专题13 等腰三角形中的分类讨论模型-2024-2025学年八年级数学上册常见几何模型全归纳之模型解读与提分精练（人教版）

专题13 等腰三角形中的分类讨论模型 等腰三角形的分类讨论模型，是八年级各类考试中几何压轴题的常客，并且形式多样，内容新颖，能较好地考查同学们的应用意识和思维能力。在历年中考当中，很多考生因为在处理等腰三角形有关的多解问题时，常常考虑不全面，导致漏解丢分。在学习等腰三角形的性质和判定时，分类讨论的思想尤为重要，希望大家要认真对待。本专题将把等腰三角形分类讨论情形作系统的归纳与介绍，方便大家对它有个全面的了解与掌握。 大家在掌握几何模型时，多数同学会注重模型结论，而忽视几何模型的证明思路及方法，导致本末倒置。要知道数学题目的考察不是一成不变的，学数学更不能死记硬背，要在理解的基础之上再记忆，这样才能做到对于所学知识的灵活运用，并且更多时候能够启发我们解决问题的关键就是基于已有知识、方法的思路的适当延伸、拓展，所以学生在学习几何模型要能够做到的就是：①认识几何模型并能够从题目中提炼识别几何模型；②记住结论，但更为关键的是记住证明思路及方法；③ 明白模型中常见的易错点，因为多数题目考察的方面均源自于易错点。当然，以上三点均属于基础要求，因为题目的多变性，若想在几何学习中突出，还需做到的是，在平时的学习过程中通过大题量的训练，深刻认识几何模型，认真理解每一个题型，做到活学活用！ 2 模型1.等腰三角形中的分类讨论模型-对角的分类讨论 2 模型2.等腰三角形中的分类讨论模型-对高的分类讨论 3 模型3.等腰三角形中的分类讨论模型-对边的分类讨论 5 11 【知识储备】 1）凡是涉及等腰三角形边、角、周长、面积等问题，优先考虑分类讨论，再利用等腰三角形的性质与三角形三边关系解题即可。 2）掌握分类的原则，即标准统一，不重复、不遗漏，力求最简； 3）体会分类的思想，即不能确定，就要分类。 模型1.等腰三角形中的分类讨论模型-对角的分类讨论 若等腰三角形没有明确角的种类，要分类讨论；从锐角等腰三角形和钝角等腰三角形的角度入手分顶角与底角两种情况进行分类讨论。当然有时候已知条件是以边的形式给出，我们讨论顶角和底角与讨论底和腰的原理相同。 例1．（2023春·四川达州·八年级校考期中）等腰三角形中，一个角为，则这个等腰三角形的顶角的度数为（    ） A． B． C．或 D．或 例2．（2023秋·河北张家口·八年级统考期末）是等腰三角形，，则的周长为（   ） A．12 B．12或17 C．14或19 D．17或19 例3．（2023春·黑龙江佳木斯·八年级校考期中）一个等腰三角形的周长为18cm，且一边长是4cm，则它的腰长为（    ） A．4cm B．7cm C．4cm或7cm D．全不对 例4．（24-25八年级上·贵州贵阳·阶段练习）已知的三边长分别为，5，6，当为等腰三角形时，a的值为（     ） A．4 B．5 C．4或5 D．5或6 模型2.等腰三角形中的分类讨论模型-对高的分类讨论 若等腰三角形没有明确高的位置，要分类讨论；从锐角等腰三角形和钝角等腰三角形的角度入手分腰上高与底边高、界内高与界外高两种情况进行分类讨论。 例1．（2023·四川绵阳·八年级校考阶段练习）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则等腰三角形的顶角度数为 ． 例2．（24-25八年级上·内蒙古呼和浩特·阶段练习）等腰三角形中，一腰上的中线把三角形的周长分为和的两部分，则该三角形的腰长为 ． 模型3.等腰三角形中的分类讨论模型-对边的分类讨论 1）等腰三角形没有明确边的种类，要分类讨论；结合三角形三边关系分腰与底边两种情况进行分类讨论。 2）坐标系中的等腰三角形的分类讨论。 等腰三角形的两种分类讨论方法 方法1. “两圆一线”；（一般符合“两个定点一个动点”的等腰三角形）。 如图：已知，两点是定点，在坐标轴上找一点构成等腰。 ①以已知线段为底作它的垂直平分线，与坐标轴的交点即为点P（有2个）； ②以已知线段为腰：用线段的两个端点为圆心，线段长为半径，分别作圆。（以为圆心的有4个，以为圆心的有2个）。具体题目要通过计算这些点的坐标来考虑是否出现重叠现象。 方法2. “三边两两相等分三种情况”讨论，先列出三种情况，再首先选最简单的那种情况先解答。 若是“两个动点一个定点”，多采用第二种方法分类讨论。但就算是用第二种方法分类讨论，也可以先用“两圆一线”确定符合等腰三角形的点可能有几个及这些点的大致位置。 例1．（2023·山东滨州·八年级校考期末）我们称网格线的交点为格点．如图，在6行列的长方形网格中有两个格点A、B，连接，在网格中再找一个格点C，使得是等腰直角三角形，则满足条件的格点C的个数是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 例2．（24-25八年级上·湖北随州·期中）在平面直角坐标系中，已知，，若在坐标轴上取点C，使为等腰三角形，则满足条件的点C的个数是（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 例3．（2023·江苏泰州·统考中考真题）如图，中，，，射线从射线开始绕点C逆时针旋转角，与射线相交于点D，将沿射线翻折至处，射线与射线相交于点E．若是等腰三角形，则的度数为 ．      例4．（2023·安徽阜阳·八年级统考期末）在平面直角坐标系中，若点，，则.请在轴上找一点，使是以为腰的等腰三角形，点的坐标为 . 例5．（2023春·吉林长春·七年级校考期末）在等边中，，动点以每秒个单位长度的速度从点出发在射线上运动，设点的运动时间为秒． (1)用含的代数式表示线段的长；(2)连结，当时，求的值；(3)若在线段上存在一点，且．在点运动的同时有一动点以每秒个单位长度的速度从点出发在线段上运动，当点运动到点时，立即以原速度返回至终点，当为等腰三角形时，直接写出的值．    1．（2023秋·湖南长沙·八年级校考开学考试）等腰三角形的一边为4，一边为3，则此三角形的周长是（　　） A．10 B．11 C．6或8 D．10或11 2．（2023春·陕西西安·八年级校考阶段练习）如图，在4×4方格中，以AB为一边，第三个顶点也在格点上的等腰三角形可以作出(　　)   A．7个 B．6个 C．4个 D．3个 3．（2023春·河北衡水·九年级统考期中）“如图，是等腰三角形，，平分．是射线上一点，如果点满足是等腰三角形，求的度数．”对于其答案，甲答：，乙答：，丙答：，则下列判断正确的是（    ）    A．只有甲正确 B．只有乙正确 C．甲、乙合在一起才正确 D．三人合在一起答案才完整 4．（2022·上海·七年级专题练习）在平面直角坐标系xoy中，已知点A（2，﹣2），在y轴上确定点P，使△AOP为等腰三角形，则符合条件的点P有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．（2022秋·福建福州·八年级校考期中）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角是，则底角度数为（    ） A． B． C．或 D．或 6．（2023秋·江苏苏州·八年级校考阶段练习）等腰三角形中一个角为，则它的底角为（    ） A．或 B．或 C．或 D． 7．（2023秋·浙江宁波·八年级校考阶段练习）中，，为上的高，且为等腰三角形，则等于（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 8．（2023·重庆市八年级期中）如图1，一副直角三角板△ABC和△DEF，∠BAC=∠EDF=90°，∠B=45°，∠F=30°，点B、D、C、F在同一直线上，点A在DE上．如图2，△ABC固定不动，将△EDF绕点D逆时针旋转α（0°＜α＜135°）得△E′DF'，当直线E′F′与直线AC、BC所围成的三角形为等腰三角形时，α的大小为___． 9．（2023·湖北武汉·八年级校考阶段练习）等腰三角形有两边的长分别是5cm，2cm，则其周长是 cm． 10．（2024·浙江·八年级专题练习）如图，在中，，，在直线或直线上取点，使得为等腰三角形，符合条件的点有_______个． 11．（2023·江西上饶·八年级校考期中）如图，，是延长线上的一点，，动点从点出发沿以的速度移动，动点从点出发沿以的速度移动，如果点、同时出发，用表示移动的时间，当 时，是等腰三角形．    12．（2023春·辽宁丹东·七年级统考期末）在锐角中，，将沿翻折得到，直线与直线相交于点E，若是等腰三角形，则的度数为 ． 13．（2024八年级上·绵阳市·专题练习）如图，，是边上一点，是边上一动点．若为等腰三角形，求的度数． 14．（2023秋·江苏泰州·八年级校联考阶段练习）定义：用一条直线分割一个三角形，如果能分割出等腰三角形，那么就称这条直线为该三角形的一条等腰分割线． 如图，中，．    (1)如图（1），若O为的中点，则直线_____的等腰分割线．（填“是”或“不是”） (2)如图（2）已知的一条等腰分割线交边于点P，且，若，请求出的度数．(3)如图（3），若，AB=5，点M是边上的一点，如果直线是的等腰分割线，这样的点M共有______个． 15．（2023·陕西渭南·八年级统考期中）小刚准备用一段长50米的篱笆围成一个三角形形状的场地，用于饲养鸡，已知第一条边长为米，由于条件限制第二条边长只能比第一条边长的3倍少10米． (1)用含的式子表示第三条边长；(2)第一条边长能否为8米？为什么？ (3)若该三角形是等腰三角形，求的值． 16．（2023·上海静安·八年级校考期中）如图，已知在中，．过三角形顶点的一条直线将分割为两个等腰三角形．求的度数．    17．（2024·陕西铜川·七年级统考期末）如图，在中，，，点为上任意一点，若是以为腰的等腰三角形，求的度数．    18．（2024·北京·八年级校考阶段练习）（1）操作实践：中，，请画出一条直线把分割成两个等腰三角形，并标出分割成两个等腰三角形底角的度数；（要求用两种不同的分割方法）    （2）分类探究：中，最小内角，若被一直线分割成两个等腰三角形，请画出相应示意图并写出最大内角的所有可能值；以下为备用图    （3）猜想发现：若一个三角形能被一直线分割成两个等腰三角形，需满足什么条件？请你至少写出两种不同情况的条件,无需证明 19．（24-25八年级上·浙江·期中）定义：如果一条线段将一个三角形分成两个等腰三角形，我们把这条线段叫做这个三角形的“二分线”；如果两条线段将一个三角形分成三个等腰三角形，我们把这两条线段叫做这个三角形的“三分线”． (1)三角形内角度数如图1所示，在图中画出“二分线”，并标出每个等腰三角形的顶角度数； (2)图2是一个顶角为的等腰三角形，在图中画出“三分线”，并标出每个等腰三角形的顶角度数；(3)在中，其最小的内角，过顶点B的一条线段是的“二分线”，请直接写出的度数． 20．（2023秋·河南商丘·八年级校考期中）如图，中，cm，现有两点M、N分别从点A、点B同时出发，沿三角形的边运动，已知点M的速度为，点N的速度为．当点N第一次到达B点时，M、N同时停止运动．    (1)点M、N运动几秒后，M、N两点重合？(2)点M、N运动几秒后，可得到等边三角形？ (3)当点M、N在边上运动时，能否得到以为底边的等腰三角形？如存在，请求出此时M、N运动的时间．(4)点M、N运动______________________后，可得到直角三角形． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题13 等腰三角形中的分类讨论模型 等腰三角形的分类讨论模型，是八年级各类考试中几何压轴题的常客，并且形式多样，内容新颖，能较好地考查同学们的应用意识和思维能力。在历年中考当中，很多考生因为在处理等腰三角形有关的多解问题时，常常考虑不全面，导致漏解丢分。在学习等腰三角形的性质和判定时，分类讨论的思想尤为重要，希望大家要认真对待。本专题将把等腰三角形分类讨论情形作系统的归纳与介绍，方便大家对它有个全面的了解与掌握。 大家在掌握几何模型时，多数同学会注重模型结论，而忽视几何模型的证明思路及方法，导致本末倒置。要知道数学题目的考察不是一成不变的，学数学更不能死记硬背，要在理解的基础之上再记忆，这样才能做到对于所学知识的灵活运用，并且更多时候能够启发我们解决问题的关键就是基于已有知识、方法的思路的适当延伸、拓展，所以学生在学习几何模型要能够做到的就是：①认识几何模型并能够从题目中提炼识别几何模型；②记住结论，但更为关键的是记住证明思路及方法；③ 明白模型中常见的易错点，因为多数题目考察的方面均源自于易错点。当然，以上三点均属于基础要求，因为题目的多变性，若想在几何学习中突出，还需做到的是，在平时的学习过程中通过大题量的训练，深刻认识几何模型，认真理解每一个题型，做到活学活用！ 2 模型1.等腰三角形中的分类讨论模型-对角的分类讨论 2 模型2.等腰三角形中的分类讨论模型-对高的分类讨论 3 模型3.等腰三角形中的分类讨论模型-对边的分类讨论 5 11 【知识储备】 1）凡是涉及等腰三角形边、角、周长、面积等问题，优先考虑分类讨论，再利用等腰三角形的性质与三角形三边关系解题即可。 2）掌握分类的原则，即标准统一，不重复、不遗漏，力求最简； 3）体会分类的思想，即不能确定，就要分类。 模型1.等腰三角形中的分类讨论模型-对角的分类讨论 若等腰三角形没有明确角的种类，要分类讨论；从锐角等腰三角形和钝角等腰三角形的角度入手分顶角与底角两种情况进行分类讨论。当然有时候已知条件是以边的形式给出，我们讨论顶角和底角与讨论底和腰的原理相同。 例1．（2023春·四川达州·八年级校考期中）等腰三角形中，一个角为，则这个等腰三角形的顶角的度数为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】等腰三角形的的一个内角是，则可能是顶角，也可能是底角，分情况讨论即可． 【详解】解：分如下两种情况讨论：当角是底角时，顶角度数为， 当角是顶角时，顶角度数为．故选：D． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和三角形内角和定理，做题时要善于利用分类讨论思想，特别是等腰三角形在没有图的情况下． 例2．（2023秋·河北张家口·八年级统考期末）是等腰三角形，，则的周长为（   ） A．12 B．12或17 C．14或19 D．17或19 【答案】D 【分析】根据等腰三角形的定义分两种情况：当腰为与腰为时，即可得到答案． 【详解】解：当的腰为时，的周长； 当的腰为时，的周长．故选：D． 【点睛】本题主要考查等腰三角形的定义，掌握等腰三角形的定义是解题的关键． 例3．（2023春·黑龙江佳木斯·八年级校考期中）一个等腰三角形的周长为18cm，且一边长是4cm，则它的腰长为（    ） A．4cm B．7cm C．4cm或7cm D．全不对 【答案】B 【分析】根据等腰三角形的定义，两腰相等，结合三角形的三边关系，进行求解即可． 【详解】解：当cm为腰长时，则底边长为cm， ∵，不符合题意；∴cm为底边长，∴等腰三角形的腰长为：；故选B． 【点睛】本题考查等腰三角形的定义，三角形的三边关系．解题的关键是掌握等腰三角形的两腰相等，注意讨论时要根据三角形的三边关系，判断能否构成三角形． 例4．（24-25八年级上·贵州贵阳·阶段练习）已知的三边长分别为，5，6，当为等腰三角形时，a的值为（     ） A．4 B．5 C．4或5 D．5或6 【答案】C 【分析】本题考查等腰三角形的定义、三角形的三边关系，分类讨论是解答的关键．根据等腰三角形的定义，分、两种情况，结合三角形的三边关系求解即可． 【详解】解：根据题意，当即时，的三边长分别为5，5，6，满足，能构成等腰三角形； 当即时，的三边长分别为5，6，6，满足，能构成等腰三角形， 综上，当为等腰三角形时，a的值为4或5，故选：C． 模型2.等腰三角形中的分类讨论模型-对高的分类讨论 若等腰三角形没有明确高的位置，要分类讨论；从锐角等腰三角形和钝角等腰三角形的角度入手分腰上高与底边高、界内高与界外高两种情况进行分类讨论。 例1．（2023·四川绵阳·八年级校考阶段练习）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则等腰三角形的顶角度数为 ． 【答案】或 【分析】要注意分类讨论，等腰三角形可能是锐角三角形也可能是钝角三角形，然后根据三角形的内角和以及三角形的外角的性质即可求解． 【详解】解：若三角形为锐角三角形时，如图，，，为高，即， 此时，∴， 若三角形为钝角三角形时，如图，，，为高，即， 此时，综上，等腰三角形的顶角的度数为或． 故答案为：或． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形外角的性质，三角形内角和定理，解题的关键是根据题意画出图形，并注意分类讨论． 例2．（24-25八年级上·内蒙古呼和浩特·阶段练习）等腰三角形中，一腰上的中线把三角形的周长分为和的两部分，则该三角形的腰长为 ． 【答案】 【分析】本题考查三角形三边关系，等腰三角形的定义，三角形中线的性质，根据题意作出图形，设，，然后分两种情况列出方程组求解，再根据三角形的三边关系判断即可求解．掌握知识点的应用及分类讨论的思想是解题的关键． 【详解】解：如图所示，根据等腰三角形的定义和三角形中线的性质得：， 可设，，∴， 由题意得： 或，解得：或， 当时，即此时等腰三角形的三边为，，， ∵，符合三角形的三边关系，∴此情况成立； 当时，即此时等腰三角形的三边为，，， ∵，不符合三角形的三边关系，∴此情况不成立； 综上可知：该三角形的腰长为是，故答案为：． 模型3.等腰三角形中的分类讨论模型-对边的分类讨论 1）等腰三角形没有明确边的种类，要分类讨论；结合三角形三边关系分腰与底边两种情况进行分类讨论。 2）坐标系中的等腰三角形的分类讨论。 等腰三角形的两种分类讨论方法 方法1. “两圆一线”；（一般符合“两个定点一个动点”的等腰三角形）。 如图：已知，两点是定点，在坐标轴上找一点构成等腰。 ①以已知线段为底作它的垂直平分线，与坐标轴的交点即为点P（有2个）； ②以已知线段为腰：用线段的两个端点为圆心，线段长为半径，分别作圆。（以为圆心的有4个，以为圆心的有2个）。具体题目要通过计算这些点的坐标来考虑是否出现重叠现象。 方法2. “三边两两相等分三种情况”讨论，先列出三种情况，再首先选最简单的那种情况先解答。 若是“两个动点一个定点”，多采用第二种方法分类讨论。但就算是用第二种方法分类讨论，也可以先用“两圆一线”确定符合等腰三角形的点可能有几个及这些点的大致位置。 例1．（2023·山东滨州·八年级校考期末）我们称网格线的交点为格点．如图，在6行列的长方形网格中有两个格点A、B，连接，在网格中再找一个格点C，使得是等腰直角三角形，则满足条件的格点C的个数是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】根据题意，结合图形，分两种情况讨论：①为等腰直角底边；②为等腰直角其中的一条腰． 【详解】如图：分情况讨论： ①为等腰直角底边时，符合条件的格点C点有2个； ②为等腰直角其中的一条腰时，符合条件的格点C点有3个．故共有5个点，故选：C． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和判定；解答本题关键是根据题意，画出符合实际条件的图形，数形结合的思想是数学解题中很重要的解题思想． 例2．（24-25八年级上·湖北随州·期中）在平面直角坐标系中，已知，，若在坐标轴上取点C，使为等腰三角形，则满足条件的点C的个数是（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【分析】本题主要考查的是等腰三角形的定义、线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键．分为、，三种情况画图判断即可． 【详解】解：如图所示： 当时，符合条件的点有,3个；当时，符合条件的点有，3个； 当点C在的垂直平分线上时，符合条件的点有，1个．故符合条件的点C共有7个．故选：C． 例3．（2023·江苏泰州·统考中考真题）如图，中，，，射线从射线开始绕点C逆时针旋转角，与射线相交于点D，将沿射线翻折至处，射线与射线相交于点E．若是等腰三角形，则的度数为 ．      【答案】或或 【分析】分情况讨论，利用折叠的性质知，，再画出图形，利用三角形的外角性质列式计算即可求解． 【详解】解：由折叠的性质知，， 当时，，      由三角形的外角性质得，即，此情况不存在； 当时，，，          由三角形的外角性质得，解得； 当时，，∴， 由三角形的外角性质得，解得； 当时，，∴， ∴； 综上，的度数为或或．故答案为：或或． 【点睛】本题考查折叠的性质，三角形的外角性质，等腰三角形的性质，画出图形，数形结合是解题关键． 例4．（2023·安徽阜阳·八年级统考期末）在平面直角坐标系中，若点，，则.请在轴上找一点，使是以为腰的等腰三角形，点的坐标为 . 【答案】、或 【分析】分两种情况求解：①AB=AC，②AB=BC． 【详解】解：①当AB=AC时，∵AO⊥BC,∴OC=BO=3，∴C（-3，0）; ②当AB=BC=5时， 若点C在B点左侧，CO=BC-BO=2， 此时点C的坐标为（-2，0）; 若点C在B点右侧， CO=BO+BC=8，此时点C的坐标为（8,0）.综上所述，满足条件的点C有3个. 故答案为：、或． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、坐标与图形性质以及分类讨论，做题时需注意两点，一是注意点C必须位于x轴上，二是注意不能漏解，应分AB=AC与AB=BC两种情况分别解答，难度适中． 例5．（2023春·吉林长春·七年级校考期末）在等边中，，动点以每秒个单位长度的速度从点出发在射线上运动，设点的运动时间为秒． (1)用含的代数式表示线段的长；(2)连结，当时，求的值；(3)若在线段上存在一点，且．在点运动的同时有一动点以每秒个单位长度的速度从点出发在线段上运动，当点运动到点时，立即以原速度返回至终点，当为等腰三角形时，直接写出的值．    【答案】(1)(2)或(3)或． 【分析】（1）根据题意分情况讨论，列出代数式，即可求解； （2）根据题意，以及含30度角的直角三角形的性质，列出一元一次方程，解方程即可求解；（3）依题意，得出为等腰三角形，分点从点运动到点以及从点返回，两种情况分析，即可求解． 【详解】（1）解：∵，动点以每秒个单位长度的速度从点出发在射线上运动，设点的运动时间为秒．∴， 当时，；当时， 综上所述， （2）解：如图所示，当在线段上时， ∵是等边三角形，∴，， 当时，∴∴解得：       当在的延长线上时，∵，∴ ∴∴∴解得： （3）解：如图所示，当时，在上运动时，       ∵，当为等腰三角形时，则为等边三角形，∴， ∵，．∴点在上运动的时间为：，在上运动的时间为， 当点从点运动到点的过程中，，∴解得：； 当，即点在的延长线上时，此时点从D运动回点C 当点从点返回时，，；∴解得：； 综上所述，当为等腰三角形时，或． 【点睛】本题考查了列代数式，等边三角形的性质与判定，一元一次方程的应用，含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 1．（2023秋·湖南长沙·八年级校考开学考试）等腰三角形的一边为4，一边为3，则此三角形的周长是（　　） A．10 B．11 C．6或8 D．10或11 【答案】D 【分析】分边4是底边和腰长两种情况讨论，再根据三角形的任意两边之和大于第三边判断是否能组成三角形，然后求解即可． 【详解】解：若4是底边，则三角形的三边分别为4、3、3，能组成三角形，周长， 若4是腰，则三角形的三边分别为4、4、3，能组成三角形，周长， 综上所述，此三角形的周长是10或11．故选：D． 【点睛】本题考查等腰三角形的性质，三角形的三边关系，难点在于分情况讨论并判断是否能组成三角形． 2．（2023春·陕西西安·八年级校考阶段练习）如图，在4×4方格中，以AB为一边，第三个顶点也在格点上的等腰三角形可以作出(　　)   A．7个 B．6个 C．4个 D．3个 【答案】A 【分析】分别以A、B为圆心，AB长为半径画弧，圆弧经过的格点即为第三个顶点的位置，作AB的垂直平分线，如果经过格点，则这样的点也满足条件，由上述作法即可求得答案. 【详解】如图所示，分别以A、B为圆心，AB长为半径画弧， 则圆弧经过的格点C1、C2、C3、C4、C5、C6、C7即为第三个顶点的位置；作线段AB的垂直平分线，垂直平分线未经过格点，故以AB为一边，第三个顶点也在格点上的等腰三角形可以作出7个，故选A． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定，关键是根据题意画出符合条件的等腰三角形． 3．（2023春·河北衡水·九年级统考期中）“如图，是等腰三角形，，平分．是射线上一点，如果点满足是等腰三角形，求的度数．”对于其答案，甲答：，乙答：，丙答：，则下列判断正确的是（    ）    A．只有甲正确 B．只有乙正确 C．甲、乙合在一起才正确 D．三人合在一起答案才完整 【答案】D 【分析】由于中，底和腰不确定，故需分情况讨论，然后根据等腰三角形的性质即可确定答案． 【详解】解：∵是等腰三角形，， ∴， ∵平分，∴， 可分三种情况讨论：①当时，如下图，则；          ②当时，如下图，则； ③当时，如下图，则，∴． 综合所述，的度数为或或．故选：D． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质、三角形内角和定理等知识，运用分类讨论的思想分析问题是解题关键． 4．（2022·上海·七年级专题练习）在平面直角坐标系xoy中，已知点A（2，﹣2），在y轴上确定点P，使△AOP为等腰三角形，则符合条件的点P有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】如果OA为等腰三角形的腰，有两种可能，以O为圆心OA为半径的圆弧与y轴有两个交点，以A为圆心AO为半径的圆弧与y轴有一个交点；如果OA为等腰三角形的底，只有一种可能，作线段OA的垂直平分线，与y轴有一个交点；符合条件的点一共4个． 【详解】解：分二种情况进行讨论： 当OA为等腰三角形的腰时，以O为圆心OA为半径的圆弧与y轴有两个交点，以A为圆心AO为半径的圆弧与y轴有一个交点； 当OA为等腰三角形的底时，作线段OA的垂直平分线，与y轴有一个交点． ∴符合条件的点一共4个．故选D． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定及坐标与图形的性质；针对线段OA在等腰三角形中的地位，分类讨论用画圆弧的方式，找与y轴的交点，比较形象易懂． 5．（2022秋·福建福州·八年级校考期中）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角是，则底角度数为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】由于此高不能确定是在三角形的内部，还是在三角形的外部，所以要分锐角三角形和钝角三角形两种情况求解． 【详解】解：分两种情况： ①高在三角形的内部时，如图：    ，，，∴，∴； ②高在三角形的外部时，如图：    ，，，∴， ∴．故底角度数为或，故选D． 【点睛】此题考查等腰三角形的性质，难度适中，解题的关键是注意分类讨论思想与数形结合思想的应用． 6．（2023秋·江苏苏州·八年级校考阶段练习）等腰三角形中一个角为，则它的底角为（    ） A．或 B．或 C．或 D． 【答案】C 【分析】据题意，分已知角是底角与不是底角两种情况讨论，结合三角形内角和等于，分析可得答案． 【详解】解：根据题意，一个等腰三角形的一个角等于， ①当这个角是底角时，即该等腰三角形的底角的度数是， ②当这个角是顶角时，设该等腰三角形的底角是，则， 解可得，，即该等腰三角形的底角的度数是；故选：C． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，及三角形内角和定理；通过三角形内角和，列出方程求解是正确解答本题的关键；注意分类讨论思想的应用． 7．（2023秋·浙江宁波·八年级校考阶段练习）中，，为上的高，且为等腰三角形，则等于（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】D 【分析】根据题意，应该考虑两种情况，①在内部；在外部．分别结合已知条件进行计算即可． 【详解】解：如图所示，在内部， ∵，为上的高，∴，， ∵是等腰三角形，∴，∴， ∴， 如图所示，在外部， ∵，为上的高，∴，， ∵是等腰三角形，∴，∴， ∴，所以等于或．故选：D． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、三角形外角的性质、角的计算．注意分类讨论．此类题一般是利用等腰三角形的性质得出有关角的度数，进而求出所求角的度数． 8．（2023·重庆市八年级期中）如图1，一副直角三角板△ABC和△DEF，∠BAC=∠EDF=90°，∠B=45°，∠F=30°，点B、D、C、F在同一直线上，点A在DE上．如图2，△ABC固定不动，将△EDF绕点D逆时针旋转α（0°＜α＜135°）得△E′DF'，当直线E′F′与直线AC、BC所围成的三角形为等腰三角形时，α的大小为___． 【答案】7.5°或75°或97.5°或120° 【分析】设直线E′F′与直线AC、BC分别交于点P、Q，根据△CPQ为等腰三角形，分三种情况：①当∠PCQ为顶角时，∠CPQ=∠CQP，如图1，可求得α=7.5°；如图2，△CPQ为等腰三角形中，∠PCQ为顶角，可求得α=∠EDE′=90°+7.5°=97.5°；②当∠CPQ为顶角时，∠CQP=∠PCQ=45°，可得∠CPQ=90°，如图3，进而求得α=90°-15°=75°；③如图4，当∠CQP为顶角时，∠CPQ=∠PCQ=45°，可得∠CQP=90°，进而求得α=∠EDE′=∠EDQ+∠QDE′=90°+30°=120°． 【详解】解：设直线E′F′与直线AC、BC分别交于点P、Q， ∵△CPQ为等腰三角形，∴∠PCQ为顶角或∠CPQ为顶角或∠CQP为顶角， ①当∠PCQ为顶角时，∠CPQ=∠CQP，如图1， ∵∠BAC=∠EDF=90°，∠B=45°，∠F=30°，∴∠E′DF′=90°，∠ACB=45°，∠E′F′D=30°， ∵∠CPQ+∠CQP=∠ACB=45°，∴∠CQP=22.5°， ∵∠E′F′D=∠CQP+∠F′DQ，∴∠F′DQ=∠E′F′D-∠CQP=30°-22.5°=7.5°，∴α=7.5°； 如图2，∵△CPQ为等腰三角形中，∠PCQ为顶角，∴∠CPQ=∠CQP=67.5°， ∵∠E′DF′=90°，∠F′=30°，∴∠E′=60°，∴∠E′DQ=∠CQP-∠E′=67.5°-60°=7.5°， ∴α=∠EDE′=90°+7.5°=97.5°； ②当∠CPQ为顶角时，∠CQP=∠PCQ=45°，∴∠CPQ=90°，如图3， ∵∠DE′F′=∠CQP+∠QDE′，∴∠QDE′=∠DE′F′-∠CQP=60°-45°=15°，∴α=90°-15°=75°； ③如图4，当∠CQP为顶角时，∠CPQ=∠PCQ=45°， ∴∠CQP=90°，∴∠QDF′=90°-∠DF′E′=60°，∴∠QDE′=∠E′DF′-∠QDF′=30°， ∴α=∠EDE′=∠EDQ+∠QDE′=90°+30°=120°；综上所述，α的大小为7.5°或75°或97.5°或120°． 故答案为：7.5°或75°或97.5°或120°． 【点睛】本题考查了等腰三角形性质，直角三角形性质，旋转的性质，三角形内角和定理等，解题关键是运用数形结合思想和分类讨论思想思考解决问题． 9．（2023·湖北武汉·八年级校考阶段练习）等腰三角形有两边的长分别是5cm，2cm，则其周长是 cm． 【答案】12 【分析】根据等腰三角形的定义，分两种情况：①当腰长为时，②当腰长为时，分别进行求解即可． 【详解】解：①当腰长为时，三角形的三边分别为，，，符合三角形的三边关系，则三角形的周长； ②当腰长为时，三角形的三边分别为，，，不符合三角形的三关系，舍去； 故答案为：12． 【点睛】本题注意考查对等腰三角形的定义及三角形的三边关系，已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况：分类进行讨论，还应验证各自情况是否能构成三角形． 10．（2024·浙江·八年级专题练习）如图，在中，，，在直线或直线上取点，使得为等腰三角形，符合条件的点有_______个． 【答案】8 【分析】根据等腰三角形的判定，“在同一三角形中，有两条边相等的三角形是等腰三角形（简称：在同一三角形中，等边对等角）”分三种情况解答即可． 【详解】解：如图， ①以A为圆心，AB为半径画圆，交直线AC有二点M1，M2，交BC有一点M3，（此时AB=AM）； ②以B为圆心，BA为半径画圆，交直线BC有二点M5，M4，交AC有一点M6（此时BM=BA）． ③AB的垂直平分线交AC一点M7（MA=MB），交直线BC于点M8； ∴符合条件的点有8个．故答案为：8． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定；构造等腰三角形时本着截取相同的线段就能作出等腰三角形来，思考要全面，做到不重不漏． 11．（2023·江西上饶·八年级校考期中）如图，，是延长线上的一点，，动点从点出发沿以的速度移动，动点从点出发沿以的速度移动，如果点、同时出发，用表示移动的时间，当 时，是等腰三角形．    【答案】或10 【分析】先求出，当点在线段上时，则，当点在的延长线上时，则，据此建立方程求解即可． 【详解】解：设秒后是等腰三角形， ∵，∴ 分两种情况：（1）当点在线段上时，则， ∴，解得，； （2）当点在的延长线上时，此时经过时的时间已用， 当是等腰三角形时，，是等边三角形， ，即，解得，； 综上所述，当或时，是等腰三角形．故答案为：或10． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的定义，等边三角形的性质与判定，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． 12．（2023春·辽宁丹东·七年级统考期末）在锐角中，，将沿翻折得到，直线与直线相交于点E，若是等腰三角形，则的度数为 ． 【答案】或 【分析】分三种情形：当，点E在和的延长线上，当，点E在和的延长线上，分别画出图形，分别求解即可． 【详解】解：①如图，当，点E在和的延长线上，    ∵，∴，由折叠得：，， 设，则，，， 在中，由三角形内角和定理得：， ∴，即，∴， ∵，∴此时为锐角三角形，符合题意； ②如图，当，点E在和的延长线上，    ∵，∴，由折叠得：，， ∵，∴，∴， ∵， ∴，∴， ∵，∴此时为锐角三角形，符合题意； 综上所述，满足条件的的度数为或．故答案为：或． 【点睛】本题考查翻折变换，等腰三角形的性质、三角形的内角和定理、三角形的外角性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用参数构建方程解决问题． 13．（2024八年级上·绵阳市·专题练习）如图，，是边上一点，是边上一动点．若为等腰三角形，求的度数． 【答案】或或 【分析】此题考查了等腰三角形的性质，根据等腰三角形的性质分三种情况讨论即可． 【详解】解：，为等腰三角形， 分以下三种情况： 当，位置如图时，； 当，位置如图时，，可得：； 当，位置如图时，； 14．（2023秋·江苏泰州·八年级校联考阶段练习）定义：用一条直线分割一个三角形，如果能分割出等腰三角形，那么就称这条直线为该三角形的一条等腰分割线． 如图，中，．    (1)如图（1），若O为的中点，则直线_____的等腰分割线．（填“是”或“不是”） (2)如图（2）已知的一条等腰分割线交边于点P，且，若，请求出的度数．(3)如图（3），若，AB=5，点M是边上的一点，如果直线是的等腰分割线，这样的点M共有______个． 【答案】(1)是(2)(3)4 【分析】（1）根据直角三角形斜边中线等于斜边一半可得两个等腰三角形； （2）由中，，且，，可求出、度数，即可得到答案； （3）分情况进行讨论：先分是等腰三角形时，分三种情况讨论；再分是等腰三角形时，同理分三种情况讨论． 【详解】（1）解： ，为中点， 在中，，和都是等腰三角形． 则直线是的等腰分割线；故答案为：是． （2）解：中，，且，， ，，； （3）解：这样的点M共有4个，理由如下： 中，,，AB=5， ①若为等腰三角形， 当时， 当M为中点时，，此时、为等腰三角形， 当时，M不在边上，舍去； ②若为等腰三角形， 当时， 当时， 当M为中点时，，与①中第二种情况是同一点， 综上，这样的点M共有4个．故答案为：4． 【点睛】此题是三角形的综合题，主要考查了复杂作图和等腰三角形的判定与性质，解决此类题目需要熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．解题的关键是正确理解题意，了解等腰分割线的意义． 15．（2023·陕西渭南·八年级统考期中）小刚准备用一段长50米的篱笆围成一个三角形形状的场地，用于饲养鸡，已知第一条边长为米，由于条件限制第二条边长只能比第一条边长的3倍少10米． (1)用含的式子表示第三条边长；(2)第一条边长能否为8米？为什么？ (3)若该三角形是等腰三角形，求的值． 【答案】(1)第三条边长为米(2)第一条边长不能为8米，理由见解析(3)10 【分析】（1）先表示出第二条边长，再根据总长度为50米表示出第三条边长即可； （2）根据（1）所求，求出第二条边长和第三条边长，再根据构成三角形的条件进行求解即可； （3）分三种情况，根据等腰三角形的定义建立方程求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，第二条边长为米， ∴第三条边长为米． （2）解：第一条边长不能为8米，理由如下： 当时，三边长分别为8米，米，米， ∵，∴此时不能构成三角形，即第一条边长不能为8米． （3）解：当时，解得， 此时三条边的长度依次为5米、5米、40米，不符合三角形三边关系； 当时，解得， 此时三条边的长度依次为12米、26米、12米，不符合三角形三边关系； 当时，解得， 此时三条边的长度依次为10米、20米、20米，符合三角形三边关系． 综上所述，若该三角形是等腰三角形，则的值为10． 【点睛】本题主要考查了构成三角形的条件，等腰三角形的定义，列代数式，熟知三角形中，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边是解题的关键． 16．（2023·上海静安·八年级校考期中）如图，已知在中，．过三角形顶点的一条直线将分割为两个等腰三角形．求的度数．    【答案】 【分析】分三种情况：当时，当，时，当，时，根据等腰三角形的性质和三角形外角的性质即可得到结论． 【详解】解：∵，设，则， ∵，即：，可得：，如图，当时，    此时，， ∵，即：，解得：，即：； 如图，当，时， 此时，， ∵，即：， 解得：，即：（不符合题意，舍去）；    如图，当，时，    此时，， ∵，即：， 解得：，即：（不符合题意，舍去）；综上所述：． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和，三角形外角的性质，正确的作出图形是解题的关键． 17．（2024·陕西铜川·七年级统考期末）如图，在中，，，点为上任意一点，若是以为腰的等腰三角形，求的度数．    【答案】或 【分析】根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理求出，再分两种情况进行讨论：①；②． 【详解】解：在中，，， ． 分两种情况： ①当时，； ②当时，． 综上所述，的度数为或． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，解题的关键是能够分类讨论，难度不是很大，是常考的题目之一． 18．（2024·北京·八年级校考阶段练习）（1）操作实践：中，，请画出一条直线把分割成两个等腰三角形，并标出分割成两个等腰三角形底角的度数；要求用两种不同的分割方法    （2）分类探究：中，最小内角，若被一直线分割成两个等腰三角形，请画出相应示意图并写出最大内角的所有可能值；以下为备用图    （3）猜想发现：若一个三角形能被一直线分割成两个等腰三角形，需满足什么条件？请你至少写出两种不同情况的条件,无需证明 【答案】（1）见解析；（2）见解析，或或或；（3）见解析 【分析】（1）根据要求作出图形即可． （2）先对角分类讨论，为等腰三角形的顶角时；为等腰三角形的底角时；利用三角形内角和及外角定理推出另一个等腰三角形中的内角度数再进行顶角和底角的分类讨论． 根据（1）（2）中的图形总结即可． 【详解】解：如图所示：    方法一：两个底角的度数分别为：；方法二：两个底角的度数分别为：； 设分割线为，相应用的角度如图所示：    图的最大角，图的最大角， 图的最大角，图的最大角， 故的最大内角可能值是或或或； 若一个三角形能被一直线分割成两个等腰三角形，应满足下列条件之一： 该三角形是直角三角形； 该三角形有一个角是最小角的倍； 该三角形有一个角是其中一个角的倍． 【点睛】此题主要考查作图——应用与设计作图及等腰三角形的性质及三角形内角和定理的综合运用，本题不仅趣味性强，创造性强，而且渗透了由“特殊”到“一般”、“分类讨论”等数学思想，是一道可以体现从性质到应用的好题． 19．（24-25八年级上·浙江·期中）定义：如果一条线段将一个三角形分成两个等腰三角形，我们把这条线段叫做这个三角形的“二分线”；如果两条线段将一个三角形分成三个等腰三角形，我们把这两条线段叫做这个三角形的“三分线”． (1)三角形内角度数如图1所示，在图中画出“二分线”，并标出每个等腰三角形的顶角度数； (2)图2是一个顶角为的等腰三角形，在图中画出“三分线”，并标出每个等腰三角形的顶角度数；(3)在中，其最小的内角，过顶点B的一条线段是的“二分线”，请直接写出的度数． 【答案】(1)见解析(2)见解析(3)的度数为或或 【分析】本题考查了等腰三角形的定义和性质，三角形的内角和与三角形的外角性质，解题的关键是数形结合、分类讨论．（1）在上取一点，连接，使得，线段即为所求； （2）取的中点，再过点作于点，然后连接，即可求解； （3）分三种情况讨论：当，时，当，时，当时，当，时，根据三角形的内角和与三角形的外角性质求解即可． 【详解】（1）解：如图即为所求： （2）如图即为所求： （3）当，时，，， ，； 当，时，， ，； 当时，，， ，； 当，时，，， ，， 此时在中，其最小的内角为，故此种情况不符合题意； 综上所述，的度数为或或． 20．（2023秋·河南商丘·八年级校考期中）如图，中，cm，现有两点M、N分别从点A、点B同时出发，沿三角形的边运动，已知点M的速度为，点N的速度为．当点N第一次到达B点时，M、N同时停止运动．    (1)点M、N运动几秒后，M、N两点重合？(2)点M、N运动几秒后，可得到等边三角形？ (3)当点M、N在边上运动时，能否得到以为底边的等腰三角形？如存在，请求出此时M、N运动的时间．(4)点M、N运动______________________后，可得到直角三角形． 【答案】(1)6(2)2(3)存在，此时M、N运动的时间为8秒(4)或或或9秒 【分析】（1）首先设点M、N运动x秒后，M、N两点重合，表示出M、N的运动路程，N的运动路程比M的运动路程多6cm，列出方程求解即可；（2）根据题意设点M、N运动t秒后，可得到等边三角形，然后表示出，的长，由于，所以只要，就是等边三角形；（3）首先假设是等腰三角形，可证出，可得，设出运动时间，表示出、、的长，列出方程，可解出未知数的值；（4）分点N在、、上运动的三种情况，再分别就是和，列方程求解可得． 【详解】（1）解：设点M、N运动x秒后，M、N两点重合， 则，解得：，即当点M、N运动6秒后，M、N两点重合； （2）解：设点M、N运动t秒后，可得到等边三角形，如图1，，， ，， ∵，当时，是等边三角形，∴，解得， ∴点M、N运动2秒后，可得到等边三角形； （3）解：当点M、N在边上运动时，可以得到以为底边的等腰三角形， 由（1）知6秒时M、N两点重合，恰好在C处，如图2，假设是等腰三角形， ∴，∴，∴， ∵，∴是等边三角形，∴， 在和中，∵，，， ∴（AAS），∴，∴，解得，符合题意， 所以假设成立，当点M、N运动8秒时，可以得到以为底边的等腰三角形； （4）解：当点N在上运动时，如图3， ，， ，， 若，∵，，∴，∵，∴，即，解得； 如图4，若，由得，解得； 当点N在上运动时，点M也在上，此时A、M、N不能构成三角形； 当点N在上运动时，如图5， 当点N位于中点处时，由是等边三角形知，即是直角三角形， 则，解得；如图6， 当点M位于中点处时，由是等边直角三角形知，即是直角三角形，则； 综上，当，，，9时，可得到直角三角形． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质及判定和直角三角形的定义与性质，关键是根据题意设出未知数，理清线段之间的数量关系． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！14 学科网（北京）股份有限公司 $$