专题14 垂美四边形模型与378、578模型-2024-2025学年八年级数学上册常见几何模型全归纳之模型解读与提分精练（苏科版）

专题14 垂美四边形模型与378、578模型 全等三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位，也是学生必须掌握的一块内容，本专题就对角互补模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 大家在掌握几何模型时，多数同学会注重模型结论，而忽视几何模型的证明思路及方法，导致本末倒置。要知道数学题目的考察不是一成不变的，学数学更不能死记硬背，要在理解的基础之上再记忆，这样才能做到对于所学知识的灵活运用，并且更多时候能够启发我们解决问题的关键就是基于已有知识、方法的思路的适当延伸、拓展，所以学生在学习几何模型要能够做到的就是：①认识几何模型并能够从题目中提炼识别几何模型；②记住结论，但更为关键的是记住证明思路及方法；③ 明白模型中常见的易错点，因为多数题目考察的方面均源自于易错点。当然，以上三点均属于基础要求，因为题目的多变性，若想在几何学习中突出，还需做到的是，在平时的学习过程中通过大题量的训练，深刻认识几何模型，认真理解每一个题型，做到活学活用！ 2 模型1.垂美四边形模型 2 模型2.378和578模型 33 42 模型1.垂美四边形模型 垂美四边形的定义：对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形。 图1 图2 图3 图4 条件：如图1，已知四边形ABCD，对角线AC、BD交于点O，且AC⊥BD； 结论：①AB2+CD2＝AD2+BC2；②“垂美”四边形的面积等于对角线乘积的一半，即S四边形ABCD=AC∙BD。 证明：∵AC⊥BD，∴∠AOD＝∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝90°， 由勾股定理得，，， ∴；∵AC⊥BD，∴S△ABC=AC∙BO ，S△ADC=AC∙DO ∴S四边形ABCD=S△ABC+S△ADC=AC∙BO+AC∙DO=AC∙BD。 条件：如图2，在矩形ABCD中，P为CD边上有一点，连接AP、BP； 结论：DP2+BP2=AP2+PC2 证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠ADP＝∠BCP＝90°，AD=BC， 由勾股定理得，，，∴，∴。 条件：如图3（或图4），在矩形ABCD中，P为矩形内部（外部）任意一点，连接AP、BP，CP，DP； 结论：AP2+PC2=DP2+BP2 证明：过点作的垂线，交于点，交于点，则四边形和为矩形， ，由勾股定理得：则 ，， ，．（图4的证明和图3证明相同） 用处：①对角线垂直的四边形对边的平方和相等；②已知三边求一边的四边形，可以联想到垂美四边形。 例1．（23-24八年级上·河北保定·期中）对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线交于点．若，，则等于（    ）    A． B． C． D． 例2．（23-24八年级下·江苏·课堂例题）如图，四边形的对角线与互相垂直，若，则的长为（   ） A． B．4 C． D． 例3．（2023·江苏盐城·一模）如图，四边形的对角线和互相垂直，，则四边形面积最大值为 ．    例4．（23-24八年级下·河北秦皇岛·期中）如图，P是矩形ABCD内一点，若PA=3，PB=4，PC=5，那么PD= . 例5．（2024·安徽·模拟预测）数学课堂探究性活动蔚然成风．张老师在课堂上设置一道习题： (1)已知矩形ABCD和点P，当点P在BC上任一位置（如图1所示）时，探究PA2、PB2、PC2、PD2，之间的关系？直接写出结论，不必证明； 当P点在其它位置时，请同学们分组探究：(2)当点P在矩形内部，如图2时，探究PA2、PB2、PC2、PD2之间的数量关系，请你把探究出的结论写出来，并给予证明．(3)当点P在矩形外部，如图3时，继续探完PA2、PB2、PC2、PD2之间的数量关系，请你把探究出的结论直接写出来，不必证明． 例6．（23-24八年级下·江西赣州·期末）如图1，对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形． （1）概念理解：如图2，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，问四边形ABCD是垂美四边形吗？请说明理由；（2）性质探究：如图1，四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，AC⊥BD．经探究发现垂美四边形ABCD的两组对边AB2，CD2和AD2，BC2有一定的数量关系，请你猜想有何种数量关系？并证明． （3）解决问题：如图3，分别以Rt△ACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE，连结CE、BG、GE．已知AC＝4，AB＝5，求GE的长． 例7．（23-24八年级下·河北承德·期中）我们把对角线互相垂直的四边形称为“垂美四边形”，如图，已知四边形，，像这样的四边形称为“垂美四边形”． 探索证明（1）如图，设，猜想之间的关系，用等式表示出来，并说明理由．（提示：运用勾股定理说理） 变式思考（2）如图，是的中线，，垂足为O，设，请用一个等式把三者之间的数量关系表示出来： 拓展应用（3）如图，在矩形中，E为的中点，若四边形为“垂美四边形”，且求的长． 模型2.378和578模型 378和578模型：边长为3、7、8或5、7、8的三角形（如图1）。 当我们遇到两个三角形的三边长分别为 3，7，8 和 5，7，8 的时候，通常不会对它们进行处理，实际是因为我们对于这两组数字不敏感，但如果将这两个三角形拼在一起，你将惊喜地发现这是一个边长为 8的等边三角形。 图1 图2 图3 图4 条件：当两个三角形的边长分别为3，7，8和5，7，8时； 结论：①这两个三角形的面积分别为、；②3、8与5、8夹角都是60；③将两个三角形长为7的边拼在一起，恰好组成一个边长为8的等边三角形。 证明：如图2，过点C作CM⊥AB于点M，设BM=x 则AM=3+x，∴∠CMB=90°， 在Rt∆ACM中：CM2 =AC2 - AM2，在Rt∆BCM中：CM2 =BC2 - BM2， ∴AC2 - AM2 = BC2 - BM2，即82 -（3+x）2 = 72 - x2，解得x=1，∴CM =4，∴CM =， ∴S∆ABC=AB•CM = •3•=，∵CM =4，AC=8，∠ACM=30°，∠CAM=60°。 如图3，过点F作FN⊥DE于点N，设DN=x 则NE=5-x，∴∠FND=90°， 在Rt∆DNF中：NF2 =DF2 - DN2， 在Rt∆ENF中：NF2 =EF2 - NE2， ∴DF2-DN2 =EF2-NE2，即72-x2 =82 -（5-x）2 ，解得x=1，NE=4，∴NF = ， ∴S∆DEF=•DE•NF = •5•=，∵NE =4，EF=8，∠EFN=30°，∠FEN=60°。 ∴CM =NF = ，∠CMB=∠FND=90°，∵CB =DF=7，∴Rt∆BCM ≌Rt∆DNF，∴∠CBM=∠FDN， ∵∠CBM+∠ABC=180°，∴∠FDN+∠ABC=180°，∵AC =EF =8。 ∴将两个三角形长为7的边拼在一起，恰好组成一个边长为8的等边三角形（如图4）。 例1．（2023·浙江温州·九年级校考期末）边长为5，7，8的三角形的最大角和最小角的和是（    ）． A．90° B．150° C．135° D．120° 例2．（2023·江苏·八年级专题练习）已知在△ABC中，AB＝8，AC＝7，BC＝3，则∠B＝（    ）． A．45° B．37° C．60° D．90° 例3．（2023·绵阳市·八年级专题练习）如图，△ABC的边AB＝8，BC＝5，AC＝7．求BC边上的高． 例4．（2023八年级上·江苏·专题练习）已知在中，，，，则的面积为 A． B． C． D． 例5．（23-24九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）在中，，，，则的长为 ． 1．（2023·成都市·八年级专题练习）在△ABC中，AB＝16，AC＝14，BC＝6，则△ABC的面积为（    ） A．24 B．56 C．48 D．112 2．（2023春·成都市八年级课时练习）对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形ABCD，点E为对角线BD上任意一点，连接AE、CE． 若AB=5，BC=3，则AE2-CE2等于(    ) A．7 B．9 C．16 D．25 3．（23-24八年级下·重庆渝北·期中）如图，已知正方形ABCD的边长为4，点P是对角线BD上一点，PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F，连接AP，EF．给出下列结论：①AP＝EF且AP⊥EF；②∠PFE＝∠BAP；③△ADP一定是等腰三角形；④四边形PECF的周长为；⑤EF的最小值为；⑥ PB2＋PD2＝2PA2．其中正确结论的个数是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 4．（2024·天津和平·二模）如图，四边形的两条对角线，相交于点，点在线段上，且，若．有下列结论：①的取值范围是；②的长有两个不同的值满足四边形的面积为12；③四边形面积最大值为．其中，正确结论的个数有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 5．（23-24九年级上·广东梅州·期中）四边形的对角线互相垂直且长分别为8和12，则面积为 ． 6．（23-24八年级下·广东·课后作业）如图，四边形ABCD的对角线AC与BD互相垂直，若AB＝3，BC＝4，CD＝5，则AD的长为 ． 7、当两个三角形的边长分别为3，7，8和5，7，8时，则这两个三角形的面积之和是 　 　． 8．（22-23八年级上·福建宁德·阶段练习）对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线，交于点O．若，，则 ． 9．（23-24八年级下·广东广州·期末）已知三角形一边上的中线，与三角形三边有如下数量关系：三角形两边的平方和等于第三边一半的平方与第三边中线平方之和的2倍．即：如图，在中，是边上的中线，则有．请运用上述结论，解答下面问题．如图，点为矩形外部一点，已知，若，则的取值范围为 ． 10．（23-24九年级上·山东青岛·期中）如图，已知是矩形的内的一点．求证：． 11．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期中）我们定义对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形． 如图点E是四边形ABCD内一点，已知BE＝EC，AE＝ED，∠BEC＝∠AED＝90°，对角线AC与BD交于O点，BD与EC交于点F，AC与ED交于点G．（1）求证：四边形ABCD是垂美四边形； （2）猜想四边形ABCD两组对边AB、CD与BC、AD之间的数量关系并说明理由； （3）若BE＝3，AE＝4，AB＝6，则CD的长为　 　． 12．（23-24九年级上·山东青岛·单元测试）已知矩形和点，当点在上任一位置（如图所示）时，易证得结论：，请你探究：当点分别在图、图中的位置时，、、和又有怎样的数量关系请你写出对上述两种情况的探究结论，并利用图证明你的结论． 答：对图的探究结论为________；对图的探究结论为________；                      13．（2024·山西晋城·三模）请阅读列材料，并完成相应的任务： 三角形中线定理 三角形中线定理又称阿波罗尼奥斯定理，是一种平面几何的定理之一，指三角形三边和中线长度关系． 阿波罗尼奥斯（约公元前262-190年），古希腊数学家，与欧几里得、阿基米德合称为古希腊亚历山大前期的三大数学家． 中线定理：三角形两边的平方和等于第三边的一半与第三边上的中线的平方和的两倍．如图1，在中，点D为BC的中点，根据“阿波罗尼奥斯”，可得．下面是该定理的证明过程（部分）： 证明：过点A作于点E，如图2，在中，， 同理可得：，， 证明的方便，不妨设，， … 任务：(1)按照上面的证明思路，完成该定理证明的剩余部分； (2)如图3，在中，点为的中点，，，，则的长为______； (3)如图4，已知平行四边形中，和相交于点，设，，请直接用含，的代数式表示的值； 14．（23-24八年级下·安徽芜湖·阶段练习）如图甲，我们把对角线相互垂直的四边形叫做垂美四边形． （1）【性质探究】小美同学猜想“垂美四边形两组对边的平方和相等”，即，如图甲，在四边形中，若，则．请判断小美同学的猜想是否正确，并说明理由． （2）【问题解决】如图乙，在中，，，D，E分别是，的中点，连接，，有，求． 15．（23-24八年级下·河南信阳·期末）如图，我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形． (1)概念理解：如图，在四边形中，，问四边形是垂美四边形吗？请说明理由． (2)性质探究：试探索垂美四边形两组对边，与，之间的数量关系． 猜想结论：（要求用文字语言叙述） 写出证明过程（先画出图形，写出已知、求证）． (3)问题解决：如图，分别以的直角边和斜边为边向外作正方形和正方形，连接，，已知，，求长． 16．（2023八年级上·江苏·专题练习）已知对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线交于点O． (1)若，，，则 ；(2)若，，则 ； (3)若，，，，则m，n，c，d之间的数量关系是 ． 17．（2022·山东济宁·统考一模）我们给出如下定义：若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称这个四边形为勾股四边形，这两条相邻的边称为这个四边形的勾股边． (1)写出你所学过的特殊四边形中是勾股四边形的两种图形的名称________，________． (2)如图（1），已知格点（小正方形的顶点），，，请你直接写出一个以格点为顶点，，为勾股边且对角线相等的勾股四边形的顶点M的坐标为________； (3)如图（2），将绕顶点B按顺时针方向旋转60°，得到，连接，，．求证：，即四边形是勾股四边形； (4)若将图（2）中绕顶点B按顺时针方向旋转a度，得到，连接，，则________°，四边形是勾股四边形． 18．（24-25九年级上·广东深圳·开学考试）垂美四边形定义如下：对角线互相垂直的四边形叫做“垂美四边形”． (1)如图1，四边形是“垂美四边形”，猜想与之间的数量关系：______，并说明理由． (2)如图2，分别以的直角边和斜边为边向外作正方形和正方形，连接，若，求的长． (3)如图3，在中，，点P是外一点，连接，，已知，若以A、B、C、P为顶点的四边形为垂美四边形，请直接写出的长． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题14 垂美四边形模型与378、578模型 全等三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位，也是学生必须掌握的一块内容，本专题就对角互补模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 大家在掌握几何模型时，多数同学会注重模型结论，而忽视几何模型的证明思路及方法，导致本末倒置。要知道数学题目的考察不是一成不变的，学数学更不能死记硬背，要在理解的基础之上再记忆，这样才能做到对于所学知识的灵活运用，并且更多时候能够启发我们解决问题的关键就是基于已有知识、方法的思路的适当延伸、拓展，所以学生在学习几何模型要能够做到的就是：①认识几何模型并能够从题目中提炼识别几何模型；②记住结论，但更为关键的是记住证明思路及方法；③ 明白模型中常见的易错点，因为多数题目考察的方面均源自于易错点。当然，以上三点均属于基础要求，因为题目的多变性，若想在几何学习中突出，还需做到的是，在平时的学习过程中通过大题量的训练，深刻认识几何模型，认真理解每一个题型，做到活学活用！ 2 模型1.垂美四边形模型 2 模型2.378和578模型 33 42 模型1.垂美四边形模型 垂美四边形的定义：对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形。 图1 图2 图3 图4 条件：如图1，已知四边形ABCD，对角线AC、BD交于点O，且AC⊥BD； 结论：①AB2+CD2＝AD2+BC2；②“垂美”四边形的面积等于对角线乘积的一半，即S四边形ABCD=AC∙BD。 证明：∵AC⊥BD，∴∠AOD＝∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝90°， 由勾股定理得，，， ∴；∵AC⊥BD，∴S△ABC=AC∙BO ，S△ADC=AC∙DO ∴S四边形ABCD=S△ABC+S△ADC=AC∙BO+AC∙DO=AC∙BD。 条件：如图2，在矩形ABCD中，P为CD边上有一点，连接AP、BP； 结论：DP2+BP2=AP2+PC2 证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠ADP＝∠BCP＝90°，AD=BC， 由勾股定理得，，， ∴，∴。 条件：如图3（或图4），在矩形ABCD中，P为矩形内部（外部）任意一点，连接AP、BP，CP，DP； 结论：AP2+PC2=DP2+BP2 证明：过点作的垂线，交于点，交于点，则四边形和为矩形， ，由勾股定理得：则 ，， ，．（图4的证明和图3证明相同） 用处：①对角线垂直的四边形对边的平方和相等；②已知三边求一边的四边形，可以联想到垂美四边形。 例1．（23-24八年级上·河北保定·期中）对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线交于点．若，，则等于（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据垂美四边形的性质，勾股定理的运用即可求解，本题主要考查勾股定理的运用，掌握勾股定理的计算是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是“垂美”四边形，即， ∴在中，，在中，， ∴， 在中，，在中，， ∴，∴，故选：． 例2．（23-24八年级下·江苏·课堂例题）如图，四边形的对角线与互相垂直，若，则的长为（   ） A． B．4 C． D． 【答案】A 【分析】根据勾股定理可得，在中可得，；在中可得：；在中可得：；即可得，代入数值计算后，即可求得的长.．本题考查了勾股定理的知识，熟练运用勾股定理是解决问题的关键． 【详解】解：如图， ∵四边形的对角线与互相垂直，∴， 在中可得，；在中可得：； 在中可得：； ∴， ∴ ．故选：A． 例3．（2023·江苏盐城·一模）如图，四边形的对角线和互相垂直，，则四边形面积最大值为 ．    【答案】 【分析】本题考查了二次函数最值以及四边形面积求法．直接利用对角线互相垂直的四边形面积求法得出，再利用配方法求出二次函数最值． 【详解】解：设，四边形的面积为S，∵，∴， ∵四边形的对角线和互相垂直，∴， ∴当时，S取得最大值，最大值为，即四边形面积最大值为．故答案为：． 例4．（23-24八年级下·河北秦皇岛·期中）如图，P是矩形ABCD内一点，若PA=3，PB=4，PC=5，那么PD= . 【答案】 【分析】过点P作AB的平行线分别交DA、BC于E、F，过P作BC的平行线分别交AB、CD于G、H，设AG=DH=a，BG=CH=b，AE=BF=c，DE=CF=d，根据勾股定理进行求解，进而可得出结果． 【详解】如图，过点P作AB的平行线分别交DA、BC于E、F，过P作BC的平行线分别交AB、CD于G、H， 设AG=DH=a，BG=CH=b，AE=BF=c，DE=CF=d， 则有AP2=a2+c2，CP2=b2+d2，BP2=b2+c2，DP2=d2+a2， ∴AP2+CP2=a2+c2+b2+d2，BP2+DP2=b2+c2+d2+a2，∴AP2+CP2=BP2+DP2， 又∵PA=3，PB=4，PC=5，∴32+52=42+DP2，∴DP=，故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形的性质和勾股定理的应用，正确添加辅助线，熟练运用勾股定理是解题的关键． 例5．（2024·安徽·模拟预测）数学课堂探究性活动蔚然成风．张老师在课堂上设置一道习题： (1)已知矩形ABCD和点P，当点P在BC上任一位置（如图1所示）时，探究PA2、PB2、PC2、PD2，之间的关系？直接写出结论，不必证明； 当P点在其它位置时，请同学们分组探究：(2)当点P在矩形内部，如图2时，探究PA2、PB2、PC2、PD2之间的数量关系，请你把探究出的结论写出来，并给予证明．(3)当点P在矩形外部，如图3时，继续探完PA2、PB2、PC2、PD2之间的数量关系，请你把探究出的结论直接写出来，不必证明． 【答案】（1）（2）（3）结论PA2+PC2=PB2+PD2，证明见解析 【详解】试题分析：（1）直接根据勾股定理即可得出结论； （2）过点P作MN⊥AD于点M，交BC于点N，可在Rt△AMP，Rt△BNP，Rt△DMP和Rt△CNP分别用勾股定理表示出PA2，PC2，PB2，PD2，然后我们可得出PA2+PC2与PB2+PD2，我们不难得出四边形MNCD是矩形，于是，MD=NC，AM=BN，然后我们将等式右边的值进行比较发现PA2+PC2=PB2+PD2．如图（3）方法同（2），过点P作PQ⊥BC交AD，BC于O，易证． 试题解析：证明：（1）如图1中．在Rt△ABP中，AB2=AP2﹣BP2，Rt△PDC中，CD2=PD2﹣PC2．∵AB=CD，∴AP2﹣BP2=PD2﹣PC2，∴PA2+PC2=PB2+PD2； （2）猜想：PA2+PC2=PB2+PD2．如图2，过点P作MN⊥AD于点M，交BC于点N． 在矩形ABCD中，∵AD∥BC，MN⊥AD，∴MN⊥BC．在Rt△AMP中， PA2=PM2+MA2．在Rt△BNP中，PB2=PN2+BN2．在Rt△DMP中，PD2=DM2+PM2．在Rt△CNP中，PC2=PN2+NC2，∴PA2+PC2=PM2+MA2+PN2+NC2，PB2+PD2=PM2+DM2+BN2+PN2．∵MN⊥AD，MN⊥NC，DC⊥BC，∴四边形MNCD是矩形，∴MD=NC，同理AM=BN，∴PM2+MA2+PN2+NC2=PM2+DM2+BN2+PN2，即PA2+PC2=PB2+PD2． （3）如图3，过点P作PQ⊥BC交AD，BC于O，Q． ∵在矩形ABCD中，AD∥BC，PQ⊥BC，∴PQ⊥AD．∵在Rt△AOP中，PA2=AO2+PO2．在Rt△PQB中，PB2=PQ2+QB2．在Rt△POD中，PD2=DO2+PO2．在Rt△CQP中，PC2=PQ2+QC2，∴PA2+PC2=PO2+OA2+PQ2+QC2，PB2+PD2=PQ2+QB2+DO2+PO2．∵PQ⊥AD，PQ⊥NC，DC⊥BC，∴四边形OQCD是矩形，∴OD=QC，同理AO=BQ，∴PA2+PC2=PB2+PD2． 点睛：本题考查了矩形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型． 例6．（23-24八年级下·江西赣州·期末）如图1，对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形． （1）概念理解：如图2，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，问四边形ABCD是垂美四边形吗？请说明理由；（2）性质探究：如图1，四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，AC⊥BD．经探究发现垂美四边形ABCD的两组对边AB2，CD2和AD2，BC2有一定的数量关系，请你猜想有何种数量关系？并证明． （3）解决问题：如图3，分别以Rt△ACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE，连结CE、BG、GE．已知AC＝4，AB＝5，求GE的长． 【答案】（1）四边形ABCD是垂美四边形，证明见解析；（2）AD2+BC2＝AB2+CD2，证明见解析；（3）GE＝ 【分析】（1）根据垂直平分线的判定定理证明即可；（2）根据垂直的定义和勾股定理解答即可； （3）根据垂美四边形的性质、勾股定理、结合（2）的结论计算． 【详解】解：（1）四边形ABCD是垂美四边形．证明：连接BD、AC ∵AB＝AD，∴点A在线段BD的垂直平分线上， ∵CB＝CD，∴点C在线段BD的垂直平分线上， ∴直线AC是线段BD的垂直平分线，             ∴AC⊥BD，即四边形ABCD是垂美四边形； （2）猜想：AD2+BC2＝AB2+CD2 证明：∵AC⊥BD， ∴∠AOD＝∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝90°， 由勾股定理得，AD2+BC2＝AO2+DO2+BO2+CO2，AB2+CD2＝AO2+BO2+CO2+DO2， ∴AD2+BC2＝AB2+CD2； （3）连接CG、BE， ∵∠CAG＝∠BAE＝90°，∴∠CAG+∠BAC＝∠BAE+∠BAC，即∠GAB＝∠CAE， 在△GAB和△CAE中，，∴△GAB≌△CAE（SAS）， ∴∠ABG＝∠AEC，又∠AEC+∠AME＝90°，∴∠ABG+∠BMN＝90°，即CE⊥BG， ∴四边形CGEB是垂美四边形，由（2）得，CG2+BE2＝CB2+GE2， ∵AC＝4，AB＝5，∴BC＝3，CG＝4，BE＝5， ∴GE2＝CG2+BE2﹣CB2＝73，∴GE． 【点睛】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质、垂直的定义、勾股定理的应用，正确理解垂美四边形的定义、灵活运用勾股定理是解题关键． 例7．（23-24八年级下·河北承德·期中）我们把对角线互相垂直的四边形称为“垂美四边形”，如图，已知四边形，，像这样的四边形称为“垂美四边形”． 探索证明（1）如图，设，猜想之间的关系，用等式表示出来，并说明理由．（提示：运用勾股定理说理） 变式思考（2）如图，是的中线，，垂足为O，设，请用一个等式把三者之间的数量关系表示出来： 拓展应用（3）如图，在矩形中，E为的中点，若四边形为“垂美四边形”，且求的长． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题考查了勾股定理的应用，掌握定理形式是解题关键； （1）在、、、中分别利用勾股定理列出方程即可得，即可求解；（2）由（1）可得：，结合即可求解；（3）由题意可得，结合即可求解； 【详解】解：（1）在中：；在中：； 在中：；在中：； ∴，即：， （2）由题意得：，∵，∴四边形为“垂美四边形”， 由（1）可得：，即：，整理得：， （3）由题意得：， ∵E为的中点，∴，∴， ∵四边形为“垂美四边形”，∴， ∴，解得：或（舍去） 模型2.378和578模型 378和578模型：边长为3、7、8或5、7、8的三角形（如图1）。 当我们遇到两个三角形的三边长分别为 3，7，8 和 5，7，8 的时候，通常不会对它们进行处理，实际是因为我们对于这两组数字不敏感，但如果将这两个三角形拼在一起，你将惊喜地发现这是一个边长为 8的等边三角形。 图1 图2 图3 图4 条件：当两个三角形的边长分别为3，7，8和5，7，8时； 结论：①这两个三角形的面积分别为、；②3、8与5、8夹角都是60；③将两个三角形长为7的边拼在一起，恰好组成一个边长为8的等边三角形。 证明：如图2，过点C作CM⊥AB于点M，设BM=x 则AM=3+x，∴∠CMB=90°， 在Rt∆ACM中：CM2 =AC2 - AM2，在Rt∆BCM中：CM2 =BC2 - BM2， ∴AC2 - AM2 = BC2 - BM2，即82 -（3+x）2 = 72 - x2，解得x=1，∴CM =4，∴CM =， ∴S∆ABC=AB•CM = •3•=，∵CM =4，AC=8，∠ACM=30°，∠CAM=60°。 如图3，过点F作FN⊥DE于点N，设DN=x 则NE=5-x，∴∠FND=90°， 在Rt∆DNF中：NF2 =DF2 - DN2， 在Rt∆ENF中：NF2 =EF2 - NE2， ∴DF2-DN2 =EF2-NE2，即72-x2 =82 -（5-x）2 ，解得x=1，NE=4，∴NF = ， ∴S∆DEF=•DE•NF = •5•=，∵NE =4，EF=8，∠EFN=30°，∠FEN=60°。 ∴CM =NF = ，∠CMB=∠FND=90°，∵CB =DF=7，∴Rt∆BCM ≌Rt∆DNF，∴∠CBM=∠FDN， ∵∠CBM+∠ABC=180°，∴∠FDN+∠ABC=180°，∵AC =EF =8。 ∴将两个三角形长为7的边拼在一起，恰好组成一个边长为8的等边三角形（如图4）。 例1．（2023·浙江温州·九年级校考期末）边长为5，7，8的三角形的最大角和最小角的和是（    ）． A．90° B．150° C．135° D．120° 【答案】D 【分析】法1：拼成一个边长为8的等边三角形，即可求解。法2：设△ABC的三边AB=5，AC=7，BC=8，过点A作AD⊥BC于点D，设BD=x，分别在Rt△ADB和Rt△ADC中，利用勾股定理求得AD，从而可建立方程，求得x的值，可求得∠B，因此可得最大角和最小角的和． 【详解】法1：∵△ABC的边长为5，7，8， ∴其可以和边长为3，7，8的三角形拼成一个边长为8的等边三角形， 又由三角形中大边对大角，可知边长为7 的边所对的角为 60°， 所以最大角和最小角的和是 120°.故选D. 法2：设△ABC的三边AB=5，AC=7，BC=8，过点A作AD⊥BC于点D，如图 设BD=x，则CD=8-x 在Rt△ADB中，由勾股定理得：；在Rt△ADC中，由勾股定理得： 则得方程： 解得： 即 ∵，AD⊥BC∴∠BAD=30゜∴∠ABD=90゜-∠BAD=60゜∴∠BAC+∠C=180゜-∠ABD=120゜ ∵BC>AC>AB∴∠BAC>∠ABD>∠C故最大角与最小角的和为120゜故选：D． 【点睛】本题考查了勾股定理，解一元一次方程，大角对大边等知识，关键是作最大边上的高，从而为勾股定理的使用创造了条件． 例2．（2023·江苏·八年级专题练习）已知在△ABC中，AB＝8，AC＝7，BC＝3，则∠B＝（    ）． A．45° B．37° C．60° D．90° 【答案】C 【分析】法1：拼成一个边长为8的等边三角形，即可求解。法2：过点A作 交BC延长线于点D，设CD=x，则BC=3+x，在和中，利用勾股定理求出 ，可求出CD的长，从而得到BD的长，然后利用直角三角形的性质即可求解． 【详解】法1：∵△ABC的边长为3，7，8， ∴其可以和边长为5，7，8的三角形拼成一个边长为8的等边三角形， 如图，观察图形可知∠B为等边三角形的一个内角，所以∠B=60°.故选 C. 法2：如图，过点A作 交BC延长线于点D， ∵在△ABC中，AB＝8，AC＝7，BC＝3，可设CD=x，则BC=3+x， 在 中， ，在中， ， ∴，解得： ，∴BC=3+x=4， ∴在中， ，∴ ，∴ ．故选 C． 【定睛】本题主要考查了勾股定理及直角三角形的性质，熟练掌握直角三角形中若一条直角边等于斜边的一半，则这条直角边所对的锐角等于 是解题的关键． 例3．（2023·绵阳市·八年级专题练习）如图，△ABC的边AB＝8，BC＝5，AC＝7．求BC边上的高． 解：作AD⊥BC于D， 由勾股定理得，AD2＝AB2﹣BD2，AD2＝AC2﹣CD2， ∴AB2﹣BD2＝AC2﹣CD2，即82﹣（5﹣CD）2＝72﹣CD2，解得，CD＝1， 则BC边上的高AD＝＝4． 另解：可以和三边长为 3，7，8 的三角形拼成一个边长为8的等边三角形，从而求解。 例4．（2023八年级上·江苏·专题练习）已知在中，，，，则的面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，在和中根据勾股定理表示出和，列出方程求出，代入求出的值，再根据三角形的面积公式求出面积即可． 【详解】解：如图，过作，垂足为．设，则，      ∵在和中，， ，解得，． ．故选：C． 另解：可以和三边长为 3，7，8 的三角形拼成一个边长为8的等边三角形，从而求解。 【点睛】本题考查了勾股定理以及三角形的面积公式，熟练掌握利用勾股定理表示相应线段之间的关系是解题的关键． 例5．（23-24九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）在中，，，，则的长为 ． 【答案】5或3 【分析】分当是锐角三角形时，当是钝角三角形时两种情况，过点A作于D，利用含30度角的直角三角形的性质和勾股定理分别求出的长即可得到答案． 【详解】解：如图所示，当是锐角三角形时，过点A作于D， ∵，∴，∴，∴， ∴，∴；       如图所示，当是钝角三角形时，过点A作于D， ∵，∴，∴， ∴，∴，∴； 综上所述，的长为5或3，故答案为：5或3． 【点睛】本题考查了勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． 1．（2023·成都市·八年级专题练习）在△ABC中，AB＝16，AC＝14，BC＝6，则△ABC的面积为（    ） A．24 B．56 C．48 D．112 【答案】A 【分析】如图，过作于，设，则，根据中，利用勾股定理建立方程，求得，继而用勾股定理求得，从而求得面积． 【详解】法1：∵该三角形的三边长的比为 3∶7∶8， ∴其可以和三边长的比为 5∶7∶8 的三角形（即边长为 10，14，16）拼成一个边长为 16 的等边三角形， ∴拼成的等边三角形的高为 8，∴△ABC 的面积为×6×8=24. 法2：如图，过作于，设，则， 在中 解得 故选A 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，添加辅助线构造直角三角形是解题的关键． 2．（2023春·成都市八年级课时练习）对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形ABCD，点E为对角线BD上任意一点，连接AE、CE． 若AB=5，BC=3，则AE2-CE2等于(    ) A．7 B．9 C．16 D．25 【答案】C 【分析】连接AC，与BD交于点O，根据题意可得，在与中，利用勾股定理可得，在与中，继续利用勾股定理可得，求解即可得． 【详解】解：如图所示：连接AC，与BD交于点O， ∵对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，∴， 在中，，在中，，∴， 在中，，在中，， ∴，∴， 故选：C． 【点睛】题目主要考查勾股定理的应用，理解题意，熟练运用勾股定理是解题关键． 3．（23-24八年级下·重庆渝北·期中）如图，已知正方形ABCD的边长为4，点P是对角线BD上一点，PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F，连接AP，EF．给出下列结论：①AP＝EF且AP⊥EF；②∠PFE＝∠BAP；③△ADP一定是等腰三角形；④四边形PECF的周长为；⑤EF的最小值为；⑥ PB2＋PD2＝2PA2．其中正确结论的个数是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】①连接PC，延长FP，交AB于点G，根据PE⊥BC， PF⊥CD，正方形ABCD中∠BCD=90°，推出四边形PECF是矩形，得到PC=EF，根据正方形的对称性，得到AP=PC，推出AP=EF；根据PE⊥PG，PF⊥AG，得到AP⊥EF；①正确；②根据PC=EF，PE=EP，推出Rt△PCE≌Rt△EFP，得到∠PFE=∠ECP，根据∠BAP=∠BCP，得到∠BAP=∠PFE；②正确；③根据∠ADP=45°，得到∠DAP+∠DPA=135°，根据∠DAP＜∠DAB=90°，∠DPA＞∠DBA=45°，推出只有当∠DAP=∠DPA=67.5°时，或∠PAD=∠PDA=45°时，△ADP才是等腰三角形，除此之外都不是等腰三角形；③不正确；④根据∠BDC=∠DBC=45°，∠DFP=∠PEB=90°，推出∠BPE=45°，∠DPF=45°，得到BE=PE，DF=PF，推出PE+EC+PF+CF=(BE+EC)+(DF+CF)=BC+CD=4+4=8；④不正确；⑤连接AC，设AC与BD交点为O，得到AC⊥BD，AP≥AO，根据，得到，推出，得到，推出EF的最小值为；⑤正确；⑥根据，PE=BE，PF=DF，得到，得到；⑥正确． 【详解】①连接PC，延长FP交AB于点G， ∵PE⊥BC， PF⊥CD，∴∠PEC=∠PFC=90°， ∵正方形ABCD中，∠BCD=90°，∴∠EPF=90°，  ∴四边形PECF是矩形，∴PC=EF， 由正方形的对称性知，AP=PC，∴AP=EF；∵AB∥CD，∴PF⊥AB， ∵△APG和△FEP中，PE⊥PG，PF⊥AG，∴AP⊥EF；∴正确； ②∵PC=EF，PE=EP，∴Rt△PCE≌Rt△EFP(HL)，∴∠PFE=∠ECP， ∵∠BAP=∠BCP，∴∠BAP=∠PFE；  ∴正确； ③∵∠ADP=45°，∴∠DAP+∠DPA=135°，∵∠DAP＜∠DAB=90°，∠DPA＞∠DBA=45°， ∴只有当∠DAP=∠DPA=67.5°时，或∠PAD=∠PDA=45°时，△ADP才是等腰三角形，除此之外都不是等腰三角形；∴不正确； ④∵∠BDC=∠DBC=45°，∠DFP=∠PEB=90°，∴∠BPE=90-∠PBE=45°，∠DPF=90-∠PDF=45°， ∴BE=PE，DF=PF，∴PE+EC+PF+CF=(BE+EC)+(DF+CF)=BC+CD=4+4=8；∴不正确； ⑤连接AC，设AC与BD交点为O，则AC⊥BD，∴AP≥AO， ∵，∴，∴，∴，∴EF的最小值为；∴正确； ⑥ ∵，PE=BE，PF=DF， ∴，    即；∴正确．故选：B． 【点睛】本题主要考查了正方形，矩形，全等三角形，轴对称，等腰三角形，勾股定理，解决问题的关键是熟练掌握正方形性质，矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，轴对称性质，等腰三角形判定和性质，勾股定理解直角三角形． 4．（2024·天津和平·二模）如图，四边形的两条对角线，相交于点，点在线段上，且，若．有下列结论：①的取值范围是；②的长有两个不同的值满足四边形的面积为12；③四边形面积最大值为．其中，正确结论的个数有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【分析】本题主要考查了三角形的三边关系，解一元二次方程，二次函数的性质等知识点，利用三角形的三边关系可判定①，先表示出，再利用二次函数的性质可判定③，解的方程，可判定②，进而可得答案，熟练掌握其性质是解决此题的关键． 【详解】∵ 在中，，∴，∴， 当时，，此时是直角三角形且点C在线段上，不符合题目是四边形，∴或，故①错误，不符合题意； ∵，∴， ∵，∴，∴， ∴当时，四边形面积有最大值为，故③正确，符合题意； 当时，解方程得：或， ∵当时，不符合题目是四边形， ∴的长有1个值满足四边形的面积为12，故②错误，不符合题意；故选：B． 5．（23-24九年级上·广东梅州·期中）四边形的对角线互相垂直且长分别为8和12，则面积为 ． 【答案】48 【分析】 本题考查四边形面积问题，画出图形，四边形，于，，，利用三角形面积公式可得，从而可以得到答案．解题的关键是掌握“对角线互相垂直的四边形，面积等于对角线乘积的一半”． 【详解】解：四边形，于，，，如图： ∵，∴，， ∴， ∵，，∴．故答案为：48． 6．（23-24八年级下·广东·课后作业）如图，四边形ABCD的对角线AC与BD互相垂直，若AB＝3，BC＝4，CD＝5，则AD的长为 ． 【答案】3 【分析】在Rt△AOB、Rt△DOC中分别表示出、，从而在Rt△ADO中利用勾股定理即可得出AD的长度． 【详解】在Rt△AOB中,= −；Rt△DOC中可得：=−； ∴=+= –+−= –+= –=18， 即可得AD==3.故答案为3. 【点睛】本题考查勾股定理. 7、当两个三角形的边长分别为3，7，8和5，7，8时，则这两个三角形的面积之和是 　 　． 解：∵边长为3，7，8的三角形，可以和边长为5，7，8的三角形拼成一个边长为8的等边三角形， 如图，∴拼成的等边三角形的高为 4，∴这两个三角形的面积之和为×8×4=16. 8．（22-23八年级上·福建宁德·阶段练习）对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线，交于点O．若，，则 ． 【答案】29 【分析】先利用勾股定理求出，，可得，然后由，得出答案． 【详解】解：由题意知，∴， 根据勾股定理得，，， ∴， 根据勾股定理得，，，∴，故答案为：29． 【点睛】本题考查勾股定理的应用，从题中抽象出勾股定理这一数学模型是解题关键． 9．（23-24八年级下·广东广州·期末）已知三角形一边上的中线，与三角形三边有如下数量关系：三角形两边的平方和等于第三边一半的平方与第三边中线平方之和的2倍．即：如图，在中，是边上的中线，则有．请运用上述结论，解答下面问题．如图，点为矩形外部一点，已知，若，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的性质，三角形的三边关系，勾股定理，理解新定义，并运用是本题的关键．连接交于O，连接，由矩形的性质可得，，由三角形中线与三角形三边关系，可求的长，由三角形的三边关系可以求出，即，再根据当点P在矩形的边上时，求出，然后根据点P在矩形外部，求出即可． 【详解】解：如图，连接交于O，连接， ∵四边形是矩形，∴，， ∵是的中线，也是的中线，∴，， ∴，∴，∴， 在中，，∴， 当点P在矩形的边上时，如图所示： ∵在矩形中，，，，∴， ∵，∴， ∵点P在矩形外，，∴．故答案为：． 10．（23-24九年级上·山东青岛·期中）如图，已知是矩形的内的一点．求证：． 【答案】证明见解析. 【分析】过点P作EF⊥AD交AD于点E，BC于点F；过点P作GH⊥AB交AB于点G，CD于点H，则，，．根据勾股定理可得．由此即可证得结论. 【详解】证明：过点作交于点，于点；过点作交于点，于点． 则四边形ABFE、四边形CHPF、四边形HPED为矩形，∴，，． ∴，故：． 【点睛】本题主要考查矩形的性质和勾股定理，正确作出辅助线，熟练利用勾股定理是解决本题的关键． 11．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期中）我们定义对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形． 如图点E是四边形ABCD内一点，已知BE＝EC，AE＝ED，∠BEC＝∠AED＝90°，对角线AC与BD交于O点，BD与EC交于点F，AC与ED交于点G．（1）求证：四边形ABCD是垂美四边形； （2）猜想四边形ABCD两组对边AB、CD与BC、AD之间的数量关系并说明理由； （3）若BE＝3，AE＝4，AB＝6，则CD的长为　 　． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3） 【分析】（1）先证明可得再证明从而可得结论； （2）由 结合勾股定理可得： 从而可得结论； （3）利用已知条件结合勾股定理分别求解再利用（2）中的结论解题即可. 【详解】解：（1） ∠BEC＝∠AED＝90°， BE＝EC，AE＝ED， 四边形是垂美四边形. （2）猜想：理由如下： 同理可得： （3） （负根舍去）故答案为： 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，平方根的含义，理解题意，熟练运用以上知识解题是关键. 12．（23-24九年级上·山东青岛·单元测试）已知矩形和点，当点在上任一位置（如图所示）时，易证得结论：，请你探究：当点分别在图、图中的位置时，、、和又有怎样的数量关系请你写出对上述两种情况的探究结论，并利用图证明你的结论． 答：对图的探究结论为________； 对图的探究结论为________；                      【答案】 【分析】结论均是：．如图2，过点P作MN∥AB，交AD于点M，交BC于点N，可得四边形ABNM和四边形NCDM均为矩形，根据（1）中的结论可得，在矩形ABNM中有PA2+PN2=PB2+PM2①，在矩形NCDM中有PC2+PM2=PD2+PN2②， 利用①+②即可证得结论；如图3，过点P作MN∥AB，交AB的延长线于点M，交CD的延长线于点N，用上面的方法解决即可. 【详解】结论均是：． （1）如图2，过点P作MN∥AB，交AD于点M，交BC于点N， ∴四边形ABNM和四边形NCDM均为矩形， 根据（1）中的结论可得， 在矩形ABNM中可得：PA2+PN2=PB2+PM2①， 在矩形NCDM中可得：PC2+PM2=PD2+PN2②， ①+②得：PA2+PN2+PC2+PM2=PB2+PM2+PD2+PN2， ∴PA2+PC2=PB2+PD2． （2）如图3，过点P作MN∥AB，交AB的延长线于点M，交CD的延长线于点N， ∴四边形BCNM和四边形ADNM均为矩形， 同样根据（1）中的结论可得， 在矩形BCNM中可得：PC2+PM2=PB2+PN2①， 在矩形ADNM中可得：PA2+PN2=PD2+PM2②， ①+②得：PA2+PN2+PC2+PM2=PD2+PM2+PB2+PN2， ∴PA2+PC2=PB2+PD2． 故答案为 ； . 【点睛】本题主要考查了矩形的性质及勾股定理，根据题意得到矩形所在平面内任一点到其两对角线端点的距离的平方和相等的证明方法是解决本题的关键． 13．（2024·山西晋城·三模）请阅读列材料，并完成相应的任务： 三角形中线定理 三角形中线定理又称阿波罗尼奥斯定理，是一种平面几何的定理之一，指三角形三边和中线长度关系． 阿波罗尼奥斯（约公元前262-190年），古希腊数学家，与欧几里得、阿基米德合称为古希腊亚历山大前期的三大数学家． 中线定理：三角形两边的平方和等于第三边的一半与第三边上的中线的平方和的两倍．如图1，在中，点D为BC的中点，根据“阿波罗尼奥斯”，可得．下面是该定理的证明过程（部分）： 证明：过点A作于点E，如图2，在中，， 同理可得：，， 证明的方便，不妨设，， … 任务： (1)按照上面的证明思路，完成该定理证明的剩余部分； (2)如图3，在中，点为的中点，，，，则的长为______； (3)如图4，已知平行四边形中，和相交于点，设，，请直接用含，的代数式表示的值； 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】本题考查了直径所对的圆周角是直角，勾股定理，平行四边形的性质，矩形的性质； （1）用线段的和差关系以及等量代换即可证明． （2）直接利用阿波罗尼奥斯定理，即可求解． （3）根据平行四边形的性质以及阿波罗尼奥斯定理，即可求解； （4）根据题意得出是矩形，进而根据阿波罗尼奥斯定理，即可求解． 【详解】（1）解： ． （2）解：∵在中，点为的中点，，，， ∴， 根据“阿波罗尼奥斯”，可得 ∴ 解得：； （3）∵四边形是平行四边形， ∴ ∵，， ∴ 在中，是中线， 根据“阿波罗尼奥斯”，可得 ∴ ∴； 14．（23-24八年级下·安徽芜湖·阶段练习）如图甲，我们把对角线相互垂直的四边形叫做垂美四边形． （1）【性质探究】小美同学猜想“垂美四边形两组对边的平方和相等”，即，如图甲，在四边形中，若，则．请判断小美同学的猜想是否正确，并说明理由． （2）【问题解决】如图乙，在中，，，D，E分别是，的中点，连接，，有，求． 【答案】（1）猜想正确，理由见解析；（2） 【分析】本题考查四边形中新定义的问题，熟练掌握勾股定理与几何问题的结全是解题的关键， （1）利用垂美四边形的定义可得到，再根据勾股定理即可得到答案； （2）结合垂美四边形的结论，代入即可得到答案． 【详解】解：（1）猜想正确，理由如下： ∵四边形中，，∴， ∴，，，， ∴，， ∴； （2）∵，，D、E分别是、的中点， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴． 15．（23-24八年级下·河南信阳·期末）如图，我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形． (1)概念理解：如图，在四边形中，，问四边形是垂美四边形吗？请说明理由． (2)性质探究：试探索垂美四边形两组对边，与，之间的数量关系． 猜想结论：（要求用文字语言叙述） 写出证明过程（先画出图形，写出已知、求证）． (3)问题解决：如图，分别以的直角边和斜边为边向外作正方形和正方形，连接，，已知，，求长． 【答案】(1)四边形是垂美四边形，理由见解析； (2)垂美四边形的两组对边的平方和相等，证明过程见解析； (3)． 【分析】本题考查的是正方形的性质、全等三角形的判定和性质、垂直的定义、勾股定理的应用，正确理解垂美四边形的定义、灵活运用勾股定理是解题的关键． （1）根据垂直平分线的判定定理可得直线是线段的垂直平分线，结论得证； （2）根据垂直的定义可得，由勾股定理得，进而得到答案； （3）根据垂美四边形的性质、勾股定理、结合（2）的结论计算． 【详解】（1）解：四边形是垂美四边形． 证明：如图连接，交于点， ∵， ∴点在线段的垂直平分线上， ∵， ∴点在线段的垂直平分线上， ∴直线是线段的垂直平分线， ∴，即四边形是垂美四边形． （2）猜想结论：垂美四边形的两组对边的平方和相等． 如图2，已知四边形中，垂足为， 求证： 证明：∵， ∴， 由勾股定理得，， ， ∴． （3）连接、，如图： ∵， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴，又， ∴，即， ∴四边形是垂美四边形， 由（2）得，， 在中，，，根据勾股定理可得：， ∵和分别是正方形和的对角线， ∴，， ∴， ∴． 16．（2023八年级上·江苏·专题练习）已知对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线交于点O． (1)若，，，则 ；(2)若，，则 ； (3)若，，，，则m，n，c，d之间的数量关系是 ． 【答案】(1)(2)7(3) 【分析】本题主要考查了勾股定理：（1）利用勾股定理即先求出的长，再利用勾股定理可求出的长． （2）利用勾股定理，进行等量代换，可以得到，据此可得答案． （3）由（2）得求解过程可以得到，进行替换即可． 【详解】（1）解：，，， ；故答案为：； （2）解：，， ，，，，， ，，．故答案为：． （3）解：由（2）得：， ．故答案为：． 17．（2022·山东济宁·统考一模）我们给出如下定义：若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称这个四边形为勾股四边形，这两条相邻的边称为这个四边形的勾股边． (1)写出你所学过的特殊四边形中是勾股四边形的两种图形的名称________，________． (2)如图（1），已知格点（小正方形的顶点），，，请你直接写出一个以格点为顶点，，为勾股边且对角线相等的勾股四边形的顶点M的坐标为________； (3)如图（2），将绕顶点B按顺时针方向旋转60°，得到，连接，，．求证：，即四边形是勾股四边形； (4)若将图（2）中绕顶点B按顺时针方向旋转a度，得到，连接，，则________°，四边形是勾股四边形． 【答案】(1)矩形；正方形(2)（3，4）或（4，3）(3)见解析(4) 【分析】（1）根据勾股四边形的定义，可知矩形和正方形都是勾股四边形； （2）如图（1）中，以OA、OB为勾股边且有对角线相等的勾股四边形OAMB的顶点M的坐标为（3，4）或（4，3）；（3）如图（2），连接CE，只要证明△DCE是直角三角形即可解决问题；（4）如图（3），当°，四边形ABCD是勾股四边形．连接CE，只要证明△DCE是直角三角形即可解决问题． 【详解】（1）解：∵矩形和正方形的四个角都是直角， ∴相邻两边的平方和等于对角线的平方，∴矩形、正方形都是勾股四边形；故答案为矩形、正方形； （2）解：如图（1）所示， ∴M的坐标为：（3，4）或（4，3）；故答案为（3，4）或（4，3）； （3）证明：如图（2），连接CE，由旋转得：≌，∴，， ∵，∴是等边三角形，∴，， ∵，∴， ∴，∴，∴四边形是勾股四边形； （4）解：如图（3），°，四边形是勾股四边形． 理由如下：连接CE，由旋转得：≌，∴，， ∵，∴， ∴， ∴，∴，∴四边形是勾股四边形；故答案为． 【点睛】本题属于四边形的综合题，主要考查了勾股定理、等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，正确寻找全等三角形解决问题，属于中考压轴题． 18．（24-25九年级上·广东深圳·开学考试）垂美四边形定义如下：对角线互相垂直的四边形叫做“垂美四边形”． (1)如图1，四边形是“垂美四边形”，猜想与之间的数量关系：______，并说明理由． (2)如图2，分别以的直角边和斜边为边向外作正方形和正方形，连接，若，求的长． (3)如图3，在中，，点P是外一点，连接，，已知，若以A、B、C、P为顶点的四边形为垂美四边形，请直接写出的长． 【答案】(1)，理由见详解 (2) (3)或 【分析】本题考查了勾股定理的应用，全等三角形的判定与性质，正方形的性质，熟练掌握知识点，正确添加辅助线是解题的关键． （1）分别对运用勾股定理，再根据等式的性质即可求证； （2）先证明，得到四边形为“垂美四边形”，则，再运用勾股定理求得，，代入即可求解； （3）①当时，对中，由勾股定理求得，，过点P作延长线的垂线，垂足为点D，可证明，则，，在中，由勾股定理得；②当时，同上． 【详解】（1）解：数量关系为： 记交于点O， ∵， ∴在中， 由勾股定理得：， ∴， 同理可得：， ∴； （2）解：如图， ∵四边形是正方形，为直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形为“垂美四边形”， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴， 同理可求, ∴， 解得：； （3）解：①当时， 则， 在中，， ∴由勾股定理得， ∴， 解得：（舍负）， ∴， 过点P作延长线的垂线，垂足为点D， 由题意得，， ∴， ∴， 而， ∴， ∴， ∴， ∴在中，由勾股定理得， ②当时， 同上可求此时， 过点P作于点D， 同上可证：，∴，∴， ∴在中，由勾股定理求得， 综上：或． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$