专题14 直角三角形中的分类讨论模型-2024-2025学年八年级数学上册常见几何模型全归纳之模型解读与提分精练（浙教版）

专题14 直角三角形中的分类讨论模型 直角三角形是特殊三角形中最重要的一类三角形，它的重要性与等腰三角形有所不同，到初二初三，特别是到了初三，直角三角形往往不是独立成题，而是融入到各种图形中，可以说，多数的几何图形，都能找到直角三角形的影子，自然就会涉及到直角三角形有关的性质运用，本专题我们就讲直角三角形的分类讨论模型。 2 模型1.斜边（或直角）不确定的直角三角形模型 2 模型2.直角三角形存在性模型 5 15 大家在掌握几何模型时，多数同学会注重模型结论，而忽视几何模型的证明思路及方法，导致本末倒置。要知道数学题目的考察不是一成不变的，学数学更不能死记硬背，要在理解的基础之上再记忆，这样才能做到对于所学知识的灵活运用，并且更多时候能够启发我们解决问题的关键就是基于已有知识、方法的思路的适当延伸、拓展，所以学生在学习几何模型要能够做到的就是：①认识几何模型并能够从题目中提炼识别几何模型；②记住结论，但更为关键的是记住证明思路及方法；③ 明白模型中常见的易错点，因为多数题目考察的方面均源自于易错点。当然，以上三点均属于基础要求，因为题目的多变性，若想在几何学习中突出，还需做到的是，在平时的学习过程中通过大题量的训练，深刻认识几何模型，认真理解每一个题型，做到活学活用！ 【知识储备】凡是涉及直角三角形问题，以三角形三个内角（三条边）谁为直角（斜边）分三种情况讨论，若只存在两种情况，则另一种不为直角的情况要简要说明理由。 有时根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半列方程更简便。在平面直角坐标系中，两点间的距离公式常常用到。解直角三角形的问题，常常和勾股定理问题联系在一起． 模型1.斜边（或直角）不确定的直角三角形模型 若直角三角形没有明确谁直角（斜边），要分类讨论；从直角（斜边）入手分三种情况进行讨论。 例1．（2023春·河南安阳·八年级校考期末）若三角形的两边长为4和5，要使其成为直角三角形，则第三边的长为 ． 例2．（2023秋·浙江八年级课时练习）如图，在中，于点D，平分．若，F为线段上的任意一点，则当为直角三角形时，则的度数为（　　） A． B． C．或 D．或 例3．（23-24八年级下·广东深圳·期中）如图，是等边三角形，点与点分别在边与上，将沿直线折叠，使得的对应点落到边上，当为直角三角形时，的度数为（    ）    A．45°或75° B．45°或30° C．30°或75° D．45°或60° 例4．（24-25九年级上·重庆长寿·阶段练习）如图，中，，，，点、分别为、的中点，点为边上一动点，将沿着折叠，点的对应点为点，且点始终在直线的下方，连接，当为直角三角形时，线段的长为 ． 模型2.直角三角形存在性模型 直角三角形存在性的问题常考背景有翻折（折叠）、动点、旋转等。 直角三角形存在性的问题，首先需要观察图形，判断直角顶点是否确定。若不确定，则需要进行分类讨论，如下面模型构建。 “两定一动”直角三角形存在性问题：（常见与坐标系综合、或结合翻折（折叠）、动点、旋转等）。 问题：已知点A，B和直线l，在l上求点P，使△PAB为直角三角形． 分三种情况，如图： ①以A为直角顶点，即∠BAP＝90°：过点A作AB的垂线，与已知直线l的交点P1即为所求； ②以B为直角顶点，即∠ABP＝90°：过点B作AB的垂线，与已知直线l的交点P2即为所求； ③以P为直角顶点，即∠APB＝90°：以AB的中点Q为圆心，QA的长为半径画圆，与已知直线l的交点P3，P4即为所求． 代数法计算：分别表示出点A，B，P的坐标，再分别表示出AB，AP和BP的长，由①BP2＝AB2＋AP2；②AP2＝AB2＋BP2；③AB2＝AP2＋BP2分别列方程求解．若方程有解，则此情况存在；若方程无解，则此情况不存在。 几何法计算：若有30°，45°或60°角可考虑用勾股定理求解． 例1．（23-24八年级上·陕西商洛·期末）在平面直角坐标系内，点O为坐标原点，，．若在该坐标平面内有一点P（不与点A、B、O重合）为一个顶点的直角三角形与全等，且这个以点P为顶点的直角三角形与有一条公共边，则所有符合条件的三角形个数为（    ） A．3个 B．4个 C．6个 D．7个 例2．（2023·河南新乡·八年级校考期中）平面直角坐标系中有点、，连接AB，以AB为直角边在第一象限内作等腰直角三角形，则点C的坐标是 ． 例3．（23-24八年级上·广东深圳·期中）在平面直角坐标系中，已知点A的坐标是，点P的坐标为，若为直角三角形，则的值为 ． 例4．（23-24八年级上·新疆乌鲁木齐·期中）如图正方形边长为2，为边中点，为射线上一点不与重合），若为直角三角形，则 ． 例5．（23-24八年级上·河北沧州·阶段练习）如图，在中，，，，点P从点B出发以每秒的速度向点A运动，点Q从点A同时出发以每秒的速度向点C运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为t秒，当为直角三角形时，t的值为（    ） A．秒 B．3秒 C．或3秒 D．3或秒 例6．（22-23八年级上·山东济南·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线：与x轴交于点，与y轴交于点，与直线交于点E．已知点D的坐标为，点C在A的左侧且． (1)分别求出直线和直线的表达式；(2)在直线上，是否存在一点P，使得，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；(3)在坐标轴上，是否存在一点Q，使得是以为直角边的直角三角形，若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 例7．（2024·四川成都·八年级校考期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，过点B的直线交x轴的正半轴于点C，且面积为10． (1)求直线BC的解析式；(2)如图1，若点M为线段BC上一点，且满足，求点M的坐标； (3)如图2，点F为线段AB中点，点G为y轴上任意一点，连接FG，以FG为腰，G为直角顶点，在FG右侧作等腰直角，当顶点Q落在直线BC上时，求点的坐标． 1．（2023春·广东广州·八年级校考期末）如图，点M是直线y=2x+3上的动点，过点M作MN垂直于x轴于点N，y轴上是否存在点P，使得△MNP为等腰直角三角形，则符合条件的点P有（提示：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 2．（23-24八年级下·重庆·假期作业）如图，在中，，点是边上的一个动点（不与重合），过作交边于点，将沿直线翻折，点落在射线上的处，当为直角三角形时，的长为（    ） A．1或3 B．2或3 C．1或2 D．2或4 3．（23-24八年级上·山东潍坊·阶段练习）(多选题)在 中，，，点 在 边上，连接，若为直角三角形，则的度数为（  ） A． B． C． D． 4．（22-23八年级下·江西上饶·期中）如图，在平面直角坐标系中，点，，直线l经过原点O，且与x轴正半轴的夹角是，过点A作轴，交直线l于点N，若点P在射线上（点P与点N不重合），则当是直角三角形时，点P的坐标为 ．    5．（23-24八年级上·江苏盐城·阶段练习）在直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标是(2，2)，若点P在x轴上，且△APO是直角三角形，则点P的坐标是 ． 6．（2024·江西吉安·八年级校联考阶段练习）已知Rt△ABC中，AC＝4，BC＝3，∠ACB＝90°，以AC为一边在Rt△ABC外部作等腰直角三角形ACD，则线段BD的长为 ． 7．（2023·四川成都·八年级统考期末）在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=1，以AC为腰作等腰直角三角形ACD ，则线段BD的长为 ． 8.（2023春·河南南阳·八年级统考期末）如图，矩形中，，点E为边上的一个动点，与关于直线对称．当为直角三角形时，的长为 ．    9.（2023秋·浙江绍兴·八年级统考期末）如图，在中，，，点D是边上的点，将沿折叠得到，线段与边交于点F．若为直角，则的长是 ． 10．（2023秋·重庆·八年级课堂例题）已知点A和点，以点A和点为两个顶点作等腰直角三角形，一共可以作出 个． 11．（2022·上海普陀·八年级期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，点D为边BC上一点，将△ACD沿直线AD翻折得到△AED，点C的对应点为点E，联结BE，如果△BDE是以BD为直角边的等腰直角三角形，那么BC的长等于______． 12．（2024·江西萍乡·二模）如图，在△ABC 中，AB＝BC＝2，AO＝BO，P 是射线 CO 上的一个动点，∠AOC＝60°，则当△PAB为直角三角形时，AP 的长为____． 13．（2023·山东·八年级课时练习）如图，在中，，，，．是边上的一个动点，点与点关于直线对称，当为直角三角形时，的长为________． 14．（2023春·河北张家口·八年级统考期末）如图，在中，，，，动点P，Q同时从A，B两点出发，分别在边上匀速运动，它们的速度分别为，，当点P到达点B时，P，Q两点同时停止运动，设点P的运动时间为．    （1）当 时，为等腰三角形；（2）当 时，为直角三角形． 15.（2023秋·四川成都·八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，点M，N的坐标分别为，，在x轴的负半轴上有一点A，且满足，连接，． (1)求直线的函数表达式．(2)将线段沿y轴方向平移至，连接，'．①当线段向下平移2个单位长度时（如图所示），求的面积；②当为直角三角形时，求点的坐标． 16．（24-25八年级上·全国·期中）如图，在中，，，，动点、同时从、两点出发，分别在、边上匀速移动，它们的速度分别为，，当点到达点时，、两点同时停止运动，设点的运动时间为． (1)当t为何值时，为等边三角形？(2)当t为何值时，为直角三角形？ 17．（23-24八年级上·浙江杭州·期中）如图，在中，，，，点D为边上的动点，沿边往A运动，当运动到点A时停止，点D运动的速度为每秒1个单位长度． (1)当时，分别求和的长；(2)当t为何值时，是直角三角形？(3)若是等腰三角形，请直接写出t的值． 18．（23-24八年级上·江苏盐城·期中）在平面直角坐标系中，为坐标原点，过点分别作轴、轴的平行线，交轴于点，交轴于点． (1)直接写出点和点的坐标，其中点的坐标为__________，点的坐标为__________； (2)动点若从点出发，沿射线以1个单位长度/秒的速度运动，运动时间为（秒），当为直角三角形时，求的值．(3)动点若从点出发，沿以2个单位长度/秒的速度向终点运动，运动时间为（秒），点，连接、，是否存在这样的值，使，若存在，请求出值，若不存在，请说明理由． 19．（2023春·吉林长春·八年级校考阶段练习）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长为1个单位长度，存在线段，端点A，B均落在格点上，构建如图所示平面直角坐标系． (1)直接写出点A，B的坐标：A（______，______），    B（______，______）； (2)请在网格中找到点C，连接，，使为等腰直角三角形，此时点C的坐标为______； (3)如图所示，网格中（包括网格的边界）存在点P，点P的横纵坐标均为整数，连接，，得到锐角，且为等腰三角形，则满足条件的点P有_____个． 20．（2023秋·浙江金华·八年级校联考阶段练习）在平面直角坐标系中，点A的坐标为(-1，0)，点B是直线上的动点，连接AB，设点B的横坐标为． (1)如图1，当时，以AB为直角边在AB下方作等腰直角三角形ABC，使，求点C的坐标． (2)如图2，把线段AB绕点A顺时针旋转得到线段AD，当点B在直线上运动时，点D也随之运动，连接OD，求AOD的面积（用含的代数式表示）． (3)在图3中以AB为直角边作等腰直角三角形ABE，当点E落在直线上时，求的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题14 直角三角形中的分类讨论模型 直角三角形是特殊三角形中最重要的一类三角形，它的重要性与等腰三角形有所不同，到初二初三，特别是到了初三，直角三角形往往不是独立成题，而是融入到各种图形中，可以说，多数的几何图形，都能找到直角三角形的影子，自然就会涉及到直角三角形有关的性质运用，本专题我们就讲直角三角形的分类讨论模型。 2 模型1.斜边（或直角）不确定的直角三角形模型 2 模型2.直角三角形存在性模型 5 15 大家在掌握几何模型时，多数同学会注重模型结论，而忽视几何模型的证明思路及方法，导致本末倒置。要知道数学题目的考察不是一成不变的，学数学更不能死记硬背，要在理解的基础之上再记忆，这样才能做到对于所学知识的灵活运用，并且更多时候能够启发我们解决问题的关键就是基于已有知识、方法的思路的适当延伸、拓展，所以学生在学习几何模型要能够做到的就是：①认识几何模型并能够从题目中提炼识别几何模型；②记住结论，但更为关键的是记住证明思路及方法；③ 明白模型中常见的易错点，因为多数题目考察的方面均源自于易错点。当然，以上三点均属于基础要求，因为题目的多变性，若想在几何学习中突出，还需做到的是，在平时的学习过程中通过大题量的训练，深刻认识几何模型，认真理解每一个题型，做到活学活用！ 【知识储备】凡是涉及直角三角形问题，以三角形三个内角（三条边）谁为直角（斜边）分三种情况讨论，若只存在两种情况，则另一种不为直角的情况要简要说明理由。 有时根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半列方程更简便。在平面直角坐标系中，两点间的距离公式常常用到。解直角三角形的问题，常常和勾股定理问题联系在一起． 模型1.斜边（或直角）不确定的直角三角形模型 若直角三角形没有明确谁直角（斜边），要分类讨论；从直角（斜边）入手分三种情况进行讨论。 例1．（2023春·河南安阳·八年级校考期末）若三角形的两边长为4和5，要使其成为直角三角形，则第三边的长为 ． 【答案】3或/或3 【分析】根据勾股定理逆定理：如果三角形两条边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形就是直角三角形，再分5为斜边或第三边为斜边两种情况考虑，即可求出第三边． 【详解】解：当较大的数5为斜边时，第三边， 当第三边为斜边时，第三边，故答案为：3或． 【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，即如果三角形两条边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形就是直角三角形，熟练掌握勾股定理的逆定理及分情况考虑是解题关键． 例2．（2023秋·浙江八年级课时练习）如图，在中，于点D，平分．若，F为线段上的任意一点，则当为直角三角形时，则的度数为（　　） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】根据平分，可得，再由，可得，，再分两种情况：当时；当时，即可求解． 【详解】解：∵平分，，∴， ∵，∴，， 当时，如图， ∴； 当时，如图， ∴，∴； 综上所述，的度数为或 ．故选：D 【点睛】本题主要考查了直角三角形的性质，三角形外角的性质，有关角平分线的计算，熟练掌握直角三角形的性质，三角形外角的性质，利用分类讨论思想解答是解题的关键． 例3．（23-24八年级下·广东深圳·期中）如图，是等边三角形，点与点分别在边与上，将沿直线折叠，使得的对应点落到边上，当为直角三角形时，的度数为（    ）    A．45°或75° B．45°或30° C．30°或75° D．45°或60° 【答案】A 【分析】此题主要考查了等边三角形的性质，图形的折叠及其性质．先根据等边三角形性质得，因此当为直角三角形时，有以下两种情况：①当时，则，由折叠的性质可得出的度数；②当为直角时，则，进而得，由折叠的性质可得出的度数，综上所述即可得出答案． 【详解】解：为等边三角形，，当为直角三角形时，有以下两种情况： ①当时，如图1所示：      则，由折叠的性质得：， ②当为直角时，如图2所示： 则，，由折叠的性质得：， 综上所述：的度数为或．故选：A． 例4．（24-25九年级上·重庆长寿·阶段练习）如图，中，，，，点、分别为、的中点，点为边上一动点，将沿着折叠，点的对应点为点，且点始终在直线的下方，连接，当为直角三角形时，线段的长为 ． 【答案】或 【分析】本题考查勾股定理，三角形中位线，折叠，全等三角形的知识，解题的关键是根据直角三角形中，所对的直角边等于斜边的一半，求出，根据勾股定理，求出，根据三角形的中位线的性质，求出，；分类讨论：当，为直角三角形，过点作交于点，根据等腰三角形三线合一，求出，根据勾股定理求出；当，为直角三角形，根据确定三角形的判定和性质，得，根据勾股定理，求出，即可． 【详解】解：∵中，，，， ∴，∴， ∵点、分别为、的中点，∴，，∴， ∵沿着折叠，点的对应点为点，∴，， 当时，为直角三角形，如图； ∴，∴，∴，∴是等腰三角形， 过点作交于点，∴， 设，∴，∵， ∴，解得：，∴，∴； 当时，为直角三角形，如图， ∵，是公共边，∴， ∴，∴，∴，∴， ∵，∴，∵，∴， ∵，∴不可能为直角．综上所述，的长为或． 模型2.直角三角形存在性模型 直角三角形存在性的问题常考背景有翻折（折叠）、动点、旋转等。 直角三角形存在性的问题，首先需要观察图形，判断直角顶点是否确定。若不确定，则需要进行分类讨论，如下面模型构建。 “两定一动”直角三角形存在性问题：（常见与坐标系综合、或结合翻折（折叠）、动点、旋转等）。 问题：已知点A，B和直线l，在l上求点P，使△PAB为直角三角形． 分三种情况，如图： ①以A为直角顶点，即∠BAP＝90°：过点A作AB的垂线，与已知直线l的交点P1即为所求； ②以B为直角顶点，即∠ABP＝90°：过点B作AB的垂线，与已知直线l的交点P2即为所求； ③以P为直角顶点，即∠APB＝90°：以AB的中点Q为圆心，QA的长为半径画圆，与已知直线l的交点P3，P4即为所求． 代数法计算：分别表示出点A，B，P的坐标，再分别表示出AB，AP和BP的长，由①BP2＝AB2＋AP2；②AP2＝AB2＋BP2；③AB2＝AP2＋BP2分别列方程求解．若方程有解，则此情况存在；若方程无解，则此情况不存在。 几何法计算：若有30°，45°或60°角可考虑用勾股定理求解． 例1．（23-24八年级上·陕西商洛·期末）在平面直角坐标系内，点O为坐标原点，，．若在该坐标平面内有一点P（不与点A、B、O重合）为一个顶点的直角三角形与全等，且这个以点P为顶点的直角三角形与有一条公共边，则所有符合条件的三角形个数为（    ） A．3个 B．4个 C．6个 D．7个 【答案】D 【分析】根据题意画出图形，分别以为边、根据直角三角形全等的判定定理作出符合条件的三角形即可． 【详解】解：如图：分别以为边作与全等的三角形各有4个，其中有5个是重合的， 则所有符合条件的三角形个数为7．故选：D． 【点睛】本题考查的是直角三角形全等的判定，坐标与图形的性质，灵活运用分情况讨论思想、根据直角三角形全等的判定定理不重不漏的找出所有符合条件的三角形是解题的关键． 例2．（2023·河南新乡·八年级校考期中）平面直角坐标系中有点、，连接AB，以AB为直角边在第一象限内作等腰直角三角形，则点C的坐标是 ． 【答案】或/或 【分析】据题意作出图形，①当时，过点作轴于点，证明；②当时，过点作轴于点，证明，根据点的坐标即可求得的坐标． 【详解】解：如图， 、， 以AB为直角边在第一象限内作等腰直角三角形，则, ①当时，过点作轴于点， 在与中 ②当时，过点作轴于点，同理可得 ， 综上，点C的坐标是或 故答案为：或 【点睛】本题考查坐标与图形，等腰直角三角形的性质，三角形全等的性质与判定，分类讨论是解题关键． 例3．（23-24八年级上·广东深圳·期中）在平面直角坐标系中，已知点A的坐标是，点P的坐标为，若为直角三角形，则的值为 ． 【答案】3或 【分析】有两种情况：根据为直角三角形，令A和P为直角顶点时，有两种情况： ①如图1，当时，根据点A的坐标可得P的坐标； ②如图2，当时，根据勾股定理可建立方程求解m的值． 【详解】解：有两种情况： ①如图1，当时，∵点A的坐标是，∴点P的坐标为，∴；    ②如图2，当时，过A作于B，    ∴，，，∴，， ∴在中，，即，解得：， ∴综上所述：m的值为3或，故答案为：或m＝． 【点睛】此题主要考查了直角三角形的判定，相似三角形的性质和判定，坐标与图形的性质等知识点，在直角三角形直角顶点不确定的情况下，一定要分类讨论，以免漏解． 例4．（23-24八年级上·新疆乌鲁木齐·期中）如图正方形边长为2，为边中点，为射线上一点不与重合），若为直角三角形，则 ． 【答案】或或 【分析】分三种情况：①如图1，当时，在正方形的内部，先根据直角三角形斜边中线的性质得的长，利用勾股定理得的长，从而可解答；②如图2，当时，在正方形的外部，同理可解答；③如图3，当时，证明，可得，从而可解答． 【详解】解：分三种情况：①如图1，当时，在正方形的内部， 是的中点，且，， 四边形是正方形，，，，； ②如图2，当时，在正方形的外部，同理可得； ③如图3，当时，，，， ，，， 综上，的长是或或；故答案为：或或． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是运用分类讨论的思想解决问题，并正确画图，不要丢解． 例5．（23-24八年级上·河北沧州·阶段练习）如图，在中，，，，点P从点B出发以每秒的速度向点A运动，点Q从点A同时出发以每秒的速度向点C运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为t秒，当为直角三角形时，t的值为（    ） A．秒 B．3秒 C．或3秒 D．3或秒 【答案】D 【分析】此题主要考查直角三角形的判定，含30度角的直角三角形的特征，根据题意，先列出的代数式，当为直角三角形时，则或，再根据30度所对的边是斜边的一半，建立关于t的方程求解即可． 【详解】解：根据题意得：，， 为直角三角形，，当时，则， ，解得：， 当时，则，，解得：， 综上，当t的值为3秒或秒时，为直角三角形，故选：D． 例6．（22-23八年级上·山东济南·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线：与x轴交于点，与y轴交于点，与直线交于点E．已知点D的坐标为，点C在A的左侧且． (1)分别求出直线和直线的表达式； (2)在直线上，是否存在一点P，使得，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由； (3)在坐标轴上，是否存在一点Q，使得是以为直角边的直角三角形，若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，(2)存在，若点P在右侧，；若点P在左侧， (3)存在，或 【分析】（1）用待定系数法求解即可；（2）先求出交点和，再分两种情况：①若点P在右侧，②若点P在左侧，利用三角形面积，分别求解即可；（3）分两种情况：①当时，交x轴于Q，②当时，交x轴于Q，分别 求解即可． 【详解】（1）解：将，代入直线：，得： ，解得：，∴直线：， ∵，，∴，设直线：() 将，代入直线：，得： ，解得：，∴直线：． （2）解：联立，解得：，∴，∴， ①若点P在右侧，∵，∴， ∴，解得，∴ ②若点P在左侧，∵S△BEP=8，∴， ∴，解得，当时，，∴． （3）解：分两种情况：①当时，交x轴于Q， ∵，，∴，∵，∴， ∵，∴，∵，∴， ∴，∴，∴； ②当时，交x轴于Q，同理，∴， ∵，，∴，由勾股定理，得， ∴，∴，综上，存在，或． 【点睛】本题考查待定系数法求一次函数解析式，从标与图形，三解形面积，勾股定理，等腰直角 三角形，注意分类讨论思想的应用是解题的关键． 例7．（2024·四川成都·八年级校考期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，过点B的直线交x轴的正半轴于点C，且面积为10． (1)求直线BC的解析式；(2)如图1，若点M为线段BC上一点，且满足，求点M的坐标； (3)如图2，点F为线段AB中点，点G为y轴上任意一点，连接FG，以FG为腰，G为直角顶点，在FG右侧作等腰直角，当顶点Q落在直线BC上时，求点的坐标． 【答案】(1)(2)(3)， 【分析】（1）先求出，，即有，，再根据，可得，即可得，即有，再利用待定系数法即可求解； （2）设M点坐标为：，由，，即可得，问题随之得解； （3）利用中点坐标公式求出，设，第一种情况：当时，如图，点Q落在BC上时，过G作直线平行于x轴，过点F，Q作该直线的垂线，垂足分别为T，N，证明，即有，，结合，可表示出，代入直线BC的解析式即可求解；第二种情况：当时，如图，点Q落在BC上时，过G作直线平行于x轴，过点F，Q作该直线的垂线，垂足分别为T，N，同理作答即可． 【详解】（1）令，则有：，解得，令，则有：， ∴，，∴，，∵，∴， ∵，，∴，∴，设BC的解析式为：，∴，， ∴，解得：，∴的解析式为：； （2）根据题意设M点坐标为：， ∵，，∴，∴， ∵，，，， ∴，解得：，，∴M点的坐标为：； （3）∵，，点F为线段AB中点，∴，设， 第一种情况：当时，如图，点Q落在BC上时，过G作直线平行于x轴，过点F，Q作该直线的垂线，垂足分别为T，N，即：轴，，，即：， ∵等腰直角三角形，，∴，∴， ∵，∴，∵，∴，∴，， ∵轴，∴点T和点N的纵坐标与G点相等，均为n， ∵，，∴，， ∴，，∴，∴， ∵落在直线BC上，BC的解析式为：， ∴，解得：，∴， 第二种情况：当时，如图，点Q落在BC上时，过G作直线平行于x轴，过点F，Q作该直线的垂线，垂足分别为T，N，即：轴，，，即：， 根据第一种情况中的方法，同理可证：，∴，， ∵轴，∴点T和点N的纵坐标与G点相等，均为n， ∵，，∴，， ∴，，∴，∴， ∵落在直线BC上，BC的解析式为：， ∴，解得：，∴，综上：G点坐标为：，． 【点睛】本题属于一次函数综合题，考查了待定系数法，三角形的面积，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题． 1．（2023春·广东广州·八年级校考期末）如图，点M是直线y=2x+3上的动点，过点M作MN垂直于x轴于点N，y轴上是否存在点P，使得△MNP为等腰直角三角形，则符合条件的点P有（提示：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】根据等腰直角三角形的定义,由题意,应分两类情况讨论：当MN为直角边时和当MN为斜边时点Ｐ的位置的求法． 【详解】当M运动到(－1，1)时，ON=1，MN=1， ∵MN⊥x轴，所以由ON=MN可知，(0，0)和(0，1)就是符合条件的P点； 又当M运动到第三象限时，要MN=MP，且PM⊥MN，设点M(x，2x+3)， 则有－x=－(2x+3)，解得x=－3，所以点P坐标为(0，－3)． 如若MN为斜边时，则∠ONP=45°，所以ON=OP，设点M(x，2x+3)， 则有－x=－(2x+3)，化简得－2x=－2x－3，这方程无解，所以这时不存在符合条件的P点； 又当点M′在第二象限，M′N′为斜边时，这时N′P=M′P，∠M′N′P=45°，设点M′(x，2x+3)，则OP=ON′，而OP=M′N′，∴有－x=(2x+3)，解得x=－，这时点P的坐标为(0，－)． 因此，符合条件的点P坐标是(0，0)，(0，－)，(0，－3)，(0，1)．故答案选C, 【点睛】本题主要采用分类讨论法,来求得符合条件的点P坐标．题中没有明确说明哪个边是直角边,哪条边是斜边,所以分情况说明,在证明时,注意点M的坐标表示方法以及坐标与线段长之间的转换. 2．（23-24八年级下·重庆·假期作业）如图，在中，，点是边上的一个动点（不与重合），过作交边于点，将沿直线翻折，点落在射线上的处，当为直角三角形时，的长为（    ） A．1或3 B．2或3 C．1或2 D．2或4 【答案】C 【分析】本题主要考查的是翻折的性质和直角三角形的性质，勾股定理等知识点，掌握翻折的性质和直角三角形的性质，勾股定理是解题的关键． 由直角三角形的性质可得，分两种情况讨论，直角三角形的性质，勾股定理和折叠的性质可求解． 【详解】解：∵在中，， ∴，，，即，∴， ①若点在线段上，时， 由折叠可得：，， ，即，，， ②若点在的延长线上，，如图， 由折叠可得：，∵，， 即，，，，故选：C． 3．（23-24八年级上·山东潍坊·阶段练习）(多选题)在 中，，，点 在 边上，连接，若为直角三角形，则的度数为（  ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】当为直角三角形时，存在两种情况：或，根据三角形的内角和定理可得结论． 【详解】分两种情况： 如图，当时，    ∵， ∴； 如图，当时，    ∵，， ∴， ∴， 综上可知，的度数为或， 故选：． 【点睛】此题考查了三角形的内角和定理和直角三角形两锐角互余的性质，分情况讨论是本题的关键． 4．（22-23八年级下·江西上饶·期中）如图，在平面直角坐标系中，点，，直线l经过原点O，且与x轴正半轴的夹角是，过点A作轴，交直线l于点N，若点P在射线上（点P与点N不重合），则当是直角三角形时，点P的坐标为 ．    【答案】或或或 【分析】分三种情况讨论：（1）当A为直角顶点时，，是直角三角形，N与P重合，（2）当B为直角顶点时，，是直角三角形，（3）当P为直角顶点时， 或， 是直角三角形，分别求解即可． 【详解】解：（1）当A为直角顶点时，，是直角三角形，N与P重合，如图： ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴，    （2）当B为直角顶点时，，是直角三角形，如图： ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， （3）当P为直角顶点时，分两种情况：， 是直角三角形，如图： ∵，，， ∴， ∵， ∴是等边三角形， 过作， ∴， ∴， ∴， 当P为直角顶点时，分两种情况：， 是直角三角形，如图： ∵，，， ∴， ∵， ∴是等边三角形， 同理可得， 综上所述，点P的坐标为或或或． 故答案为：或或或． 【点睛】本题考查坐标与图形，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，注意分类讨论是解题的关键． 5．（23-24八年级上·江苏盐城·阶段练习）在直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标是(2，2)，若点P在x轴上，且△APO是直角三角形，则点P的坐标是 ． 【答案】（2，0）或（4，0） 【分析】根据△APO是直角三角形，分两种情况：∠A是直角或∠P是直角，进行讨论，即可求解. 【详解】①当∠A是直角时， ∵点A的坐标是(2，2)，若点P在x轴上， ∴∠AOP=45°，即△APO是等腰直角三角形， ∴ ∴， ∴点P的坐标是（4，0） ②∠P是直角时， ∵点A的坐标是(2，2)，若点P在x轴上， ∴∠AOP=45°，即△APO是等腰直角三角形， ∴OP=AP=2， ∴点P的坐标是（2，0）， 综上所述：点P的坐标是（2，0）或（4，0） 故答案为：（2，0）或（4，0）. 【点睛】本题主要考查等腰直角三角形的判定和性质，结合点的坐标，进行分类讨论，是解题的关键. 6．（2024·江西吉安·八年级校联考阶段练习）已知Rt△ABC中，AC＝4，BC＝3，∠ACB＝90°，以AC为一边在Rt△ABC外部作等腰直角三角形ACD，则线段BD的长为 ． 【答案】7或或 【分析】分三种情形讨论：（1）如图1中，以点C所在顶点为直角时；（2）如图2中，以点D所在顶点为直角时；（3）如图3中，以点A所在顶点为直角时． 【详解】（1）如图1中，以点C所在顶点为直角时．∵AC=CD=4，BC=3，∴BD=CD+BC=7； （2）如图2中，以点D所在顶点为直角时，作DE⊥BC与E，连接BD． 在Rt△BDE中DE=2，BE=5，∴BD； （3）如图3中，以点A所在顶点为直角时，作DE⊥BC于E， 在Rt△BDE中，DE=4．BE=7，∴BD．故答案为7或或． 【点睛】本题考查了勾股定理、等腰直角三角形等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题． 7．（2023·四川成都·八年级统考期末）在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=1，以AC为腰作等腰直角三角形ACD ，则线段BD的长为 ． 【答案】2或. 【详解】①以A为直角顶点，向外作等腰直角三角形DAC， 图①∵∠DAC=90°，且AD=AC，∴BD=BA+AD=1+1=2； ②以C为直角顶点，向外作等腰直角三角形ACD， 图② 连接BD，过点D作DE⊥BC，交BC的延长线于E． ∵△ABC是等腰直角三角形，∠ACD=90°，∴∠DCE=45°， 又∵DE⊥CE，∴∠DEC=90°，∴∠CDE=45°，∴ 在中， ∴ 考点：等腰直角三角形 8.（2023春·河南南阳·八年级统考期末）如图，矩形中，，点E为边上的一个动点，与关于直线对称．当为直角三角形时，的长为 ．    【答案】9或18 【分析】分两种情况，分别求解，（1）当时，如图（1），根据轴对称的性质得，得；（2）当时，如图（2），根据轴对称的性质得，得A、、C在同一直线上，根据勾股定理得，设，则，根据勾股定理，计算即可． 【详解】解：（1）当时，如图（1），       ∵，根据轴对称的性质得， ∵，∴是等腰直角三角形，∴； （2）当时，如图（2）， 根据轴对称的性质得，为直角三角形， 即，∴，∴A、、C在同一直线上， 根据勾股定理得，∴， 设，则，在中，， 即，解得，即； 综上所述：的长为9或18；故答案为：9或18． 【点睛】本题考查了矩形的性质、勾股定理、轴对称的性质，熟练掌握矩形的性质、勾股定理、轴对称的性质的综合应用，分情况讨论，画出图形是解题关键． 9.（2023秋·浙江绍兴·八年级统考期末）如图，在中，，，点D是边上的点，将沿折叠得到，线段与边交于点F．若为直角，则的长是 ． 【答案】/ 【分析】过点A作于点G，根据等腰三角形的性质可得，从而得到，进而得到，再由折叠的性质可得，从而得到，进而得到，即可求解． 【详解】解：如图，过点A作于点G， ∵，，∴， ∴，∴， ∵将沿折叠得到，∴， ∵，∴， ∴，∴，∴， ∴．故答案为： 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定和性质，图形的折叠问题，直角三角形的性质，勾股定理等知识，熟练掌握等腰三角形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理是解题的关键． 10．（2023秋·重庆·八年级课堂例题）已知点A和点，以点A和点为两个顶点作等腰直角三角形，一共可以作出 个． 【答案】6 【分析】根据等腰直角三角形的性质，分点是直角边和斜边两种情况作出图形即可得解． 【详解】解：如图，以点和点为两个顶点作等腰直角三角形，    一共可作出6个．故答案为：6 【点睛】本题考查了等腰直角三角形，作出图形，利用数形结合的思想求解更形象直观． 11．（2022·上海普陀·八年级期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，点D为边BC上一点，将△ACD沿直线AD翻折得到△AED，点C的对应点为点E，联结BE，如果△BDE是以BD为直角边的等腰直角三角形，那么BC的长等于______． 【答案】12或 【分析】根据题意可知，需要分两种情况，，，画出对应的图形，再根据折叠的性质及等腰直角三角形的性质可求解． 【详解】解：①当时，如图， 此时，四边形是正方形，则， 又是等腰直角三角形，则，所以； ②当时，如图， 设，则，，由折叠可知，， 由题意可知，，，， 即是等腰直角三角形，，， ，，解得， ．故答案为：12或． 【点睛】本题考查了翻折变换、勾股定理、解直角三角形、等腰直角三角形的性质与判定等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想解决问题． 12．（2024·江西萍乡·二模）如图，在△ABC 中，AB＝BC＝2，AO＝BO，P 是射线 CO 上的一个动点，∠AOC＝60°，则当△PAB为直角三角形时，AP 的长为____． 【答案】或或1 【分析】利用分类讨论，当∠ABP=90°时，如图2，由对顶角的性质可得∠AOC=∠BOP=60°，易得∠BPO=30°，易得BP的长，利用勾股定理可得AP的长；当∠APB=90°时，分两种情况讨论，情况一：如图1，利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半得出PO=BO，易得△BOP为等边三角形，利用勾股定理可得AP的长；情况二：如图3，利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半可得结论． 【详解】当∠ABP=90°时（如图2）， ∵∠AOC=∠BOP=60°， ∴∠BPO=30°， ∴OP=2OB=2， ∴BP=， 在直角三角形ABP中， AP=； 当∠APB=90°时，分两种情况， 情况一，（如图1）， ∵AO=BO， ∴PO=BO， ∵∠AOC=60°， ∴∠BOP=60°， ∴△BOP为等边三角形， ∴BP=OB=1， ∵AB=BC=2， ∴AP=； 情况二，如图3， ∵AO=BO，∠APB=90°， ∴PO=AO， ∵∠AOC=60°， ∴△AOP为等边三角形， ∴AP=AO=1， 故答案为：或或1． ． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，等边三角形的判定及性质，含30°直角三角形的性质和直角三角形斜边的中线，分类讨论，数形结合是解答此题的关键． 13．（2023·山东·八年级课时练习）如图，在中，，，，．是边上的一个动点，点与点关于直线对称，当为直角三角形时，的长为________． 【答案】7或17 【分析】分当E在线段AD上时，当E在线段BD上时分别求解即可． 【详解】解：当E在线段AD上时，连接CE，作A关于CE的对称点F，连接AF，EF，CF， ∵∠AEF=90°，∴∠AEC=∠FEC==135°，∴∠CED=45°， ∴CD=ED=5，∴AE=AD-ED=12-5=7； 当E在线段BD上时，连接CE，作A关于CE的对称点F，连接EF，CF，AF， ∵∠AEF=90°，∴∠CEF=∠CEA=45°， ∴ED=CD=5，∴AE=AD+DE=17，故答案为：7或17． 【点睛】本题考查了等腰三角形三线合一的性质，等腰直角三角形的性质，轴对称的性质，解本题的关键是注意运用数形结合的思想解决问题． ，则， ， ， 设经过秒后的面积等于， 则，，， 当点在线段上运动时，， 根据题意：， ，， 当点在的延长线上运动时，， 根据题意：， ，（舍， 故经过2秒或4秒或秒后，的面积等于． 故答案为：2秒或4秒或秒． 【点睛】本题考查一元二次方程的实际应用，解题的关键是要对分类讨论． 14．（2023春·河北张家口·八年级统考期末）如图，在中，，，，动点P，Q同时从A，B两点出发，分别在边上匀速运动，它们的速度分别为，，当点P到达点B时，P，Q两点同时停止运动，设点P的运动时间为．    （1）当 时，为等腰三角形； （2）当 时，为直角三角形． 【答案】 2或 【分析】（1）先求出，；则当为等腰三角形，为等边三角形，由等边三角形的性质得到，由此建立方程进行求解； （2）当为直角三角形可分当时和当时两种情况进行求解即可． 【详解】解：（1）∵在中，，，， ∴，， ∵，，∴，∴， 当为等腰三角形时，由于，则为等边三角形， ∴，∴，解得，故答案为：； （2）当时，则， ∴，∴，解得； 当时，则，∴， 则，解得；故答案为：2或． 【点睛】本题考查等边三角形的性质与判定，含30度的直角三角形的性质，灵活运用所学知识是解题关键． 15.（2023秋·四川成都·八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，点M，N的坐标分别为，，在x轴的负半轴上有一点A，且满足，连接，． (1)求直线的函数表达式． (2)将线段沿y轴方向平移至，连接，'． ①当线段向下平移2个单位长度时（如图所示），求的面积； ②当为直角三角形时，求点的坐标． 【答案】(1) (2)①28，②或 【分析】（1）先求得，从而求得，又，再用待定系数法即可求出直线的函数表达式； （2）①根据平移规律求出，，再用待定系数法即可求出直线的函数表达式为，从而可求出其与y轴相交于点，即可根据三角形面积公式求解； ②设将线段沿y轴方向平移m个单位长度至，则，．然后分三种情况：当时，当时，当时，利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴． ∵， ∴． 又∵点A在x轴的负半轴上， ∴． 设直线的函数表达式为． 将，代入上式， 得解得 ∴直线的函数表达式为． （2）解：①∵将线段向下平移2个单位长度， ∴，． 设直线的函数表达式为，把、代入，得 ，解得， ∴直线的函数表达式为． 设直线与y轴相交于点C， 令，则， ∴． ∴． ②设将线段沿y轴方向平移m个单位长度至， 则，． ∴，，． 当时，， 解得，此时，； 当时，， 解得，此时，； 当时，不成立． 综上所述，点的坐标为或． 【点睛】本题考查待定系数法求函数解析式，一次函数图象平移，勾股定理，三角形面积．熟练掌握待定系数法求函数解析式和一次函数图象平移规律解题的关键． 16．（24-25八年级上·全国·期中）如图，在中，，，，动点、同时从、两点出发，分别在、边上匀速移动，它们的速度分别为，，当点到达点时，、两点同时停止运动，设点的运动时间为． (1)当t为何值时，为等边三角形？ (2)当t为何值时，为直角三角形？ 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查了等边三角形的判定、直角三角形的性质，一元一次方程的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先根据直角三角形的性质，得出，根据题意，得，，结合等边三角形的性质，列式作答即可； （2）因为为直角三角形，所以分类讨论，即当时，或当时，，进行列式求解，即可作答． 【详解】（1）解：，， ，． ， ， 动点、同时从、两点出发，分别在、边上匀速移动，它们的速度分别为，， ， ， ，，； 当时，为等边三角形． 即． ． 即当时，为等边三角形； （2）解：若为直角三角形， ①当时，， 即， ． ②当时，， 即， ， 即当或时，为直角三角形． 17．（23-24八年级上·浙江杭州·期中）如图，在中，，，，点D为边上的动点，沿边往A运动，当运动到点A时停止，点D运动的速度为每秒1个单位长度． (1)当时，分别求和的长； (2)当t为何值时，是直角三角形？ (3)若是等腰三角形，请直接写出t的值． 【答案】(1)， (2)或5 (3)或3或 【分析】本题考查了勾股定理，等腰三角形的定义，直角三角形的性质； （1）根据速度×时间列式计算求出，利用勾股定理列式求出，再根据进行计算即可得解； （2）分两种情况讨论：①当时，利用的面积列式计算求出，然后利用勾股定理列式求出，再根据时间=路程÷速度计算；②当时，点D和点A重合，然后根据时间=路程÷速度计算即可得解； （3）分三种情况讨论：①当时，根据直角三角形的性质求出，然后即可计算t的值；②当时，可直接计算t的值；③当时，利用勾股定理求出，得到的值，即可计算t的值． 【详解】（1）解：时，， ∵，，， ∴， ∴； （2）①当时，， 即， 解得， ∴， ∴； ②当时，点D和点A重合， ∴， 综上所述，或5； （3）①当是斜边中点时，， ∴， ∴； ②当时，； ③当时，如图，过B作于F， 由（2）得， ∴， ∴， ∴； 综上所述，若是等腰三角形，t的值为或或． 18．（23-24八年级上·江苏盐城·期中）在平面直角坐标系中，为坐标原点，过点分别作轴、轴的平行线，交轴于点，交轴于点． (1)直接写出点和点的坐标，其中点的坐标为__________，点的坐标为__________； (2)动点若从点出发，沿射线以1个单位长度/秒的速度运动，运动时间为（秒），当为直角三角形时，求的值． (3)动点若从点出发，沿以2个单位长度/秒的速度向终点运动，运动时间为（秒），点，连接、，是否存在这样的值，使，若存在，请求出值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)当或时，为直角三角形 (3)当或时， 【分析】本题考查的是坐标与图形，勾股定理的应用； （1）根据，结合坐标系可得答案； （2）分两种情况讨论，先画出图形，再结合图形性质与勾股定理可得答案； （3）先求解，再分情况画出图形，结合三角形的面积公式求解即可； 【详解】（1）解：∵为坐标原点，过点分别作轴、轴的平行线，交轴于点，交轴于点． ∴，； （2）解：如图， 当重合时，为直角三角形， ∴， 如图，当时， ∵，， ∴，，， ∴， 解得：， ∴， ∴， 综上：当或时，为直角三角形； （3）解：∵，轴，轴，， ∴， 当在上时，，如图，， ∴， ∴， 解得：， 当在上时，，如图，而， ∴， ∴， 解得：； 综上：当或时，； 19．（2023春·吉林长春·八年级校考阶段练习）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长为1个单位长度，存在线段，端点A，B均落在格点上，构建如图所示平面直角坐标系． (1)直接写出点A，B的坐标：A（______，______），    B（______，______）； (2)请在网格中找到点C，连接，，使为等腰直角三角形，此时点C的坐标为______； (3)如图所示，网格中（包括网格的边界）存在点P，点P的横纵坐标均为整数，连接，，得到锐角，且为等腰三角形，则满足条件的点P有_____个． 【答案】(1)0；1；1；(2)或或(3)4 【分析】（1）根据图中A、B点的位置，写出点A、B的坐标即可； （2）根据题意画出图形，写出点C的坐标即可； （3）画出图形找出符合条件的点P，得出答案即可． 【详解】（1）解：点A，B的坐标分别为：，；故答案为：0；1；1；． （2）解：当点B为直角顶点时，点C的坐标为； 当点A为直角顶点时，点C的坐标为或； 故答案为：或或． （3）解：如图所示： 满足条件的点P有4个．故答案为：4． 【点睛】本题主要考查了在网格中画等腰三角形，坐标与图形，解题的关键是熟练掌握等腰三角形的定义，数形结合． 20．（2023秋·浙江金华·八年级校联考阶段练习）在平面直角坐标系中，点A的坐标为(-1，0)，点B是直线上的动点，连接AB，设点B的横坐标为． (1)如图1，当时，以AB为直角边在AB下方作等腰直角三角形ABC，使，求点C的坐标． (2)如图2，把线段AB绕点A顺时针旋转得到线段AD，当点B在直线上运动时，点D也随之运动，连接OD，求AOD的面积（用含的代数式表示）． (3)在图3中以AB为直角边作等腰直角三角形ABE，当点E落在直线上时，求的值． 【答案】(1)(2)(3)的值为 或 或−3或8 或9 【分析】（1）如图1，过作一条平行与轴的直线，作于，于，证明，有，，进而可表示的坐标； （2）如图2，过作一条平行与轴的直线，作于，于，连接，可证，进而可得点坐标，表示出面积即可；（3）①当时，，如图①，根据三角形全等可得，点坐标，将坐标代入中，计算求解即可；当时，，如图②，当时，，如图③，求解方法同①． 【详解】（1）解 ：∵∴ 如图1，过作一条平行与轴的直线，作于，于， ∴∴， ∵,,∴ 在和中∵∴ ∴，∴． （2）解：如图2，过作一条平行与轴的直线，作于，于，连接， ∴，∴， 同（1）可知∴， ∴∴ 当时，；当时，； ∴． （3）解：①当时，，如图①， 由（2）可知， 将点、分别代入得和解得和； ②当时，，如图②， 由（2）可知， 将点、分别代入得和解得和； ③当时，，如图③， 由（2）可知， 将点、分别代入得和解得和 综上所述，的值为 或 或或 或． 【点睛】本题考查了一次函数与几何综合，旋转的性质，等腰直角三角形的性质，三角形全等的判定与性质．解题的关键在于分情况求解． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！34 学科网（北京）股份有限公司 $$