C．15 D．16 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质、两点之间线段最短，连接，由等腰三角形的性质可得，，由线段垂直平分线的性质可得，从而得出周长，由两点之间线段最短可得，当、、在同一直线上时，的值最小为，利用三角形面积公式求出，即可得解． 【详解】解：如图：连接， ， ∵等腰的底边长为6，点D为边的中点，∴，， ∵垂直平分，∴，∴周长， 由两点之间线段最短可得，当、、在同一直线上时，的值最小为， ∵等腰的底边长为6，面积是36∴，∴， ∴周长的最小值为，故选：C． 例4．（24-25八年级上·江苏南京·阶段练习）如图，在中，边的垂直平分线交于D，边的垂直平分线交于E，与相交于点O，的周长为． (1)求的长；(2)若， 　　°，若， 　　．° 【答案】(1)6cm(2)70， 【分析】（1）先根据线段垂直平分线的性质得到，，然后利用等线段代换求解； （2）先利用等腰三角形的性质得到，，则利用三角形内角和定理和等量代换得到，所以，接着根据四边形内角和得到，则可证明，然后把或分别代入得到对应的的度数． 【详解】（1）∵边的垂直平分线交于D，边的垂直平分线交于E，∴，， ∵的周长为，∴，∴，即； （2）∵，，∴，，∵， ∴， ∴，∵边的垂直平分线交于D，边的垂直平分线交于E， ∴，∴， 当时，； 当时，．故答案为：70，． 【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质：线段的垂直平分线垂直且平分其所在线段；垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．也考查了等腰三角形的性质． 例5．（24-25八年级上·江苏南京·阶段练习）如图，的角平分线与的垂直平分线相交于点D，，，垂足分别为E、F．(1)求证：；(2)若，求的周长． 【答案】(1)见解析(2)的周长为11． 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，熟知角平分线上的点到角两边的距离相等，线段垂直平分线上的点到相等两端的距离相等是解题的关键． （1）连接，根据线段垂直平分线的性质和角平分线性质得出，，证明，即可得出结论； （2）证明，可得，然后求出的周长为，计算即可． 【详解】（1）证明：连接， ∵D在的中垂线上，∴，∵，，平分， ∴，，∴，∴； （2）解：∵平分，∴，∵，，∴， 又∵，∴，∴，由（1）可知， ∴的周长为：． 模型2.等腰三角形的“三线合一”模型 定理：等腰三角形底边上的中线、高线、顶角的角平分线“三线合一”。 条件：如图，等腰三角形ABC中，AB=AC，结论：①AD为BC边上的中线（即BD=CD）；②AD为∠BAC 的角平分线（即∠BAD =∠CAD）；③AD为BC边上的高线（即AD⊥BC）。 证明：我们不妨以①为结论证明，其他情况证明也是类似的证明全等即可。 由题意知：AB=AC，BD=CD，∵AD=AD，∴，∴∠BAD =∠CAD，AD⊥BC。 注意：其中三个结论已知其一便可证明其他两个结论。 模型运用条件：等腰三角形中有底边上的中点时，常作底边的中线。 例1．（2023上·河北邢台·八年级校考阶段练习）下面是老师在投影屏上展示的一道证明题，需要补充横线上符号代表的内容，则下列答案错误的是（    ） 已知：如图，在中，，在，，上分别取，，三点，，． 求证：． 证明：如图，连接．∵，，∴ ． 又∵，，∴ ≌（ ）∴． ∵，∴（等腰三角形的顶角平分线与 重合）． A．代表 B．代表 C．代表SAS D．代表底边上的中线 【答案】C 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定玘性质和等腰三角形三线合一的性质，根据证明，得出，再根据等腰三角形“三线合一”可得出 【详解】证明：如图，连接．∵，，∴． 又∵，，∴（）∴． ∵，∴（等腰三角形的顶角平分线与底边上的中线重合）． 所以，代表 代表 代表代表底边上的中线，故选：C 例2．（24-25八年级上·江苏南通·阶段练习）如图，等边中，点是延长线上一点，点是上一点，且．若，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了含有30度的直角三角形、等腰三角形的性质、等边三角形的性质等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键．由可过作垂直，利用三线合一求出，再设，则，，最后在中，利用30度所对直角边是斜边的一半建立方程，求出，进而求出，即可得解． 【详解】解：过作于点， ，，，设，则， ，，是等边三角形，，， ，，，，即，解得， ，．故答案为：． 例3．（2023上·重庆渝中·八年级校考期中）如图，在等腰中，，延长至点，使得．，过点作，垂足为，延长至点，连接，若，则 ． 【答案】24 【分析】过点A作于点G，过点B作于点H，设，根据三角形内角和定理求出的度数，的度数，于是求出的度数，根据即可求出的度数，根据周角的定义求出，于是可求出的度数，从而得出是等腰三角形，再证和全等得出，根据的面积求出的长，于是得出的长，再根据等腰三角形三线合一即可求出的长． 【详解】解：如图，过点A作于点G，过点B作于点H， ∵，∴，设， ∵，∴， ∵，∴，又∵，∴， ∴ ∵，∴ ∴， 在中，， ∴，∴，即是等腰三角形， 由等腰三角形三线合一的性质得 ∵，，，∴， 在和中，，，， ∴，∴， ∵，，∴∴，∴， ∵是等腰三角形，，∴，故答案为：24． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质，三角形全等的判定与性质，三角形内角和定理，三角形面积公式等知识，熟练掌握这些图形的性质是解题的关键． 例4．（2023上·湖南长沙·八年级校联考阶段练习）如图，与均为等边三角形，点在边上，，连接． (1)求证：；(2)求的度数；(3)若，求的长． 【答案】(1)见解析(2)(3)8 【分析】本题考查了等边三角形的性质，等腰三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质． （1）由为等边三角形，求得，推出，计算得出，即可证明；（2）证明即可求得； （3）根据含30度角的直角三角形的性质求解即可． 【详解】（1）证明：为等边三角形，， ，，在中，， 为等边三角形，， ，即； （2）解：为等边三角形，，， ，平分（“三线合一”），即， 在与中：，，； （3）解：由（1）得，在中，， 由（2）得，在中，， 在等边三角形中，． 模型3.“平行线+中点+对顶角”构造全等模型 我们把这种情况叫做平行线间夹中点.处理这种情况的一般方法是：延长过中点的线段和平行线相交，即“延长中线交平行”构造全等；当然有时候也需要自己构造平行线的辅助线求解。 条件：如图，AB//CD，点E是BC的中点，可延长DE交AB于点F。结论：。 证明：∵AB//CD，∴∠C=∠FBE，∠D=∠BFE， ∵点E是BC的中点，∴BE=CE，∴（AAS）。 模型运用条件：构造8字型全等（平行线夹中点）。 例1．（2023上·天津西青·八年级统考期末）如图，已知等边，过边上一点P作于点E，点Q为延长线上一点，取，连接，交于M，已知的长为2，则等边三角形的边长为 ． 【答案】4 【详解】过P作交于F，如图所示： ∵，是等边三角形，∴，， ∴是等边三角形，∴，∵，∴，∵，∴， 在和中，，∴，∴， ∴，∵，∴，故答案为：4． 【点睛】本题综合考查了全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定，等腰三角形的性质，平行线的性质等知识点的应用；熟练掌握等边三角形的性质与判定，证明三角形全等是解决问题的关键． 例2．（23-24八年级上·内蒙古呼和浩特·阶段练习）如图，已知，点是的中点，且，求证：． 【答案】证明见解析 【分析】延长AE、BC交于点M，利用AAS证出△ADE≌△MCE，从而得出AD=MC，AE=ME，结合已知条件即可证出BM=AB，再利用SSS即可证出△BAE≌△BME，从而得出∠BEA=∠BEM，根据垂直定义即可证出结论． 【详解】解：延长AE、BC交于点M，如下图所示 ∵点是的中点，∴DE=CE，∵∴∠1=∠M 在△ADE和△MCE中∴△ADE≌△MCE∴AD=MC，AE=ME ∵∴MC＋BC=AB∴BM=AB 在△BAE和△BME中∴△BAE≌△BME∴∠BEA=∠BEM ∵∠BEA＋∠BEM=180°∴∠BEA=∠BEM=90°∴ 【点睛】此题考的是全等三角形的判定及性质、平行线的性质和垂直的定义，掌握全等三角形的判定及性质、平行线的性质和垂直的定义是解题关键． 例3．（23-24八年级上·广东深圳·期末）如图，于点A，于点B，点E是的中点，连按，已知知，，，则 的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，勾股定理，证明全等三角形是本题的关键． 延长交于F，由“”可证，可得 ，由勾股定理可求的长，即可求的长． 【详解】解：延长交于F，如图，∵点E是的中点∴， ∵，，∴∴，∴， ∵，∴，∴，， ∴，∴在中，， ∴，故答案为：． 例4．（2023下·辽宁沈阳·七年级校考期中）在数学综合实践课上，老师给出了下列问题． (1)探究结论：在图1中，，点P是两平行线之间的一点，则，，之间的关系是_______． (2)应用结论在图2中，，PB平分，，若为等腰三角形，求的度数_． (3)拓展延伸：在图3中，，点P是的中点，．试判断AB，AC，BD之间有什么关系，并说明理由． 【答案】(1)(2)的度数为或(3)，理由见解析 【分析】(1)作，根据平行线的判定与性质可得出． (2)分①当时，②当时，③当时三种情况讨论即可． (3)延长交直线于F点，证明即可求解． 【详解】（1）作，如图1， ∵，∴，∴，(两直线平行，内错角相等)， ∵，∴； （2）∵PB平分，如图2， ∴, 设，∵为等腰三角形，∴分三种情况讨论， ①当时，,∴, ∵由(1)知，且， ∴，解得：；∴； ②当时，，∴,无解，此情况舍去， ③当时，，∴，解得：，∴． 综上可知：的度数为或． （3）的关系为，延长交直线于F点，如图3， 由(1)得，∵，∴，， ∵点P是的中点，∴，∴,∴, ∵,,故答案为：． 【点睛】本题考查了平行线的判定与性质以及等腰三角形的性质，学会添加常用辅助线构造平行线是解题关键． 1．（23-24八年级上·北京海淀·期中）如图，在中，，，点是的中点，过点作交于点E，，则的长度为（　　） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】B 【分析】连接，先求出，，再根据线段垂直平分线的性质得，，由此得，进而利用直角三角形的性质得，然后求出，再利用直角三角形的性质即可求出的长． 【详解】解答∶连接AE，如图∶ 在中， ， 点是的中点，， 是线段的垂直平分线 ， 在中，，， 在中，，， 故选∶B 【点睛】此题主要考查了直角三角形的性质，等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，熟练掌握等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，理解在直角三角形中，的角所对的直角边是斜边的一半是解决问题的关键． 2．（24-25八年级上·广东·期中）如图，在中，，，点D为的中点，于点E，则与的比值等于（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了等腰三角形的性质、勾股定理，解题的关键是准确作出辅助线，注意数形结合思想的应用．连接，利用等腰三角形三线合一的性质，可证得，再利用勾股定理，求得的长，利用等面积法求出，然后利用勾股定理求出，然后代数求解即可． 【详解】解：连接， 中，，，为中点， ，， ， ∴，即 ∴ ∴ ∴． 故选：C． 3．（23-24八年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，，，则的值为（    ） A．12 B．10 C．8 D．6 【答案】A 【分析】该题主要考查了等腰三角形的性质和勾股定理，解题的关键是做出辅助线． 过点 作，根据等腰三角形的性质得出，根据勾股定理得出，代换得出，即可求解； 【详解】解：过点 作， ∵， ∴， 在中， ， 在 中，， ∴， ∴， ∴， 化简得， ∴， ∴． 故选：A． 4．（2023上·辽宁大连·八年级统考阶段练习）如图，中，，，、的中垂线、分别交、、于、、、．若，则的长度是(     ) A．4 B．6 C．7 D．8 【答案】D 【分析】本题考查的是线段垂直平分线的性质，含30度角的直角三角形的性质；连接，，根据线段垂直平分线的性质可知，，，故可得出，即，再由三角形外角的性质求出的度数，根据直角三角形的性质即可得出结论． 【详解】解：连接，， 中，，，． 是的垂直平分线，，，，，即． 是的垂直平分线，，，， 在中，，，即．故选：D． 5．（2023上·江苏·八年级专题练习）如图，中，是边上的中线，M是上的一个动点，作交于N，则的最小值为（　　） A．10 B．12 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了轴对称-最短路线问题，勾股定理的应用以及三角形面积公式，明确是的最小值是解题的关键． 作于，交于，此时，根据垂线段最短，则是的最小值，根据三角形面积公式即可求得结果． 【详解】解：∵是边上的中线，∴， ∴是关于中线的对称点，作于，交于， 此时是的最小值， ∵是边上的中线，∴，∴， ∵，∴， ∴．∴的最小值为，故选：C． 6．（24-25八年级上·上海·期中）如图，已知，平分，点E为中点，如果，，那么 ． 【答案】4 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，平行线的性质，等角对等边，延长交于点F，证明可得，然后根据平行线的性质和等角对等边得到． 【详解】解：如图，延长交于点F， ∵， ∴， ∵点E为中点， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴． 故答案为：4． 7．（24-25八年级上·山东临沂·阶段练习）如图，，点E是边上的点，平分平分有下列结论：①，②E为中点，③，④，其中正确的有 ． 【答案】②③④ 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、平行线的性质、等腰三角形的“三线合一”等知识点，根据、即可判断④；延长交延长线于，可推出是等腰三角形，证即可判断②③；根据即可判断①； 【详解】解：∵平分平分 ∴， ∵， ∴， ∴ ∴， ∴，故④正确； 如图，延长交延长线于， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴ (ASA)， ∴， ∴，故③正确； ∵， ∴，即点E为的中点，故②正确； ∵， ∴，故①错误； 故答案为：②③④ 8．（23-24八年级下·陕西西安·期中）如图，在中，，，为的中点，于点，，则 . 【答案】/16厘米 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三线合一和含的特殊直角三角形的性质，连接 ，利用等边对等角得， 在 中，得，在 中，得，由即可求出的长． 【详解】解：连接 ， ∵，，为的中点， ∴， 平分，， ∴， ∵ ， ∴， ∴， 在 中，，， ∴， 在 中，，， ∴， ∴ ， 故答案为：． 9．（2023上·江苏盐城·八年级校联考期中）如图，在中，，，是边上的中线，M为上一点，且，则 ． 【答案】15 【分析】本题考查的是等腰三角形的性质、三角形内角和定理，根据等腰三角形的性质得到，，结合三角形内角和定理计算即可． 【详解】解：∵，，∴， ∵，∴， ∵，是边上的中线，∴， ∴，故答案为：． 10．（2023上·黑龙江哈尔滨·九年级校考期中）如图，在四边形中，，，对角线，则线段的长为 ．    【答案】 【分析】作，由，，证，根据勾股定理，，即可求解． 【详解】解：如图，作，∵，∴，∵， ∴，∴，    ∵，∴，∴，∴，根据勾股定理，， ∵，∴，∴，∴．故答案为：． 【点睛】本题主要考查三角形的全等证明、勾股定理，等腰三角形的性质，余角的性质，垂线定义理解，掌握相关知识并正确画出辅助线是解题的关键． 11．（2023上·辽宁营口·八年级校联考阶段练习）如图，在中，，，，平分，点分别是，边上的动点，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】作点关于直线的对称点，连接、，根据轴对称的性质、垂直平分线的性质可得，则欲求的最小值即为的最小值，即的最小值，则当时，即的值最小，最小值为的长． 【详解】解：如图，作点关于直线的对称点，连接、， 是、的对称轴，即是线段的垂直平分线，， 的最小值即为的最小值，即的最小值， 当时，即的值最小，此时与重合，与重合，最小值为的长， 在中，，，， ，的最小值是．故答案为：． 【点睛】本题考查的知识点是轴对称的性质、垂直平分线的性质、最短路径问题、垂线段最短及含角的直角三角形的性质，解题关键是找出点、的位置． 12．（24-25八年级上·重庆长寿·阶段练习）如图，已知，，与的面积和为10， 则的平方 ． 【答案】76 【分析】本题考查了三角形的面积，勾股定理，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 作，，证明，推出，设，，利用完全平方公式求出，可得结论． 【详解】解：如图，过点A作于点H，过点D作于点K． ，， ，，． ， ． ， ， 又， ， ， 设， ． 与的面积和为10， 即，， 在中，， 即， ， ， ． 故答案为：76． 13．（22-23九年级上·上海·开学考试）如图，D在的边上，，，，， 则的面积为 ．    【答案】36 【分析】本题考查的是等腰三角形的性质，勾股定理的应用，如图，过作于，过作于，先求解，再利用等面积法求解，再进一步可得答案． 【详解】解：如图，过作于，过作于，    ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为： 14．（2023上·江苏苏州·八年级统考期中）在中，，，点为边上一动点，连接．    (1)边上的高的长度为 ；(2)如图1，若点从点出发，以每秒2个单位的速度向点运动，设运动时间为秒．是否存在值，使得为等腰三角形？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．(3)如图2，把沿着直线翻折，点的对应点为点，交边于点，当时，求的长度． 【答案】(1)2(2)或(3) 【分析】（1）过点A作于D，利用等腰三角形“三线合一”性质求出，再利用勾股定理即可求解．（2）分两种情况∶当时， 当时，分别求解即可． （3）过点A作于D，过点A作于G，由折叠性质得，，再证明，得出，，然后利用勾股定理求出，即可求解． 【详解】（1）解：过点A作于D，如图1，    ∵，，∴ 由勾股定理，得，∴边上的高的长度为2． （2）解∶分两种情况∶ 当时，则，∴解得∶ ； 当时，如图，则， ，由(1)知∶ ， ，∴， 由勾股定理，得，解得∶ ，      综上，当为等腰三角形时，t值为或． （3）解：过点A作于D，过点A作于G，如图2， 由（1）知，，，由折叠知：，， 又∵，∴， ∴，，∵∴ 在中，由勾股定理，得 ∴． 【点睛】本题考查等腰三角形的性质，折叠的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质．作等腰三角形底边的高利用等腰三角形“三线合一”性质和构造直角三角形利用勾股定理求线段长是解题的关键． 15．（24-25八年级上·湖北武汉·期中）如图，在中，边的垂直平分线交边于点，交于点F，过点作于点，且为线段的中点． (1)求证：；(2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析(2) 【分析】本题主要考查了垂直平分线的性质、等腰三角形的判定与性质等知识，正确作出辅助线是解题关键．（1）连接，易知垂直平分，根据垂直平分线的性质可得，，即可证明；（2）首先根据等腰三角形“等边对等角”的性质可得，再推导，可得，然后根据等腰三角形“三线合一”的性质可得，即可获得答案． 【详解】（1）证明：连接，如下图， ∵于点D，且D为线段的中点， ∴垂直平分， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 16．（23-24八年级上·江苏徐州·期中）中，，边的垂直平分线交于、于，边的垂直平分线交于、于、的垂直平分线于，求和的度数． 【答案】， 【分析】本题考查了三角形内角和定理，线段垂直平分线性质的应用，注意：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等．根据线段的垂直平分线的性质得到，，根据等腰三角形的性质和四边形的内角和解答即可． 【详解】解：的垂直平分线交于点，的垂直平分线交于点， ，， ， ， ，， ，， ， ， 在四边形中，、， ． 17．（23-24八年级上·江苏镇江·期中）如图，中，是高，是中线，，且F是的中点． (1)求证：； (2)若，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)44 【分析】本题考查了线段的垂直平分线的性质、直角三角形斜边中线等于斜边的一半的性质、勾股定理等知识，解题关键是正确作出辅助线． （1）连接，利用线段的垂直平分线的性质得到，再利用直角三角形斜边中线等于斜边的一半的性质得到，即可求证； （2）利用勾股定理求出再利用三角形面积公式即可求解． 【详解】（1）解：如图，连接， ∵，且F是的中点， ∴， ∵中，是高，是中线， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴，， ∴， ∴中，， ∴的面积． 18．（23-24八年级上·上海·期中）如图，在中，D是的中点，过D的直线交于E，交的延长线于F，且．求证：． 【答案】见解析 【分析】过点C作交于G，利用“角边角”证明，则，推出，再根据等角对等边可得． 【详解】证明：过点C作交于G， ∴， D是的中点， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，作辅助线构造出全等三角形是解题的关键． 19．（24-25八年级上·湖北武汉·阶段练习）四边形中，点为线段的中点． (1)，平分． ①如图1，若，，则_______； ②如图2，若，求证：平分； (2)和不平行时，，求证：． 【答案】(1)①；②证明见解析； (2)证明见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，垂直平分线的性质等知识，作辅助线构造全等三角形是解题关键． （1）①根据平行线的性质，证明，得到，，再根据等边对等角的性质以及角平分线的定义，得出，即可求出的度数； ②延长交的延长线于点，证明，，根据等边对等角的性质以及角平分线的定义，得到，进而得到，再结合等腰三角形三线合一的性质证明即可； （2）延长至点，使得，证明，得到，再根据垂直平分线的性质，得到，最后利用三角形的三边关系证明即可． 【详解】（1）解：①， ，，， ， ， 点为线段的中点， ， 在和中， ， ， ，， ， 平分， ， ， ， ， 故答案为：； ② 如图，延长交的延长线于点， ， ， 在和中， ， ， ， 平分， ， ， ， 是的中点， 平分； （2）证明：如图，延长至点，使得， 在和中， ， ， ， ，， ， ， ． 20．（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题： (1)【模型呈现】如图，AD为的中线，交AD的延长线于点E，求证：． (2)【模型应用】如图，在四边形ABCD中，，E是BC中点，连接AE，DE，AE平分，求证：DE平分． (3)【拓展探索】如图，在中，，于点D，过点B作交的平分线于点E，过点E作交BC于点F，若，求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】(1)根据平行线的性质可得，根据AD为的中线，可得，据此即可证得，即可证得结论； (2)过点E分别作于点F，于点G，交DC的延长线于点H，首先由角平分线的性质可得，再根据垂直的定义及平行线的性质，可证得，，据此即可证得，即可证得结论； (3)延长AB交FE延长线于点G，过点G作交CB的延长线于点H，首先由，AE平分，可得，可求得，据此即可证得，可得，，可证得，，据此可证得，，，再根据斜边直角边定理，可证得，据此即可证得结论． 【详解】（1）证明：∵， ∴ ∵AD为的中线， ∴， 在和中，          ∴， ∴． （2）证明：如图，过点E分别作于点F，于点G，交DC的延长线于点H． 又∵AE平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴ 在和中，      ∴， ∴， ∴， ∴DE平分； （3）证明：如图，延长AB交FE延长线于点G，过点G作交CB的延长线于点H． ∵，AE平分， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 在和中，          ∴， ∴，， 又∵，， ∴， ∵，， ∴， 在和中，      ∴， ∴，， 在和中，         ∴， ∴， ∴， 即， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质，角平分线的定义、判定及性质，作出辅助线是解决本题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$