浙江省台州市2025届高三第一次教学质量评估数学试题

台州市2025届高三第一次教学质量评估试题 数学 2024.11 命题：叶挺（三门县教师发展中心）闫大贵（温岭中学） 审题：邬仁勇（玉环中学） 本试题卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟．请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上． 选择题部分（共58分） 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知，则的值为（ ） A. B. C. D. 2. 椭圆与椭圆的（ ） A. 长轴长相等 B. 短轴长相等 C. 离心率相等 D. 焦距相等 3. 若复数是方程的一个虚根，则（ ） A. B. 2 C. D. 4. 已知集合，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 已知变量与的成对样本数据具有线性相关关系，由一元线性回归模型根据最小二乘法，计算得经验回归方程为，若，，则（ ） A. 6.6 B. 5 C. 1 D. 14 6. 已知是定义在上的奇函数，当时，，则（ ） A. 3 B. 2 C. 2 D. 3 7. 已知球的半径为，是球表面上的定点，是球表面上的动点，且满足，则线段轨迹的面积为（ ） A. B. C. D. 8. 台州某校为阳光体育设计了一种课间活动，四位同学（两男两女）随机地站到44的方格场地中（每人站一格，每格至多一人），则两个男生既不同行也不同列，同时两个女生也既不同行也不同列的概率是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列选项正确的是（ ） A. 若随机变量，则 B. 若随机变量，则 C. 若随机变量服从分布，且，则 D. 若随机变量满足，则 10. 已知函数，且，则下列选项正确的是（ ） A. 的最小正周期为 B. 的图象关于直线对称 C. D. 在上有两个不同的零点 11. 已知棱长为3的正四面体，则下列选项正确的是（ ） A. 当时， B. 当时， C. 当时，的最大值为 D. 当时，则的最大值为 非选择题部分（共92分） 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 如图的形状出现存南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中，后人称为“三角垛”.“三角垛”的最一上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球……，设从上至下各层球数构成一个数列则___________.（填数字） 13. 若在上单调递减，则实数的最大值为_______． 14. 已知圆，其中，若圆上仅有一个点到直线的距离为1，则的值为_______；圆的半径取值可能为_______（请写出一个可能的半径取值）． 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知的内角所对的边分别为，且． （1）求角； （2）若的面积为，为的中点，求长度的最小值． 16. 如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧面是正三角形，． （1）求证：平面平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 17. 已知函数． （1）求函数的单调递减区间； （2）若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围． 18. 已知抛物线的焦点为，准线为，双曲线的左焦点为T． （1）求的方程和双曲线的渐近线方程； （2）设为抛物线和双曲线的一个公共点，求证：直线与抛物线相切； （3）设为上的动点，且直线与双曲线的左、右两支分别交于两点，直线与抛物线交于不同的两点，判断是否为定值，若是，请求出该定值；若不是，请说明理由． 19. 对于无穷数列和如下的两条性质：：存在实数，使得且，都有；：任意且，都存在，使得． （1）若，判断数列是否满足性质，并说明理由； （2）若，且数列满足任意，则称为数列的一个子数列．设数列同时满足性质和性质． ①若，求的取值范围； ②求证：存在的子数列为等差数列． 台州市2025届高三第一次教学质量评估试题 数学 2024.11 命题：叶挺（三门县教师发展中心）闫大贵（温岭中学） 审题：邬仁勇（玉环中学） 本试题卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟．请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上． 选择题部分（共58分） 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 【1题答案】 【答案】D 【2题答案】 【答案】D 【3题答案】 【答案】B 【4题答案】 【答案】A 【5题答案】 【答案】C 【6题答案】 【答案】B 【7题答案】 【答案】C 【8题答案】 【答案】D 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 【9题答案】 【答案】ABD 【10题答案】 【答案】BC 【11题答案】 【答案】ACD 非选择题部分（共92分） 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 【12题答案】 【答案】 【13题答案】 【答案】## 【14题答案】 【答案】 ①. ②. （满足即可，答案不唯一） 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 【15题答案】 【答案】（1）； （2）． 【16题答案】 【答案】（1）证明：不妨设正方形边长为2，则， 由，得， 再由，， 平面 ，得平面， 因为平面，所以平面平面． （2） 【17题答案】 【答案】（1） （2）． 【18题答案】 【答案】（1）准线的方程为，双曲线的渐近线方程为 （2） 联立方程组， 消去得，解得（舍负），由对称性，不妨取， 又由，求得直线的方程为， 联立方程组，消去得， 因为，所以直线与抛物线相切． （3）是，． 【19题答案】 【答案】（1） 数列满足性质． 且， 因为，所以，又因为，所以， 因此，存在，使得且，都有，故满足性质． 注：取之间的任意实数都可以． （2）①； ②由数列满足性质，可知单调递增，设， 令，由性质，存在，使得， 同理，存在，使得，…， 以此类推，当时，存在，使得， 由数列单调递增，可知． 记，则， 因为，所以数列是等差数列， 故存在的子数列为等差数列，得证． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $