专题16 等腰（等边）三角形中重要模型之维维尼亚模型-2024-2025学年八年级数学上册常见几何模型全归纳之模型解读与提分精练（人教版）

专题16 等腰（等边）三角形中重要模型之维维尼亚模型 维维亚尼定理（Viviani's theorem）：在等边三角形内任意一点P到三边的垂直距离之和，等于该等边三角形的高。这个定理可一般化为：等角多边形内任意一点P跟各边的垂直距离之和，是不变的，跟该点的位置无关。它以温琴佐·维维亚尼命名。 而今天我们要学习的维维亚尼模型就是维维亚尼定理及其拓展，它的证明主要利用了等面积法，消去相等底边后得到高之间的关系，因此等腰三角形的维维亚尼模型动点只能在底边所在直线上运动，此时连接点和底边所对顶点，能江原图分割成两个底相等的三角形。 2 模型1.等边三角形中维维尼亚模型 2 模型2.等腰三角形中维维尼亚模型 21 47 模型1.等边三角形中维维尼亚模型 条件：在等边中，P是平面上一动点，过点P作PE⊥AC，PF⊥BC，PD⊥AB，过点A作AM⊥BC。 结论：①如图1，若动点P在三角形ABC内时，则PD+PE+PF=AM； ②如图2，若动点P在三角形ABC外时，则PD+PE-PF=AM。 （当点P在三角形ABC外时，受P的位置影响，不同的位置结论稍有不同，但都可以使用等面积法证明）。    图1 图2 证明：①如图1，连结AP，BP，CP。∵是等边三角形，∴AB=BC=AC， 则， ∵； ∴PD+PE+PF=AM。 ②如图3，连结AP，BP，CP。∵是等边三角形，∴AB=BC=CA， 则， ∵； ∴PD+PE-PF=AM。 例1．（23-24八年级上·广西贵港·期中）如图，点P在等边三角形的内部，，，，垂足分别为D，E，F，若，且，则的边长为 ． 例2．（23-24山西八年级上期末）已知，在等边三角形中，为边上的高. 操作发现:（1）如图1，过点分别作，，垂足分别为.请直接写出和的数量关系；（2）如图2，若点为上任意一点（不与重合），过点作，，垂足分别为.判断和的数量关系，并说明理由； 拓广探索:（3）如图3，点为等边三角形内任意一点，过点作，，，垂足分别为，探究和的数量关系，并说明理由. 例3．（23-24八年级上·云南昆明·期末）如图（1），已知在中， 且 过A作 于点P，点M是直线上一动点，设点M到 两边、的距离分别为m，n， 的高为h．    (1)当点M运动到什么位置时， ，并说明理由． (2)如图（2），试判断m、n、h之间的关系，并证明你的结论． (3)如图（3），当点M运动到的延长线上时，求证： 模型2.等腰三角形中维维尼亚模型 条件：如图，等腰（AB=AC）中，点P在BC上运动，过点P作PD⊥AB，PH⊥AC，CE⊥AB， 结论：①如图1，若动点P在边BC上时，则PE+PD=CF。 ②如图2，若动点P在BC延长线上时，则|PF-PE|=CD。 图1 图2 证明：①如图1，连结AP；∵是等边三角形，∴AB=AC， 则，∵； ∴PE+PD=CF。 ①如图2，连结AP；∵是等边三角形，∴AB=AC， 则，∵； ∴PF-PE=CD。 例1．（23-24八年级上·重庆开州·阶段练习）如图，是等腰三角形，点是底边上任意一点，分别与两边垂直，等腰三角形的腰长为6，面积为24，则的值为（    ） A．4 B． C．15 D．8 例2．（23-24八年级下·山东烟台·期中）如图，将矩形沿折叠，使点落在点处，点落在点处，为折痕上的任意一点，过点作，，垂足分别为，，若，，，则的值为（    ） A．6 B．8 C．10 D．16 例3．（23-24河北沧州八年级上期中）在中，，是边上任意一点，过点分别向，引垂线，垂足分别为，．(1)如图①，当点在的什么位置时，？并证明你的结论 (2)如图②，过点作边上的高，试猜想，，的长之间存在怎样的数量关系？并加以证明．    例4．（23-24七年级下·重庆·期末）在中，边上的高，点P是直线上任意一点，过P作于E，于F，且． (1)如图①，若点P在边上时，三者关系如何？请说明理由； (2)如图②，③，若点P在或的延长线上时，三者关系又如何？（直接写出结论，不需说明理由）；(3)若点P是直线上的点，，求的值． 例5．（2023·江西·二模）我们定义：有一组邻角相等的凸四边形叫做“等邻角四边形”．例如：如图①，，则四边形为“等邻角四边形”． (1)定义理解：以下平面图形中，是等邻角四边形的是___________． ①平行四边形；②长方形；③正方形；④等腰梯形． (2)深入探究：①已知四边形为“等邻角四边形”，且，则________． ②如图②，在五边形中，，对角线平分，求证：四边形为等邻角四边形．(3)拓展应用：如图③，在等邻角四边形中，，点P为边BC上的一动点，过点P作，垂足分别为M，N．在点P的运动过程中，的值是否会发生变化？请说明理由． 1．（23-24八年级上·广东广州·期中）如图，是等腰三角形，，点是底边上任意一点，于点，于点，若该等腰三角形的面积为，则的值为（    ）    A．10 B．9 C．6 D．5 2．（23-24八年级·湖南长沙·阶段练习）如图，是等腰三角形，点是底边上任意一点，、分别与两边垂直，等腰三角形的腰长为，面积为，则的值为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24八年级上·四川绵阳·期末）如图，在等腰中，点是底边的中点，过点分别作，垂足分别为点，若，则的面积为 ．    4．（23-24八年级上·江苏泰州·期中）如图，是等边三角形，点是边上任意一点，于点于点．若，则 ． 5．（23-24八年级上·重庆·期中）如图，已知等边三角形的高为，为内一点，于点，于点，于点．则 ． 6．（2024·重庆九龙坡·二模）学习了等腰三角形后，小颖进行了拓展性研究．她过等腰三角形底边上的一点向两腰作垂线段，她发现，这两条线段的和等于等腰三角形一腰上的高．她的解决思路是通过计算面积得出结论．请根据她的思路完成以下作图与填空： 用无刻度直尺和圆规，过点作的垂线，垂足为点，点在边上．（只保留作图痕迹，不写作法） 已知：如图，在中，，于点，于点． 求证：．    证明：如图，连接． ，，， ，，． ， ①______， 即． ②______， ， ③______． 再进一步研究发现，过等腰三角形底边上所有点向两腰作垂线段均具有此特征，请你依照题目中的相关表述完成下面命题填空： 过等腰三角形底边上一点向两腰作垂线段，则④______． 7．（2024八年级·广东·培优）如图所示，已知，分别是与的平分线，点D是的中点，若点D到两边的距离均为6，则点D到边的距离为 ． 8．（23-24八年级下·四川达州·期中）如图，为等边三角形，点D是边上异于B，C的任意一点，于点E，于点F．若边上的高线，则 ．      9．（23-24八年级下·江苏无锡·期中）如图，在等腰△ABC内找一点P，向两腰AB、AC作垂线，垂足分别为D、E，向底边BC作垂线，垂足为F，若PD＋PE＝PF．用直尺和圆规作出所有适合条件的点P．（保留作图痕迹） 10．（23-24八年级·重庆·期中）如图，在等边△ABC中，P为△ABC内任意一点，PD⊥BC于D，PE⊥AC于E，PF⊥AB于F，AM⊥BC于M，试猜想AM、PD、PE、PF之间的关系，并说明你的猜想． 11．（2024八年级·重庆·专题练习）如图，在△ABC中，∠A＝90°，D是AC上的一点，BD＝DC，P是BC上的任意一点，PE⊥BD，PF⊥AC，E，F为垂足．试判断线段PE，PF，AB之间的数量关系，并说明理由． 12．（2023八年级·绵阳市·专题练习）如图①，△ABC中．AB＝AC，P为底边BC上一点，PE⊥AB，PF⊥AC，CH⊥AB，垂足分别为E、F、H．易证PE＋PF＝CH．证明过程如下：              如图①，连接AP． ∵PE⊥AB，PF⊥AC，CH⊥AB， ∴＝AB•PE，＝AC•PF，＝AB•CH． 又∵， ∴AB•PE＋AC•PF＝AB•CH．∵AB＝AC，∴PE＋PF＝CH． （1）如图②，P为BC延长线上的点时，其它条件不变，PE、PF、CH又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并加以证明： （2）填空：若∠A＝30°，△ABC的面积为49，点P在直线BC上，且P到直线AC的距离为PF，当PF＝3时，则AB边上的高CH______．点P到AB边的距离PE＝________． 13．（23-24八年级上广东·期中）请看下面小明同学完成的一道证明题的思路：如图，已知中，，，垂足是，是边上任意一点，，，垂足分别是、． 求证：． 证明思路： 如图，过点作交于，则四边形为矩形，；又可证，则；所以．若是延长线上任意一点，其它条件不变，则、与有何关系？请你写出结论并完成证明过程． 14．（23-24广东省惠州市八年级月考）（1）【问题情境】 如图：在中，，点为边上的任意一点，过点作，，垂足分别为点，，过点作，垂足为点．求证：． （2）【变化一下】①当点在延长线上时，请画图探究，，三者之间的数量关系并给出证明； ②如图，满足，点为内任意一点，过点分别作，，，垂足分别为点，，，请直接写出，，和之间的关系． （3）【深入探究】如图，在中，点为内任意一点，过点分别作，，，垂足分别为点，，，过点，，分别作，，，垂足分别为点，，，记，，分别为，，，请直接写出，，和，，之间的关系． 15．（23-24河北廊坊八年级上期中）如图，在ABC中，AB=AC，D是BC边上任意一点，过点D分别向AB，AC引垂线，垂足分别为E，F，CG是AB边上的高． (1)若AB=AC=10，DE=3，DF=5，求．(2) DE，DF，CG之间存在着怎样的等量关系？请加以证明． (3)若点D在BC的延长线上，直接写出DE，DF，CG的等量关系． 16．（23-24八年级上·广西南宁·期中）综合探究：探索等腰三角形中相等的线段． 问题情境：数学活动课上，老师提出了一个问题：等腰三角形底边中点到两腰的距离相等吗？ 问题初探： (1)希望小组的同学们根据题意画出了相应的图形，如图1．在中，，D是的中点，，，垂足分别为点E，F．经过合作，该小组的同学得出的结论是，并且展示了他们的证法如下： 证明：如图1，∵，，∴， ∵，∴（依据1），∵D是的中点，∴， 在和中，，∴（依据2），∴． ①请写出依据1和依据2的内容： 依据1：_______________________；依据2：_______________________． ②请你应用图2写出一种不同于希望小组的证法． 类比探究：(2)奋斗小组的同学认真研究过后，发现以下两个正确结论：①在图3中，若分别为和的中线，那么仍然成立．②在图4中，若分别为和的角平分线，那么仍然成立．请你选择其中一个结论，写出证明过程． (3)未来小组的同学经过探究又有新的发现，如果在等腰中，作腰上的高，如图5，则与有确定的数量关系，请你直接写出这个数量关系为_________________． 17．（24-25八年级上·江苏无锡·阶段练习）【问题情境】章老师给爱好学习的小毅提出这样一个问题：如图1，在中，，P为边上的任一点，过点P作，，垂足分别为D、E，过点C作，垂足为F．求证：． （1）小毅的证明思路是：如图②，连接，由与面积之和等于的面积可以证得：．请完成证明 请运用上述解答中所积累的经验和方法完成下列两题： （2）【变式探究】如图3，当点P在延长线上时，其余条件不变，求证：； 【结论运用】（3）如图4，将矩形沿折叠，使点D落在点B上，点C落在点处，点P为折痕上的任一点，过点P作，，垂足分别为G、H，若，则的值为 ． 18．（23-24八年级上·河南南阳·期末）阅读材料：如图，中，，为底边上任意一点，点到两腰的距离分别为，，腰上的高为，连接，则，即：，（定值）． (1)类比与推理：如果把“等腰三角形”改成“等边三角形”，那么P的位置可以由“在底边上任一点”放宽为“在三角形内任一点”，即：已知等边内任意一点到各边的距离分别为，，，等边的高为，试证明（定值）．(2)理解与应用：中，，，，，内部是否存在一点O，点O到各边的距离相等？若存在，求出这个距离r的值；若不存在，请说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！4 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题16 等腰（等边）三角形中重要模型之维维尼亚模型 维维亚尼定理（Viviani's theorem）：在等边三角形内任意一点P到三边的垂直距离之和，等于该等边三角形的高。这个定理可一般化为：等角多边形内任意一点P跟各边的垂直距离之和，是不变的，跟该点的位置无关。它以温琴佐·维维亚尼命名。 而今天我们要学习的维维亚尼模型就是维维亚尼定理及其拓展，它的证明主要利用了等面积法，消去相等底边后得到高之间的关系，因此等腰三角形的维维亚尼模型动点只能在底边所在直线上运动，此时连接点和底边所对顶点，能江原图分割成两个底相等的三角形。 2 模型1.等边三角形中维维尼亚模型 2 模型2.等腰三角形中维维尼亚模型 21 47 模型1.等边三角形中维维尼亚模型 条件：在等边中，P是平面上一动点，过点P作PE⊥AC，PF⊥BC，PD⊥AB，过点A作AM⊥BC。 结论：①如图1，若动点P在三角形ABC内时，则PD+PE+PF=AM； ②如图2，若动点P在三角形ABC外时，则PD+PE-PF=AM。 （当点P在三角形ABC外时，受P的位置影响，不同的位置结论稍有不同，但都可以使用等面积法证明）。    图1 图2 证明：①如图1，连结AP，BP，CP。∵是等边三角形，∴AB=BC=AC， 则， ∵； ∴PD+PE+PF=AM。 ②如图3，连结AP，BP，CP。∵是等边三角形，∴AB=BC=CA， 则， ∵； ∴PD+PE-PF=AM。 例1．（23-24八年级上·广西贵港·期中）如图，点P在等边三角形的内部，，，，垂足分别为D，E，F，若，且，则的边长为 ． 【答案】3 【分析】连接，，，利用，，，为等边三角形，，可得，即可求出的边长． 【详解】解：连接，，， ∵，，，∴． ∵为等边三角形，， ∴，解得，即的边长为3．故答案为：3 【点睛】本题考查等边三角形的性质，解题的关键是利用等边三角形的性质得到． 例2．（23-24山西八年级上期末）已知，在等边三角形中，为边上的高. 操作发现:（1）如图1，过点分别作，，垂足分别为.请直接写出和的数量关系；（2）如图2，若点为上任意一点（不与重合），过点作，，垂足分别为.判断和的数量关系，并说明理由； 拓广探索:（3）如图3，点为等边三角形内任意一点，过点作，，，垂足分别为，探究和的数量关系，并说明理由. 【答案】（1），理由见解析；（2），理由见解析；（3），理由见解析. 【分析】(1)根据三角形的面积公式计算即可证明.(2)由题意可得∠BAD=∠CAD=30°,利用30°直角三角形所对的边是斜边的一半,即可得出,即可推出.(3) 连接, 由题意得:,利用三角形的面积公式即可证. 【详解】（1）. 根据三角形的面积公式:S△ABC=S△ABD+S△ACD即: ∵△ABC是等边三角形,即:AB=AC=BC,∴. （2） 理由如下：∵为等边三角形∴ ∵为边上的高∴ 又∵，，∴∴ （3） 理由如下：如图，连接， ∵为等边三角形，∴ ∵为边上的高，∴ ∵，，，垂足分别为， ∴ ∴ ∴ 【点睛】本题考查三角形的综合知识,关键在于灵活利用面积公式. 例3．（23-24八年级上·云南昆明·期末）如图（1），已知在中， 且 过A作 于点P，点M是直线上一动点，设点M到 两边、的距离分别为m，n， 的高为h．    (1)当点M运动到什么位置时， ，并说明理由． (2)如图（2），试判断m、n、h之间的关系，并证明你的结论． (3)如图（3），当点M运动到的延长线上时，求证： 【答案】(1)证明见解析(2)，证明见解析(3)证明见解析 【分析】（1）当点P与点M重合时，过点M作于点D，于点E，由等边三角形的性质得出，则，根据三角形面积公式可得出结论；（2）连接，根据可得出结论；（3）连接，根据可得出，进行变形后可得出结论． 【详解】（1）解：当点P与点M重合时，， 理由：过点M作于点D，于点E，如图，则，，         ∵且 ∴是等边三角形， ∵即，∴， ∴， ∴，∴，∴； （2）解：．理由如下：如图②，连接，则 ， ∴，即， 又∵是等边三角形，∴，∴； （3）解：如图，连接，则 ， ∴，即 ， 又∵是等边三角形，∴， ∴， ∴，∴，两边同时除以2022得，， ∴，即． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了等边三角形的判定与性质，三角形的面积，完全平方公式的应用，运用等积法建立关系式是解题的关键． 模型2.等腰三角形中维维尼亚模型 条件：如图，等腰（AB=AC）中，点P在BC上运动，过点P作PD⊥AB，PH⊥AC，CE⊥AB， 结论：①如图1，若动点P在边BC上时，则PE+PD=CF。 ②如图2，若动点P在BC延长线上时，则|PF-PE|=CD。 图1 图2 证明：①如图1，连结AP；∵是等边三角形，∴AB=AC， 则，∵； ∴PE+PD=CF。 ①如图2，连结AP；∵是等边三角形，∴AB=AC， 则，∵； ∴PF-PE=CD。 例1．（23-24八年级上·重庆开州·阶段练习）如图，是等腰三角形，点是底边上任意一点，分别与两边垂直，等腰三角形的腰长为6，面积为24，则的值为（    ） A．4 B． C．15 D．8 【答案】D 【分析】连接，根据三角形的面积公式即可得到，根据等腰三角形的性质进而求得的值. 【详解】解：连接，如图， ,     ,,故选：D． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形的面积，熟记等腰三角形的性质是解题的关键． 例2．（23-24八年级下·山东烟台·期中）如图，将矩形沿折叠，使点落在点处，点落在点处，为折痕上的任意一点，过点作，，垂足分别为，，若，，，则的值为（    ） A．6 B．8 C．10 D．16 【答案】B 【分析】过点E作EQ⊥BC于Q，连接BP，先由折叠判断出BE＝BF，进而利用等面积法得出PG+PH＝EQ，再求出BF，最后利用折叠的性质，即可得出结论． 【详解】解：如图，过点E作EQ⊥BC于Q，连接BP， ∵四边形ABCD是长方形，∴ADBC，∴∠DEF＝∠BFE， 由折叠可得，∠DEF＝∠BEF，∴∠BFE＝∠BEF，∴BE＝BF， ∵PG⊥BE、PH⊥BC，∴S△BEF＝S△BEP+S△BFP＝BE•PG+BF•PH＝BF（PG+PH）， 又∵S△BEF＝BF•EQ，∴BF（PG+PH）＝BF•EQ，∴PG+PH＝EQ， ∵四边形ABCD是长方形，∴AD＝BC，∠C＝∠ADC＝∠A＝∠ABC＝90°，AB＝DC， ∵AD＝16，CF＝6，∴BF＝BC﹣CF＝AD﹣CF＝10． ∵折叠，∴F＝CF＝6，∠＝∠C＝90°，DC＝B，∵CD=8，∴AB＝DC＝B＝8， ∵∠A＝∠ABC＝90°，EQ⊥BC，∴四边形ABQE是长方形， ∴EQ＝AB＝8，∴PG+PH＝EQ＝8．故选：B． 【点睛】主要考查了翻折变换（折叠问题），矩形的性质，等腰三角形的判定，解本题的关键是利用等面积法判断出PG+PH＝EQ． 例3．（23-24河北沧州八年级上期中）在中，，是边上任意一点，过点分别向，引垂线，垂足分别为，．(1)如图①，当点在的什么位置时，？并证明你的结论 (2)如图②，过点作边上的高，试猜想，，的长之间存在怎样的数量关系？并加以证明．    【答案】(1)当点在的中点上时，，理由见详解(2)，证明见详解 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，（1）根据证，根据全等三角形的性质推出即可；（2）连接，根据三角形的面积公式求出即可． 【详解】（1）解：当点在的中点上时，， 证明：为中点，，，， ，，， 在和中，，． （2）证明：连接，    ，， ，． 例4．（23-24七年级下·重庆·期末）在中，边上的高，点P是直线上任意一点，过P作于E，于F，且． (1)如图①，若点P在边上时，三者关系如何？请说明理由； (2)如图②，③，若点P在或的延长线上时，三者关系又如何？（直接写出结论，不需说明理由）；(3)若点P是直线上的点，，求的值． 【答案】(1)，理由见解析(2)在图②中，；在图③中，(3)的值为3或13 【分析】（1）连接，根据面积法可得，即可得到，即； （2）点在或的延长线上时，连接，根据面积法可得，，三者关系； （3）当，时，根据上述结论中，，三者关系即可得到的值． 本题考查了等腰三角形的性质与三角形的面积，运用面积法得出线段之间的数量关系，解决问题的关键是作辅助线，运用分类思想解决问题． 【详解】（1）解：如图，连接， ，，，，，， 又， ，，即； （2）解：如图，点在的延长线上时，连接， ， ，，即；如图，点在的延长线上时，连接， ， ，，即； （3）解：当点P在边上时，由（1）可知，，那么，故； 当点在的延长线上时，由（2）可知，，那么，故（舍去）； 当点在的延长线上时，由（2）可知，，那么，故． 综上所述，的值为3或13． 例5．（2023·江西·二模）我们定义：有一组邻角相等的凸四边形叫做“等邻角四边形”．例如：如图①，，则四边形为“等邻角四边形”． (1)定义理解：以下平面图形中，是等邻角四边形的是___________． ①平行四边形；②长方形；③正方形；④等腰梯形． (2)深入探究：①已知四边形为“等邻角四边形”，且，则________． ②如图②，在五边形中，，对角线平分，求证：四边形为等邻角四边形．(3)拓展应用：如图③，在等邻角四边形中，，点P为边BC上的一动点，过点P作，垂足分别为M，N．在点P的运动过程中，的值是否会发生变化？请说明理由． 【答案】(1)②④(2)①或或；②见解析(3)不会发生变化，理由见解析 【分析】（1）根据平行四边形、长方形、正方形、等腰梯形的性质即可解答； （2）①分当和、时三种情况求解； ②由得，根据对角线平分，得，故，即证得四边形为等邻角四边形； （3）过C作于H，过P作于G，由，，得四边形是矩形，得，可证明，得，即有，从而说明在点P的运动过程中，的值总等于C到的距离，不会变化． 【详解】（1）解：①平行四边形的邻角互补，不是等邻角四边形； ②长方形四个角都是直角，则邻角相等，是等邻角四边形； ③正方形四个角都是直角，则邻角相等，是等邻角四边形；④等腰梯形的两个底角相等，是等邻角四边形． 综上，②④是等邻角四边形．故答案为：②④； （2）解：①当时，四边形为“等邻角四边形”， ∵，∴； 当时，四边形为“等邻角四边形”， 当时，四边形为“等邻角四边形”， ；故答案为：或或； ②∵，∴， ∵对角线平分，∴， ∴，∴四边形为等邻角四边形； （3）解：在点P的运动过程中，的值不会发生变化，理由如下： 过C作于H，过P作于G，如图： ∵，，∴， ∴四边形是矩形，∴，，即，∴， ∵，∴，∵，∴， 在和中，，∴（）， ∴，∴， 即在点P的运动过程中，的值总等于C到AB的距离，是定值． 【点睛】本题考查多边形综合应用，涉及新定义、多边形内角和、三角形全等的判定及性质等知识，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形解决问题． 1．（23-24八年级上·广东广州·期中）如图，是等腰三角形，，点是底边上任意一点，于点，于点，若该等腰三角形的面积为，则的值为（    ）    A．10 B．9 C．6 D．5 【答案】D 【分析】分别计算和的面积，再根据等腰三角形的面积直接可求出的值． 【详解】解：连接，由题可知：，，    ，， ，，，，故选D． 【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质，分割法求面积，再利用等面积转化是解决问本题的关键． 2．（23-24八年级·湖南长沙·阶段练习）如图，是等腰三角形，点是底边上任意一点，、分别与两边垂直，等腰三角形的腰长为，面积为，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接AO，根据三角形的面积公式即可得到ABOE＋ACOF＝15，根据等腰三角形的性质即可求得OE＋OF的值． 【详解】解：连接AO，如图， ∵AB＝AC＝6，∴S△ABC＝S△ABO＋S△AOC＝ABOE＋ACOF＝15， ∵AB＝AC，∴AB（OE＋OF）＝15，∴OE＋OF＝5．故选：A． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的面积，熟记等腰三角形的性质是解题的关键． 3．（23-24八年级上·四川绵阳·期末）如图，在等腰中，点是底边的中点，过点分别作，垂足分别为点，若，则的面积为 ．    【答案】 【分析】由等腰三角形的性质得，由，得，根据证明得，，求出的长，进而可求出的面积． 【详解】解：∵点D是等腰的底边的中点， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】此题考查了等腰三角形的“三线合一”，全等三角形的判定与性质，三角形的面积公式等知识，证明是解题的关键． 4．（23-24八年级上·江苏泰州·期中）如图，是等边三角形，点是边上任意一点，于点于点．若，则 ． 【答案】9 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质以及含的直角三角形的相关计算． 设，则，根据等边三角形的性质得出，进而得出，进而得出．，再根据进而求得结果． 【详解】解：设，则， ∵是等边三角形， ∴，， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：9． 5．（23-24八年级上·重庆·期中）如图，已知等边三角形的高为，为内一点，于点，于点，于点．则 ． 【答案】/7厘米 【分析】连接、、，根据、、的面积和等于的面积，由等边三角形的三边相等，即可得出结论． 【详解】解：连接、、，作边上的高，如图所示： ， ， 是等边三角形， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质以及三角形面积的计算方法；通过作辅助线，根据三角形面积相等得出结论是常用的方法． 6．（2024·重庆九龙坡·二模）学习了等腰三角形后，小颖进行了拓展性研究．她过等腰三角形底边上的一点向两腰作垂线段，她发现，这两条线段的和等于等腰三角形一腰上的高．她的解决思路是通过计算面积得出结论．请根据她的思路完成以下作图与填空： 用无刻度直尺和圆规，过点作的垂线，垂足为点，点在边上．（只保留作图痕迹，不写作法） 已知：如图，在中，，于点，于点． 求证：．    证明：如图，连接． ，，， ，，． ， ①______， 即． ②______， ， ③______． 再进一步研究发现，过等腰三角形底边上所有点向两腰作垂线段均具有此特征，请你依照题目中的相关表述完成下面命题填空： 过等腰三角形底边上一点向两腰作垂线段，则④______． 【答案】，①；②；③；④这两条垂线段长度的和等于一腰上的高 【分析】本题主要考查了做已知线段的垂线，以及利用等面积法证明过等腰三角形底边上一点向两腰作垂线段这两条垂线段长度的和等于一腰上的高．根据作垂线的方法先做出的垂线，再按照所给的证明方法一步步证明即可． 【详解】作图如下：    证明：如图，连接． ，，， ，，． ， ①， 即． ②， ， ③． 再进一步研究发现，过等腰三角形底边上所有点向两腰作垂线段均具有此特征，过等腰三角形底边上一点向两腰作垂线段，则④这两条垂线段长度的和等于一腰上的高． 故答案为：①；②；③；④这两条垂线段长度的和等于一腰上的高． 7．（2024八年级·广东·培优）如图所示，已知，分别是与的平分线，点D是的中点，若点D到两边的距离均为6，则点D到边的距离为 ． 【答案】12 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，角平分线的性质与判定，先根据等边对等角得到，则由角平分线的定义得到，证明，得到，则；由角平分线的判定定理得到平分，则由三线合一定理得到，则，如图所示，过点E作，垂足分别为N、M，由角平分线的性质得到，证明，得到，则，由平行线的性质得到，即点D到边的距离为12． 【详解】解：∵， ∴， ∵分别是与的平分线， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； ∵点D到两边的距离均为6， ∴平分， ∴， ∴， 如图所示，过点E作，垂足分别为N、M， ∴， ∵点D为的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点D到边的距离为12， 故答案为：12． 8．（23-24八年级下·四川达州·期中）如图，为等边三角形，点D是边上异于B，C的任意一点，于点E，于点F．若边上的高线，则 ．      【答案】10 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，求三角形的面积，连接，根据，再代入数值可得答案． 【详解】如图所示． 连接， ∵是等边三角形， ∴． ∵， ∴， 即， ∴． 故答案为：10．    9．（23-24八年级下·江苏无锡·期中）如图，在等腰△ABC内找一点P，向两腰AB、AC作垂线，垂足分别为D、E，向底边BC作垂线，垂足为F，若PD＋PE＝PF．用直尺和圆规作出所有适合条件的点P．（保留作图痕迹） 【答案】见解析 【详解】分析：作∠ABC的平分线交AC于点P2，∠ACB的平分线交AB于点P1，连接P1P2，则在线段P1P2上的所有点（不含端点）为所求作的满足条件的点P． 详解：如图所示，          答：在线段P1P2上的所有点（不含端点）为所求作的满足条件的点P． 点睛：本题考查了轨迹和等腰三角形的性质．解题的关键是找到点P1和点P2． 10．（23-24八年级·重庆·期中）如图，在等边△ABC中，P为△ABC内任意一点，PD⊥BC于D，PE⊥AC于E，PF⊥AB于F，AM⊥BC于M，试猜想AM、PD、PE、PF之间的关系，并说明你的猜想． 【答案】AM＝PD＋PE＋PF，理由见解析 【详解】试题分析：连接AP、BP、CP，根据面积相等，又利用△ABC是等边三角形，即可得PE+PD+PF=AM. 试题解析：PE+PD+PF=AM，理轴如下： 连接AP、BP、CP， ∵S△ABP+S△BCP+S△ACP=S△ABC， ∴AB×PE+BC×PD+AC×PF＝BC×AM， ∵△ABC是等边三角形， ∴AB=BC=AC， ∴PE+PD+PF=AM． 11．（2024八年级·重庆·专题练习）如图，在△ABC中，∠A＝90°，D是AC上的一点，BD＝DC，P是BC上的任意一点，PE⊥BD，PF⊥AC，E，F为垂足．试判断线段PE，PF，AB之间的数量关系，并说明理由． 【答案】PE＋PF＝AB,理由见解析 【详解】试题分析：首先过作于，交于，证明四边形是矩形，进而得到 接下来根据已知求出推出 根据的判定定理证 最后再结合全等三角形的对应边相等得到 并结合线段的和差关系即可证明结论. 试题解析： 理由如下： 过点作于，交于，如图所示： ∴四边形是矩形． 又 在和中， 12．（2023八年级·绵阳市·专题练习）如图①，△ABC中．AB＝AC，P为底边BC上一点，PE⊥AB，PF⊥AC，CH⊥AB，垂足分别为E、F、H．易证PE＋PF＝CH．证明过程如下：              如图①，连接AP． ∵PE⊥AB，PF⊥AC，CH⊥AB， ∴＝AB•PE，＝AC•PF，＝AB•CH． 又∵， ∴AB•PE＋AC•PF＝AB•CH．∵AB＝AC，∴PE＋PF＝CH． （1）如图②，P为BC延长线上的点时，其它条件不变，PE、PF、CH又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并加以证明： （2）填空：若∠A＝30°，△ABC的面积为49，点P在直线BC上，且P到直线AC的距离为PF，当PF＝3时，则AB边上的高CH______．点P到AB边的距离PE＝________． 【答案】（1）PE＝PF＋CH，证明见解析；（2）7；4或10； 【分析】（1）连接AP．先根据三角形的面积公式分别表示出，，，再由＝＋即可得出PE＝PF＋PH； （2）先根据直角三角形的性质得出AC＝2CH，再由△ABC的面积为49，求出CH＝7，由于CH＞PF，则可分两种情况进行讨论：①P为底边BC上一点，运用结论PE＋PF＝CH；②P为BC延长线上的点时，运用结论PE＝PF＋CH． 【详解】解：（1）如图②，PE＝PF＋CH．证明如下： ∵PE⊥AB，PF⊥AC，CH⊥AB， ∴＝AB•PE，＝AC•PF，＝AB•CH， ∵＝＋， ∴AB•PE＝AC•PF＋AB•CH， 又∵AB＝AC， ∴PE＝PF＋CH； （2）∵在△ACH中，∠A＝30°， ∴AC＝2CH． ∵＝AB•CH，AB＝AC， ∴×2CH•CH＝49， ∴CH＝7． 分两种情况： ①P为底边BC上一点，如图①． ∵PE＋PF＝CH， ∴PE＝CH－PF＝7－3＝4； ②P为BC延长线上的点时，如图②． ∵PE＝PF＋CH， ∴PE＝3＋7＝10． 故答案为7；4或10． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质与三角形的面积，难度适中，运用面积证明可使问题简便，（2）中分情况讨论是解题的关键． 13．（23-24八年级上广东·期中）请看下面小明同学完成的一道证明题的思路：如图，已知中，，，垂足是，是边上任意一点，，，垂足分别是、． 求证：． 证明思路： 如图，过点作交于，则四边形为矩形，；又可证，则；所以．若是延长线上任意一点，其它条件不变，则、与有何关系？请你写出结论并完成证明过程． 【答案】 【分析】过点C作CG⊥PE于G, 则四边形CGED为矩形,得到CD=EG, 同理可证ΔPGC≌ΔCFP, 则PF=PG, 所以PE-PF=PE-PG=GE=CD. 【详解】结论：． 证明： 过点作于， ∵，， ∴． ∴四边形为矩形． ∴，． ∴． ∵， ∴． ∴． 在和中，， ∴． ∴． ∴． 【点睛】本题主要考查矩形的判定与性质及全等三角形的判定与性质. 14．（23-24广东省惠州市八年级月考）（1）【问题情境】 如图：在中，，点为边上的任意一点，过点作，，垂足分别为点，，过点作，垂足为点．求证：． （2）【变化一下】①当点在延长线上时，请画图探究，，三者之间的数量关系并给出证明； ②如图，满足，点为内任意一点，过点分别作，，，垂足分别为点，，，请直接写出，，和之间的关系． （3）【深入探究】如图，在中，点为内任意一点，过点分别作，，，垂足分别为点，，，过点，，分别作，，，垂足分别为点，，，记，，分别为，，，请直接写出，，和，，之间的关系． 【答案】（1）见解析；（2）①，理由见解析；②；（3） 【分析】（1）连接，利用等面积法求解即可； （2）①连接，利用等面积法求解即可；②连接，，，利用等面积法求解即可； （3）连接，，，利用等面积法列式，等量代换求解即可． 【详解】证明：（1）如下图中，连接． ，， ，． （2）①，理由如下：连接，如下图： ，，，． ②，理由如下：连接，，，如下图 ∵∴ 由题意可得：∴ （3），连接，，，如下图： 由题意可得：∴， ∵∴ 则 则， 即 【点睛】此题考查了三角形的综合应用，涉及了等腰三角形的性质，等边三角形的性质，三角形的面积，等面积法证明几何问题，解题的关键是熟练掌握等面积法的应用． 15．（23-24河北廊坊八年级上期中）如图，在ABC中，AB=AC，D是BC边上任意一点，过点D分别向AB，AC引垂线，垂足分别为E，F，CG是AB边上的高． (1)若AB=AC=10，DE=3，DF=5，求．(2) DE，DF，CG之间存在着怎样的等量关系？请加以证明． (3)若点D在BC的延长线上，直接写出DE，DF，CG的等量关系． 【答案】(1)40(2)DE+DF=CG，理由见解析(3)DEDF=CG． 【分析】（1）连接AD，根据ABC的面积=ABD的面积+ACD的面积，即可求出答案； （2）连接AD，根据ABC的面积=ABD的面积+ACD的面积，进行分析证明；（3）类似（2）的思路，仍然用计算面积的方法来确定线段之间的关系．即ABC的面积=ABD的面积ACD的面积． 【详解】（1）解：连接AD， ∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴； （2）解：DE+DF=CG，理由如下，连接AD， ∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴， ∵AB=AC，∴， ∵CG⊥AB，∴，∴，∴DE+DF=CG； （3）解：DEDF=CG． 理由：连接AD， 则，即， ∵AB=AC，∴DE=CG+DF，即DEDF=CG． 【点睛】此题是三角形综合题，主要考查了三角形的面积的计算，利用面积的和差计算三角形的面积是解本题的关键． 16．（23-24八年级上·广西南宁·期中）综合探究：探索等腰三角形中相等的线段． 问题情境：数学活动课上，老师提出了一个问题：等腰三角形底边中点到两腰的距离相等吗？ 问题初探： (1)希望小组的同学们根据题意画出了相应的图形，如图1．在中，，D是的中点，，，垂足分别为点E，F．经过合作，该小组的同学得出的结论是，并且展示了他们的证法如下： 证明：如图1，∵，，∴， ∵，∴（依据1）， ∵D是的中点，∴， 在和中，， ∴（依据2），∴． ①请写出依据1和依据2的内容： 依据1：_______________________；依据2：_______________________． ②请你应用图2写出一种不同于希望小组的证法． 类比探究：(2)奋斗小组的同学认真研究过后，发现以下两个正确结论：①在图3中，若分别为和的中线，那么仍然成立．②在图4中，若分别为和的角平分线，那么仍然成立．请你选择其中一个结论，写出证明过程． (3)未来小组的同学经过探究又有新的发现，如果在等腰中，作腰上的高，如图5，则与有确定的数量关系，请你直接写出这个数量关系为_________________． 【答案】(1)①等边对等角；；②见解析(2)见解析，(3) 【分析】（1）①根据等边对等角及全等三角形的判定定理解答即可；②连接，由，D是的中点，得到平分，根据角平分线的性质定理得到； （2）图3：根据，D是的中点，得到，由分别为和的中线，得到，由此推出，得到；图4：由，D是的中点，得到，，，，利用角平分线定义得到，证明，进而推出；（3）连接，根据等腰三角形的性质得到平分，由角平分线的性质得到，由面积的和差关系得到． 【详解】（1）解：①依据1：等边对等角；依据2：，故答案为：等边对等角；； ②连接，∵，D是的中点，∴平分， 又∵，，∴； （2）图3：∵，D是的中点，∴平分，即， ∵分别为和的中线，∴，∴， 又∵，∴，∴； 图4：∵，D是的中点，∴，，，∴， ∵分别为和的角平分线，∴， ∴，∴，∴； （3）连接，∵，D是的中点，∴平分， ∵，，∴，∵，∴， ∴，故答案为：． 【点睛】此题是三角形的综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，角平分线的性质等知识，灵活运用这些性质进行推理是解题的关键． 17．（24-25八年级上·江苏无锡·阶段练习）【问题情境】章老师给爱好学习的小毅提出这样一个问题：如图1，在中，，P为边上的任一点，过点P作，，垂足分别为D、E，过点C作，垂足为F．求证：． （1）小毅的证明思路是：如图②，连接，由与面积之和等于的面积可以证得：．请完成证明 请运用上述解答中所积累的经验和方法完成下列两题： （2）【变式探究】如图3，当点P在延长线上时，其余条件不变，求证：； 【结论运用】 （3）如图4，将矩形沿折叠，使点D落在点B上，点C落在点处，点P为折痕上的任一点，过点P作，，垂足分别为G、H，若，则的值为 ． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）4 【分析】本题主要考查了折叠的性质，等角对等边，三角形面积计算， （1）利用面积转换：即可得证． （2）连接，利用面积转换即可得证． （3）过点E作于Q，由平行线的性质证明，再证明，得到，则由（1）可知，据此求解即可． 【详解】解：（1）连接，如图②所示， ，，，， ， ， ； （2）连接，如图③所示， ，，，， ， ； （3）如图④，过点E作于Q， 由长方形的性质可得，与平行， ， ， ， ， 由折叠的性质得， ， ， ∵， ． 的值为4． 18．（23-24八年级上·河南南阳·期末）阅读材料：如图，中，，为底边上任意一点，点到两腰的距离分别为，，腰上的高为，连接，则，即：，（定值）． (1)类比与推理：如果把“等腰三角形”改成“等边三角形”，那么P的位置可以由“在底边上任一点”放宽为“在三角形内任一点”，即：已知等边内任意一点到各边的距离分别为，，，等边的高为，试证明（定值）．(2)理解与应用：中，，，，，内部是否存在一点O，点O到各边的距离相等？若存在，求出这个距离r的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)见解析(2)存在，2 【分析】（1）连接，，，仿照面积的割补法，得出，而这几个三角形的底相等，故可得出高的关系．（2）作与的角平分线相交于O，根据角平分线的性质可得点O到各边的距离相等，连接，根据，则，代入三边长即可求解． 【详解】（1）解：连接，，， ，， ，(定值)． （2）解：存在，作与的角平分线相交于O，过点O作于D，作于E，作于F， ∵平分，，，∴， ∵平分，，，∴，∴， ∴内部是否存在一点O，点O到各边的距离相等．连接，设 ∴ ∴∴． 【点睛】本题考查三角形的面积，角平分线的性质，解题关键是利用面积分割法，求线段之间的关系． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$