专题22 等腰（等边）三角形中重要模型之维维尼亚模型-2024-2025学年八年级数学上册常见几何模型全归纳之模型解读与提分精练（浙教版）

专题22 等腰（等边）三角形中重要模型之维维尼亚模型 维维亚尼定理（Viviani's theorem）：在等边三角形内任意一点P到三边的垂直距离之和，等于该等边三角形的高。这个定理可一般化为：等角多边形内任意一点P跟各边的垂直距离之和，是不变的，跟该点的位置无关。它以温琴佐·维维亚尼命名。 而今天我们要学习的维维亚尼模型就是维维亚尼定理及其拓展，它的证明主要利用了等面积法，消去相等底边后得到高之间的关系，因此等腰三角形的维维亚尼模型动点只能在底边所在直线上运动，此时连接点和底边所对顶点，能江原图分割成两个底相等的三角形。 2 模型1.等边三角形中维维尼亚模型 2 模型2.等腰三角形中维维尼亚模型 21 47 模型1.等边三角形中维维尼亚模型 条件：在等边中，P是平面上一动点，过点P作PE⊥AC，PF⊥BC，PD⊥AB，过点A作AM⊥BC。 结论：①如图1，若动点P在三角形ABC内时，则PD+PE+PF=AM； ②如图2，若动点P在三角形ABC外时，则PD+PE-PF=AM。 （当点P在三角形ABC外时，受P的位置影响，不同的位置结论稍有不同，但都可以使用等面积法证明）。    图1 图2 证明：①如图1，连结AP，BP，CP。∵是等边三角形，∴AB=BC=AC， 则， ∵； ∴PD+PE+PF=AM。 ②如图3，连结AP，BP，CP。∵是等边三角形，∴AB=BC=CA， 则， ∵； ∴PD+PE-PF=AM。 例1．（23-24八年级·浙江·期中）如图，等边三角形ABC内有一点P，过点P向三边作垂线，垂足分别为S、Q、R，且，，，则的面积等于（    ）    A． B． C． D． 例2．（2024八年级·广东·培优）如图，点P为等边外一点，设点P到三边的距离，且，则的面积等于（    ）    A． B． C． D． 例3．（23-24八年级上·浙江宁波·期中）如图，P是等边三角形ABC内一点，且PA=4，，PC=2，以下四个结论：①∠BPC=150°；②∠APC=120°；③；④点P到△ABC三边的距离分别为PE，PF，PG，则，其中正确的有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 例4．（23-24浙江八年级期中）数学中常常利用面积相等来证明其他的线段相等，这种方法被称为“面积法”．已知等边，点是平面上任意一点，设点到边、边的距离分别为、，的边上的高为．回答以下问题：    (1)如图（1），若点在三角形的边上，、、存在怎样的数量关系？请给出证明过程． (2)如图（2），当点在内，已知，求的值． (3)如图（3），当点在外，请直接写出与、、的数量关系，不用证明． 模型2.等腰三角形中维维尼亚模型 条件：如图，等腰（AB=AC）中，点P在BC上运动，过点P作PD⊥AB，PH⊥AC，CE⊥AB， 结论：①如图1，若动点P在边BC上时，则PE+PD=CF。 ②如图2，若动点P在BC延长线上时，则|PF-PE|=CD。 图1 图2 证明：①如图1，连结AP；∵是等边三角形，∴AB=AC， 则，∵； ∴PE+PD=CF。 ①如图2，连结AP；∵是等边三角形，∴AB=AC， 则，∵； ∴PF-PE=CD。 例1．（23-24八年级上·广东广州·期中）如图，是等腰三角形，点O是底边上任意一点，、分别与两边垂直，等腰三角形的腰长为8，面积为20，则的值为（    ）    A．5 B．7.5 C．9 D．10 例2．（23-24八年级下·浙江杭州·期中）如图，将矩形沿折叠，使点D部在点B处，点C落在点处．P为折痕上的任意一点，过点P作，垂足分别为G，H．若，则 ． 例3．（23-24八年级上·广西南宁·期中）数学课上，老师画出一等腰并标注：，，然后让同学们提出有效问题并解决．请你结合同学们提出的问题给予解答．    (1)甲同学提出：如图1，过点C作于点H，可求出___________； (2)乙同学提出：的面积为：___________； (3)丙同学提出：如图2点D为边的中点，，，垂足为E、F，请求出的值； (4)丁同学说受丙同学启发，如图3点D为边上任一点，，，，垂足为E、F、H，则有．请你为丁同学说明理由． 例4．（23-24八年级上·江苏镇江·阶段练习）如图①．中，，为底边上一点，，，，垂足分别为、、.易证.证明过程如下： 如图①，连接.∵，，， ∴，， 又∵，∴ ∵，∴． 如图②，为延长线上的点时，其它条件不变，、、又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并加以证明． 例5．（23-24九年级下·江西九江·阶段练习）新定义题型构思巧妙，立意新颖，重在考查学生的学习能力，实践能力及创新精神，让我们试试吧：我们定义：有一组邻角相等的凸四边形叫作“等邻角四边形”． (1)定义理解：如图①，已知四边形为等邻角四边形，且，求的度数．    (2)定义运用：如图②，在五边形中，，对角线平分，求证：四边形为等邻角四边形；(3)定义拓展：如图③，在等邻角四边形中，，点为边边上的一动点，过点作，垂足分别为，试猜想，在点的运动过程中，的值是否会发生改变，并说明理由． 1．（23-24八年级上·浙江温州·期中）如图，在等腰中，是内一点，过点作三边，的垂线段， 垂足分别为，若，则两点间距离是（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 2．（23-24八年级上·浙江宁波·期末）如图，在等腰△中，，，是△外一点，到三边的垂线段分别为，，，且，则的长度为（    ） A．5 B．6 C． D． 3．（23-24八年级上·重庆江津·期末）如图，ABC是等腰三角形，点O 是底边BC上任意一点，OE、OF分别与两边垂直，等腰三角形ABC的腰长为5，面积为12，则OE+OF的值为 A．4 B． C．15 D．8 4．（23-24九年级上·贵州六盘水·期末）如图，在矩形中，，，点是边上一点，连接，且，若点P是对角线上不与和重合的一个动点，过点P分别作和的垂线，垂足为，则的长为（    ） A． B． C． D． 5．（23-24八年级上·浙江杭州·期中）如图，P是等边三角形ABC内一点，且PA=4，PB=2，PC=2，以下3个结论：①∠BPC=120°；②∠APC=120°；③S△ABC=14；④AB=；⑤若点P到ΔABC三边的距离分别为PE，PF，PG，则有PE+PF+PG=AB，其中正确的有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 6．（2024八年级·广东·培优）如图所示，已知，分别是与的平分线，点D是的中点，若点D到两边的距离均为6，则点D到边的距离为 ． 7．（23-24八年级下·浙江杭州·开学考试）如图，△ABC是等边三角形，点D是BC边上任意一点，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F．若BC=2，则DE+DF= . 8．（23-24八年级下·浙江杭州·期中）如图，将矩形沿折叠，使点D部在点B处，点C落在点处，P为折痕上的任意一点，过点P作，，垂足分别为G，H．若，，则（1） ；（2）则 ． 9．（23-24八年级上·河南商丘·期中）如图，已知等边三角形ABC的高为7cm，P为△ABC内一点，PD⊥AB于点D，PE⊥AC于点E，PF⊥BC于点F．则PD+PE+PF＝ ． 10．（2023·江苏扬州·二模）如图，已知等腰Rt△ABC的直角边长AB=+1，点P是△ABC内的一个动点，过点P分别作PD，PE，PF分别与边AB，AC，BC垂直，垂足分别为D，E，F，且PD+PE=PF，则点P运动路径的长是 ． 11．（23-24八年级下·江苏无锡·期中）如图，在等腰△ABC内找一点P，向两腰AB、AC作垂线，垂足分别为D、E，向底边BC作垂线，垂足为F，若PD＋PE＝PF．用直尺和圆规作出所有适合条件的点P．（保留作图痕迹） 12．（2024八年级·广东·培优）如图，过内一点作三边的垂线，垂足分别为、、，已知，，，，求． 13．（2024八年级·重庆·专题练习）如图所示，为边长为12的等边内一点，于于于，（1）试问之间有何数量关系？（2）如果点在外，如图所示，其它条件不变，之间又有何数量关系？ 14．（23-24八年级·山东青岛·期末）特例研究：如图，等边的边长为8，求等边的高． 经验提升：如图，在中，，点P为射线BC上的任一点，过点P作，，垂足分别为D、E，过点C作，垂足为补全图形，判断线段PD，PE，CF的数量关系，并说明理由．综合应用：如图，在平面直角坐标系中有两条直线：，：，若线段BC上有一点M到的距离是1，请运用中的结论求出点M的坐标． 15．（23-24八年级上·河南南阳·期末）我们把“同一图形的面积，用两种不同的方法求 出的结果相等，从而构建等式，根据等式解决相关问题”的方法称为“面积法”． (1)通过如图①中图形的面积关系，直接写出一个多项式进行因式分解的等式：______； (2)“面积法”还可以作为几何证明的工具，当两个全等的直角三角形摆放成如图②所示时，其中，借助图中辅助线用两种不同方法表示四边形的面积，易得：______；______，构建等式整理可得：； (3)如图③，在中，，，P为边上的任一点，过点P作，，垂足分别为M、N，连接，利用“面积法”求的值． 16．（23-24八年级下·广东深圳·期末）【问题背景】某“数学学习兴趣小组”在学习了“等腰三角形的性质”和“平行四边形的性质和判定”后，在习题中发现了这样一个问题：如图1，在等腰中，，点D、E分别是边上的点，点P是底边上的点，且，过点B作于点F，请写出线段、、之间满足的数量关系式． 同学们经过交流讨论，得到了如下两种解决思路： 解决思路1：如图2，过点P作于点G； 解决思路2：如图3，过点B作，交的延长线于点H； (1)上述两种解决思路都可以证明一组三角形全等，判定一个四边形为平行四边形，从而可证得线段之间满足的数量关系式为______________． 【类比探究】(2)如图4，在等腰中，，点D、E分别是边上的点，点P是底边上的点，且，过点B作交于点F，请写出线段之间满足的数量关系式，并说明理由． 【拓展应用】(3)如图5，在与中，，，点A、B、P在同一条直线上，若，，则______________． 17．（2023·江西上饶·一模）我们给出如下定义：有一组邻角相等的凸四边形叫做“等邻角四边形”．例如：如图，，则四边形为等邻角四边形． (1)定义理解：以下平面图形中，是等邻角四边形的是 ． ①平行四边形    ②长方形    ③正方形    ④等腰梯形 (2)如图，在四边形中，，的垂直平分线恰好交于边上一点P，连结，，且，求证：四边形为等邻角四边形．(3)如图，在等邻角四边形中，，，点P为边上的一动点，过点P作，，垂足分别为M，N．在点P的运动过程中，猜想，，之间的数量关系？并请说明理由． 18．（23-24泰州八年级上期中）从特殊出发：如图1，在ABC中，AB=AC，点P为边BC上的任意一点，过点P作PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分别为D、E，过点C作CF⊥AB，垂足为F，求证：PD+PE=CF．小明的证明思路：如图2，连接AP，由ABP与ACP面积之和等于ABC的面积可以证得PD+PE=CF（不需写出证明过程）． 变化一下：（1）如图3，当点P在BC的延长线上时，其余条件不变，请运用上述解答中所积累的经验和方法，猜想PD、PE和CF的关系，并证明． 从几何到函数：如图4，在平面直角坐标系中有两条直线l1、l2，分别是函数和的图像，l1、l2与x轴的交点分别为A、B． （2）两条直线恰好相交于y轴上的点C，点C的坐标是 ；（3）说明ABC是等腰三角形； （4）若l2上的一点M到l1的距离是1，运用上面的结论，求点M的坐标． 19．（23-24河北石家庄八年级上期中）【解决问题】如图1，在中，，于点．点是边上任意一点，过点作，，垂足分别为点，点． （1）若，，则的面积是______，______． （2）猜想线段，，的数量关系，并说明理由． （3）【变式探究】如图2，在中，若，点是内任意一点，且，，，垂足分别为点，点，点，求的值． （4）【拓展延伸】如图3，将长方形沿折叠，使点落在点上，点落在点处，点为折痕上的任意一点，过点作，，垂足分别为点，点．若，，直接写出的值． 20．（23-24八年级上·山西吕梁·期中）综合探究:探索等腰三角形中相等的线段 问题情境：数学活动课上，老师提出了一个问题：等腰三角形底边中点到两腰的距离相等吗？同学们就这个问题展开探究． 问题初探：（1）希望小组的同学们根据题意画出了相应的图形，如图1．在△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为点E，F．经过合作，该小组的同学得出的结论是DE=DF．并且展示了他们的证法如下： 证明：如图1，∵DE⊥AB，DF⊥AC∴∠DEB=∠DFC=90° ∵AB=AC∴∠B=∠C（依据1） ∵D是BC的中点∴BD=CD 在△BDE和△CDF中∴△BDE≌△CDF（依据2）∴DE=DF ①请写出依据1和依据2的内容依据1： ． 依据2： ． ②请你应用图2写出一种不同于希望小组的证法． 问题再探：（2）未来小组的同学经过探究又有新的发现，如果在等腰三角形ABC中，作腰AB上的高CG，如图3．则CG与DE有确定的数量关系．请你直接写出这个数量关系为 ． 类比探究：（3）奋斗小组的同学认真研究过后，发现了以下两个正确结论：①在图4中，若DE，DF分别为△ABD和△ACD的中线，那么DE=DF仍然成立；②在图5中，若DE，DF分别为△ABD和△ACD的角平分线，那么DE=DF仍然成立．请你选择其中一个结论，写出证明过程． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题22 等腰（等边）三角形中重要模型之维维尼亚模型 维维亚尼定理（Viviani's theorem）：在等边三角形内任意一点P到三边的垂直距离之和，等于该等边三角形的高。这个定理可一般化为：等角多边形内任意一点P跟各边的垂直距离之和，是不变的，跟该点的位置无关。它以温琴佐·维维亚尼命名。 而今天我们要学习的维维亚尼模型就是维维亚尼定理及其拓展，它的证明主要利用了等面积法，消去相等底边后得到高之间的关系，因此等腰三角形的维维亚尼模型动点只能在底边所在直线上运动，此时连接点和底边所对顶点，能江原图分割成两个底相等的三角形。 2 模型1.等边三角形中维维尼亚模型 2 模型2.等腰三角形中维维尼亚模型 21 47 模型1.等边三角形中维维尼亚模型 条件：在等边中，P是平面上一动点，过点P作PE⊥AC，PF⊥BC，PD⊥AB，过点A作AM⊥BC。 结论：①如图1，若动点P在三角形ABC内时，则PD+PE+PF=AM； ②如图2，若动点P在三角形ABC外时，则PD+PE-PF=AM。 （当点P在三角形ABC外时，受P的位置影响，不同的位置结论稍有不同，但都可以使用等面积法证明）。    图1 图2 证明：①如图1，连结AP，BP，CP。∵是等边三角形，∴AB=BC=AC， 则， ∵； ∴PD+PE+PF=AM。 ②如图3，连结AP，BP，CP。∵是等边三角形，∴AB=BC=CA， 则， ∵； ∴PD+PE-PF=AM。 例1．（23-24八年级·浙江·期中）如图，等边三角形ABC内有一点P，过点P向三边作垂线，垂足分别为S、Q、R，且，，，则的面积等于（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据三角形面积的不同计算方法可以求得PQ+PS+PR=AD，根据AD的值即可求得BC的值，根据BC、AD的值即可计算出等边△ABC的面积． 【详解】连接AP、BP、CP，过点A作AD⊥BC于D，等边三角形面积S=BC（PQ+PS+PR）=BCAD， ∴AD=6+8+10=24，∵∠ABC=60°，∠ADC=90°，∴AB==16， ∴△ABC的面积S=BCAD=×24×16=192，故选：B．    【点睛】本题考查了等边三角形面积的计算，考查了等边三角形高线与边的关系，特殊角的三角函数值的应用，本题中求证PQ+PS+PR=AD是解题的关键． 例2．（2024八年级·广东·培优）如图，点P为等边外一点，设点P到三边的距离，且，则的面积等于（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查等边三角形的性质，连接、、，过B作于点G，根据面积相等得出，求出，得出，即可求出面积． 【详解】解：如图，连接、、，过B作于点G，    ∵，， ，，∴， ∴．故选：C 例3．（23-24八年级上·浙江宁波·期中）如图，P是等边三角形ABC内一点，且PA=4，，PC=2，以下四个结论：①∠BPC=150°；②∠APC=120°；③；④点P到△ABC三边的距离分别为PE，PF，PG，则，其中正确的有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】将△BPC绕点B逆时针旋转60°到△BDA，得到△BDP是等边三角形，根据，得到直角三角形ADP，且∠BDP=∠BPD=60°，∠APD=30°，∠ADP=90°，从而得到∠ADB=∠BPC=150°；∠APB=90°， ∠APC=120°；根据勾股定理，，根据等边三角形面积等于得到，利用同一图形的面积不变性，，选择即可． 【详解】如图，将△BPC绕点B逆时针旋转60°到△BDA， 所以△BDP是等边三角形，AD=PC=2，所以∠BDP=∠BPD=60°，， 因为， 所以△ADP是直角三角形，且∠APD=30°，∠ADP=90°， 所以∠ADB=∠BPC=150°；∠APB=90°，所以∠APC=360°-∠BPC -∠APB =120°；故①②都正确； 根据勾股定理，得， 如图，作AM⊥BC于点M，因为△ABC是等边三角形， 所以， 所以，故③错误； 因为，所以， 因为AB=BC=AC，所以， 所以，故④正确，故选B． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，旋转的性质，勾股定理及其逆定理，熟练掌握等边的性质，灵活运用勾股定理及其逆定理是解题的关键． 例4．（23-24浙江八年级期中）数学中常常利用面积相等来证明其他的线段相等，这种方法被称为“面积法”．已知等边，点是平面上任意一点，设点到边、边的距离分别为、，的边上的高为．回答以下问题：    (1)如图（1），若点在三角形的边上，、、存在怎样的数量关系？请给出证明过程． (2)如图（2），当点在内，已知，求的值． (3)如图（3），当点在外，请直接写出与、、的数量关系，不用证明． 【答案】(1)，证明见解析(2)10(3) 【分析】（1）连结，设，则，则，，，由得到，即可证明； （2）连结、、，则，，，，由得到，则； （3）连结、、，则，，，，由得到，则． 【详解】（1）解：，证明如下：连结，如图（1）所示：         设，是等边三角形，， 于点，于点，于点， ，，， ，，； （2）解：连结、、，如图（2）所示： 设，是等边三角形，， 于点，于点，于点，于点， ，，，， ，，， ，，的值为； （3）解：，理由如下：连结、、，如图（3）所示： 设，是等边三角形，， 于点，于点，于点，于点， ，，，， ，，． 【点睛】本题考查等边三角形的性质、三角形的面积公式、根据面积等式证明其他线段之间的相等关系、数形结合与分类讨论数学思想的运用等知识与方法，正确地作出所需要的辅助线并且列出相应的面积等式是解题的关键． 模型2.等腰三角形中维维尼亚模型 条件：如图，等腰（AB=AC）中，点P在BC上运动，过点P作PD⊥AB，PH⊥AC，CE⊥AB， 结论：①如图1，若动点P在边BC上时，则PE+PD=CF。 ②如图2，若动点P在BC延长线上时，则|PF-PE|=CD。 图1 图2 证明：①如图1，连结AP；∵是等边三角形，∴AB=AC， 则，∵； ∴PE+PD=CF。 ①如图2，连结AP；∵是等边三角形，∴AB=AC， 则，∵； ∴PF-PE=CD。 例1．（23-24八年级上·广东广州·期中）如图，是等腰三角形，点O是底边上任意一点，、分别与两边垂直，等腰三角形的腰长为8，面积为20，则的值为（    ）    A．5 B．7.5 C．9 D．10 【答案】A 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形的面积， 连接，根据三角形的面积公式即可得到，根据等腰三角形的性质进而求得的值. 【详解】解：连接，如图，    ∵、分别与两边垂直，面积为20， ，     ，，，故选：A． 例2．（23-24八年级下·浙江杭州·期中）如图，将矩形沿折叠，使点D部在点B处，点C落在点处．P为折痕上的任意一点，过点P作，垂足分别为G，H．若，则 ． 【答案】 【分析】如图，延长交于，由题意知，由折叠的性质可知，，则是的角平分线，，，由矩形的性质可知，由矩形的性质求得，证明四边形是矩形，则，在中，由勾股定理求的值，进而可得的值． 【详解】解：如图，延长交于， 由题意知，由折叠的性质可知，， ∴是的角平分线，∴，∴， 由矩形的性质可知，，，∴， ∵ ，，∴四边形是矩形，∴， 在中，由勾股定理得，， ∴，∴，  故答案为：． 【点睛】本题考查了翻折的性质，角平分线的性质，矩形的判定与性质，勾股定理等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 例3．（23-24八年级上·广西南宁·期中）数学课上，老师画出一等腰并标注：，，然后让同学们提出有效问题并解决．请你结合同学们提出的问题给予解答．    (1)甲同学提出：如图1，过点C作于点H，可求出___________； (2)乙同学提出：的面积为：___________； (3)丙同学提出：如图2点D为边的中点，，，垂足为E、F，请求出的值； (4)丁同学说受丙同学启发，如图3点D为边上任一点，，，，垂足为E、F、H，则有．请你为丁同学说明理由． 【答案】(1)5(2)25(3)(4)见解析 【分析】（1）根据直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半的性质求出结果即可； （2）根据三角形面积公式求出即可； （3）先证明，根据，得出，即，即可求出结果； （4）连接，根据三角形的面积公式得出，，，根据，得出，即，即可求出结果． 【详解】（1）解：，， 在中，，故答案为：5； （2）解：,故答案为：25； （3）解：连接，如图所示：       ，点D为边的中点，平分，，，， ，，， 由（2）知，，； （4）证明：连接，如图所示： ，，，，，， ，，， 即：，． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，角平分线性质，三角形面积的计算，解题的关键是熟练掌握等腰三角形的性质． 例4．（23-24八年级上·江苏镇江·阶段练习）如图①．中，，为底边上一点，，，，垂足分别为、、.易证.证明过程如下： 如图①，连接.∵，，， ∴，， 又∵，∴ ∵，∴． 如图②，为延长线上的点时，其它条件不变，、、又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并加以证明． 【答案】 【分析】参考题设的证明过程，主要思路就是等面积法：，同样，为延长线上的点时，也可以用类似的等面积法：，即可得出结论． 【详解】∵，，，∴，， 又∵，∴ ∵，∴．故答案为：． 【点睛】本题考查几何图形中等面积法的应用，读懂题目，灵活运用题设条件是解题的关键． 例5．（23-24九年级下·江西九江·阶段练习）新定义题型构思巧妙，立意新颖，重在考查学生的学习能力，实践能力及创新精神，让我们试试吧：我们定义：有一组邻角相等的凸四边形叫作“等邻角四边形”． (1)定义理解：如图①，已知四边形为等邻角四边形，且，求的度数．    (2)定义运用：如图②，在五边形中，，对角线平分，求证：四边形为等邻角四边形；(3)定义拓展：如图③，在等邻角四边形中，，点为边边上的一动点，过点作，垂足分别为，试猜想，在点的运动过程中，的值是否会发生改变，并说明理由． 【答案】(1)(2)见解析(3)的值不会发生改变．理由见解析 【分析】（1）根据“等邻角四边形”的定义，再结合已知条件和四边形内角和定理，即可求解． （2）根据两直线平行，内错角相等，再结合角平分线的定义和“等邻角四边形”的定义即可证明． （3）作，垂足为Q，设法证明为定值． 【详解】（1）因为四边形的内角和为，且与的度数均大于或等于，故根据“等邻角四边形”定义，均不可能与中的任意一个角相等，否则总内角和大于．∴． ∵，∴，解得：． （2）∵，∴．∵平分，∴． ∴．∴四边形为等邻角四边形； （3）的值不会发生改变．理由如下： 如图，作，垂足为Q，自P作，垂足为R， ∵，∴四边形是矩形．∴，且，    ∴．由题意，知． 又∵，∴．∴，∴． 因此， 在点P的运动过程中，的值不会发生改变，总等于； 【点睛】本题考查了新定义的理解、平行线的性质、矩形的性质、全等三角形的判定及性质等知识点，解题的关键是能灵活运用上面的知识点． 1．（23-24八年级上·浙江温州·期中）如图，在等腰中，是内一点，过点作三边，的垂线段， 垂足分别为，若，则两点间距离是（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】C 【分析】连接AO，根据角平分线的判定定理得到点O在∠A的平分线上，根据等腰三角形的性质得到AD⊥BC，BD＝DC，根据勾股定理、三角形的面积公式计算即可． 【详解】解：连接AO， ∵， ∴OE＝OF， ∵OE⊥AB，OF⊥AC， ∴点O在∠A的平分线上， ∵AB＝AC，OD⊥BC， ∴A、O、D三点共线 ∴AD⊥BC，BD＝DC＝9， 由勾股定理得，AD＝， 设OD、OE、OF分别为x、3x、3x， 则×18×12＝×15×3x×2＋×18×x， 解得，x＝，即OD＝2， ∴AO＝12−2=10， 故选：C． 【点睛】本题考查的是勾股定理的应用、角平分线的判定、等腰三角形的性质，掌握任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解题的关键． 2．（23-24八年级上·浙江宁波·期末）如图，在等腰△中，，，是△外一点，到三边的垂线段分别为，，，且，则的长度为（    ） A．5 B．6 C． D． 【答案】D 【分析】连接OA,OB,OC，由OD:OE:OF=1:4:4，设OD=x，OE=4x，OF=4x，根据OE=OF，得到AO为∠BAC的角平分线，再根据AB=AC，得到AO⊥BC，根据三线合一及勾股定理求出AD=4，再根据，得到方程求解即可． 【详解】解：连接OA,OB,OC, 由OD:OE:OF=1:4:4，设OD=x,OE=4x,OF=4x， ∵OE=OF，∴AO为∠BAC的角平分线， 又∵AB=AC，∴AO⊥BC，∴AD为△ABC的中线，∴A、D、O三点共线，∴BD=3， 在Rt△ABD中，AD==4，∴ ∴12=10x+10x−3x，∴x=∴AO=4+=.故选：D． 【点睛】本题考查了角平分线的判定及性质，熟知等腰三角形的三线合一、角平分线的判定及三角形的面积公式是解题的关键． 3．（23-24八年级上·重庆江津·期末）如图，ABC是等腰三角形，点O 是底边BC上任意一点，OE、OF分别与两边垂直，等腰三角形ABC的腰长为5，面积为12，则OE+OF的值为 A．4 B． C．15 D．8 【答案】B 【分析】连接AO，根据S△ABC=S△ABO+S△AOC，结合AB=AC=5，利用三角形面积公式进行求解即可. 【详解】连接AO，如图，∵AB=AC=5， ∴S△ABC=S△ABO+S△AOC=AB•OE+AC•OF=OE+OF=12，∴OE+OF=，故选 B． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的面积，正确添加辅助线将三角形分成两个小三角形并正确地表示面积是解题的关键. 4．（23-24九年级上·贵州六盘水·期末）如图，在矩形中，，，点是边上一点，连接，且，若点P是对角线上不与和重合的一个动点，过点P分别作和的垂线，垂足为，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了矩形的性质、垂线的性质、勾股定理、等腰三角形的性质、平行线的性质以及角平分线的性质等知识，解题的关键是准确作出辅助线，掌握数形结合思想的应用；过点作于，先求出的长，再证明，根据角平分线的性质得再根据即可求解； 【详解】过点作于 四边形为矩形， ，， ，， ， ，，共线， ， 四边形为矩形， ， ， ， ， ， , ，， ， 故选：B 5．（23-24八年级上·浙江杭州·期中）如图，P是等边三角形ABC内一点，且PA=4，PB=2，PC=2，以下3个结论：①∠BPC=120°；②∠APC=120°；③S△ABC=14；④AB=；⑤若点P到ΔABC三边的距离分别为PE，PF，PG，则有PE+PF+PG=AB，其中正确的有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】将△APC绕点A顺时针旋转60°，得到△AHB，连接HP，由全等三角形的性质可得AH=AP=4，BH=PC=2，∠AHB=∠APC，可证△AHP是等边三角形，由勾股定理的逆定理可求∠HBP=90°，由锐角三角函数可求∠HPB=30°，可得∠AHB=120°=∠APC，∠BPC=150°，可判断①②，由勾股定理可求AB的长，由等边三角形的面积公式可求△ABC的面积和PE+PF+PG的值，即可判断③④⑤． 【详解】解：如图，将△APC绕点A顺时针旋转60°，得到△AHB，连接HP， ∴△APC≌△AHB，∠HAP=60°，∴AH=AP=4，BH=PC=2，∠AHB=∠APC， ∴△AHP是等边三角形，∴HP=4，∠AHP=∠APH=60°， ∵HP2=16，BH2+BP2=16，∴HP2=BH2+BP2，∴∠HBP=90°， ∵sin∠HPB=，∴∠HPB=30°，∴∠BHP=60°，∠APB=∠HPB+∠APH=90°， ∴∠AHB=∠AHP+∠BHP=120°=∠APC，∴∠BPC=360°-∠APB-∠APC=150°， 故①不符合题意，②符合题意， ∵∠APB=90°，∴AB=，∴S△ABC=AB2=7，故③不合题意，④符合题意， 如图，∵S△ABC=AB×PG+AC×PF+BC×PE=7，∴×（PG+PF+PE）=7， ∴PG+PF+PE==AB，故⑤符合题意， 综上所述：正确的有3个，分别是②④⑤，故选：B． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了等边三角形的性质，勾股定理的逆定理，旋转的性质，全等三角形的性质，三角形的面积公式，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键． 6．（2024八年级·广东·培优）如图所示，已知，分别是与的平分线，点D是的中点，若点D到两边的距离均为6，则点D到边的距离为 ． 【答案】12 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，角平分线的性质与判定，先根据等边对等角得到，则由角平分线的定义得到，证明，得到，则；由角平分线的判定定理得到平分，则由三线合一定理得到，则，如图所示，过点E作，垂足分别为N、M，由角平分线的性质得到，证明，得到，则，由平行线的性质得到，即点D到边的距离为12． 【详解】解：∵， ∴， ∵分别是与的平分线， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； ∵点D到两边的距离均为6， ∴平分， ∴， ∴， 如图所示，过点E作，垂足分别为N、M， ∴， ∵点D为的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点D到边的距离为12， 故答案为：12． 7．（23-24八年级下·浙江杭州·开学考试）如图，△ABC是等边三角形，点D是BC边上任意一点，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F．若BC=2，则DE+DF= . 【答案】 【详解】试题分析：设BD=x，则CD=2-x．根据△ABC是等边三角形，可知∠B=∠C=60°．再由三角函数得，ED=x，同理，DF=．因此可求得DE+DF=x+=． 8．（23-24八年级下·浙江杭州·期中）如图，将矩形沿折叠，使点D部在点B处，点C落在点处，P为折痕上的任意一点，过点P作，，垂足分别为G，H．若，，则（1） ；（2）则 ． 【答案】 5 【分析】（1）根据矩形的性质可得，，，从而得出，，，根据折叠的性质可得，，根据等角对等边可得，从而得出，求出即可； （2）连接，过点E作于Q，利用勾股定理求出，证明四边形为矩形，得出，然后根据即可求出结论． 【详解】解：（1）∵四边形为矩形， ∴，，，， ∴，， 由折叠的性质可得，， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）连接，过点E作于Q，如图所示： 由勾股定理可得， ∵， ∴四边形为矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：5；． 【点睛】本题主要考查的是矩形与折叠问题，掌握矩形的性质和判断、折叠的性质、勾股定理和等角对等边是解决此题的关键． 9．（23-24八年级上·河南商丘·期中）如图，已知等边三角形ABC的高为7cm，P为△ABC内一点，PD⊥AB于点D，PE⊥AC于点E，PF⊥BC于点F．则PD+PE+PF＝ ． 【答案】7cm 【分析】连接PA、PB、PC，作AB边上的高CG，根据△ABP、△BCP、△ACP的面积和等于△ABC的面积，等边三角形的三边相等，即可得出结论． 【详解】如图，连接PA、PB、PC，作AB边上的高CG， ∵S△ABP+S△BCP+S△ACP＝S△ABC， ∴AB•PD+BC•PF+AC•PE＝AB•CG， ∵△ABC是等边三角形， ∴AB＝BC＝AC， ∴AB（PE+PF+PD）＝AB•CG， ∵等边三角形ABC的高为7cm， ∴PE+PD+PF＝CG＝7cm. 故答案为7cm 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，将一个三角形的面积转化成三个三角形的面积和是解题关键. 10．（2023·江苏扬州·二模）如图，已知等腰Rt△ABC的直角边长AB=+1，点P是△ABC内的一个动点，过点P分别作PD，PE，PF分别与边AB，AC，BC垂直，垂足分别为D，E，F，且PD+PE=PF，则点P运动路径的长是 ． 【答案】 【分析】如图，作∠ACB的平分线CM交AB于M，作MH∥BC交AC于H，在线段MH上取一点P，过P作PD⊥AB、PE⊥AC、PF⊥BC，垂足分别为D、E、F．首先证明PD+PE=AM，再证明MA=MN=PF，得出点P的运动轨迹是线段MH．求出MH即可解决问题； 【详解】解：如图，作∠ACB的平分线CM交AB于M，作MH∥BC交AC于H，在线段MH上取一点P，过P作PD⊥AB、PE⊥AC、PF⊥BC，垂足分别为D、E、F． ∵∠A=90°，AB=AC，∴∠B=∠ACB=45°，∵MH∥BC，∴∠AMH=∠B=45°， ∵PD⊥AB，∴∠PDM=90°，∴∠DMP=∠DPM=45°，∴PD=DM， ∵PD⊥AB，PE⊥AC，∴∠A=∠PDA=∠PEA=90°， ∴四边形ADPE是矩形，∴PE=AD，∴PD+PE=DM+AD=AM， ∵CM平分∠ACB，MN⊥BC，MA⊥AC，∴MA=MN， ∵PF⊥BC，MN⊥BC，∴PF∥NM， ∵PM∥FN，∴四边形PFNM是平行四边形， ∵∠PFN=90°，∴四边形PFNM是矩形，∴PF=MN， ∴PF=AM，∴PF=PD+PE，∴点P的运动轨迹是线段MH． 设AM=MN=x则BN=MN=x，BM=x， ∵AB=+1，∴x+x=+1，∴x=1， 在Rt△AMH中，∵AM=AH=1，∴MH=， ∴P运动所形成的图形的长度是．故答案为：． 【点睛】本题考查等腰三角形的性质、轨迹、角平分线的性质定理、矩形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，正确寻找点P的运动轨迹，属于中考填空题中的 压轴题． 11．（23-24八年级下·江苏无锡·期中）如图，在等腰△ABC内找一点P，向两腰AB、AC作垂线，垂足分别为D、E，向底边BC作垂线，垂足为F，若PD＋PE＝PF．用直尺和圆规作出所有适合条件的点P．（保留作图痕迹） 【答案】见解析 【详解】分析：作∠ABC的平分线交AC于点P2，∠ACB的平分线交AB于点P1，连接P1P2，则在线段P1P2上的所有点（不含端点）为所求作的满足条件的点P． 详解：如图所示，          答：在线段P1P2上的所有点（不含端点）为所求作的满足条件的点P． 点睛：本题考查了轨迹和等腰三角形的性质．解题的关键是找到点P1和点P2． 12．（2024八年级·广东·培优）如图，过内一点作三边的垂线，垂足分别为、、，已知，，，，求． 【答案】 【详解】解：设，，，则，，． 连接，和， 在和中，由勾股定理可得， 即， 同理可得，． 将以上三式相加，得，所以． 又由已知条件得，于是可得 ． 13．（2024八年级·重庆·专题练习）如图所示，为边长为12的等边内一点，于于于，（1）试问之间有何数量关系？（2）如果点在外，如图所示，其它条件不变，之间又有何数量关系？ 【答案】（1），理由见解析；（2），理由见解析. 【分析】（1）过点作分别交、于点、，作上的高，交于点,则会出现等腰三角形腰高关系图,即: ;又PD=QT(矩形的对边相等)，等量代换得PD+PF+PE=AT，再利用勾股定理即可完成解答. （2）根据图形，类比（1）方法即可完成解答. 【详解】 （1）． 理由如下：如图，过点作分别交、于点、，作上的高，交于点. 由等腰三角形腰高关系图可知，，易证，， ， ， ， 由勾股定理可得， . （2） . 理由如下：如图，同（1）易得， . 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质及勾股定理，对于一题多问的题目，第二问常会用到第一问的结论，需要引起我们的注意，以免解答受阻. 14．（23-24八年级·山东青岛·期末）特例研究：如图，等边的边长为8，求等边的高． 经验提升： 如图，在中，，点P为射线BC上的任一点，过点P作，，垂足分别为D、E，过点C作，垂足为补全图形，判断线段PD，PE，CF的数量关系，并说明理由． 综合应用： 如图，在平面直角坐标系中有两条直线：，：，若线段BC上有一点M到的距离是1，请运用中的结论求出点M的坐标． 【答案】(1)；(2)见解析;(3)坐标为． 【分析】利用等边三角形的性质和勾股定理即可得出结论； 利用面积法可以证明结论； 连接AP，同理利用与面积之差等于的面积可以证得结论； 根据题意得到，，，，根据图的结论，求得M到AC的距离，即M点的纵坐标，再代入的解析式可求出M的坐标． 【详解】解：如图，过点A作于G， 是等边三角形， ， 在中，， ， 则等边的高为； 当点P在边BC上时，， 理由如下：如图，连接AP， ，，， ，，， ， ， ， ； 当点P在BC的延长线上时，， 理由如下：如图，连接AP， ，，， ，，， ， ， ， ； 如图，由题意可求得，，， ，，，， 过M分别作轴，，垂足分别为P、Q， 上的一点M到的距离是1， ， 由图的结论得：， ， 点的纵坐标为2， 在直线， 当时，， 坐标为． 【点睛】本题考查的是一次函数的综合运用、等腰三角形的性质、三角形的面积、勾股定理，掌握用面积法证明几何问题的方法、灵活运用分情况讨论思想是解题的关键． 15．（23-24八年级上·河南南阳·期末）我们把“同一图形的面积，用两种不同的方法求出的结果相等，从而构建等式，根据等式解决相关问题”的方法称为“面积法”． (1)通过如图①中图形的面积关系，直接写出一个多项式进行因式分解的等式：______； (2)“面积法”还可以作为几何证明的工具，当两个全等的直角三角形摆放成如图②所示时，其中，借助图中辅助线用两种不同方法表示四边形的面积，易得：______；______，构建等式整理可得：； (3)如图③，在中，，，P为边上的任一点，过点P作，，垂足分别为M、N，连接，利用“面积法”求的值． 【答案】(1) (2)， (3) 【分析】（1）用两种不同的方法表示左上角正方形的面积，即可求解； （2）根据三角形的面积公式表示即可； （3）过A作于点H，由等腰三角形三线合一可得，根据勾股定理可得，再由进行求解即可． 【详解】（1）解：左上角正方形的面积可以表示为，也可以表示为： 即， 故答案为：； （2）解：， 故答案为：，． （3）解：如图，过A作于点H， ∵， ∴， ∴由勾股定理得，． ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了几何图形与整式乘法，三角形的面积的计算，等面积法的应用，等腰三角形的性质以及勾股定理，解本题的关键在熟练掌握等面积法的应用． 16．（23-24八年级下·广东深圳·期末）【问题背景】某“数学学习兴趣小组”在学习了“等腰三角形的性质”和“平行四边形的性质和判定”后，在习题中发现了这样一个问题：如图1，在等腰中，，点D、E分别是边上的点，点P是底边上的点，且，过点B作于点F，请写出线段、、之间满足的数量关系式． 同学们经过交流讨论，得到了如下两种解决思路： 解决思路1：如图2，过点P作于点G； 解决思路2：如图3，过点B作，交的延长线于点H； (1)上述两种解决思路都可以证明一组三角形全等，判定一个四边形为平行四边形，从而可证得线段之间满足的数量关系式为______________． 【类比探究】(2)如图4，在等腰中，，点D、E分别是边上的点，点P是底边上的点，且，过点B作交于点F，请写出线段之间满足的数量关系式，并说明理由． 【拓展应用】(3)如图5，在与中，，，点A、B、P在同一条直线上，若，，则______________． 【答案】(1)PD+PE=BF； (2)PD+PE=BF； (3)1+ 【分析】（1）PD+PE=BF；图2：证明四边形PGFE是矩形，得到PE=GE，再证明△BDP≌△PGB，得到BG=DP，即可得到DP+PE=BG+GF，即DP+PE=BF；图3：证明四边形HBFE是矩形，得到BF=HE，BH∥EF，再证△BDP≌△BHP，得到PD=PH，即可推出PD+PE=BF； （2）PD+PE=BF，过点P作PM∥AC，得到四边形PEFM是平行四边形，推出PE=MF，∠PMB=∠MFE=∠PEC，进而证明△BDP≌△PMB，得到PD=BM，即可证得PD+PE=BF； （3）延长DP至点N，使PN=PC=2，证明△APC≌△APN，得到∠PAN=∠PAC=75°，证得AN∥BD，过点N作NQ∥AB，交BD的延长线于Q，则四边形ABQN是平行四边形，过Q作QR⊥ND于点R，求出∠NQR=30°，勾股定理求出RQ，得到RD，即可求出PD． 【详解】（1）解：PD+PE=BF，理由： 图2：∵BF⊥AC，PG⊥BF， ∴∠PGF=∠GFE=∠PEF=90°， ∴四边形PGFE是矩形，PG∥EF， ∴PE=GE， ∵AB=AC， ∴∠DBP=∠C=∠GPB， ∵∠BDP=∠BGP=90°，BP=BP， ∴△BDP≌△PGB， ∴BG=DP， ∴DP+PE=BG+GF，即PD+PE=BF； 图3：∵，BF⊥AC， ∴∠H=∠BFE=∠PEF=90°， ∴四边形HBFE是矩形， ∴BF=HE，BH∥EF， ∵AB=AC， ∴∠DBP=∠C=∠CBH， ∵∠BDP=∠H=90°，BP=BP， ∴△BDP≌△BHP， ∴PD=PH， ∴PH+PE=PD+PE，即PD+PE=BF； 故答案为：PD+PE=BF； （2）PD+PE=BF，理由如下： 过点P作PM∥AC， ∵， ∴四边形PEFM是平行四边形， ∴PE=MF，∠PMB=∠MFE=∠PEC， ∴∠PDB=∠PMB， ∵AB=AC， ∴∠DBP=∠C=∠BPM， ∵PB=PB， ∴△BDP≌△PMB， ∴PD=BM， ∴PD+PE=BM+MF，即PD+PE=BF； （3）延长DP至点N，使PN=PC=2， ∵， ∴∠APN=∠APC， ∵AP=AP， ∴△APC≌△APN， ∴∠PAN=∠PAC=75°， ∵∠ABD=75°， ∴∠PAN=∠ABD， ∴AN∥BD， 过点N作NQ∥AB，交BD的延长线于Q，则四边形ABQN是平行四边形， ∴NQ=AB=6，∠PNQ=∠DPB=60°，∠NQB=∠PBD=75°， 过Q作QR⊥ND于点R， ∴∠NQR=30°， ∴NR=NQ=3， ∴PR=1，RQ=， ∵∠RQD=75°-30°=45°， ∴∠D=45°， ∴RD=RQ=， ∴PD=RP+RD=1+， 故答案为：1+． 【点睛】此题是几何图形的综合题，考查了全等三角形的判定及性质，矩形的判定及性质，平行四边形的判定及性质，勾股定理，正确引出辅助线是解题的关键． 17．（2023·江西上饶·一模）我们给出如下定义：有一组邻角相等的凸四边形叫做“等邻角四边形”．例如：如图，，则四边形为等邻角四边形． (1)定义理解：以下平面图形中，是等邻角四边形的是 ． ①平行四边形    ②长方形    ③正方形    ④等腰梯形 (2)如图，在四边形中，，的垂直平分线恰好交于边上一点P，连结，，且，求证：四边形为等邻角四边形． (3)如图，在等邻角四边形中，，，点P为边上的一动点，过点P作，，垂足分别为M，N．在点P的运动过程中，猜想，，之间的数量关系？并请说明理由． 【答案】(1)②③④ (2)证明见解析； (3)，理由见解析 【分析】（1）根据等邻角四边形的定义即可直接得出答案； （2）连接，证明，得出，从而得到，，即可证明四边形为等邻角四边形； （3）过点P作，证明得到，再由矩形得到，即可得出． 【详解】（1）∵长方形、正方形和等腰梯形都有一组邻角相等， ∴矩形、正方形和等腰梯形是等邻角四边形，故答案是：②③④ （2）证明：连接， ∵垂直平分， ∴， ∵垂直平分， ∴， 在和中 ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形为等邻角四边形． （3），理由如下： 过点P作，垂足为F， ∵， ∴， ∴， ∵四边形为等邻角四边形，， ∴， ∵， ∴， ∴在和中 ， ∴， ∴， ∵，，， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， 即． 【点睛】本题主要考查了新定义“等邻角四边形”，涉及线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，矩形的判定和性质等知识，正确理解“等邻角四边形”的定义是解题的关键． 18．（23-24泰州八年级上期中）从特殊出发：如图1，在ABC中，AB=AC，点P为边BC上的任意一点，过点P作PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分别为D、E，过点C作CF⊥AB，垂足为F，求证：PD+PE=CF．小明的证明思路：如图2，连接AP，由ABP与ACP面积之和等于ABC的面积可以证得PD+PE=CF（不需写出证明过程）． 变化一下：（1）如图3，当点P在BC的延长线上时，其余条件不变，请运用上述解答中所积累的经验和方法，猜想PD、PE和CF的关系，并证明． 从几何到函数：如图4，在平面直角坐标系中有两条直线l1、l2，分别是函数和的图像，l1、l2与x轴的交点分别为A、B． （2）两条直线恰好相交于y轴上的点C，点C的坐标是 ；（3）说明ABC是等腰三角形； （4）若l2上的一点M到l1的距离是1，运用上面的结论，求点M的坐标． 【答案】（1）PD＋PE＝CF，见解析；（2） ；（3）见解析；（4）（，2）或（-，4） 【分析】（1）连接AP，同理利用△ABP与△ACP面积之差等于△ABC的面积可以证得结论； （2）根据一次函数图象，与y轴交点即为点C，令x=0求出y值即可得到点C的坐标； （3）求出A、B、C三点坐标，根据坐标求出线段AB和AC的长相等，即可求证； （4）分M在线段BC上和M在线段BC外两种情况，再分别根据图②和③的结论，求得M到AC的距离，即M点的纵坐标，再代入l2的解析式可求出M的坐标． 【详解】解：小明的证明思路：如图②，连接AP， ∵PD⊥AB，PE⊥AC，CF⊥AB，∴＝AB•PD，＝AC•PE，＝AB•CF， ∵＋＝，∴AB•PD＋AC•PE＝AB•CF， 又AB＝AC，∴PD＋PE＝CF； （1）如图③，连接AP，∵PD⊥AB，PE⊥AC，CF⊥AB， ∴＝AB•PD，＝AC•PE，＝AB•CF， ∵−＝ ，∴AB•PD−AC•PE＝AB•CF， 又∵AB＝AC，∴PD−PE＝CF； （2）∵和两条直线恰好相交于y轴上的点C， ∴当 ，则 ，∴ ； （3）∵点A是l1与x轴的交点，∴当 时 ，∴ ， ∵点B为l2与x轴的交点，∴当 时 ，∴ ，∴ ， ∵，，∴ ，∴AB=AC,∴ABC是等腰三角形； （4）如图④，由题意可求得A（−4，0），C（0，3），B（1，0）， ∴AB＝5，AC＝5，BC＝，OC＝3， 当M在线段BC上时，过M分别作MP⊥x轴，MQ⊥AC，垂足分别为P、Q， ∵l2上的一点M到l1的距离是1，∴MQ＝1，由图②的结论得：MP＋MQ＝OC=3， ∴MP＝2，∴M点的纵坐标为2， 又∵M在直线y＝−3x＋3，∴当y＝2时，x＝ ∴M坐标为（，2）； 同理，由前面结论可知当M点在线段BC外时，有|MP−MQ|＝OC， 可求得MP＝4或MP＝−2，即M点的纵坐标为4或−2， 分别代入y＝−3x＋3，可求得x＝-或x＝（舍，因为它到l1的距离不是1），∴M点的坐标为（-，4）； 综上可知M点的坐标为（，2）或（-，4）． 【点睛】本题主要考查一次函数的综合运用，涉及等腰三角形的性质、三角形的面积、勾股定理和等积法等知识，考查了用面积法证明几何问题，考查了运用已有的经验解决问题的能力，体现了自主探究与合作交流的新理念，是充分体现新课程理念难得的好题． 19．（23-24河北石家庄八年级上期中）【解决问题】如图1，在中，，于点．点是边上任意一点，过点作，，垂足分别为点，点． （1）若，，则的面积是______，______． （2）猜想线段，，的数量关系，并说明理由． （3）【变式探究】如图2，在中，若，点是内任意一点，且，，，垂足分别为点，点，点，求的值． （4）【拓展延伸】如图3，将长方形沿折叠，使点落在点上，点落在点处，点为折痕上的任意一点，过点作，，垂足分别为点，点．若，，直接写出的值． 【答案】（1）15，8；（2），见解析；（3）；（4）4 【分析】解决问题（1）只需运用面积法：，即可解决问题；（2）解法同（1）； （3）连接、、，作于，由等边三角形的性质得出，由勾股定理得出，得出的面积，由的面积的面积的面积的面积，即可得出答案； （4）过点作，垂足为，易证，过点作，垂足为，由解决问题（1）可得，易证，，只需求出即可． 【详解】解：（1）∵，，，∴的面积， ∵，，，且，∴， ∵，∴.故答案为：15，8. （2）∵，，，且，∴， ∵，∴. （3）连接、、，作于，如图2所示： ∵，∴是等边三角形，∵，∴， ∴，∴的面积， ∵，，，∴的面积的面积的面积的面积 ，∴. （4）过点作，垂足为，如图3所示： ∵四边形是矩形，∴，， ∵，，∴， 由折叠可得：，， ∵，∴， ∵，，∴， ∴四边形是矩形，∴，∵，∴， ∵，∴，∴， 由解决问题（1）可得：，∴，即的值为4. 【点睛】本题是四边形综合题目，考查了矩形的性质与判定、等腰三角形的性质与判定、平行线的性质与判定、等边三角形的性质、勾股定理等知识，考查了用面积法证明几何问题，考查了运用已有的经验解决问题的能力，体现了自主探究与合作交流的新理念，是充分体现新课程理念难得的好题． 20．（23-24八年级上·山西吕梁·期中）综合探究:探索等腰三角形中相等的线段 问题情境：数学活动课上，老师提出了一个问题：等腰三角形底边中点到两腰的距离相等吗？同学们就这个问题展开探究． 问题初探：（1）希望小组的同学们根据题意画出了相应的图形，如图1．在△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为点E，F．经过合作，该小组的同学得出的结论是DE=DF．并且展示了他们的证法如下： 证明：如图1，∵DE⊥AB，DF⊥AC∴∠DEB=∠DFC=90° ∵AB=AC∴∠B=∠C（依据1） ∵D是BC的中点∴BD=CD 在△BDE和△CDF中∴△BDE≌△CDF（依据2）∴DE=DF ①请写出依据1和依据2的内容依据1： ． 依据2： ． ②请你应用图2写出一种不同于希望小组的证法． 问题再探：（2）未来小组的同学经过探究又有新的发现，如果在等腰三角形ABC中，作腰AB上的高CG，如图3．则CG与DE有确定的数量关系．请你直接写出这个数量关系为 ． 类比探究：（3）奋斗小组的同学认真研究过后，发现了以下两个正确结论：①在图4中，若DE，DF分别为△ABD和△ACD的中线，那么DE=DF仍然成立；②在图5中，若DE，DF分别为△ABD和△ACD的角平分线，那么DE=DF仍然成立．请你选择其中一个结论，写出证明过程． 【答案】（1）①等腰三角形的两个底角相等或等边对等角；两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等或角角边或AAS；②见解析；（2）CG=2DE；（3）证明见解析 【分析】（1）①根据等腰三角形的性质和全等三角形的判定即可得出答案； ②连接AD，根据等腰三角形的三线合一及角平分线的性质即可得证；(2)根据三角形中位线的判定及性质即可得证；(3)选择①证明：根据三角形中线的性质利用SAS即可证明△BDE≌△CDF，再根据全等三角形的性质即可得证；选择②证明：根据等腰三角形的性质及角平分线的性质，利用ASA即可证明△BDE≌△CDF，再根据全等三角形的性质即可得证． 【详解】（1）①依据1：等腰三角形的两个底角相等或等边对等角 依据2：两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等或角角边或AAS ②答案不唯一，如 连接AD ∵AB=AC，D是BC的中点∴AD是∠BAC的平分线  ∵DE⊥AB，DF⊥AC ∴DE=DF (2)CG=2DE∵DE⊥AB，CG⊥AB，∴ ∵D是BC的中点，∴DE是△BCG的中位线，∴CG=2DE． (3)选择①证明：∵DE，DF是△ABD和△ACD的中线∴BE=AB，CF=AC   ∵AB=AC∴BE=CF，∠B=∠C   又∵D是BC的中点∴BD=CD 在△BDE与△CDF中 ∴△BDE≌△CDF(SAS)  ∴DE=DF 选择②证明：∵AB=AC，D是BC的中点 ∴∠B=∠C，BD=CD，AD⊥BC∴∠ADB=∠ADC=90° 又∵DE，DF分别是△ABD和△ACD的平分线∴∠BDE=∠CDF=45° 在△BDE与△CDF中 ∴△BDE≌△CDF(ASA) ∴DE=DF． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定及性质、角平分线的性质，熟练掌握性质定理是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$